2024-2025學(xué)年北京順義區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第2頁/共11頁2025北京順義高三（上）期末數(shù)學(xué)第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）已知集合，集合，則（A）（B）（C）（D）（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，，則對應(yīng)的點的坐標(biāo)是（A）（B）（C）（D）（3）已知向量，，若與垂直，則的值為（A）（B）（C）（D）（4）在的展開式中，常數(shù)項為（A）（B）（C）（D）（5）已知數(shù)列滿足對.若，則（A）（B）（C）（D）（6）已知，且，則（A）（B）（C）（D）（7）已知點，，若直線上存在點滿足，則實數(shù)的取值范圍是（A）（B）（C）（D）（8）“”是“對任意”的（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件（9）某同學(xué)在勞動實踐課中，用四塊板材制作了一個簸箕（如圖1），其底面擋板是等腰梯形，后側(cè)擋板是矩形，左右兩側(cè)擋板為全等的直角三角形，后側(cè)擋板與底面擋板垂直.簸箕的造型可視為一個多面體（如圖2）.若，，，與之間的距離為，則該多面體的體積是（A）（B）（C）（D）圖1圖2（10）在中，，，為所在平面內(nèi)的動點，且，則的最小值為（A）（B）（C）（D）第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）函數(shù)的定義域為_______.（12）已知直線與圓交于不同的兩點.若的中點為，則________.（13）已知等比數(shù)列的前項和為，則的公比為_______；記，則的最小值為______.（14）已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則常數(shù)的一個取值為________.（15）已知函數(shù)的定義域為，若存在，對任意且，有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．給出下列四個函數(shù)：=1\*GB3①； ②；=3\*GB3③； ④.其中所有具有性質(zhì)的函數(shù)的序號是________.三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）如圖，在直三棱柱中，分別為的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若求平面與平面夾角的余弦值.（17）（本小題13分）在中，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）從條件①、條件②、條件=3\*GB3③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在且唯一確定，求最長邊上的高.條件①：,；條件②：,的周長為；條件=3\*GB3③：,.注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.（18）（本小題14分）某景點奶茶店的甲、乙、丙三款奶茶在國慶黃金周期間的日銷售量數(shù)據(jù)，如下表（單位：杯）：甲60656665676663乙57626362646360丙55606160626158（Ⅱ）從乙、丙兩款奶茶的日銷售量數(shù)據(jù)中各隨機(jī)選取1個，這2個數(shù)據(jù)中大于60的個數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）記乙款奶茶日銷售量數(shù)據(jù)的方差為，表格中所有的日銷售量數(shù)據(jù)的方差為，試判斷和的大小.（結(jié)論不要求證明）（19）（本小題15分）已知橢圓的一個頂點為，離心率為.（=1\*ROMANI）求橢圓的方程；（=2\*ROMANII）不經(jīng)過點的直線與橢圓交于不同的兩點，且.設(shè),的面積分別為，求的值.（20）（本小題15分）已知函數(shù).（=1\*ROMANI）求曲線在點處的切線方程；（=2\*ROMANII）設(shè)，其中.（i）求證：在區(qū)間上有唯一的極值點；(ii)設(shè)為在區(qū)間上的零點，為在區(qū)間上的極值點，比較與的大小，請說明理由.（21）（本小題15分）已知行列的數(shù)表的分量都是非零整數(shù).若數(shù)表滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)表為規(guī)范表：=1\*GB3①對任意，中有個，個；=2\*GB3②存在，使得都是正整數(shù)．（=1\*ROMANI）分別判斷數(shù)表是否為規(guī)范表；（直接寫出結(jié)論）（=2\*ROMANII）當(dāng)時，是否存在規(guī)范表滿足？若存在，請寫出一個；若不存在，請說明理由；（=3\*ROMANIII）當(dāng)時，是否存在規(guī)范表滿足？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）B（2）C（3）A（4）A（5）D（6）B（7）D（8）C（9）C（10）B二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11） （12）（13） （14）（答案不唯一） （15）=1\*GB3①②=4\*GB3④三、解答題（共6小題，共85分）（16）（本小題滿分13分）解：（Ⅰ）取的中點，連接．因為為的中點，所以,．因為四邊形為平行四邊形，為的中點，所以且．所以且．所以四邊形為平行四邊形．所以．又因為平面，平面，所以平面．………6分（Ⅱ）因為直三棱柱中，平面,平面，所以．又因為，，，所以，所以．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．所以，，，．設(shè)平面的法向量為，則即令，則，．于是．設(shè)平面的法向量為，則即令，則，．于是．設(shè)平面與平面的夾角為，則．所以平面與平面夾角的余弦值為．………13分（17）（本小題滿分13分）解：（=1\*ROMANI）由正弦定理可得.所以.因為，所以.即，所以因為，所以，即可得………6分（=2\*ROMANII）選擇②因為，所以由余弦定理解得，所以所以，最長邊為，設(shè)高為，………13分選擇=3\*GB3③（法一）：由正弦定理得,，則因為，所以，因為，所以所以，在中，最長邊為，設(shè)高為，………13分（法二）由正弦定理得,，則所以得所以，在中，最長邊為，設(shè)高為，………13分（18）（本小題滿分14分）解：（Ⅰ）設(shè)事件為“該天甲款奶茶日銷售量大于杯”．根據(jù)題中數(shù)據(jù)，甲款奶茶在天的日銷售量中，有天的日銷售量大于杯QUOTE≥24．所．………4分（Ⅱ）設(shè)事件為“乙款奶茶日銷售數(shù)據(jù)大于”，事件為“丙款奶茶日銷售數(shù)據(jù)大于”．根據(jù)題中數(shù)據(jù)，=，．根據(jù)題意，隨機(jī)變量的所有可能取值為，且；；；所以，的分布列為所以．………11分（Ⅲ）．………14分（19）（本小題滿分15分）解：（Ⅰ）由題設(shè)， 解得．所以橢圓的方程為． ………4分（Ⅱ）方法一：=1\*GB3①當(dāng)直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為.由得,所以即,所以或.因為，所以.因為，,所以.………8分=2\*GB3②當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為（）.由得． 設(shè)，，則，，所以． 由得即，所以.即，所以.因為直線不過點,所以，所以………13分設(shè)到直線的距離為，則，到直線的距離為，則．因為，所以． 綜上：………15分方法二：由題設(shè)，直線的斜率不等于0，設(shè)其方程為．………6分由得． 設(shè)，則，，． ，．由得，即，所以，即.因為直線不過點,所以，所以.………13分設(shè)點到直線的距離為，則，點到直線的距離為，則．因為，，所以．………15分（20）（本小題滿分15分）解：（Ⅰ）因為，定義域所以．所以，所以曲線在點處的切線方程為．………5分（Ⅱ）由題設(shè)，．所以．令，則又，所以，可知所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.因為，所以，在區(qū)間上存在唯一一個零點，使得所以，在區(qū)間上，存在唯一一個極值點.………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，在區(qū)間上，存在唯一一個極值點，即有當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增又，所以，在區(qū)間上沒有零點，在上存在一個唯一一個零點所以，.因為，又，所以,令，則所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以又，，且當(dāng)時，單調(diào)遞增所以，由單調(diào)性可知，.………15分（21）（本小題滿分15分）解：（Ⅰ）B是規(guī)范表；C不是規(guī)范表.………4分（Ⅱ）不存在.用反證法.假設(shè)存在規(guī)范表滿足，令，則；另一方面，根據(jù)性質(zhì)①：，即對任意，；另一方面，由條件②，存在，使，矛盾.所以假設(shè)不成立，即不存在符合題意的規(guī)范表.………9分（Ⅲ）存在符合題意的規(guī)范表.=1\*GB3①構(gòu)造:考慮滿足如下條件的數(shù)表，其中