高中數(shù)學(xué)四作業(yè)三角函數(shù)誘導(dǎo)公式（第二課時）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時作業(yè)(九)1．sin480°的值為()A.eq\f（1，2） B．－eq\f（1,2)C。eq\f（\r（3），2） D．－eq\f(\r(3),2）答案C解析sin480°＝sin（360°＋120°）＝sin120°＝sin(90°＋30°）＝cos30°＝eq\f（\r（3),2）。2．若sin（θ＋eq\f（3π，2)）〉0，cos(eq\f(π,2）－θ）>0，則角θ的終邊位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案B解析sin（θ＋eq\f(3，2)π）＝－cosθ>0，∴cosθ<0。cos（eq\f(π，2)－θ)＝sinθ>0,θ為第二象限角．3．若cos(π＋α)＝－eq\f（1,3),那么sin(eq\f（3π,2）－α)等于（)A．－eq\f（1,3) B。eq\f(1,3）C.eq\f(2\r(2),3） D．－eq\f(2\r(2）,3）答案A解析∵cos（π＋α)＝－eq\f(1,3），∴cosα＝eq\f(1，3）,又∵sin（eq\f（3π,2）－α)＝－cosα，∴sin（eq\f（3π,2）－α）＝－eq\f（1，3).4．已知sin（α＋eq\f（π,2）)＝eq\f（1,3）,α∈（－eq\f(π,2），0）,則tanα等于(）A．－2eq\r(2) B．2eq\r（2)C．－eq\f（\r(2)，4) D.eq\f（\r(2），4）答案A解析∵sin(α＋eq\f（π,2））＝eq\f（1,3），∴cosα＝eq\f（1,3),∵α∈(－eq\f(π,2)，0）,∴sinα＝－eq\r（1－cos2α)＝－eq\f（2\r(2),3)，∴tanα＝eq\f（sinα,cosα)＝eq\f(－\f（2\r(2),3）,\f(1，3))＝－2eq\r（2)。5．在△ABC中，下列各表達式為常數(shù)的是（)A．sin(A＋B）＋sinC B．cos(B＋C）－cosAC．taneq\f(A＋B，2)·taneq\f（C，2） D．coseq\f(B＋C,2）·eq\f(1，cos\f（A，2））答案C解析taneq\f(A＋B，2）·taneq\f(C,2）＝taneq\f（π－C，2)·taneq\f(C,2）＝eq\f（sin\f(π－C,2)，cos\f(π－C,2))·eq\f（sin\f(C,2),cos\f(C,2))＝eq\f(cos\f（C，2）sin\f(C，2），sin\f（C，2）·cos\f（C，2））＝1.6．已知cos（eq\f（π,6)－α)＝eq\f（1,3)，則cos（eq\f(5,6）π＋α）＝(）A。eq\f(1，3) B．－eq\f(1，3)C。eq\f(2，3) D．－eq\f（2,3）答案B解析∵(eq\f(π，6）－α）＋（eq\f（5,6）π＋α）＝π，∴cos(eq\f（5，6)π＋α)＝cos［π－(eq\f(π，6)－α)］＝－cos（eq\f(π,6)－α）＝－eq\f（1，3），故選B。7．若f（sinx）＝3－cos2x，則f（cosx）＝()A．3－cos2x B．3－sin2xC．3＋cos2x D．3＋sin2x答案C解析f（cosx）＝f[sin（eq\f（π，2)－x)]＝3－cos2（eq\f（π,2)－x）＝3－cos(π－2x)＝3＋cos2x，故選C。8．設(shè)α是第二象限角，且coseq\f（α，2）＝－eq\r(1－cos2（\f(π－α，2））)，則eq\f（α,2)是()A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角答案C解析α是第二象限角，eq\f（α，2）是第一或第三象限角．－eq\r(1－cos2(\f(π－α,2)）)＝－eq\r（1－sin2\f（α,2)）＝－|coseq\f(α，2）｜＝coseq\f(α，2），∴eq\f（α，2）為第三象限角．9．已知tanθ＝2,則eq\f（sin（\f（π，2)＋θ）－cos(π－θ），sin（\f(π,2）－θ）－sin（π－θ))等于()A．2 B．－2C．0 D。eq\f（2，3）答案B解析eq\f(sin（\f(π,2）＋θ)－cos（π－θ）,sin（\f（π,2）－θ)－sin（π－θ））＝eq\f(cosθ＋cosθ,cosθ－sinθ）＝eq\f(2，1－tanθ)＝－2。故選B.10．已知sin(α－360°）－cos(180°－α）＝m，則sin(180°＋α)·cos（180°－α）等于（)A.eq\f（m2－1,2） B.eq\f(m2＋1，2）C.eq\f(1－m2，2) D．－eq\f（m2＋1，2)答案A解析sin（α－360°）－cos（180°－α）＝sinα＋cosα＝m，sin(180°＋α)·cos(180°－α)＝(－sinα)(－cosα）＝sinα·cosα＝eq\f((sinα＋cosα）2－1，2)＝eq\f（m2－1，2).11．已知cos(α＋eq\f（π，4)）＝eq\f(2,3)，則sin(eq\f（π,4)－α）的值等于（）A。eq\f（2，3) B．－eq\f（2，3）C。eq\f（\r（5）,3） D．±eq\f(\r(5），3)答案A解析sin(eq\f(π,4)－α）＝sin［eq\f(π，2)－(eq\f（π,4)＋α）]＝cos（eq\f(π，4)＋α)＝eq\f（2,3）.12．已知sin(3π－α)＝－2sin（eq\f(π,2）＋α)，則sinαcosα等于(）A．－eq\f(2,5) B.eq\f（2，5）C.eq\f（2,5）或－eq\f（2,5) D．－eq\f(1,5）答案A解析解法一：∵sin（3π－α）＝sin（π－α)＝－2sin（eq\f（π，2）＋α），∴sinα＝－2cosα,∴tanα＝－2。當α在第二象限時，eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(2\r（5),5)，,cosα＝－\f(\r(5）,5)，）)∴sinαcosα＝－eq\f(2，5)；當α在第四象限時,eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（sinα＝－\f（2\r（5）,5），,cosα＝\f(\r（5),5），)）∴sinαcosα＝－eq\f(2，5)，綜上，sinαcosα＝－eq\f（2，5），故選A.13．化簡:(1）sin(－α－5π)·cos（α－eq\f(π，2))＝________．(2)eq\f(cos(α－\f(π，2）),sin（\f（5π，2）＋α)）sin(α－π）cos（2π－α)＝________．答案（1)sin2α（2）－sin2α解析（1)原式＝sin(－α－π)·cos（eq\f（π，2）－α)＝sinα·sinα＝sin2α。(2)原式＝eq\f（cos（\f（π,2)－α）,sin（\f(π,2)＋α)）·[－sin(π－α)]·cosα＝eq\f（sinα，cosα)(－sinα）·cosα＝－sin2α。14．已知sin（π＋α）＝eq\f（3,5），α是第四象限角，則cos(α－2π)的值是________．答案eq\f(4,5）解析由sin（π＋α)＝eq\f（3,5)，得－sinα＝eq\f(3，5)，即sinα＝－eq\f(3,5)?！郼osα＝eq\f(4，5），cos(α－2π)＝cosα＝eq\f(4，5）。15．已知sinαcosβ＝1，則coseq\f（α＋β,2）＝________．答案±eq\f（\r（2),2）解析由sinαcosβ＝1,得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1(sinα＝1，，cosβ＝1)）或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＝－1,,cosβ＝－1,））∴α＝2kπ＋eq\f(π，2），β＝2mπ或α＝2kπ－eq\f(π，2)，β＝2mπ＋π，k，m∈Z.∴eq\f(α＋β,2)＝(k＋m）π＋eq\f(π,4），k，m∈Z?！郼oseq\f(α＋β,2）＝±eq\f(\r(2)，2).16.eq\f(cos（－585°）,sin495°＋sin（－570°））的值等于________．答案eq\r（2）－217．如果cosα＝eq\f(1,5),且α是第四象限的角,那么cos（α＋eq\f（3π,2）)＝________．答案－eq\f（2\r(6）,5）解析∵cosα＝eq\f(1，5），且α是第四象限角，∴sinα＝－eq\r(1－cos2α）＝－eq\f（2\r（6），5)?！郼os（α＋eq\f（3π，2）)＝cos(π＋eq\f（π，2）＋α）＝－cos（eq\f(π，2）＋α)＝sinα＝－eq\f(2\r（6），5）.18．化簡eq\f(sin(\f(π，2）＋α）cos(\f（π，2)－α),cos（π＋α))＋eq\f(sin（π－α）cos（\f(π,2）＋α)，sin（π＋α)）.解析原式＝eq\f(cosα·sinα，－cosα)＋eq\f(sinα（－sinα），－sinα)＝－sinα＋sinα＝0.1．△ABC中，若sin（A＋B－C）＝sin(A－B＋C），則△ABC必是（)A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形答案C解析要判斷△ABC中,A＋B－C，A－B＋C都在(－π，π）之間，又由題設(shè)sin（A＋B－C）＝sin(A－B＋C),∴A＋B－C，A－B＋C∈(0，π）．故A＋B－C＝A－B＋C或A＋B－C＝π－(A－B＋C）得:B＝C或A＝eq\f(π，2).∴△ABC為等腰三角形或直角三角形，即選C。探究（1）確定A＋B－C，A－B＋C在(0，π)內(nèi)也是一個關(guān)鍵．（2）不能簡單的由sinα＝sinβ得出α＝β，α，β∈（0，π)．應(yīng)有α＝β或α＋β＝π。2．設(shè)f（x）＝asin(πx＋θ)＋bcos（πx＋θ）,其中a，b，θ為非零實數(shù)．若f（2008）＝－1，求f(2009）的值．答案13．化簡：eq\f（tan（3π－α)，sin（π－α）sin（\f（3,2)π－α））＋eq\f(sin(2π－α）cos(α－\f（7,2)π）,sin（\f（3,2）π＋α)cos（2π＋α）)。解析tan(3π－α）＝－tanα，sin(π－α)＝sinα,sin（2π－α)＝－sinα，cos(2π＋α）＝cosα,sin（eq\f(3，2)π－α)＝－cosα，cos(α－eq\f(7，2）π)＝cos(eq\f(7，2)π－α)＝cos(4π－eq\f(π，2)－α)＝cos(eq\f(π，2）＋α）＝－sinα，sin（eq\f(3,2）π＋α）＝－cosα，所以,原式＝eq\f(－tanα，sinα·（－cosα)）＋eq\f(－sinα·（－sinα），－cosα·cosα）＝eq\f(1－sin2α,cos2α）＝eq\f(cos2α,cos2α)＝1.4．已知cos(15°＋α）＝eq\f(3,5)，α為銳角，求eq\f(tan（435°－α)＋sin（α－165°),cos(195°＋α）sin(105°＋α）)的值．解析∵原式＝eq\f（tan[（75°－α）＋360°］＋sin[（15°＋α)－180°],cos［180°＋（15°＋α)]·sin[180°－（75°－α)］）＝eq\f(tan(75°－α)－sin（15°＋α）,－cos（15°＋α）·sin（75°－α）），∵cos（15°＋α)＝eq\f（3,5），α為銳角，又（15°＋α)＋(75°－α）＝90°，可得15°＋α，75°－α均為銳角,∴sin(15°＋α）＝eq\f(4，5），sin（75°－α)＝eq\f（3,5），tan(75°－α)＝eq\f(3，4)，故原式＝eq\f（\f（3，4)－\f(4,5）,（－\f（3,5)）×\f（3，5）)＝eq\f(5，36)。5．在△ABC中，若sin(2π－A)＝－eq\r(2)sin(π－B），eq\r(3)cosA＝－eq\r(2）cos（π－B），求△ABC的三個內(nèi)角．解析由已知得sinA＝eq\r（2）sinB,eq\r(3）cosA＝eq\r（2）cosB，兩等式平方相加,得2cos2A＝1，cosA＝±eq\f(\r(2),2）。若cosA＝－eq\f（\r（2),2)，則cosB＝－eq\f(\r（3)，2)，此時，∠A,∠B都為鈍角，不合題意．若cosA＝eq\f（\r（2）,2),則cosB＝eq\f(\r（3），2）.∴∠A＝eq\f(π,4），∠B＝