《金融衍生工具(第四版)》第14章二叉樹期權(quán)定價(jià)

1金融衍生工具第十四章第十四章二叉樹期權(quán)定價(jià)2金融衍生工具第十四章引言

二叉樹期權(quán)定價(jià)模型，即通過假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從二項(xiàng)式分布(binominaldistribution）并基于此構(gòu)建包含標(biāo)的資產(chǎn)及期權(quán)頭寸的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合來確定期權(quán)價(jià)格的方法。3金融衍生工具第十四章第一節(jié)單時段二叉樹定價(jià)模型

二叉樹模型的假設(shè)：資本市場是完全競爭和無摩擦的（不存在交易費(fèi)用和稅收）不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會股票和期權(quán)是無限可分的股票期末價(jià)格只有兩種可能，要么上升要么下跌。4金融衍生工具第十四章1.1計(jì)算期權(quán)的價(jià)格——一個實(shí)例[例14-1]假設(shè)一種股票當(dāng)前價(jià)格為100元，三個月為一期，且已知3個月后的價(jià)格可能為120元或者80元。假設(shè)股票不支付紅利，無風(fēng)險(xiǎn)年利率為12%（連續(xù)復(fù)利），我們要對一個3個月后可以以110元的執(zhí)行價(jià)格買入股票的歐式看漲期權(quán)進(jìn)行定價(jià)。若到期股票價(jià)格為120元，則期權(quán)的價(jià)值將是10元；若股票價(jià)格為80元，則期權(quán)的價(jià)值將是0。如圖14.1所示：根據(jù)模型假設(shè)市場中不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會，因此投資者無法利用期權(quán)和股票組合來套利，也就是說我們可以利用期權(quán)和股票來構(gòu)造一個無風(fēng)險(xiǎn)證券組合，使其在3個月后的價(jià)值是確定的。5金融衍生工具第十四章1.1計(jì)算期權(quán)的價(jià)格——一個實(shí)例考慮這樣一種有價(jià)證券組合——包含一個△股股票多頭和一個看漲期權(quán)的空頭，則該證券組合到期的總收益為：有：120△-10=80△解得△=0.25無論股票價(jià)格是上升還是下降，期權(quán)到期時組合的價(jià)值總20元。而我們假設(shè)對投資者而言不存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會，故這個無風(fēng)險(xiǎn)證券組合的收益率必定為無風(fēng)險(xiǎn)利率解得f=5.6，即期權(quán)的當(dāng)期價(jià)格為5.6元。6金融衍生工具第十四章1.2合成期權(quán)（組合復(fù)制法）考慮如下兩個投資組合：投資組合A：買入一單位股票的看漲期權(quán)，成本為f，執(zhí)行價(jià)格為X投資組合B：買入△股股票，同時以無風(fēng)險(xiǎn)利率借入Ｂ的現(xiàn)值（賣空為面值B的債券）如果我們要用投資組合B來復(fù)制期權(quán)，則投資組合A和B的損益應(yīng)相同：當(dāng)股價(jià)上升時有：

120△－Ｂ＝10

當(dāng)股價(jià)下跌時有：

80△－B＝0所以△=0.25，

B=20因?yàn)橥顿Y組合A和B的收益相同，所以成本也應(yīng)該一樣。故：，和前者一樣。7金融衍生工具第十四章1.3錯誤定價(jià)的套利期權(quán)被過高定價(jià)：假設(shè)市場上該期權(quán)的價(jià)格為8元，此時我們可以通過出一個期權(quán)的同時，買入0.25股股票并以無風(fēng)險(xiǎn)利率借款19.4元。此時我們的現(xiàn)金流為：8元

-0.25100元

+19.4元

=2.4元其中8元為賣出一個期權(quán)所獲收益，0.25100元為買入股票的成本，19.4元為無風(fēng)險(xiǎn)利率的借款。我們的凈收益2.4元恰好為期權(quán)的理論價(jià)格與市場價(jià)格之間的差異。到期時，我們的損益如下表所示：8金融衍生工具第十四章1.4定價(jià)公式的一般形式假設(shè)一個無紅利支付的股票的當(dāng)前價(jià)格為S，無風(fēng)險(xiǎn)年利率為r（連續(xù)復(fù)利），該股票的一個執(zhí)行價(jià)格為X的期權(quán)的當(dāng)前價(jià)格為f，期權(quán)的有效期為T。根據(jù)假設(shè)在期末時股票價(jià)格要么上漲到Su，上升的比率為u1，此時期權(quán)價(jià)值即期權(quán)收益為

，要么以下跌到Sd，下跌的比率為1-d，此時期權(quán)價(jià)值即期權(quán)收益為

。如圖14.2所示：9金融衍生工具第十四章第二節(jié)風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原則風(fēng)險(xiǎn)中性概率：期權(quán)的價(jià)格：10金融衍生工具第十四章第三節(jié)多期二叉樹定價(jià)假設(shè)股票現(xiàn)在的價(jià)格為100元，不支付紅利，以三個月為一期，三個月內(nèi)股價(jià)可能上漲到原來的1.2倍也可能下跌到原來的0.8倍，無風(fēng)險(xiǎn)利率為12%（連續(xù)復(fù)利），試求6個月后到期的執(zhí)行價(jià)格為110元的歐式看跌期權(quán)價(jià)格。如下圖所示：11金融衍生工具第十四章第三節(jié)多期二叉樹定價(jià)單時段二叉樹模型或兩期二叉樹模型都存在一個很大的缺陷：期權(quán)到期時股票的價(jià)格只有兩個或三個不同的值，這顯然是與現(xiàn)實(shí)不相符的。這樣利用單時段或者兩期二叉樹定價(jià)模型計(jì)算出來的期權(quán)價(jià)格可能并不精確。為了解決這個問題，我們將引入多時段二叉樹定價(jià)模型，即將期權(quán)的期限劃分為更多的時段。如下圖所示：12金融衍生工具第十四章第四節(jié)二叉樹與美式期權(quán)定價(jià)由于美式期權(quán)可能提前行權(quán)，因此在每個結(jié)點(diǎn)我們要決定是否提前行權(quán)：在不支付紅利的情況下，美式看漲期權(quán)實(shí)質(zhì)上與歐式看漲期權(quán)一致。我們可以從看漲期權(quán)的價(jià)值角度來分析，看漲期權(quán)的價(jià)格可以被分解為內(nèi)在價(jià)值(Intrinsicvalue)和時間價(jià)值(Timevalue)兩個部分。所謂內(nèi)在價(jià)值，即max(S－X,0)，它是期權(quán)立即執(zhí)行所獲得的收益；而時間價(jià)值是期權(quán)價(jià)格高于其內(nèi)在價(jià)值的部分。13金融衍生工具第十四章第五節(jié)紅利與二叉樹定價(jià)當(dāng)股票支付紅利時，二叉樹會變得相當(dāng)復(fù)雜。為了簡化問題，我們假定股票有一個連續(xù)的股利收益率

，這些股利被繼續(xù)投資到股票中。對應(yīng)的期權(quán)計(jì)算公式為：對應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)中性概率為：14金融衍生工具第十四章第五節(jié)股利與二叉樹定價(jià)現(xiàn)實(shí)中紅利的支付往往不是連續(xù)的，因此我們要進(jìn)一步放松連續(xù)股利支付的假設(shè)。假定在未來某一確定的時間將支付一次紅利，且已知紅利與股票價(jià)格之比為

。將期權(quán)的期限T劃分為n個時段，每個時段長為

，則n=T/。如果第i時刻在除息日之后（i=1，2，…，n），那么該結(jié)點(diǎn)的股票價(jià)格為，其中j=0,1,…,i。例如在第二個結(jié)點(diǎn)前支付的一次紅利，此時二叉樹的結(jié)構(gòu)如下圖所示：15金融衍生工具第十四章第五節(jié)股利與二叉樹定價(jià)16金融衍生工具第十四章第六節(jié)股票價(jià)格分布與二叉樹參數(shù)

隨機(jī)漫步假說令

定義為在第i個時間段末的股票價(jià)格，則第i個時間間隔內(nèi)股票的連續(xù)復(fù)利回報(bào)率為：17第六節(jié)股票價(jià)格分布與二叉樹參數(shù)現(xiàn)實(shí)中要給期權(quán)定價(jià)，首先要構(gòu)造二叉樹。二叉股票樹的參數(shù)包括：S價(jià)格T期權(quán)期限X執(zhí)行價(jià)格時間間隔長度

N二叉樹的期數(shù)股票價(jià)格波動率金融衍生工具第十四章18第六節(jié)股票價(jià)格分布與二叉樹參數(shù)金融衍生工具第十四章其中，股票市價(jià)S、期權(quán)期限T、執(zhí)行價(jià)格X都是已知的。二叉樹的期數(shù)N的設(shè)定一般依靠做市商的經(jīng)驗(yàn)，通常來說超過30個時段的二叉樹的計(jì)算將變得很復(fù)雜，一般來說20個時段是一個比較好的選擇。同時，確定結(jié)點(diǎn)的時候要盡量使公司出現(xiàn)大事的日子成為結(jié)點(diǎn)，例如公司上市，送股以及分紅派息等，這樣有利于二叉樹圖更好的模擬股票的價(jià)格分布。由公式

我們可以計(jì)算出在一個時間間隔

內(nèi)股票價(jià)格的變動率u和d，這樣我們就可以構(gòu)造出相應(yīng)的二叉樹來給期權(quán)定價(jià)。19第七節(jié)波動性估計(jì)金融衍生工具第十四章股票價(jià)格的波動率

是股票年度連續(xù)復(fù)利回率的標(biāo)準(zhǔn)差，通常用來衡量股票收益的不確定性。典型的股票的波動率介于0.2和0.4之間。由于現(xiàn)實(shí)中我們無法直接從股價(jià)變動中觀察出波動率，一種常用的估計(jì)方法是利用股票的歷史連續(xù)復(fù)利回報(bào)率的標(biāo)準(zhǔn)差來度量

。從股票的歷史回報(bào)中計(jì)算出來的

稱為歷史波動率。20第七節(jié)波動性估計(jì)金融衍生工具第十四章歷史波動率并不等同于未來波動率，能用歷史波動率波動來估計(jì)未來股價(jià)的波動性是建立在股票的連續(xù)復(fù)利回報(bào)率是獨(dú)立同分布的假設(shè)之上的，舉例來說，若股票的連續(xù)復(fù)利回報(bào)率正如上節(jié)中所提到的那樣，是隨機(jī)行走