2025屆四川省成都市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省成都市2025屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.若集合且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意可知是的交集，故，故選：A2.下面是不同成對數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，從左到右對應(yīng)的樣本相關(guān)系數(shù)是，其中最小的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由散點(diǎn)圖變化趨勢可知，由第二組散點(diǎn)圖更為集中，更接近于一條直線，所以，故相關(guān)系數(shù)最小的為.故選：B3.等比數(shù)列中，若，則的公比為（）A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，則，即，解得.故選：D.4.若圓與圓相交于、，則所在直線方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)閳A與圓相交于、，將這兩圓方程作差可得，因此，直線的方程為.故選：A.5.已知隨機(jī)變量，若其對應(yīng)的正態(tài)密度函數(shù)滿足，且，則（）A.0.8 B.0.5 C.0.4 D.0.1【答案】C【解析】由，則正態(tài)密度函數(shù)關(guān)于對稱，即，則.故選：C.6.空間四點(diǎn)共面但不共線，那么這四點(diǎn)中A.必有三點(diǎn)共線 B.必有三點(diǎn)不共線C.至少有三點(diǎn)共線 D.不可能有三點(diǎn)共線【答案】B【解析】若，則共面，但任何三點(diǎn)都不共線，故排除A，C；若直線與直線外一點(diǎn)A在同一平面內(nèi)，且三點(diǎn)在直線上，則可排除D.故選B.7.若數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，則（）A.既無最大值，又無最小值 B.當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值C.當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值 D.，【答案】D【解析】因?yàn)閿?shù)列、均為遞增數(shù)列，所以，數(shù)列為遞增數(shù)列，因?yàn)?，，故?dāng)時，；當(dāng)時，.無最大值，但有最小值，且最小值為、，即.所以，D對，ABC均錯.故選：D.8.如圖，畫在紙面上的拋物線過焦點(diǎn)F的弦長為9，則沿x軸將紙面折成平面角為60度的二面角后，空間中線段的長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，設(shè)直線為，Ax1,y聯(lián)立與可得，則，則，故，解得，故，解得，故，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，過作平面于，過作于，連接，由于軸，且軸，，故軸平面，平面，故軸，則由于在直角坐標(biāo)系中，故，因此在直角三角形中，，因此在空間直角坐標(biāo)系中，，故，故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求；全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若，則一定有（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】對于選項(xiàng)A：當(dāng)時，選項(xiàng)A錯誤；對于選項(xiàng)B：用作差法，又，，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C：當(dāng)時，利用糖水不等式即可得到C不正確；對于選項(xiàng)D：用作差法，，所以選項(xiàng)D正確.故選：BD.10.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別為，其中O為原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】ABC【解析】由題意可得，對于A,，則，故A正確，對于B，時，，則因此，故B正確，對于C，時，則，C正確，對于D，時，則，則,故D錯誤，故選：ABC．11.時鐘是伴隨我們?nèi)粘Ｉ畹谋匾锲?下面關(guān)于它的說法，正確的有（）A.一天24小時內(nèi)時針和分針重合22次（第一天零點(diǎn)算第一次重合，第二天零點(diǎn)不再重復(fù)算）B.零點(diǎn)時針和分針?biāo)愕谝淮沃睾希瑒t第六次重合時大約在早上5點(diǎn)27分到5點(diǎn)28分之間C.設(shè)分針長度為10厘米，分別以分針指向表盤讀數(shù)12和3的方向?yàn)閥軸正半軸和x軸正半軸方向建立平面直角坐標(biāo)系，以某天零點(diǎn)開始記（單位：分鐘），若時鐘正常工作，則在這之后，分針終點(diǎn)橫坐標(biāo)（單位：厘米）D.設(shè)下午5點(diǎn)20分時，時針和分針?biāo)傻匿J角為，則【答案】ABD【解析】對于A，由時針每小時轉(zhuǎn)動，則時針的角速度為每小時，由分針每小時轉(zhuǎn)動，則分針的角速度為每小時，由零點(diǎn)時針與分針重合開始，設(shè)經(jīng)過時間小時后再重合，則，，解得，由題意中記一天之內(nèi)，則可得，解得，當(dāng)時，時針與分針重合在一天的開始，零點(diǎn)時刻；當(dāng)時，，時針與分針重合在下一天的開始，時刻，由題意應(yīng)舍去.綜上可得，，所以一共重合次，故A正確；對于B，由A可知，當(dāng)時，符合題意，即，故B正確；對于C，由分針每小時轉(zhuǎn)動，則每分鐘轉(zhuǎn)動，則分針的角速度為每分鐘，所以隨著時鐘的正常工作，分針與軸的夾角為，易知分針與軸的夾角為，可得分針終點(diǎn)的橫坐標(biāo)，故C錯誤；對于D，由A可知時針的角速度為每小時，分針的角速度為每小時，由，時針轉(zhuǎn)動的角度為，分針轉(zhuǎn)動的角度為，可得，由，則，令，求導(dǎo)可得恒成立，則為減函數(shù)，由，則當(dāng)時，，所以；，可得；由，則，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則___________.【答案】【解析】因?yàn)?故答案為：.13.若是夾角為的兩個單位向量，則與的夾角為___________.【答案】【解析】因?yàn)槭菉A角為的兩個單位向量，所以，所以，則與的夾角為.故答案為：.14.與函數(shù)的解析式和值域相同，定義域不同的函數(shù)有___________個.【答案】【解析】由題意知，令，解得或；令，整理可得，解得或；令，整理可得，解得或；設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，則，若定義域有三個元素時：；若定義域有四個元素時；；若定義域有五個元素時；；若定義域有六個元素時；；若定義域有7個元素時.；所以解析式和值域相同，定義域不同的函數(shù)有.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c．已知．（1）求角C的值；（2）若，，求的面積．解：（1）在中，由及正弦定理，得，而，，則，又，所以.（2）在中，由余弦定理得，而，因此，又，解得，所以的面積．16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求圖象在1,f1處的切線方程；（2）若函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）當(dāng)時，，，，，，所以的圖象在處的切線方程為：.（2），若函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增，則f'x≥0即對于x∈1,+∞令，當(dāng)時，，則函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增，所以，故.17.已知三棱錐中，與底面所成角相等，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在上且截面.（1）求證：平面；（2）求直線到平面的距離.解：（1）證明：與底面成相等角，設(shè)點(diǎn)在平面上射影為，則有，∴且，∴是的外心.是直角三角形，且是斜邊的中點(diǎn)，∴點(diǎn)和點(diǎn)重合，∴平面.（2）法一：由（1）平面，平面，則，又，，平面，∴平面，又平面，則①.且，又，也是等腰直角三角形，，，截面，過的平面與平面交于，，則②，由①②，都在面內(nèi)，則平面，∴點(diǎn)到平面的距離即，，且由知是中點(diǎn)，∴.點(diǎn)到平面的距離為.∴平面，∴到平面的距離即為點(diǎn)到面的距離，即為.法二：截面，過的平面與平面交于，∴，是中點(diǎn)，則是中點(diǎn)，故，由（1）平面，又平面，∴，又，，平面，∴平面，平面，，且，，∵，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，平面，所以點(diǎn)到平面的距離為，設(shè)點(diǎn)到面距離為，，∴，故，∵平面，∴到平面的距離即為C點(diǎn)到面的距離，即為.18.已知無窮數(shù)列滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）樹德中學(xué)各班將要舉行“辭2024舊歲，迎2025新年”的主題活動，要求有一些含學(xué)科元素的游戲或節(jié)目.某班數(shù)學(xué)科代表想用這個數(shù)列，組織如下游戲：讓參與同學(xué)在數(shù)列中隨機(jī)抽取10項(xiàng)，如果在這10項(xiàng)中，至少有k項(xiàng)的值能被2025整除，則這個同學(xué)即中獎并得到小禮物（此構(gòu)想由信息科代表協(xié)助編程完成，即抽取項(xiàng)的序號可由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，抽取項(xiàng)的值能否被2025整除也由計(jì)算機(jī)來判斷，游戲時同學(xué)只需要按一次鍵即可知道抽取和判斷結(jié)果），（i）設(shè)隨機(jī)變量表示抽取項(xiàng)中能被2025整除的項(xiàng)的個數(shù)，求；（ii）本著開心迎新年的原則，若要中獎概率大于90%，那么規(guī)定是否合理，若合理，請說明理由；若不合理，請給出一個合理的k取值方案.解：（1）由，得，而，即，則數(shù)列是首項(xiàng)為2024，公比為2024的等比數(shù)列，又，所以的通項(xiàng)公式.（2）（i）由二項(xiàng)式定理，，要能被2025整除，需，則為正奇數(shù)，且是無窮數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)一樣多，因此隨機(jī)抽取一項(xiàng)能被2025整除的概率是，且每次抽取相互獨(dú)立，，所以.（ii）設(shè)中獎概率為，則，所以規(guī)定合理.19.我們可以通過將平面直角坐標(biāo)三角換元得到平面內(nèi)一點(diǎn)繞坐標(biāo)原點(diǎn)O的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)公式：如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)Px,y，設(shè)，角始邊在x軸非負(fù)半軸，終邊與重合，則可得，將繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)后，P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到.（1）求證：；（2）已知曲線C是函數(shù)的圖象，它是某雙曲線繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)后得到的，求C的離心率；（3）已知曲線是由某橢圓繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)后所的斜橢圓，過點(diǎn)作與兩坐標(biāo)軸都不平行的直線交曲線E于點(diǎn)M、N，過原點(diǎn)O作直線與直線垂直，直線交曲線E于點(diǎn)G、H，判斷是否為定值，若是，請求出定值，若不是，請說明理由.解：（1）證明：經(jīng)過逆時針旋轉(zhuǎn)到后，角終邊與重合，所以，，得證.（2）法一：直接求離心率（抓住離心率與漸近線夾角即雙曲線開口寬闊程度相關(guān)的本質(zhì)）易知曲線C的漸近線是與y軸，它們夾角為，順時針旋轉(zhuǎn)回去后兩漸近線夾角仍為，設(shè)曲線C的離心率為e，則.法二：先求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，再求離心率（軌跡思想，旋轉(zhuǎn)不改變形狀）設(shè)曲線C上一點(diǎn)為，逆時針旋轉(zhuǎn)后的點(diǎn)在的圖象上，由（1）知：，若將以上坐標(biāo)代入得，即，化簡即得曲線C的方程：，由于旋轉(zhuǎn)不改變形狀，所以曲線C的離心率為.（3）法一：先求標(biāo)準(zhǔn)橢圓方程由與交點(diǎn)為和，則，由與交點(diǎn)為和，則，所以.從而可得橢圓方程為，點(diǎn)Q旋轉(zhuǎn)后坐標(biāo)為，當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)后斜率不存時，，當(dāng)直線旋轉(zhuǎn)后斜率存在時，設(shè)直線旋轉(zhuǎn)后為，旋轉(zhuǎn)后，與橢圓方程聯(lián)立，即，可得，，，設(shè)直線旋轉(zhuǎn)后為，代入橢圓方程中，有，.法二：不求標(biāo)準(zhǔn)橢圓方程，直接從斜橢圓入手.設(shè)直線，與斜橢圓聯(lián)立：有，，設(shè)直線，代入斜橢圓，有，，故.四川省成都市2025屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.若集合且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意可知是的交集，故，故選：A2.下面是不同成對數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，從左到右對應(yīng)的樣本相關(guān)系數(shù)是，其中最小的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由散點(diǎn)圖變化趨勢可知，由第二組散點(diǎn)圖更為集中，更接近于一條直線，所以，故相關(guān)系數(shù)最小的為.故選：B3.等比數(shù)列中，若，則的公比為（）A. B. C.2 D.4【答案】D【解析】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，則，即，解得.故選：D.4.若圓與圓相交于、，則所在直線方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)閳A與圓相交于、，將這兩圓方程作差可得，因此，直線的方程為.故選：A.5.已知隨機(jī)變量，若其對應(yīng)的正態(tài)密度函數(shù)滿足，且，則（）A.0.8 B.0.5 C.0.4 D.0.1【答案】C【解析】由，則正態(tài)密度函數(shù)關(guān)于對稱，即，則.故選：C.6.空間四點(diǎn)共面但不共線，那么這四點(diǎn)中A.必有三點(diǎn)共線 B.必有三點(diǎn)不共線C.至少有三點(diǎn)共線 D.不可能有三點(diǎn)共線【答案】B【解析】若，則共面，但任何三點(diǎn)都不共線，故排除A，C；若直線與直線外一點(diǎn)A在同一平面內(nèi)，且三點(diǎn)在直線上，則可排除D.故選B.7.若數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，則（）A.既無最大值，又無最小值 B.當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值C.當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值 D.，【答案】D【解析】因?yàn)閿?shù)列、均為遞增數(shù)列，所以，數(shù)列為遞增數(shù)列，因?yàn)?，，故?dāng)時，；當(dāng)時，.無最大值，但有最小值，且最小值為、，即.所以，D對，ABC均錯.故選：D.8.如圖，畫在紙面上的拋物線過焦點(diǎn)F的弦長為9，則沿x軸將紙面折成平面角為60度的二面角后，空間中線段的長為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，設(shè)直線為，Ax1,y聯(lián)立與可得，則，則，故，解得，故，解得，故，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，過作平面于，過作于，連接，由于軸，且軸，，故軸平面，平面，故軸，則由于在直角坐標(biāo)系中，故，因此在直角三角形中，，因此在空間直角坐標(biāo)系中，，故，故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求；全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若，則一定有（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】對于選項(xiàng)A：當(dāng)時，選項(xiàng)A錯誤；對于選項(xiàng)B：用作差法，又，，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C：當(dāng)時，利用糖水不等式即可得到C不正確；對于選項(xiàng)D：用作差法，，所以選項(xiàng)D正確.故選：BD.10.已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量分別為，其中O為原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】ABC【解析】由題意可得，對于A,，則，故A正確，對于B，時，，則因此，故B正確，對于C，時，則，C正確，對于D，時，則，則,故D錯誤，故選：ABC．11.時鐘是伴隨我們?nèi)粘Ｉ畹谋匾锲?下面關(guān)于它的說法，正確的有（）A.一天24小時內(nèi)時針和分針重合22次（第一天零點(diǎn)算第一次重合，第二天零點(diǎn)不再重復(fù)算）B.零點(diǎn)時針和分針?biāo)愕谝淮沃睾?，則第六次重合時大約在早上5點(diǎn)27分到5點(diǎn)28分之間C.設(shè)分針長度為10厘米，分別以分針指向表盤讀數(shù)12和3的方向?yàn)閥軸正半軸和x軸正半軸方向建立平面直角坐標(biāo)系，以某天零點(diǎn)開始記（單位：分鐘），若時鐘正常工作，則在這之后，分針終點(diǎn)橫坐標(biāo)（單位：厘米）D.設(shè)下午5點(diǎn)20分時，時針和分針?biāo)傻匿J角為，則【答案】ABD【解析】對于A，由時針每小時轉(zhuǎn)動，則時針的角速度為每小時，由分針每小時轉(zhuǎn)動，則分針的角速度為每小時，由零點(diǎn)時針與分針重合開始，設(shè)經(jīng)過時間小時后再重合，則，，解得，由題意中記一天之內(nèi)，則可得，解得，當(dāng)時，時針與分針重合在一天的開始，零點(diǎn)時刻；當(dāng)時，，時針與分針重合在下一天的開始，時刻，由題意應(yīng)舍去.綜上可得，，所以一共重合次，故A正確；對于B，由A可知，當(dāng)時，符合題意，即，故B正確；對于C，由分針每小時轉(zhuǎn)動，則每分鐘轉(zhuǎn)動，則分針的角速度為每分鐘，所以隨著時鐘的正常工作，分針與軸的夾角為，易知分針與軸的夾角為，可得分針終點(diǎn)的橫坐標(biāo)，故C錯誤；對于D，由A可知時針的角速度為每小時，分針的角速度為每小時，由，時針轉(zhuǎn)動的角度為，分針轉(zhuǎn)動的角度為，可得，由，則，令，求導(dǎo)可得恒成立，則為減函數(shù)，由，則當(dāng)時，，所以；，可得；由，則，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則___________.【答案】【解析】因?yàn)?故答案為：.13.若是夾角為的兩個單位向量，則與的夾角為___________.【答案】【解析】因?yàn)槭菉A角為的兩個單位向量，所以，所以，則與的夾角為.故答案為：.14.與函數(shù)的解析式和值域相同，定義域不同的函數(shù)有___________個.【答案】【解析】由題意知，令，解得或；令，整理可得，解得或；令，整理可得，解得或；設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，則，若定義域有三個元素時：；若定義域有四個元素時；；若定義域有五個元素時；；若定義域有六個元素時；；若定義域有7個元素時.；所以解析式和值域相同，定義域不同的函數(shù)有.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c．已知．（1）求角C的值；（2）若，，求的面積．解：（1）在中，由及正弦定理，得，而，，則，又，所以.（2）在中，由余弦定理得，而，因此，又，解得，所以的面積．16.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求圖象在1,f1處的切線方程；（2）若函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：（1）當(dāng)時，，，，，，所以的圖象在處的切線方程為：.（2），若函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增，則f'x≥0即對于x∈1,+∞令，當(dāng)時，，則函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增，所以，故.17.已知三棱錐中，與底面所成角相等，，為中點(diǎn)，點(diǎn)在上且截面.（1）求證：平面；（2）求直線到平面的距離.解：（1）證明：與底面成相等角，設(shè)點(diǎn)在平面上射影為，則有，∴且，∴是的外心.是直角三角形，且是斜邊的中點(diǎn)，∴點(diǎn)和點(diǎn)重合，∴平面.（2）法一：由（1）平面，平面，則，又，，平面，∴平面，又平面，則①.且，又，也是等腰直角三角形，，，截面，過的平面與平面交于，，則②，由①②，都在面內(nèi)，則平面，∴點(diǎn)到平面的距離即，，且由知是中點(diǎn)，∴.點(diǎn)到平面的距離為.∴平面，∴到平面的距離即為點(diǎn)到面的距離，即為.法二：截面，過的平面與平面交于，∴，是中點(diǎn)，則是中點(diǎn)，故，由（1）平面，又平面，∴，又，，平面，∴平面，平面，，且，，∵，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，平面，所以點(diǎn)到平面的距離為，設(shè)點(diǎn)到面距離為，，∴，故，∵平面，∴到平面的距離即為C點(diǎn)到面的距離，即為.18.已知無窮數(shù)列滿足.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）樹德中學(xué)各班將要舉行“辭2024舊歲，迎2025新年”的主題活動，要求有一些含學(xué)科元素的游戲或節(jié)目.某班數(shù)學(xué)科代表想用這個數(shù)列，組織如下游戲：讓參與同學(xué)在數(shù)列中隨機(jī)抽取10項(xiàng)，如果在這10項(xiàng)中，至少有k項(xiàng)的值能被2025整除，則這個同學(xué)即中獎并得到小禮物（此構(gòu)想由信息科代表協(xié)助編程完成，即抽取項(xiàng)的序號可由計(jì)算機(jī)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，抽取項(xiàng)的值能否被2025整除也由計(jì)算機(jī)來判斷，游戲時同學(xué)只需要按一次鍵即可知道抽取和判斷結(jié)果），（i）設(shè)隨機(jī)變量表示抽取項(xiàng)中能被2025整除的項(xiàng)的個數(shù)，求；（ii）本著開心迎新年的原則，若要中獎概率大于90%，那么規(guī)定是否合理，若合理，請說明理由；若不合理，請給出一個合理的k取