2025屆天津市河西區(qū)高三上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市河西區(qū)2025屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試卷本試卷分為第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘.第I卷1至3頁，第Ⅱ卷4至8頁.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼.答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.祝各位考生考試順利!第I卷注意事項(xiàng)：1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).2.本卷共9小題，每小題5分，共45分.參考公式：錐體的體積公式，其中表示錐體的底面面積，表示錐體的高.一?選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C2.已知曲線，則“”是“曲線表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】曲線表示橢圓，則，解得，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B3.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，即，，即，，所以.故選：D4.某中學(xué)組織高中學(xué)生參加數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100名學(xué)生成績(jī)頻率分布直方圖如圖所示，則這組樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（）A.85 B.86 C.87 D.88【答案】C【解析】由題意可得，解得，所以前兩組的頻率和為，前三組的頻率和為，設(shè)這組樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，則，解得.故選：C5.已知函數(shù)為奇函數(shù)，一個(gè)周期為，則解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對(duì)于A，，，此時(shí)函數(shù)是奇函數(shù)，又最小正周期，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以不是的周期，故B不正確；對(duì)于C，，，此時(shí)函數(shù)是偶函數(shù)，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期，所以不是的周期，故D不正確；故選：A.6.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列說法中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】A：若，則、可能平行或相交，故A錯(cuò)；B：若，則或，故B錯(cuò)；C：若，則或，故C錯(cuò)；D：若，則存在直線，使得，又，所以，所以.故D對(duì).故選：D7.已知函數(shù)的定義域?yàn)槭桥己瘮?shù)，是奇函數(shù)，則（）A.2 B. C.3 D.【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，兩式聯(lián)立，解得，所以，故選：C8.已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)為為上一點(diǎn)，過點(diǎn)向的兩條漸近線作垂線，垂足分別為，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意得，解得，雙曲線漸近線方程為，即，設(shè)點(diǎn)，則，即，則到兩漸近線方程的距離分別為，所以，解得，故雙曲線方程為.故選：A9.如圖，在體積為的三棱錐中，分別為棱上的點(diǎn)，且，記為平面的交點(diǎn)，記三棱錐的體積為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，，連接，，易知平面平面，平面平面，顯然，，，在中，設(shè)，，，，由平面向量基本定理得：，解得，即，；在中，設(shè)，，，，由平面向量基本定理得：，解得，即，；則在中，，，則，設(shè)點(diǎn)到底面的距離分別為，則，，，則，故選：C.第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.2.本卷共11小題，共105分.二?填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分.10.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則__________.【答案】【解析】由，則.故答案為：11.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為__________.【答案】【解析】的展開式通項(xiàng)公式為，令，得，故.故答案為：12.已知點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)作圓的切線，若切線長(zhǎng)為，則點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為__________.【答案】【解析】設(shè)，由切線定義可得，化簡(jiǎn)得，即，則，拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，由拋物線定義可得點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離等于，即點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為.故答案為：.13.甲袋中有2個(gè)白球4個(gè)黑球，乙袋中有4個(gè)白球2個(gè)黑球.若從兩個(gè)袋中分別隨機(jī)各取出一個(gè)球，則取出的是兩個(gè)白球的概率是__________；若先從甲袋中隨機(jī)取出一球放入乙袋，再從乙袋中隨機(jī)取出一球，則取出的是白球的概率是__________.【答案】①.②.【解析】設(shè)從甲袋取出白球?yàn)槭录嗀，再從乙袋取出白球?yàn)槭录﨎，若從兩個(gè)袋中分別隨機(jī)各取出一個(gè)球，則取出的是兩個(gè)白球?yàn)槭录t，.；設(shè)“從甲袋中取出的一個(gè)球?yàn)榘浊颉保皬募状腥〕龅囊粋€(gè)球?yàn)楹谇颉?，“從乙袋中取出的一個(gè)球?yàn)榘浊颉?，根?jù)全概率公式則有.故答案為：；.14.在中，為的中點(diǎn)，是以為圓心，為半徑的圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段過點(diǎn)，則可用表示為_______；的最小值為__________.【答案】①.②.【解析】由，則，由線段過點(diǎn)，則，且，又，，則，即，，則；，由，故.故答案為：；.15.若函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則符合條件的的個(gè)數(shù)為__________.【答案】5【解析】令，則或，由，當(dāng)時(shí)，在上沒有零點(diǎn)，則在上應(yīng)有3個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)椋?，即，與聯(lián)立得，因?yàn)?，所以m的值依次為9，10；當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)，而在上有3個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，在上有2個(gè)零點(diǎn)，故在上應(yīng)有1個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，所以該零點(diǎn)與的零點(diǎn)不相同，所以，即，與聯(lián)立得，因?yàn)椋缘娜≈狄来螢?，3，4，綜上得符合條件的的個(gè)數(shù)是5．故答案是：5．三?解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知.（1）求角的大?。唬?）設(shè).（i）求的值；（ii）求的值.解：（1）在中，由及正弦定理，得，即，則，由，得，又，所以.（2）（i）由（1）及余弦定理，得，整理得，而，解得，所以.（ii）由正弦定理，得，由，得，則，因此，所以.17.如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形是直角梯形，，點(diǎn)在平面上的投影為線段的中點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.（1）證明：點(diǎn)在平面上的投影為線段的中點(diǎn)平面，四邊形是直角梯形，，，且，如圖，以為原點(diǎn)，分別以方向?yàn)檩S，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，則，令，故，，平面，平面.（2）解：由（1），，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，則，令，則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，，所以直線與平面所成角的正弦值為.（3）解：設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由（1），則，所以點(diǎn)到平面的距離為.18.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，且.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)斜率不為0的直線過點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)分別為直線與軸的交點(diǎn)，記的面積分別為，求的值.解：（1）由點(diǎn)在橢圓上，且，得，即，于是，解得，所以橢圓的方程為.（2）由（1）知，設(shè)直線，由消去得，，直線的方程為，令，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，同理得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，又，所以.19.已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為成等比數(shù)列，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及；（2）設(shè)，求的最小值，并求取得最小值時(shí)的值；（3）設(shè)其中，求.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，解得，故數(shù)列的通項(xiàng)公式，.（2）由（1）得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，A取得最小值.（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可知數(shù)列是等差數(shù)列，.20.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率；（2）若且函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，求的取值范圍；（3）若滿足，證明：.（1）解：當(dāng)時(shí)，，，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率為.（2）解：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)遞增函數(shù)，所以在上恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，令，所以在0,+∞上遞增，即，所以gx>0在上恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，，且在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以存在唯一使得，所以當(dāng)x∈0,x0時(shí)，在即，不符合題意；綜上所述.（3）證明：，當(dāng)時(shí)，由（2）可知是增函數(shù)，所以，設(shè)，移項(xiàng)得，由（2）知，即，所以，即，①設(shè)，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)x>1時(shí)，，即，所以，代入①式中得到即，所以，即命題得證.天津市河西區(qū)2025屆高三上學(xué)期期末質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試卷本試卷分為第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘.第I卷1至3頁，第Ⅱ卷4至8頁.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼.答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.祝各位考生考試順利!第I卷注意事項(xiàng)：1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).2.本卷共9小題，每小題5分，共45分.參考公式：錐體的體積公式，其中表示錐體的底面面積，表示錐體的高.一?選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，所?故選：C2.已知曲線，則“”是“曲線表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】曲線表示橢圓，則，解得，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B3.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，即，，即，，所以.故選：D4.某中學(xué)組織高中學(xué)生參加數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100名學(xué)生成績(jī)頻率分布直方圖如圖所示，則這組樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為（）A.85 B.86 C.87 D.88【答案】C【解析】由題意可得，解得，所以前兩組的頻率和為，前三組的頻率和為，設(shè)這組樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，則，解得.故選：C5.已知函數(shù)為奇函數(shù)，一個(gè)周期為，則解析式可能為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對(duì)于A，，，此時(shí)函數(shù)是奇函數(shù)，又最小正周期，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以不是的周期，故B不正確；對(duì)于C，，，此時(shí)函數(shù)是偶函數(shù)，故C不正確；對(duì)于D，因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期，所以不是的周期，故D不正確；故選：A.6.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列說法中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】A：若，則、可能平行或相交，故A錯(cuò)；B：若，則或，故B錯(cuò)；C：若，則或，故C錯(cuò)；D：若，則存在直線，使得，又，所以，所以.故D對(duì).故選：D7.已知函數(shù)的定義域?yàn)槭桥己瘮?shù)，是奇函數(shù)，則（）A.2 B. C.3 D.【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，兩式聯(lián)立，解得，所以，故選：C8.已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)為為上一點(diǎn)，過點(diǎn)向的兩條漸近線作垂線，垂足分別為，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意得，解得，雙曲線漸近線方程為，即，設(shè)點(diǎn)，則，即，則到兩漸近線方程的距離分別為，所以，解得，故雙曲線方程為.故選：A9.如圖，在體積為的三棱錐中，分別為棱上的點(diǎn)，且，記為平面的交點(diǎn)，記三棱錐的體積為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)，，連接，，易知平面平面，平面平面，顯然，，，在中，設(shè)，，，，由平面向量基本定理得：，解得，即，；在中，設(shè)，，，，由平面向量基本定理得：，解得，即，；則在中，，，則，設(shè)點(diǎn)到底面的距離分別為，則，，，則，故選：C.第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.2.本卷共11小題，共105分.二?填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分.10.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則__________.【答案】【解析】由，則.故答案為：11.在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為__________.【答案】【解析】的展開式通項(xiàng)公式為，令，得，故.故答案為：12.已知點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)作圓的切線，若切線長(zhǎng)為，則點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為__________.【答案】【解析】設(shè)，由切線定義可得，化簡(jiǎn)得，即，則，拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，由拋物線定義可得點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離等于，即點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為.故答案為：.13.甲袋中有2個(gè)白球4個(gè)黑球，乙袋中有4個(gè)白球2個(gè)黑球.若從兩個(gè)袋中分別隨機(jī)各取出一個(gè)球，則取出的是兩個(gè)白球的概率是__________；若先從甲袋中隨機(jī)取出一球放入乙袋，再從乙袋中隨機(jī)取出一球，則取出的是白球的概率是__________.【答案】①.②.【解析】設(shè)從甲袋取出白球?yàn)槭录嗀，再從乙袋取出白球?yàn)槭录﨎，若從兩個(gè)袋中分別隨機(jī)各取出一個(gè)球，則取出的是兩個(gè)白球?yàn)槭录t，.；設(shè)“從甲袋中取出的一個(gè)球?yàn)榘浊颉?，“從甲袋中取出的一個(gè)球?yàn)楹谇颉?，“從乙袋中取出的一個(gè)球?yàn)榘浊颉?，根?jù)全概率公式則有.故答案為：；.14.在中，為的中點(diǎn)，是以為圓心，為半徑的圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段過點(diǎn)，則可用表示為_______；的最小值為__________.【答案】①.②.【解析】由，則，由線段過點(diǎn)，則，且，又，，則，即，，則；，由，故.故答案為：；.15.若函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則符合條件的的個(gè)數(shù)為__________.【答案】5【解析】令，則或，由，當(dāng)時(shí)，在上沒有零點(diǎn)，則在上應(yīng)有3個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，所以，即，與聯(lián)立得，因?yàn)?，所以m的值依次為9，10；當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)，而在上有3個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，在上有2個(gè)零點(diǎn)，故在上應(yīng)有1個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，所以該零點(diǎn)與的零點(diǎn)不相同，所以，即，與聯(lián)立得，因?yàn)?，所以的取值依次?，3，4，綜上得符合條件的的個(gè)數(shù)是5．故答案是：5．三?解答題：本大題共5小題，共75分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知.（1）求角的大?。唬?）設(shè).（i）求的值；（ii）求的值.解：（1）在中，由及正弦定理，得，即，則，由，得，又，所以.（2）（i）由（1）及余弦定理，得，整理得，而，解得，所以.（ii）由正弦定理，得，由，得，則，因此，所以.17.如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形是直角梯形，，點(diǎn)在平面上的投影為線段的中點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.（1）證明：點(diǎn)在平面上的投影為線段的中點(diǎn)平面，四邊形是直角梯形，，，且，如圖，以為原點(diǎn)，分別以方向?yàn)檩S，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得，，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，則，令，故，，平面，平面.（2）解：由（1），，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，則，令，則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，，所以直線與平面所成角的