2025年春八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)北師版教學(xué)課件 1.3 第2課時(shí) 三角形三邊的垂直平分線及作圖

新知一覽等腰三角形三角形的證明線段的垂直平分線角平分線直角三角形三角形三邊的垂直平分線與作圖線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定1.3線段的垂直平分線第一章三角形的證明第2課時(shí)三角形三邊的垂直平分線與作圖某學(xué)校為了方便學(xué)生生活，計(jì)劃在三個(gè)宿舍樓

A、B、C之間修建一個(gè)食堂，試問(wèn)該食堂應(yīng)建于何處，才能使得它到宿舍樓的距離相等？在△ABC

中，如何找到一點(diǎn)P使得它到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等？數(shù)學(xué)建模求證三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等線段垂直平分線的判定點(diǎn)撥：要證明三條直線相交于一點(diǎn)，只要證明其中兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上即可.三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)1合作探究已知：求證：BCAP如圖，在△ABC

中，邊

AB

的垂直平分線與邊

BC

的垂直平分線相交于點(diǎn)

P.邊

AC

的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)

P，且

PA=

PB

=PC.試試看，你會(huì)寫出證明過(guò)程嗎？BCAPlnml是

AB的垂直平分線m是

BC的垂直平分線PA=PBPB=PCPA=PC點(diǎn)

P在

AC的垂直平分線上分析：證明：連接

PA，PB，PC.BCAPlnm∴點(diǎn)

P在

BC的垂直平分線上

(到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上).∴

PB=PC.∴PA=PB，PA=PC

(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等).∵點(diǎn)

P在

AB，AC的垂直平分線上，應(yīng)用格式：∵點(diǎn)

P

為

△ABC

三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∴

PA=PB=PC．ABCP歸納總結(jié)定理：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.1.分別作出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三邊的垂直平分線，說(shuō)明交點(diǎn)分別在什么位置.銳角三角形三邊的垂直平分線交點(diǎn)在三角形內(nèi)；直角三角形三邊的垂直平分線交點(diǎn)在斜邊中點(diǎn)處；鈍角三角形三邊的垂直平分線交點(diǎn)在三角形外.試一試做一做：

(1)已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能作出三角形嗎?如果能，能作幾個(gè)?所作出的三角形都全等嗎?已知：三角形的一條邊

a和這邊上的高

h.求作：△ABC，使

BC=a，BC邊上的高為

h.AlDCBAah(D)CBAahAlDCBAahAl提示：能作出無(wú)數(shù)個(gè)這樣的三角形，它們并不全等.尺規(guī)作圖2(2)已知等腰三角形的底及底邊上的高，你能用尺規(guī)作出等腰三角形嗎？能作幾個(gè)？這樣的等腰三角形只有兩個(gè)，并且它們是全等的，分別位于已知底邊的兩側(cè)．想一想：如何作出一個(gè)已知底及底邊上的高的等腰三角形呢？例

已知：線段

a，h.

求作：△ABC，使

AB=AC，BC=

a，

高

AD=

h.lDCBahA作法：1.作線段

BC=

a；2.作線段

BC

的垂直平分線

l

交

BC

于點(diǎn)

D；3.在

l

上作線段

DA，使

DA＝h

.4.連接

AB，AC.則△ABC

為所求的等腰三角形.典例精析(1)先以

P

為圓心，大于點(diǎn)

P

到直線l的垂直距離

R

為半徑作圓，交直線l于A，B.BA作法：2.已知直線l和線外一點(diǎn)

P，利用尺規(guī)作

l的垂線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.●P

C

D(3)過(guò)兩交點(diǎn)作直線

l'

，此直線為

l過(guò)

P

的垂線.(2)分別以

A、B

為圓心，大于

R

的長(zhǎng)為半徑作圓，相交于

C、D

兩點(diǎn).試一試回顧導(dǎo)入食堂應(yīng)建在三個(gè)宿舍樓

A、B、C的垂直平分線上，才能使得它到宿舍樓的距離相等.請(qǐng)畫出這個(gè)位置.解：如圖所示，連接

AB、BC、AC，分別作三條線段的垂直平分線，即點(diǎn)

P

為所求.1.定理：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.ABCPl1l2l32.已知等腰三角形的底邊和底邊上的高作等腰三角形.1.如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．線段AB

的垂直平分線交

AB

于

D，交

AC

于

E，連接

BE，則∠CBE

等于(

)A．80°

B．70°

C．60°D．50°CBADEC2.如圖所示，在△ABC

中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分線交BC

于點(diǎn)

D，DF⊥AC于點(diǎn)

F，

并與

BC邊上的高

AE交于

G.求證：EG＝EC.FABCEGD證明：連接

AD.∵點(diǎn)

D在線段

AB

的垂直平分線上，∴EG＝EC.∴△DEG≌△AEC(ASA).∴∠CAE＝∠CDF.∴∠C＋∠CAE＝∠C＋∠CDF＝90°.又∵

DF⊥AC，∴∠DFC＝∠AEC＝90°.∴AE＝DE.∵AE⊥BC，∴∠DAE＝∠ADE＝45°.∴∠ADE＝∠DAB＋∠B＝45°.∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠B＝22.5°.FABCEGD作法：(1)作直線

l.3.已知：線段

a.求作：△ABC，使∠ACB=90°，AC=BC=a.EDlABaC

N

Maa(5)連接

AB.△