二進(jìn)制數(shù)字編碼過程中的計算思維

二進(jìn)制數(shù)字編碼過程中的計算思維在信息技術(shù)教學(xué)內(nèi)容中，在講到將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)字的方法時，常會介紹“除二取余”法，簡單來說，就是將某十進(jìn)制數(shù)不停地除以2并得到余數(shù)，若把所有余數(shù)按生成次序反向列出，即可得到某十進(jìn)制數(shù)字所對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)。至于為什么采用這樣的方法，解釋起來卻有些麻煩，盡管可以說明這個過程其實是二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)十進(jìn)制數(shù)的逆方法，但似乎很多人對逆向過程的領(lǐng)悟力遠(yuǎn)遜于正向的過程。筆者在研究后，將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)的過程設(shè)計成了一個項目活動，試圖讓學(xué)生通過游戲體驗和創(chuàng)意設(shè)計的過程，理解為什么能用“除二取余”法進(jìn)行二進(jìn)制數(shù)字編碼，并能領(lǐng)會計算思維的方法在解決問題中所發(fā)揮的獨特作用。任務(wù)一：撕紙游戲在一張紙條上均勻地畫上標(biāo)記，之間留出一定空白：#############。將紙對折，如果折痕經(jīng)過#號，則將此#號撕下，放在一邊，與此同時，紙條被撕成兩半，留下一半扔掉另一半;如果折痕經(jīng)過的是空白處，則將此空白撕下，放在一邊，被撕成兩半的紙條同樣留下一半扔掉另一半。13個#號的操作過程依次如表1所示（表中用下劃線表示空白）。將最后結(jié)果中的#號看成1，空白看成0，便得到了13所對應(yīng)的二進(jìn)制編碼的數(shù)字1101。該任務(wù)的作用有兩點：其一，將“除二取余”的數(shù)學(xué)運(yùn)算過程轉(zhuǎn)化成了一系列的操作動作，這樣就將一個運(yùn)算過程以機(jī)械化的形式展現(xiàn)出來;其二，揭示出數(shù)學(xué)上的“除二取余”和另一種過程是等價的：首先判斷數(shù)字是奇數(shù)還是偶數(shù)，如是奇數(shù)，則取出1后再對其除以2，如是偶數(shù)，則取出0后再對其除以2。反復(fù)執(zhí)行此操作，即可實現(xiàn)二進(jìn)制數(shù)字的編碼。這種對數(shù)據(jù)執(zhí)行某種操作，并且對執(zhí)行操作后得到的結(jié)果數(shù)據(jù)繼續(xù)執(zhí)行該操作的方法，就是一種迭代。等到該任務(wù)完成后，學(xué)生可以更直觀地體會到，一個機(jī)械性的重復(fù)操作過程是如何用于解決數(shù)學(xué)問題的，但到目前為止，學(xué)生未必能領(lǐng)悟能通過這種方法，將十進(jìn)制數(shù)字轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制編碼數(shù)字的原因。任務(wù)二：湊數(shù)游戲列出1、2、4、8、16等十進(jìn)制數(shù)字序列（后一個數(shù)總是前一個數(shù)的兩倍），同時列出每個數(shù)字對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)（后一個二進(jìn)制數(shù)字總比前一個數(shù)字末尾處多一個0），注意二進(jìn)制數(shù)前，用0補(bǔ)齊位數(shù)，列表如下頁表2所示。這樣，就可以用湊數(shù)的方法來找出特定十進(jìn)制數(shù)所對應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)，如13可以湊成1+2+8，那么只要將1、2和8對應(yīng)的右側(cè)的二進(jìn)制數(shù)疊加起來，就得到了13的二進(jìn)制數(shù)的編碼，相信很多教師都在課堂中講解過這種方法，這里就不贅述了。但其實可以借助表2來為最終解釋二進(jìn)制數(shù)的編碼問題提供重要的線索：任意一個偶數(shù)，其實都是另一個數(shù)字的兩倍，在二進(jìn)制數(shù)中，在某數(shù)后跟一個0，則得到原數(shù)的兩倍。任意一個奇數(shù)，其實都是另一個數(shù)字的兩倍加上1，在二進(jìn)制數(shù)中，在某數(shù)后跟一個1，則得到原數(shù)的兩倍加1。相信這些都很容易被理解。任務(wù)三：推理游戲活動進(jìn)展到這里，就已經(jīng)掌握了揭開“除二取余”法之所以有效的原因的所有線索，依靠純粹的推理就能完成將某十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)的過程，仍然用十三（這里用中文來避免煩瑣的不同進(jìn)制數(shù)字格式的寫法）來舉例。由于十三是奇數(shù)，那么在二進(jìn)制數(shù)字中，它一定是某數(shù)后跟上1而形成的：（某數(shù)）1。雖然不知道括號里某數(shù)的二進(jìn)制形式是什么，但可以肯定的是，這個數(shù)字是十進(jìn)制數(shù)六，因為只有六的兩倍加1才是13：（六）1。這個六顯然是偶數(shù)，那么在二進(jìn)制數(shù)字中，它一定是另一個某數(shù)后跟上0而形成的，這里的另一個某數(shù)只可能是三：（（三）0）1。接下去推理過程是類似的，繼而得到：（（（一）1）0）1）（（（（零）1）1）0）1）就算是再往下做，也只是得到更多的零而已，所以可以規(guī)定，當(dāng)出現(xiàn)中文的“零”時，則結(jié)束推理過程。實際上，人腦所做的推理過程，計算機(jī)也一樣能做到，對于計算機(jī)來說，這種方法叫做遞歸。到這里就解釋了利用“除二取余”得到二進(jìn)制編碼的數(shù)字的原因，可以和第一個撕紙游戲遙相呼應(yīng)起來。同時，這種對數(shù)據(jù)反復(fù)執(zhí)行操作的方法，也能和后續(xù)算法模塊中的內(nèi)容建立起關(guān)聯(lián)，即便不講遞歸，也能借助循環(huán)嵌套分支結(jié)構(gòu)的程序代碼，來實現(xiàn)將十進(jìn)制數(shù)字編碼為二進(jìn)制數(shù)字的過程。任務(wù)四：創(chuàng)意設(shè)計人類掌握知識和技能的目的是建設(shè)和改造世界，既然學(xué)生們已經(jīng)領(lǐng)悟了將十進(jìn)制數(shù)編碼為二進(jìn)制數(shù)字的方法，那么，就充分鼓勵大家將自己學(xué)習(xí)的成果運(yùn)用到實踐中去吧。相對于掌握“除二取余”法，更具綜合性、更能體現(xiàn)自主創(chuàng)造性的任務(wù)，是設(shè)計出一個系統(tǒng)或裝置來實現(xiàn)類似于“除二取余”的功能，大家可能會想，當(dāng)教學(xué)內(nèi)容講到二進(jìn)制編碼的時候，學(xué)生極有可能尚未學(xué)習(xí)算法和編程，更遑論迭代和遞歸了。然而，即便不用程序設(shè)計的知識和技能，也一樣有辦法設(shè)計出各種有趣的插電的或不插電的、自動化的或半自動化的系統(tǒng)或裝置（考慮到課時和可用器材上的限制，也可以僅僅讓學(xué)生繪制出某個裝置的設(shè)計方案），來實現(xiàn)這樣的功能，并讓學(xué)生在設(shè)計過程中體會計算思維的作用。當(dāng)然，為了提高教學(xué)效率，教師需要給出一些啟發(fā)和提示。下面是筆者設(shè)計的難度不一的幾個例子，限于篇幅，這里只簡單說明這些系統(tǒng)如何實現(xiàn)二進(jìn)制數(shù)字編碼的大致思路，這樣也給各位讀者留下思考的空間。1.齒輪計數(shù)圖1是一個半自動化的簡單裝置，底下的齒輪有10個短齒和5個長齒，只有長齒可以撥動上部的齒輪。長齒左側(cè)寫0，右側(cè)寫1。上部齒輪周圍均勻列出0到13刻度值，默認(rèn)指針指向刻度0。該裝置工作過程以13為例，用手輕輕撥動下部短齒13次，則上部齒輪指針指向6，同時下部齒輪指向上部齒輪的刻度值為1，記錄下6和1，其中6是下一輪操作的撥動次數(shù)，而1是二進(jìn)制編碼的一部分。然后用手輕輕撥動下部短齒6次，則上部齒輪指針指向3，同時下部齒輪指向上部齒輪的刻度值為0……以此類推，就能得到13所對應(yīng)的二進(jìn)制編碼的數(shù)字。2.字符串替換系統(tǒng)用若干個*號代表數(shù)字，用“.”來代表字符串結(jié)尾，然后多次利用記事本的“編輯—全部替換”功能，生成該數(shù)字所對應(yīng)的二進(jìn)制編碼，在替換規(guī)則中可用到其他字符。為了便于自動化過程的實現(xiàn)，要求對于任何數(shù)字，也就是任何數(shù)量的*號，“編輯—全部替換”的規(guī)則和順序都是一樣的，允許多次批量操作一系列的替換動作。舉例說，如設(shè)置替換動作為A、B、C、D，則可多次重復(fù)進(jìn)行A、B、C、D操作，但不能在操作過程中臨時修改替換規(guī)則，也不能多出某一條規(guī)則成為A、B、C、D、E或去除掉某一條規(guī)則成為A、B、D。實現(xiàn)任務(wù)的方法不是唯一的，如反復(fù)執(zhí)行以下替換規(guī)則就可以實現(xiàn)二進(jìn)制編碼：A.將**替換成#;B.將#.替換成#.0;C.將*.替換成.1;D.將#替換成*。大家可以用13來測試一下，初始字符串是*************.（注意字符串最后的點）。最后得到的字符串是：.1101。可以看出，以上替換過程其實還是用了“除二取余”的方法，對于任何個數(shù)的*號，都可以用完全一樣的規(guī)則來實現(xiàn)生成二進(jìn)制編碼數(shù)的操作，唯一的區(qū)別就是批量進(jìn)行替換操作的次數(shù)。如果使用像Notepad++這樣帶有宏功能的文本編輯器，就更能展現(xiàn)出自動化的替換操作的優(yōu)勢。3.數(shù)字電路系統(tǒng)圖2展示的是一個用“除二取余”法實現(xiàn)半自動化二進(jìn)制數(shù)編碼的數(shù)字電路裝置，可以用Logisim模擬器進(jìn)行互動的模擬操作。雖然看上去線路有點多，但其實只用到了若干異或門來做奇偶判斷，一個計數(shù)器來實現(xiàn)除二的操作，兩個移位寄存器來實現(xiàn)數(shù)據(jù)存儲，其原理并不復(fù)雜。在實際教學(xué)中，可由教師給出這個裝置，然后讓學(xué)生通過互動實驗，自行摸索出操作方法。圖2中演示了對數(shù)字9進(jìn)行二進(jìn)制編碼的初始階段，首先，記錄右下側(cè)輸出（圓形標(biāo)志）數(shù)據(jù)為1，然后將“讀數(shù)和運(yùn)算切換開關(guān)”切換為“01”表示開始運(yùn)算，連續(xù)點時鐘信號38次（真正的電路中，時鐘信號當(dāng)然是自動發(fā)出的），再將“讀數(shù)和運(yùn)算切換開關(guān)”切換為“10”表示開始讀數(shù)，連續(xù)點時鐘信號2次，記錄右下側(cè)輸出數(shù)據(jù)……以上過程反復(fù)執(zhí)行，即可得到數(shù)字9所對應(yīng)的二進(jìn)制編碼的數(shù)字。由于點擊的數(shù)量和順序都是固定的，所以可以看出這個電子裝置具有進(jìn)一步擴(kuò)展的能力，如能為其補(bǔ)充一個外圍控制電路，便可使之全自動化地實現(xiàn)二