流程圖中的抽象與建模

流程圖中的抽象與建模查閱文獻(xiàn)資料，可以發(fā)現(xiàn)“計算思維”這一名詞時常和“抽象”“建?！钡让~有密切的聯(lián)系，或許相當(dāng)多的老師認(rèn)可這種說法：“運(yùn)用計算思維來解決問題的過程中可能涉及到抽象、建模等方法?！钡舴催^來說“當(dāng)解決某問題過程中用到了抽象、建模的方法，則體現(xiàn)出了計算思維的運(yùn)用”，這樣的觀點(diǎn)就很值得懷疑了。那么問題是，在什么樣的情況下，我們在解決問題的過程中用到了抽象、建模的方法，并且也能同時說，問題解決方案的產(chǎn)生運(yùn)用到了計算思維？●用數(shù)學(xué)模型模擬日常事件考慮現(xiàn)實(shí)中這樣一個常見的簡單問題：假設(shè)有三人通過舉手投票來做出某個決定（如決定是玩還是學(xué)習(xí)？），每人1票，當(dāng)多數(shù)人投贊成票，即有兩人或兩人以上舉手時，某決定（那就去玩吧?。┍煌ㄟ^。要求學(xué)生們設(shè)計一個算法：根據(jù)三人舉手投票情況，判斷某決定是否被通過。圖1是使用Raptor軟件制作的既可用于算法描述又可直接按流程執(zhí)行的流程圖。當(dāng)學(xué)生們學(xué)習(xí)了分支結(jié)構(gòu)的流程后，針對該任務(wù)所繪制出來的流程圖有不少與圖1類似。不妨在頭腦中想象一下投票的場景：如果您不是這三位投票者中的一位，那么您究竟是如何知道這項表決是否通過呢？如果投票人數(shù)非常多，或許就不得不去做加1計數(shù)的工作;然而，如果僅僅只有三位投票者，大部分人并不會真的去做加1的數(shù)學(xué)運(yùn)算，而只是簡單地看一下是否有兩位或三位舉手。這也說明，對于三人投票的場景，算法中的方法不一定如實(shí)地反映人頭腦中的方法，之所以大部分學(xué)生在算法中用到了數(shù)學(xué)上的加法，是因?yàn)樗麄儗⑵毡榈纳婕皵?shù)字、符號以及相關(guān)數(shù)學(xué)運(yùn)算的模型，很自然地應(yīng)用到了這一特定場景中。當(dāng)人們提到“抽象”的時候，一般是指從一組事物中抽取共相的過程。那么，通過數(shù)學(xué)加法結(jié)合不等式判斷來確定表決結(jié)果，與人頭腦通過直觀觀察來確定表決結(jié)果，兩者是否存在可抽取的共相？僅就三人投票的事件而言，如果共相存在，那應(yīng)該只是存在于系統(tǒng)（將人的頭腦和計算裝置都視作系統(tǒng)）輸入值和輸出值的對應(yīng)關(guān)系上，也就是說，就表決過程的外在效果而言，現(xiàn)實(shí)場景和模擬場景這兩者的過程是一致的，但具體的內(nèi)在判斷過程卻是不同的。對整個事件輸入和輸出過程的模擬，借助數(shù)學(xué)抽象和建模，完美模擬出系統(tǒng)表象上的功能，而流程圖只是將用數(shù)學(xué)已經(jīng)完成了的模型給描繪出來。那么問題是，學(xué)生將簡單的數(shù)學(xué)模型運(yùn)用在模擬表決過程中，這雖然可以說是數(shù)學(xué)思維的運(yùn)用，但計算思維的運(yùn)用又從何體現(xiàn)？●與計算思維相關(guān)的抽象與建模，和數(shù)學(xué)中的抽象與建模不同接著考慮另一種情況，假設(shè)投票問題場景中的投票者人數(shù)有很大程度的增加，在現(xiàn)實(shí)中，這樣的情況是難以用直觀的方法來判斷投票結(jié)果的。如果讓一個沒有學(xué)習(xí)過算法的學(xué)生來試著用流程圖模擬此過程，很有可能會繪制出如圖2所示的模樣;或者，也會有學(xué)生繪制出一個類似循環(huán)結(jié)構(gòu)的流程，但這個流程沒有控制進(jìn)出循環(huán)語句塊的條件，而是直接標(biāo)注有“問詢所有人”的語句。雖然人的頭腦很容易把握這些非標(biāo)準(zhǔn)的流程圖的實(shí)質(zhì)過程，但計算機(jī)并不具有直觀地理解這些非標(biāo)準(zhǔn)的流程圖中所要表達(dá)的“要向所有人搜集投票結(jié)果”這一意圖的智慧。從數(shù)學(xué)的角度看，“對集合中的所有元素進(jìn)行某種一致的操作”是一個相當(dāng)合理的要求。然而將這個要求轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)的流程圖，卻不得不增加許多細(xì)節(jié)。一個學(xué)習(xí)過算法的學(xué)生能比較像模像樣地繪制出模擬投票場景的循環(huán)結(jié)構(gòu)的標(biāo)準(zhǔn)流程圖來，如使用某個變量來控制循環(huán)次數(shù);使用諸如i=i+1這種通過將增加的值來覆蓋變量自身值的方法來計數(shù);在循環(huán)結(jié)構(gòu)外對某個變量清零，在循環(huán)結(jié)構(gòu)中用累加的方法統(tǒng)計投贊成票的數(shù)量。如果追問一下，這位學(xué)生是如何知道應(yīng)當(dāng)這樣去做的，答案大概率是因?yàn)樵趯W(xué)習(xí)時被告知要如此，或者是被軟件（如Raptor）所限定而只能如此。規(guī)范的流程圖繪制方法有著相當(dāng)統(tǒng)一的模式，但這種模式之所以是現(xiàn)在人們所看到的樣子，其背后隱藏了模式形成的原因，而這個原因和機(jī)器實(shí)施計算的能力和方式是密切相關(guān)的。筆者認(rèn)為，這些流程結(jié)構(gòu)實(shí)際上是對機(jī)器底層的計算過程的封裝和抽象，而并非是對某個現(xiàn)實(shí)事件的抽象。盡管可以將繪制流程圖本身視作抽象和建模，但學(xué)生在學(xué)習(xí)用流程圖描繪算法時，在將數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為規(guī)范的流程圖時，只是運(yùn)用了與計算思維有關(guān)的抽象和建模的已有成果，而并沒有運(yùn)用到計算思維本身;如果說學(xué)生們在問題解決過程中的確運(yùn)用到了抽象與建模，那也僅僅是數(shù)學(xué)方法上的抽象和建模，其中不涉及計算機(jī)科學(xué)特有的方法。關(guān)于怎樣的抽象和建模的過程運(yùn)用到了計算思維，這個問題的答案恐怕非常復(fù)雜，可能涉及如何排除人腦的直觀，更是涉及了關(guān)于可計算性問題的討論。筆者考慮用一種簡單的方法來判別計算思維運(yùn)用與否的必要條件：解決問題的過程應(yīng)當(dāng)與日常頭腦用數(shù)學(xué)方法直接進(jìn)行計算并得出結(jié)果的過程是有所不同的。否則，便可以認(rèn)為其運(yùn)用了數(shù)學(xué)思維而非計算思維來解決了問題。以上討論是筆者設(shè)計下面這些流程圖繪制任務(wù)的原因。任務(wù)是這樣的：讓學(xué)生們試著不用分支結(jié)構(gòu)來完成原本需要用到分支結(jié)構(gòu)的判斷的功能。仍然以模擬三人投票為例，可行的方法不止一種，下頁圖3所示的是用序號加調(diào)用數(shù)組元素的方法，將總共8種投票情況按二進(jìn)制方式計數(shù)，并轉(zhuǎn)換為相應(yīng)十進(jìn)制數(shù)的索引，便能從數(shù)組中取出對應(yīng)索引值的表決結(jié)果。而下頁圖4所示的是另一種方法，通過取整運(yùn)算，將1設(shè)置為閾值，凡是大于等于1的情況，最后都顯示1作為表決通過，小于1的情況，最后都顯示0作為表決不通過，當(dāng)然，同樣可以借助數(shù)組的方法，將0和1作為索引值，調(diào)取文字顯示的表決結(jié)果。在其他設(shè)計環(huán)境中，有更多的方法可以使用，如在Python中可以采用限定打印次數(shù)的方法，在邏輯電路中可以結(jié)合與門和或門形成組合邏輯的方法，等等。而不同的計算模型也有其各自頗具特色的方法，如用馬爾可夫算法、標(biāo)簽系統(tǒng)、圖靈機(jī)等都能夠?qū)崿F(xiàn)該任務(wù)，這里就不展開了。本文接下來重點(diǎn)圍繞圖4所示的方法展開討論，這種方法實(shí)際上揭示了一種可能性：在算法中，所謂的分支結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)都不是理所當(dāng)然存在著的，在程序流程分支判斷的時候，實(shí)際上是進(jìn)行了某個運(yùn)算，這個運(yùn)算的結(jié)果就匹配了后續(xù)的某個動作。如果考察某個通用計算機(jī)底層的工作過程，就可以看出所謂的判斷和分支，實(shí)際上是經(jīng)歷了對后續(xù)所要調(diào)用指令的地址的匹配過程。當(dāng)學(xué)生們面對分支結(jié)構(gòu)本身的時候，就已經(jīng)是面對著一個現(xiàn)成的模型。雖然說基礎(chǔ)教育階段的學(xué)生一般不會學(xué)習(xí)到通用計算機(jī)底層實(shí)現(xiàn)相關(guān)的知識，但通過不用分支結(jié)構(gòu)來完成原本需要用到分支結(jié)構(gòu)的判斷的任務(wù)，學(xué)生們能夠直觀地感知到，可以用數(shù)學(xué)的方法建立一個模型，來模擬出判斷的過程，而不是直接用分支結(jié)構(gòu)的語句來完成判斷。這里必須區(qū)分“用分支結(jié)構(gòu)完成數(shù)學(xué)判斷”和“用數(shù)學(xué)方法完成分支結(jié)構(gòu)的判斷”兩者的區(qū)別，后者的過程與日常頭腦中用數(shù)學(xué)方法直接進(jìn)行計算并得出結(jié)果的過程是不同的。如果用筆者提出的判別計算思維運(yùn)用與否的必要條件，對于“用分支結(jié)構(gòu)完成數(shù)學(xué)判斷”這一過程是否運(yùn)用了計算思維的結(jié)論是否定的，后者“用數(shù)學(xué)方法完成分支結(jié)構(gòu)的判斷”這一過程作為候選項存活了下來，但若說后者的過程確實(shí)運(yùn)用到了計算思維，論據(jù)仍然是不充分的?！裨O(shè)計活動體現(xiàn)出為計算裝置的能行而進(jìn)行抽象和建模的過程那么，何種情況下的抽象和建模，可以認(rèn)為與計算思維的運(yùn)用有關(guān)？對于這個問題，筆者遍查文獻(xiàn)資料而未得，甚至很少有人將其作為問題來提出。筆者認(rèn)為，是否考慮到一個計算裝置的能行，是判斷計算思維運(yùn)用與否的一個充分條件。關(guān)于三人投票表決的例子，除了通過對三人投贊成票總數(shù)除以2再取整的數(shù)學(xué)方法來實(shí)現(xiàn)模擬，還有另一種方法（大概是更接近現(xiàn)實(shí)的方法），即觀察是否存在a和b同時舉手，或a和c同時舉手，或b和c同時舉手，或a、b和c同時舉手的任意一種情況。但因?yàn)閍、b和c同時舉手的情況已經(jīng)包含了前三種情況，所以并不需要單獨(dú)加以判斷。如果寫成邏輯運(yùn)算式，就是r=a*b+a*c+b*c，其中所有變量都是布爾值的，若計算結(jié)果r為True，則當(dāng)作表決通過，若計算結(jié)果r為False，則當(dāng)作表決不通過。這樣一來，算法流程也變得非常簡單，只要輸入三個投票數(shù)據(jù)（用1代表舉手，0代表不舉手）后，計算并輸出r值就可以了。十分遺憾的是，或者說很幸運(yùn)的是，Raptor這個流程圖模擬軟件只支持在判斷框中進(jìn)行邏輯運(yùn)算，而不支持在處理語句框中進(jìn)行邏輯運(yùn)算。之所以說遺憾，是因?yàn)樵诮虒W(xué)中不得不放棄Raptor而改用其他工具來描繪通過邏輯運(yùn)算模擬投票表決過程的算法。之所以說幸運(yùn)，是因?yàn)镽aptor軟件能力的不足，恰恰提供了討論計算裝置“能行”問題的入口。怎樣讓Raptor邏輯運(yùn)算能力的“不可行”變?yōu)椤澳苄小?？考慮到Raptor中數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力是比較充分，所以可以試著用數(shù)學(xué)運(yùn)算來模擬邏輯運(yùn)算（計算機(jī)的真實(shí)運(yùn)行過程恰恰反過來：用邏輯運(yùn)算模擬數(shù)學(xué)運(yùn)算，而計算機(jī)自身的邏輯運(yùn)算是依靠硬件電路實(shí)現(xiàn)的）?？梢园l(fā)現(xiàn)，邏輯的與運(yùn)算可以簡單地用乘法來模擬，但邏輯的或運(yùn)算卻不能簡單地用數(shù)學(xué)中的加法來替代。因此，希望能創(chuàng)設(shè)某個數(shù)學(xué)公式，當(dāng)兩個輸入均為0的時候運(yùn)算結(jié)果也為0，當(dāng)兩個輸入有一個1，或兩個都是1的時候，運(yùn)算結(jié)果都為1。有沒有這樣的公式呢？人工智能中的感知器概念提供了解決思路，那就是為輸入值設(shè)置權(quán)重和偏置。在Raptor軟件中可使用以下公式：r=floor（a*0.8+b*0.8+0.2）當(dāng)a和b變量的輸入值限定為0或1的時候，計算r值的過程就模擬了邏輯或門的運(yùn)算過程。在該公式中，0.8是權(quán)重，而0.2是偏置。如果在Python環(huán)境中，使用公式r=int（a*0.8+b*0.8+0.2）也能實(shí)現(xiàn)同樣的效果。雖然說Python具備了完整的邏輯運(yùn)算功能，并不需要用這樣的辦法來進(jìn)行模擬，但也可以在教學(xué)中故意限制邏輯運(yùn)算符的使用，讓學(xué)生思考如何找到替代邏輯運(yùn)算的方法。當(dāng)前，計算機(jī)底層的邏輯運(yùn)算是依靠晶體管或場效應(yīng)管來實(shí)現(xiàn)的，但人的頭腦中神經(jīng)元的運(yùn)作方式，相對而言卻與設(shè)置權(quán)重和偏置的方法更為接近。這