配套課件-數(shù)字信號處理-時域離散隨機信號處理

第一章

時域離散隨機信號的分析

1.1引言

1.2時域離散隨機信號的統(tǒng)計描述

1.3隨機序列數(shù)字特征的估計

1.4平穩(wěn)隨機序列通過線性系統(tǒng)

1.5時間序列信號模型

1.1引言

信號有確定性信號和隨機信號之分。所謂確定性信號，就是信號的幅度隨時間的變化有一定的規(guī)律性，可以用一個明確的數(shù)學關系進行描述，是可以再現(xiàn)的。而隨機信號隨時間的變化沒有明確的變化規(guī)律，在任何時間的信號大小不能預測，因此不可能用一明確的數(shù)學關系進行描述，但是這類信號存在著一定的統(tǒng)計分布規(guī)律，它可以用概率密度函數(shù)、概率分布函數(shù)、數(shù)字特征等進行描述。實際中的隨機信號常有四種形式：（1）連續(xù)隨機信號：時間變量和幅度均取連續(xù)值的隨機信號。（2）時域離散隨機信號(簡稱隨機序列)：時間變量取離散值，而幅度取連續(xù)值的隨機信號。（3）幅度離散隨機信號：幅度取離散值，而時間變量取連續(xù)值的隨機信號。例如隨機脈沖信號，其取值只有兩個電平，不是高電平就是低電平，但高低電平的選取卻是隨機的。（4）離散隨機序列(也稱為隨機數(shù)字信號)：幅度和時間變量均取離散值的信號。利用計算機只能處理隨機數(shù)字信號。本書中針對時域離散隨機信號展開分析與討論。對于隨機數(shù)字信號，需要增加量化效應的分析,但隨著計算機位數(shù)的不斷增多,量化效應逐漸不明顯；為簡單起見，本書中有時也將這種信號簡稱為隨機序列。隨機信號X(t)是由它所有可能的樣本函數(shù)集合而成的,樣本函數(shù)用xi(t),i=1,2,3,…表示。例如,圖1.1.1表示的是n部接收機的輸出噪聲電壓,圖中xn(t)表示第n部接收機的輸出噪聲,稱為第n條樣本曲線。如果對隨機信號X(t)進行等間隔采樣，或者說將X(t)進行時域離散化,得到X(t1),X(t2),X(t3),…,所構(gòu)成的集合稱為時域離散隨機信號。用序號n取代tn，隨機序列用X(n)表示。換句話說,隨機序列是隨n變化的隨機變量序列。圖1.1.2表示的就是圖1.1.1隨機信號經(jīng)過時域離散化形成的隨機序列。相應的xi(n),i=1,2,3,…，稱為樣本序列，它們是n的確定性函數(shù)。樣本序列也可以用xn表示。而X(t1),X(t2),X(t3)，…

或者X(1),X(2),X(3)，…

則都是隨機變量。因此隨機序列兼有隨機變量和函數(shù)的特點。這里要注意,X(n)與xi(n)分別表示不同的含義(n,i=1,2,3,…)，大寫字母表示隨機序列或者隨機變量，小寫字母表示樣本序列。但在本書以后的章節(jié)中,為簡單起見，也用小寫字母x(n)或xn表示隨機序列,只要概念清楚,會分清楚何時代表隨機序列,何時代表樣本函數(shù)。圖1.1.1n部接收機的輸出噪聲圖1.1.2n部接收機輸出噪聲的時域離散化1.2時域離散隨機信號的統(tǒng)計描述1.2.1時域離散隨機信號（隨機序列）的概率描述

1.概率分布函數(shù)對于隨機變量Xn,其概率分布函數(shù)用下式描述：(1.2.1)式中P表示概率。

2.概率密度函數(shù)如果Xn取連續(xù)值，其概率密度函數(shù)用下式描述：上面(1.2.1)和(1.2.2)式分別稱為隨機序列的一維概率分布函數(shù)和一維概率密度函數(shù)，它們只描述隨機序列在某一n的統(tǒng)計特性。而對于隨機序列，不同n的隨機變量之間并不是孤立的，為了更加完整地描述隨機序列，需要了解二維及多維統(tǒng)計特性。二維概率分布函數(shù):(1.2.3)對于連續(xù)隨機變量,其二維概率密度函數(shù)為(1.2.4)以此類推,N維概率分布函數(shù)為對于連續(xù)隨機變量,其N維概率密度函數(shù)為

概率分布函數(shù)能對隨機序列進行完整的描述,但實際中往往無法得到它。為此，引入隨機序列的數(shù)字特征。在實際中，這些數(shù)字特征比較容易進行測量和計算,知道這些數(shù)字特征也足夠用了。常用的數(shù)字特征有數(shù)學期望、方差和相關函數(shù)。1.2.2隨機序列的數(shù)字特征

1.數(shù)學期望(統(tǒng)計平均值)

隨機序列的數(shù)學期望定義為(1.2.7)式中E表示求統(tǒng)計平均值。由上式可見，數(shù)學期望是n的函數(shù)，如果隨機序列是平穩(wěn)的，則數(shù)學期望是常數(shù)，與n無關。

2.均方值與方差隨機序列均方值定義為(1.2.8)隨機序列的方差定義為(1.2.9)可以證明，上式也可以寫成下式:(1.2.10)一般均方值和方差都是n的函數(shù),但對于平穩(wěn)隨機序列,它們與n無關,是常數(shù)。如果隨機變量Xn代表電壓或電流，其均方值表示在n時刻消耗在1Ω電阻上的集合平均功率，方差則表示消耗在1Ω電阻上的交變功率的集合平均。有時將σx稱為標準方差。

3.隨機序列的相關函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)

我們知道,在隨機序列不同時刻的狀態(tài)之間，存在著關聯(lián)性，或者說不同時刻的狀態(tài)之間互相有影響，包括隨機序列本身或者不同隨機序列之間。這一特性常用自相關函數(shù)和互相關函數(shù)進行描述。自相關函數(shù)定義為(1.2.11)自協(xié)方差函數(shù)定義為(1.2.12)式中的“*”表示復共軛。上式也可以寫成(1.2.13)對于零均值隨機序列，mXn=mXm=0,則這種情況下，自相關函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)沒有什么區(qū)別。對于兩個不同的隨機序列之間的關聯(lián)性，我們用互相關函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)描述?；ハ嚓P函數(shù)的定義為式中pXn,Ym(xn,n,ym,m)表示Xn和Ym的聯(lián)合概率密度。互協(xié)方差函數(shù)定義為

同樣,當mXn=mYm=0時，cov(Xn,Ym)=rxy(n,m)1.2.3平穩(wěn)隨機序列及其數(shù)字特征在信息處理與傳輸中，經(jīng)常遇到一類稱為平穩(wěn)隨機序列的重要信號。所謂平穩(wěn)隨機序列，是指它的N維概率分布函數(shù)或N維概率密度函數(shù)與時間n的起始位置無關。換句話說，平穩(wěn)隨機序列的統(tǒng)計特性不隨時間的平移而發(fā)生變化。如果將隨機序列在時間上平移k，其統(tǒng)計特性滿足下式：(1.2.16)這類隨機序列就稱為平穩(wěn)隨機序列。經(jīng)常將上面這類隨機序列稱為狹義(嚴)平穩(wěn)隨機序列，這一嚴平穩(wěn)的條件在實際情況下很難滿足。許多隨機序列不是平穩(wěn)隨機序列，但是它們的均值和均方差卻不隨時間而改變，其相關函數(shù)僅是時間差的函數(shù)。一般將這一類隨機序列稱為廣義(寬)平穩(wěn)隨機序列。下面我們重點分析研究這類平穩(wěn)隨機序列。為簡單起見，將廣義平穩(wěn)隨機序列簡稱為平穩(wěn)隨機序列。

平穩(wěn)隨機序列的一維概率密度函數(shù)與時間無關，因此均值、方差和均方值均與時間無關，它們可分別用下式表示：(1.2.17)(1.2.18)(1.2.19)

二維概率密度函數(shù)僅決定于時間差，與起始時間無關；自相關函數(shù)與自協(xié)方差函數(shù)是時間差的函數(shù)。自相關函數(shù)rxx(m)與自協(xié)方差函數(shù)covxx(m)分別用下式表示:(1.2.20)(1.2.21)對于兩個各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)的隨機序列,其互相關函數(shù)為(1.2.22)顯然,對于自相關函數(shù)和互相關函數(shù),下面公式成立:(1.2.23)(1.2.24)如果對于所有的m

，滿足公式：rxy(m)=0，則稱兩個隨機序列互為正交。如果對于所有的m

，滿足公式:rxy(m)=mxmy,covxy(m)=0，則稱兩個隨機序列互不相關。實平穩(wěn)隨機序列的相關函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)具有以下重要性質(zhì)：（1）自相關函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)是m

的偶函數(shù),用下式表示:(1.2.25)(1.2.26)（2）(1.2.27)rxx(0)數(shù)值上等于隨機序列的平均功率。（3）（4）(1.2.29)(1.2.30)上式說明大多數(shù)平穩(wěn)隨機序列內(nèi)部的相關性隨著時間差的變大，愈來愈弱。（5）(1.2.31)1.2.4平穩(wěn)隨機序列的功率密度譜我們知道,平穩(wěn)隨機序列是非周期函數(shù)，且是能量無限信號，無法直接利用傅里葉變換進行分析。但自相關函數(shù)也是非周期序列，卻隨著時間差m的增大，而趨近于隨機序列的均值。如果隨機序列的均值為0，即mx=0,rxx(m)是收斂序列，其Z變換用Pxx(z)表示如下:(1.2.32)且(1.2.3３)將(1.2.23)式進行Z變換，得到：(1.2.34)如果z1是其極點，1/z*1也是極點。如果z1在單位圓內(nèi)，必須在單位圓外，收斂域一定包含單位圓，Pxx(z)的收斂域有以下形式：0≤Ra≤1類似地,互相關函數(shù)的Z變換用Pxy(z)表示,有(1.2.35)(1.2.36)由于Pxx(z)的收斂域包含單位圓，因此rxx(m)的傅里葉變換存在。令z=exp(jω),代入(1.2.32)式，有(1.2.37)(1.2.38)將m=0代入上式，得到(1.2.39)（1）功率譜是ω的偶函數(shù)：(1.2.40)

功率譜是ω的偶函數(shù)這一結(jié)果,可直接由自相關函數(shù)是時間差的偶函數(shù)證明。由于功率譜和自相關函數(shù)都是實、偶函數(shù)，它們還可以表示為(1.2.41)(1.2.42)（2）功率譜是實的非負函數(shù)，即Pxx(ω)≥0性質(zhì)(2)的證明見下節(jié)。類似地，對于互功率譜,有(1.2.43)(1.2.44)(1.2.45)1.2.5隨機序列的各態(tài)歷經(jīng)性我們知道集合平均要求對大量的樣本進行平均,實際中這種做法是不現(xiàn)實的。在很多情況下，可以用一條樣本曲線描述隨機序列，因此可以用樣本曲線進行測量和分析。設x(n)是平穩(wěn)隨機序列X(n)的一條樣本曲線，其時間平均值為(1.2.46)類似地，其時間自相關函數(shù)為(1.2.47)式中〈·〉表示時間平均算子。如果平穩(wěn)隨機序列的集合平均值與集合自相關函數(shù)值依概率趨于平穩(wěn)隨機序列樣本函數(shù)的時間平均值與時間自相關函數(shù)，即滿足下面兩式：〈x(n)〉=mx=E［X(n)］〈x*(n)x(n+m)〉=rxx(m)=E［X*(n)X(n+m)］(1.2.48)(1.2.49)則稱該平穩(wěn)隨機序列具有各態(tài)歷經(jīng)性。平穩(wěn)隨機序列雖有各態(tài)歷經(jīng)性的和非各態(tài)歷經(jīng)性的兩種，但在實際中遇到的平穩(wěn)隨機序列，一般都是各態(tài)歷經(jīng)性的。這樣我們用研究平穩(wěn)隨機序列的一條樣本曲線代替研究其集合，用時間平均代替集合平均，這給研究平穩(wěn)隨機序列帶來很大的方便。1.2.6特定的隨機序列

1.正態(tài)（高斯）隨機序列正態(tài)隨機序列x(n)的N維聯(lián)合概率密度函數(shù)用下式表示：(1.2.50)式中上面公式表明，正態(tài)（高斯）隨機序列僅決定于其均值矢量M以及方差陣varX。具有指數(shù)型自相關函數(shù)的平穩(wěn)高斯過程稱為高斯—馬爾可夫過程。這種信號的自相關函數(shù)和譜密度函數(shù)為高斯—馬爾可夫也是一種常見的隨機信號，適合于大多數(shù)物理過程，具有較好的精確性，數(shù)學描述簡單。因為當m→∞時，自相關函數(shù)趨近于0，所以均值為0，過程的自相關函數(shù)特性完全描述了過程的特性。

2.白噪聲序列如果隨機序列x(n)，其隨機變量是兩兩不相關的，即式中m≠nm＝n則稱該序列為白噪聲序列;如果白噪聲序列是平穩(wěn)的，則cov(xn,xm)=σ2δmn

(1.2.54)式中,σ2是常數(shù)。設均值mxn=m=0，其功率譜Pxx(ejω)=σ2，在整個頻帶上功率譜是一個常數(shù)。如果白噪聲序列服從正態(tài)分布，序列中隨機變量的兩兩不相關性就是相互獨立性，稱為正態(tài)白噪聲序列。顯然，白噪聲是隨機性最強的隨機序列,實際中不存在,是一種理想白噪聲,一般只要信號的帶寬大于系統(tǒng)的帶寬,且在系統(tǒng)的帶寬中信號的頻譜基本恒定,便可以把信號看作白噪聲。注意：正態(tài)和白色是兩種不同的概念，前者是指信號取值的規(guī)律服從正態(tài)分布，后者指信號不同時刻取值的關聯(lián)性。3.諧波過程諧波過程用下式描述：(1.2.55)式中，Ai和ωi(i=1,2,3,…,N)是常數(shù)，θi(i=1,2,3,…,N)是服從均勻分布的獨立隨機變量，其概率密度用下式表示：(1.2.5６)也可以將(1.2.55)式寫成下式:式中(1.2.5７)(1.2.5８)可以證明,這種諧波信號模型是平穩(wěn)的,設N=1,計算它的統(tǒng)計平均值和自相關函數(shù)：(1.2.59)(1.2.60)上式中第一項積分為0，因此(1.2.61)由于諧波過程的統(tǒng)計平均值與時間n無關,自相關函數(shù)僅與時間差m有關,諧波過程是平穩(wěn)的。當N大于1時，也有同樣的結(jié)論，可以證明：(1.2.62)1.2.7隨機信號的采樣定理對于平穩(wěn)隨機信號，如果其功率譜嚴格限制在某一有限頻帶內(nèi)，該隨機信號稱為帶限隨機信號。如果平穩(wěn)隨機信號X(t)的功率譜Pxx(Ω)滿足下式：則稱X(t)為低通性帶限隨機信號，式中Ωc表示功率譜的最高截止頻率。設以采樣間隔T對平穩(wěn)隨機信號X(t)進行采樣，采樣后隨機序列為X(n)，只要采樣頻率fs滿足：或者(1.2.63)則有以下采樣插值公式:(1.2.64)可以證明,在均方意義上,X(t)等于［1］，即(1.2.6５)1.3隨機序列數(shù)字特征的估計1.3.1估計準則一般來說，根據(jù)觀測數(shù)據(jù)對一個量（參數(shù)）或者同時對幾個量（參數(shù)）進行推斷，是估計問題。例如，通信工程中的信號參數(shù)和波形，包括振幅、頻率、相位、時延和瞬時波形。這里無論對何種量估計，都必須根據(jù)觀測值進行估計，而觀測存在觀測誤差（或者把觀測誤差看成噪聲），雖然被估計的參數(shù)是確定量，觀測數(shù)據(jù)卻是隨機的，由觀測值推算出的估計量存在隨機估計誤差。因此如何判定估計方法的好壞，是統(tǒng)計估計的基本問題。假定對隨機變量x觀測了N次，得到N個觀測值：x0,x1,x2,…,xN-1，希望通過這N個觀測值估計參數(shù)α，稱α為真值，它的估計值用表示。是觀測值的函數(shù)，假定該函數(shù)關系用F［·］表示，(1.3.1)圖1.3.1估計量的概率密度曲線1.偏移性令估計量的統(tǒng)計平均值與真值之間的差值為偏移B，其公式為(1.3.2)如果B=0，稱為無偏估計。無偏估計表示估計量僅在它的真值附近擺動，這是我們希望有的估計特性。如果B≠0，則稱為有偏估計。如果隨著觀察次數(shù)N的加大，能夠滿足下式：(1.3.３)則稱為漸近無偏估計，這種情況在實際中是經(jīng)常有的。

2.估計量的方差如果兩個估計量的觀察次數(shù)相同，又都是無偏估計，哪一個估計量在真值附近的擺動更小一些，即估計量的方差更小一些，就說這一個估計量的估計更有效。如果和都是x的兩個無偏估計值，對任意N，它們的方差滿足下式：式中(1.3.4)則稱比更有效。一般希望當N→∞時，。

3.一致性——均方誤差在許多情況下，比較兩個有偏估計值是較麻煩的。偏移較小的估計值，可能有較大的方差，而方差較小的估計值可能有較大的偏移，此時使用與估計值有關的均方誤差會更方便。估計量的均方誤差用下式表示：(1.3.5)如果估計量的均方差隨著觀察次數(shù)的增加趨于0，即估計量隨N的加大，在均方意義上趨于它的真值，則稱該估計是一致估計。估計量的均方誤差與估計量的方差和偏移的關系推導如下：(1.3.6)上式表示，隨N的加大，偏移和估計量方差都趨于零，是一致估計的充分必要條件。通常對于一種估計方法的選定，往往不能使上述的三種性能評價一致，此時只能對它們折衷考慮，盡量滿足無偏性和一致性。下面討論均值、方差、自相關函數(shù)的估計方法，均假設隨機序列平穩(wěn)且具有各態(tài)歷經(jīng)性，集合平均可以用長時間的時間平均代替。1.3.2均值的估計假設已取得樣本數(shù)據(jù)：xi(i=0,1,2,…,N-1)，均值的估計量用下式計算：(1.3.7)式中N是觀察次數(shù)。下面用已介紹的方法評價它的估計質(zhì)量。1.偏移（1.3.8）因此B=0，說明這種估計方法是無偏估計。2.估計量的方差與均方誤差在計算上式時，與數(shù)據(jù)內(nèi)部的相關性有關，先假設數(shù)據(jù)內(nèi)部不相關，那么(1.3.9)(1.3.10)以上式表明，估計量的方差隨觀察次數(shù)N增加而減少，當Ν→∞時，估計量的方差趨于0。這種情況下估計量的均方誤差為這樣，當N→∞時，B=0, ， ，是一致估計。結(jié)論是：當數(shù)據(jù)內(nèi)部不相關時，按照（1.3.7）式估計均值，是一種無偏的一致估計，是一種好的估計方法。如果數(shù)據(jù)內(nèi)部存在關聯(lián)性，會使一致性的效果下降，估計量的方差比數(shù)據(jù)內(nèi)部不存在相關情況的方差要大，達不到信號方差的1/N。當序列的n與i相差m時，E［(xn-mx)(xi-mx)］=cov(m),而N點數(shù)據(jù)中相距m點的樣本有N-m對，因此(1.3.11)式中上式表明當數(shù)據(jù)之間存在相關性時，按照（1.3.7）式估計均值，其估計量的方差下降不到真值的1/N。也可將上式表示成(1.3.12)1.3.3方差的估計已知N點樣本數(shù)據(jù)xi(i=0,1,2,…,N-1)，假設數(shù)據(jù)之間不存在相關性，且信號的均值mx已知，方差用下式估計：(1.3.13)可以證明這是一致估計，但實際中一般mx是不知道的。下面分析數(shù)據(jù)之間不存在相關性，均值也不知道的情況下，方差的估計方法。方差估計用下式計算：(1.3.14)式中的均值估計值用（1.3.7）式計算。下面分析它的偏移性，按照上式，有(1.3.15)式中的第二項已經(jīng)推出，即(1.3.9)式。式中的第三項推導如下：(1.3.16)將(1.3.9)式和(1.3.16)式代入(1.3.15)式，得到上式表明，按照（1.3.7）式估計方差，是有偏估計，但是漸進無偏。為了得到無偏估計，可以用下式計算：（1.3.18）之間的關系是和（1.3.19）將上式兩邊取統(tǒng)計平均值，并將（1.3.17）式代入，得到（1.3.20）上式表明，按照（1.3.18）式估計方差，是無偏估計。另外可以證明它也是一致估計，證明從略。如果數(shù)據(jù)之間存在相關性，也按照（1.3.18）式進行計算方差，可以證明是有偏估計，但是漸近無偏估計，方差估計值的統(tǒng)計平均值如下式：(1.3.21)1.3.4隨機序列自相關函數(shù)的估計1.無偏自相關函數(shù)的估計估計公式為0≤m≤N-11-N<m<0將上面兩式寫成一個表達式：（1.3.22）下面分析這種自相關函數(shù)的估計質(zhì)量，首先分析偏移性：（1.3.23）因此,B=0,這是一種無偏估計。下面推導估計量的方差:（1.3.24）為了分析簡單，假設x(n)是實的、均值為0的高斯隨機信號，求和號內(nèi)的部分可以寫成下式：(1.3.25)式中，令 r=k-n

此時求和域發(fā)生了變化，如圖1.3.2所示，根據(jù)變化后的求和域(k,r)，估計量的方差推導如下:圖1.3.2求和域的變化(1.3.26)一般觀測數(shù)據(jù)量N很大，(1.3.27)

2.有偏自相關函數(shù)的估計有偏自相關函數(shù)用表示，計算公式如下：(1.3.28)對比（1.3.22）式，不同的是求平均時只用N去除，這是不合理的，但下面可推導出它服從漸近一致估計的原則，比無偏自相關函數(shù)的估計誤差小，因此以后需要由觀測數(shù)據(jù)估計自相關函數(shù)時，均用上式進行計算。下面先分析它的偏移性。

對比（1.3.22）式和(1.3.28)式，無偏自相關函數(shù)與有偏自相關函數(shù)的關系式為（1.3.29）因為 是無偏估計，因此得到（1.3.30）上式說明是有偏估計，但是漸近無偏，其偏移為（1.3.31）在（1.3.30）式中, 的統(tǒng)計平均值等于其真值乘以三角窗函數(shù)wB(m)（或稱巴特利特窗函數(shù)）,(1.3.32)三角窗函數(shù)的波形如圖1.3.3所示。只有當m=0時，才是無偏的，其它m都是有偏的，但當N→∞時，wB(m)→1，B→0,因此 是漸近無偏。圖1.3.3三角窗函數(shù)按照（1.3.29）式,估計量的方差為將（1.3.27）式代入上式,得到(1.3.34)顯然,當N→∞時, ，并且由以上得到結(jié)論： 雖然是有偏估計，但是漸近一致估計，估計量的方差小于 的方差。因此實際中多用這種有偏自相關函數(shù)估計。注意，以后有偏自相關函數(shù)改用 表示。1.4平穩(wěn)隨機序列通過線性系統(tǒng)1.4.1系統(tǒng)響應的均值、自相關函數(shù)和平穩(wěn)性分析設所研究的線性系統(tǒng)是穩(wěn)定非時變的，其單位脈沖響應為h(n),輸入是平穩(wěn)隨機序列x(n)，輸出為因為輸入是平穩(wěn)隨機序列，E［x(n-k)］=mx，故(1.4.1)這樣,mx與時間無關，my也與時間無關。先假定輸出是非平穩(wěn)的，那么，輸出的自相關函數(shù)為因為x(n)是平穩(wěn)的，因此所以（1.4.2）對于（1.4.2）式,令l=r-k,得到(1.4.3)式中(1.4.4)v(l)通常稱為h(n)的自相關函數(shù)，也可以將v(l)寫成卷積形式：v(l)=h*(l)*h(-l)=h*(-l)*h(l)(1.4.5)

上式表示v(l)是h*(l)與h(-l)離散卷積或者是h*(-l)和h(l)的離散卷積。這樣線性系統(tǒng)輸出的自相關函數(shù)等于輸入自相關函數(shù)與線性系統(tǒng)單位脈沖響應的自相關函數(shù)的卷積。1.4.2輸出響應的功率譜密度函數(shù)設將（1.4.5）、(1.4.3)式分別寫成Z變換形式,表示如下:(1.4.6)(1.4.7)將z=ejω代入上式，得到輸出功率譜：Pyy(ejω)=Pxx(ejω)H(ejω)H*(ejω)=Pxx(ejω)|H(ejω)|2(1.4.8)如果h(n)是實序列，（1.4.5）、(1.4.6)、(1.4.7)式簡化為v(l)=h(l)*h(-l)(1.4.9)V(z)=H(z)H(z-1)(1.4.10)Pyy(z)=Pxx(z)H(z)H(z-1)(1.4.11)

下面利用(1.4.8)式證明功率譜密度函數(shù)的非負性質(zhì)。如果mx=0，按照（1.4.1）式,my=0,再按照(1.2.39)式和相關函數(shù)的性質(zhì)(2),得到將(1.4.8)式帶入上式,得到由于Pxx(ejω)和|H(ejω)|2均是ω的偶函數(shù),假設系統(tǒng)的幅度特性|H(ejω)|如圖1.4.1所示,因此故Pxx(ejω)≥0,最后證明了信號的功率譜密度函數(shù)是實、偶、非負函數(shù)。圖1.4.1理想帶通濾波器的幅度特性1.4.3系統(tǒng)的輸入、輸出互相關函數(shù)

線性非時變系統(tǒng)輸入與輸出之間互相關函數(shù)為(1.4.12)因此，輸入、輸出之間的互相關函數(shù)等于系統(tǒng)的單位脈沖響應與輸入自相關函數(shù)的卷積。一般稱(1.4.12)式為輸入、輸出互相關定理。設x(n)是另均值平穩(wěn)隨機序列，（1.4.12）式的Z變換為(1.4.13)輸入、輸出的功率譜表示為(1.4.14)1.4.4相關卷積定理將前面推導出的（1.4.3）式和(1.4.4)式重寫如下：該公式用語言敘述如下：x(n)與h(n)卷積的自相關函數(shù)等于x(n)的自相關函數(shù)和h(n)的自相關函數(shù)的卷積?；蛘吆唵蔚卣f,卷積的相關等于相關的卷積。用一般公式表示如下：如果e(n)=a(n)*b(n)f(n)=c(n)*d(n)那么ref(m)=rac(m)*rbd(m)(1.4.15)

例1.4.1

假設系統(tǒng)的輸入、輸出和單位脈沖響應分別用x(n)、y(n)和h(n)表示，試求輸入、輸出互相關函數(shù)和輸入自相關函數(shù)之間的關系。

解按照相關卷積定理，得到x(n)=x(n)*δ(n)y(n)=x(n)*h(n)rxy(m)=rxx(m)*rδh(m)式中將該式帶入上式，得到rxy(m)=rxx(m)*h(m)這就是已經(jīng)推導出的輸入、輸出互相關卷積定理。對于實、平穩(wěn)隨機信號相關函數(shù)的性質(zhì)(1)，得到輸出、輸入互相關函數(shù)和輸入自相關函數(shù)之間的關系：ryx(m)=rxy(-m)=rxx(-m)*h(-m)=rxx(m)*h(-m)Pyx(z)=Pxx(z)H(z-1)

例1.4.2

按照圖1.4.2推導兩個系統(tǒng)的輸出互相關函數(shù)與輸入互相關函數(shù)之間的關系。

解

y1(n)=x1(n)*h1(n)y2(n)=x2(n)*h2(n)按照相關卷積定理,有(1.4.16)圖1.4.2例1.4.2圖按照圖1.4.2還有下面關系式,作為練習,請讀者自己證明。(1)(2)(1.4.17)(1.4.18)(1.4.19)(1.4.20)

例1.4.3

已知實平穩(wěn)白噪聲x(n)的功率譜是σ2x，使通過一個q階的FIR網(wǎng)絡(對這里q階的解譯，請參考本章1.5節(jié))，求輸出自相關函數(shù)ryy(m)、功率譜Pyy(ejω)、互相關函數(shù)rxy(m)和互譜Pxy(ejω)。

解設系統(tǒng)的傳輸函數(shù)用下式表示：式中系數(shù)bn是實數(shù)，按照（1.4.8）式，網(wǎng)絡輸出的功率譜為因為δ(n)的傅里葉變換是1，δ(n+m)+δ(n-m)的傅里葉變換是2cos(ωm)，那么對上式進行反變換，得到上式表明輸出信號的自相關函數(shù)ryy(m)有限長，存在于±q之間。類似地，可求出互譜和互相關函數(shù)為

例1.4.4

設實平穩(wěn)白噪聲x(n)的方差是σ2x,均值mx=0，讓x(n)通過一個網(wǎng)絡，網(wǎng)絡的差分方程為y(n)=x(n)+ay(n-1)式中a是實數(shù)。求網(wǎng)絡輸出的功率譜和自相關函數(shù)。

解先用歸納法求網(wǎng)絡輸出的自相關函數(shù)ryy(m)=E［y(n)y(n+m)］令m=0,則ryy(0)=E［y2(n)］=E［(x(n)+ay(n-1))2］ryy(0)=E［x2(n)］+a2E［y2(n-1)］+2aE［x(n)y(n-1)］上式中y(n-1)發(fā)生在x(n)之前，它只和x(n-1),x(n-2),…有關，而且x(n)是白噪聲，x(n)和x(n-1)x(n-2),…無關，因此上式中的第三項等于0,那么

令m=1，則ryy(1)=E［y(n)y(n+1)］ryy(1)=E［y(n)(ay(n)+x(n+1))］=aryy(0)令m=2,則ryy(2)=E［y(n)y(n+2)］

=E［y(n)(ay(n+1)+x(n+2))］

=aryy(1)=a2ryy(0)總結(jié)規(guī)律，因此有下面再求網(wǎng)絡輸出的功率譜,由給定的網(wǎng)絡差分方程,得到網(wǎng)絡系統(tǒng)函數(shù)網(wǎng)絡輸出功率譜為式中,a是網(wǎng)絡的極點,為了穩(wěn)定,要求|a|＜1。a愈接近于單位圓，功率譜峰愈尖銳，帶寬愈窄，但相關函數(shù)衰減愈慢；反過來，a愈小，功率譜下降愈慢，自相關函數(shù)衰減愈加快。1.5時間序列信號模型圖1.5.1平穩(wěn)隨機序列的信號模型1.5.1三種時間序列模型假設信號模型用一個P階差分方程描述:x(n)+a1x(n-1)+…+apx(n-p)

=w(n)+b1w(n-1)+…+bqw(n-q)(1.5.1)式中,w(n)是零均值、方差為σ2w的白噪聲;x(n)是我們要研究的隨機序列。根據(jù)系數(shù)取值情況，將模型分成以下三種。

1.滑動平均模型（MovingAverage，簡稱MA模型）

當（1.5.1）式中ai=0,i=1,2,3,…,p時,該模型稱為MA模型。模型差分方程和系統(tǒng)函數(shù)分別用下式表示：x(n)=w(n)+b1w(n-1)+…+bqw(n-q)H(z)=B(z)B(z)=1+b1z-1+b2z-2+…+bqz-q…(1.5.2)(1.5.3)上式表明該模型只有零點,沒有除原點以外的極點，因此此模型也稱為全零點模型。如果模型全部零點都在單位圓內(nèi)部，則是一個最小相位系統(tǒng)，且模型是可逆的。

2.自回歸模型（Autoregressive,簡稱AR模型）當（1.5.1）式中bi=0,i=1,2,3,…，q時，該模型稱為AR模型。模型差分方程和系統(tǒng)函數(shù)分別用下式表示：x(n)+a1x(n-1)+a2x(n-2)+…+apx(n-p)=w(n)A(z)=1+a1z-1+a2z-2+…+apz-p

上式表明該模型只有極點,沒有除原點以外的零點，因此該模型也稱為全極點模型。只有當全部極點都在單位圓內(nèi)部時，模型才穩(wěn)定。3.自回歸-滑動平均模型（簡稱ARMA模型）該模型的差分方程用（1.5.1）式描述，系統(tǒng)函數(shù)用下式表示：式中，分子部分稱為MA部分，分母部分稱為AR部分，這兩部分無公共因子，應分別滿足穩(wěn)定性和可逆性的條件。關于濾波器的長度和階數(shù)作如下說明：濾波器長度一般是指濾波器的單位脈沖響應的長度，對于FIR濾波器或者MA模型,其單位脈沖響應的長度是有限長的，長度就是系數(shù)的個數(shù)；對于IIR濾波器或者AR模型、ARMA模型，其單位脈沖響應的長度則是無限長的，一般只講它的階數(shù)，階數(shù)是指（1.5.5）、(1.5.6)式中的p的大小，如果用差分方程表示，則p就是差分方程的階數(shù)。對于FIR濾波器或者MA模型的階數(shù)，則是指（1.5.3）式中q的大小，或者說是它的長度減1。1.5.2三種時間序列信號模型的適應性

(1)沃爾德分解定理：任意一個實平穩(wěn)隨機序列x(n)均可以分解成：x(n)=u(n)+v(n)，式中u(n)是確定性信號,v(n)是具有連續(xù)譜分布函數(shù)的平穩(wěn)隨機MA序列。這里確定性部分可以不存在或者事先去掉，MA部分常常是有限階的。該定理說明MA信號模型具有普遍使用的性質(zhì)。由于ARMA信號模型包含了MA模型部分，因此ARMA信號模型也具有普遍使用的性質(zhì)。對于AR信號模型的適用性，下面予以說明。（2）任意一個MA序列可用無限階AR信號模型表示，或者用階數(shù)足夠大的AR信號模型近似表示。證明如下：設MA序列為

b0=1對上式進行Z變換得到X(z)=B(z)W(z)式中，B(z)是MA信號模型的系統(tǒng)函數(shù)，或者說是bi(i=1,2,3,…)序列的Z變換。設MA信號模型滿足可逆性條件，即B-1(z)存在，令B-1(z)=G(z)=1+g1z-1+g2z-2+…這樣X(z)G(z)=(1+g1z-1+g2z-2+…)X(z)=W(z)對上式進行Z反變換，得到x(n)+g1x(n-1)+g2x(n-2)+…=w(n)上式表示的就是x(n)的AR信號模型差分方程，因此證明了一個時間序列可以用有限階MA信號模型表示時，也可以用無限階的AR模型表示，對于ARMA模型也同樣可以證明。例如,ARMA模型系統(tǒng)函數(shù)為設AR模型系統(tǒng)函數(shù)用HAR(z)表示：令HAR(z)=H(z),即可以求出ci系數(shù)

以上說明MA和ARMA模型可以用無限階AR模型表示。反過來的結(jié)論也正確。例如：用MA模型表示：i=0i≥1以上表明三種信號模型可以相互轉(zhuǎn)化，而且都具有普遍適用性，但是對于同一時間序列用不同信號模型表示時，卻有不同的效率。這里說的效率,指的是模型的系數(shù)愈少，效率愈高。一般AR模型適合表示時間序列的功率譜有尖峰而沒有深谷的信號，MA模型適合表示其功率譜有深谷而沒有尖峰的信號，ARMA模型則適合尖峰和深谷都有的情況。如果信號的功率譜有尖峰而沒有深谷，用具有極點的AR模型表示將比用MA模型表示用的系數(shù)少，即效率高。但AR模型比較其它兩種模型計算簡單，許多研究人員喜歡采用AR模型，只要階數(shù)選高些，近似性較好。1.5.3自相關函數(shù)、功率譜與時間序列信號模型的關系

1.有理譜信號如果信號模型輸出的功率譜是ejω或者cosω的有理函數(shù)，這種隨機信號稱為有理譜信號。分析(1.5.7)式，如果zi是H(z)的極點，z-1i就是H(z-1)的極點，Pxx(z)一定包含下面的因子：(z-zi)(z-1-zi)=1-zi(z+z-1)+z2i

上式表示H(z)H(z-1)是(z+z-1)的函數(shù)，設該函數(shù)用V(φ)表示，可以寫成下式：H(z)H(z-1)=V(φ)令z=ejω，得到上式說明有理譜信號的功率譜是ejω或者cosω的有理函數(shù)。

2.譜分解定理如果功率譜Pxx(ejω)是平穩(wěn)隨機序列x(n)的有理譜，那么一定存在一個零極點均在單位圓內(nèi)的有理函數(shù)H(z),滿足式中，ak,bk都是實數(shù)，a0=b0=1,且|αk|＜1,|βk|＜1。

我們知道系統(tǒng)函數(shù)的極點只能分布在單位圓內(nèi)部，才能構(gòu)成因果穩(wěn)定的系統(tǒng)，而零點分布不影響系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。單位圓上可以有零點但不能有極點，否則極點在單位圓上會使系統(tǒng)不穩(wěn)定。這樣我們總可以用單位圓內(nèi)部的零極點組成一個系統(tǒng)H(z)（該系統(tǒng)自然是最小相位系統(tǒng)），又因為系統(tǒng)系數(shù)是實數(shù)，圓外的零極點必定與圓內(nèi)的零極點共軛對稱。這樣除了單位圓內(nèi)部零極點外，用其它零極點組成的系統(tǒng)函數(shù)必定是H(z-1)。這是譜分解定理的一種解釋，定理證明請參考文獻［1］。下面用例子說明。例1.5.1

已知有理譜如下式：我們把所有可能的分解形式寫出來：(1)(2)(3)(4)

在以上四種分解情況中，只有（1）滿足極零點均在單位圓內(nèi)部，因此按照譜分解定理的約束條件，只能唯一地分解出一個零極點均在單位圓內(nèi)部的系統(tǒng)函數(shù)。如果沒有零極點均在單位圓內(nèi)部的約束條件，分解便不是唯一的。另外，按照譜分解定理分解出H(z)一定是最小相位系統(tǒng)，它保證了模型的可逆性，即逆系統(tǒng)存在。例1.5.2

已知一階AR模型：x(n)-ax(n-1)=w(n)0＜a＜1式中,w(n)是零均值、方差σ2w=1的白噪聲，設x(0)=0，試求與其等價的自相關函數(shù)和功率譜。

解x(n)=w(n)+ax(n-1)=w(n)+a［w(n-1)+ax(n-2)］=w(n)+aw(n-1)+a2x(n-2)=w(n)+aw(n-1)+a2w(n-2)+…+an-1w(1)因為0＜a＜1,當n很大時,a2n→0，而對實序列，rxx(m)=rxx(-m),這樣得到自相關函數(shù):對上式進行Z變換得到其功率譜

如果由模型直接求功率譜,然后由功率譜再求其自相關函數(shù),將更簡單。由模型差分方程得到其系統(tǒng)函數(shù)為

該例說明了功率譜、自相關函數(shù)和信號模型之間的相互等價關系。我們知道功率譜是cosω的函數(shù)，為了對功率譜進行譜分解，下面介紹一種分解方法：（1）用φ代替cosω，得到有理函數(shù)V(φ)；（2）求出V(φ)分子、分母的全部根φi;

（3）構(gòu)造對每個φi的方程:該方程有兩個根：Zi和1/Zi

，其中Zi是單位圓內(nèi)的根；

（4）用單位圓內(nèi)部極零點構(gòu)成H(z)，零點是分子多項式的根Zi，極點是分母多項式的根Zj，常數(shù)C由功率譜Pxx(ejω)確定。例1.5.3

已知x(n)的功率譜求其模型的系統(tǒng)函數(shù)。解（1）令φ=cosω，則(2)(3)(4)設σ2w=1，對比給定的功率譜，得到：C=2/3，模型系統(tǒng)函數(shù)為也可以假定σ2w=4/9，此時模型系統(tǒng)函數(shù)為這樣得到的模型系統(tǒng)函數(shù)的常數(shù)因子不同，但我們知道系統(tǒng)函數(shù)的全部特性決定于其零極點的分布情況，常數(shù)因子僅影響其幅度大小，不影響問題實質(zhì)。習題

1.將零均值與方差為σ2x的白噪聲通過一線性系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為H(z)，試求此系統(tǒng)輸出的方差σ2y。若為何?

2.已知

y1(n)=x1(n)*h1(n),y2(n)=x2(n)*h2(n)，證明：(1)(2)(3)(4)3.證明用式：進行自相關函數(shù)的估計是漸進一致估計。

4.已知一個二階AR模型，其差分方程為x(n)-0.6x(n-1)+0.08x(n-2)=ω(n)，其中ω(n)是均值為零、方差為σ2ω的白噪聲，求H(z)、rxx(m)、Pxx(z)。

5.設一AR(3)模型為xn+0.9xn-1-0.36xn-2+0.145xn-3=ωn，求與其等價的ARMA(1,1)模型的參數(shù)。

6.一平穩(wěn)隨機信號xn具有有理功率譜密度，σ2ω=1,

求信號模型。

7.設平穩(wěn)隨機信號xn具有下列自相關函數(shù)：

(1)rxx(k)=0.5|k|

所有k

(2)

rxx(k)=0.5|k|+(-0.5)|k|

所有k

試求產(chǎn)生此信號的模型。

8.用一個無窮階MA(∞)模型HMA(z)=d(0)+d(1)z-1+d(2)z-1+…來近似求出d(k),k=0,1,…。9.已知有理譜Pxx(ejω)如下式：求相應的信號模型系統(tǒng)函數(shù)。第二章維納濾波和卡爾曼濾波2.1引言

2.2維納濾波器的離散形式——時域解

2.3離散維納濾波器的z域解

2.4維納預測

2.5卡爾曼(Kalman)濾波

2.1引言在生產(chǎn)實踐中，我們所觀測到的信號都是受到噪聲干擾的。如何最大限度地抑制噪聲，并將有用信號分離出來，是信號處理中經(jīng)常遇到的問題。換句話說，信號處理的目的就是要得到不受干擾影響的真正信號。相應的處理系統(tǒng)稱為濾波器。這里，我們只考慮加性噪聲的影響，即觀測數(shù)據(jù)x(n)是信號s(n)與噪聲v(n)之和（如圖2.1.1所示）,即x(n)=s(n)+v(n)（2.1.1）

我們的目的是為了得到不含噪聲的信號s(n)，也稱為期望信號，若濾波系統(tǒng)的單位脈沖響應為h(n)（如圖2.1.2所示），系統(tǒng)的期望輸出用yd(n)表示，yd(n)應等于信號的真值s(n)；系統(tǒng)的實際輸出用y(n)表示，y(n)是s(n)的逼近或估計，用公式表示為yd(n)=s(n)，y(n)=。因此對信號x(n)進行處理，可以看成是對期望信號的估計，這樣可以將h(n)看作是一個估計器，也就是說,信號處理的目的是要得到信號的一個最佳估計。那么，采用不同的最佳準則，估計得到的結(jié)果可能不同。所得到的估計，在通信中稱為波形估計;在自動控制中，稱為動態(tài)估計。圖2.1.1觀測信號的組成圖2.1.2信號處理的一般模型假若已知x(n-1),x(n-2),…,x(n-m)，要估計當前及以后時刻的信號值s(n+N),N≥0，這樣的估計問題稱為預測問題；若已知x(n-1),x(n-2),…,x(n-m)，要估計當前的信號值s(n)，稱為過濾或濾波；根據(jù)過去的觀測值x(n-1),x(n-2),…,x(n-m)，估計過去的信號值s(n-N),N≥1，稱為平滑或內(nèi)插。維納(Wiener)濾波與卡爾曼(Kalman)濾波就是用來解決這樣一類從噪聲中提取信號的過濾或預測問題,并以估計的結(jié)果與信號真值之間的誤差的均方值最小作為最佳準則。^^

維納濾波是在第二次世界大戰(zhàn)期間，由于軍事的需要由維納提出的。1950年，伯特和香農(nóng)給出了當信號的功率譜為有理譜時，由功率譜直接求取維納濾波器傳輸函數(shù)的設計方法。維納濾波器的求解，要求知道隨機信號的統(tǒng)計分布規(guī)律（自相關函數(shù)或功率譜密度），得到的結(jié)果是封閉公式。采用譜分解的方法求解，簡單易行，具有一定的工程實用價值，并且物理概念清楚，但不能實時處理；維納濾波的最大缺點是僅適用于一維平穩(wěn)隨機信號。這是由于采用頻域設計法所造成的，因此人們逐漸轉(zhuǎn)向在時域內(nèi)直接設計最佳濾波器的方法。2.2維納濾波器的離散形式——時域解2.2.1維納濾波器時域求解的方法根據(jù)線性系統(tǒng)的基本理論，并考慮到系統(tǒng)的因果性，可以得到濾波器的輸出y(n),n=0,1,2,…（2.2.2）設期望信號為d(n)，誤差信號e(n)及其均方值E［|e(n)|2］分別為e(n)=d(n)-y(n)=s(n)-y(n)（2.2.３）（2.2.４）要使均方誤差為最小，須滿足（2.2.5）這里，hj表示h(j);同理，可以用aj，bj分別表示a(j)，b(j)。由于誤差的均方值是一標量，因此（2.2.5）式是一個標量對復函數(shù)的求導問題，它等價于j=0,1,2,…（2.2.6）記j=0,1,2,…（2.2.７）則（2.2.6）式可以寫為（2.2.8）將（2.2.8）式展開（2.2.9）又根據(jù)（2.2.1）~(2.2.3)式將（2.2.10）～（2.2.13）式代入（2.2.9）式，得（2.2.14)因此E［x*(n-j)e(n)］=0

j=0,1,2,…（2.2.15）上式說明，均方誤差達到最小值的充要條件是誤差信號與任一進入估計的輸入信號正交，這就是通常所說的正交性原理。它的重要意義在于提供了一個數(shù)學方法，用以判斷線性濾波系統(tǒng)是否工作于最佳狀態(tài)。下面計算輸出信號與誤差信號的互相關函數(shù)(2.2.16)假定濾波器工作于最佳狀態(tài)，濾波器的輸出yopt(n)與期望信號d(n)的誤差為eopt(n)，把（2.2.15）式代入上式，得到(2.2.17)圖2.2.1期望信號、估計值與誤差信號的幾何關系圖2.2.1表明在濾波器處于最佳工作狀態(tài)時，估計值加上估計偏差等于期望信號，即注意我們所研究的是隨機信號，圖2.2.1中各矢量的幾何表示應理解為相應量的統(tǒng)計平均或者是數(shù)學期望。再從能量的角度來看，假定輸入信號和期望信號都是零均值,應用正交性原理,則 ,因此在濾波器處于最佳狀態(tài)時，估計值的能量總是小于等于期望信號的能量。2.2.2維納—霍夫方程將（2.2.15）式展開，可以得到將輸入信號分配進去，得到k=0,1,2,…對上式兩邊取共軛，利用相關函數(shù)的性質(zhì):ryx(-k)=r*xy(k),得到k=0,1,2,…(2.2.20)

(2.2.20)式稱為維納-霍夫（Wiener－Hopf）方程。當h(n)是一個長度為M的因果序列(即h(n)是一個長度為M的FIR濾波器)時，維納-霍夫方程表述為k=0,1,2,…(2.2.21)把k的取值代入(2.2.21)式，得到當k=0時，h1rxx(0)+h2rxx(1)+…+hMrxx(M-1)=rxd(0)當k=1時，h1rxx(1)+h2rxx(0)+…+hMrxx(M-2)=rxd(+1)

當k=M-1時，h1rxx(M-1)+h2rxx(M-2)+…+hMrxx(0)=rxd(M-1)…(2.2.22)定義（2.2.22）式可以寫成矩陣的形式，即(2.2.23)

對上式求逆，得到(2.2.24)

上式表明已知期望信號與觀測數(shù)據(jù)的互相關函數(shù)及觀測數(shù)據(jù)的自相關函數(shù)時，可以通過矩陣求逆運算，得到維納濾波器的最佳解。同時可以看到，直接從時域求解因果的維納濾波器，當選擇的濾波器的長度M較大時，計算工作量很大，并且需要計算Rxx的逆矩陣，從而要求的存貯量也很大。此外，在具體實現(xiàn)時，濾波器的長度是由實驗來確定的，如果想通過增加長度提高逼近的精度，就需要在新M基礎上重新進行計算。因此，從時域求解維納濾波器，并不是一個有效的方法。2.2.3估計誤差的均方值假定所研究的信號都是零均值的，濾波器為FIR型，長度等于M，將(2.2.2)式和(2.2.3)式代入(2.2.4)式，可以得到(2.2.25)上式可以進一步化簡得到

可以看出，均方誤差與濾波器的單位脈沖響應是一個二次函數(shù)關系。由于單位脈沖響應h(n)為M維向量，因此均方誤差是一個超橢圓拋物形曲面，該曲面有極小點存在。當濾波器工作于最佳狀態(tài)時，均方誤差取得最小值。將（2.2.24）式代入(2.2.26)式，得到最小均方誤差(2.2.27)

例2.2.1設y(n)=x(n)+v2(n)，v2(n)是一白噪聲，方差σ22=0.1。期望信號x1(n)的信號模型如圖2.2.2（a）所示，其中白噪聲v1(n)的方差σ21=0.27，且b0=0.8458。x(n)的信號模型如圖2.2.2（b）所示，b1=0.9458。假定v1(n)與v2(n)、x1(n)與y(n)不相關，并都是實信號。設計一個維納濾波器，得到該信號的最佳估計，要求濾波器是一長度為2的FIR濾波器。圖2.2.2輸入信號與觀測數(shù)據(jù)的模型

解這個問題屬于直接應用維納-霍夫方程的典型問題，其關鍵在于求出觀測信號的自相關函數(shù)和觀測信號與期望信號的互相關函數(shù)。圖2.2.3維納濾波器的框圖根據(jù)題意，畫出這個維納濾波器的框圖，如圖2.2.3所示。用H1(z)和H2(z)分別表示x1(n)和x(n)的信號模型，那么濾波器的輸入信號x(n)可以看作是v1(n)通過H1(z)和H２(z)級聯(lián)后的輸出，H1(z)和H２(z)級聯(lián)后的等效系統(tǒng)用H(z)表示，輸出信號y(n)就等于x(n)和v2(n)之和。因此求出輸出信號的自相關函數(shù)矩陣Ryy和輸出信號與期望信號的互相關矩陣Ryd是解決問題的關鍵。相關函數(shù)矩陣由相關函數(shù)值組成，已知x(n)與v2(n)不相關，那么

(1)求出期望信號的方差。根據(jù)圖2.2.2(a)，期望信號的時間序列模型所對應的差分方程為x1(n)=v1(n)-b0x1(n-1)這里，b0=0.8458,由于x1(n)的均值為零，其方差與自相關函數(shù)在零點的值相等。

(2)計算輸入信號和輸出信號的自相關函數(shù)矩陣。根據(jù)自相關函數(shù)、功率譜密度和時間序列信號模型的等價關系，已知時間序列信號模型，就可以求出自相關函數(shù)。這里，信號的模型H(z)可以通過計算得到。這是一個二階系統(tǒng)，所對應的差分方程為x(n)+a1x(n-1)+a2x(n-2)=v1(n)式中，a1=-0.1，a2=-0.8。由于v1(n)、v2(n)的均值為零，因此，x(n)的均值為0。給方程兩邊同乘以x*(n-m)，并取數(shù)學期望，得到rxx(m)+a1rxx(m-1)+a2rxx(m-2)=0m＞0

(1)rxx(0)+a1rxx(1)+a2rxx(2)=σ21

m=0

(2)對方程（1）取m=1,2，得到rxx(1)+a1rxx(0)+a2rxx(1)=0 (3)rxx(2)+a1rxx(1)+a2rxx(0)=0

(4)

方程（2）、（3）、（4）聯(lián)立求解，得至此，輸入信號的自相關矩陣Rxx可以寫出：

v2(n)是一個零均值的白噪聲，它的自相關函數(shù)矩陣呈對角形，且 ，因此，輸出信號的自相關Ryy為

(3)計算輸出信號與期望信號的互相關函數(shù)矩陣。由于兩個信號都是實信號，故ryd(m)=E［y(n)d(n-m)］=E［y(n)x1(n-m)］

=E［(x(n)+v2(n))x1(n-m)］=E［x(n)x1(n-m)］m=0,1

根據(jù)圖2.2.2系統(tǒng)H2(z)的輸入與輸出的關系,有x1(n)-b1x(n-1)=x(n)推出x1(n)=x(n)+b1x(n-1)這樣ryd(m)=E［x(n)x1(n-m)］=E［x(n)(x(n-m)+b1x(n-1-m))］

=rxx(m)+b1rxx(m-1)將m=0,m=1代入上式,得ryd(0)=rxx(0)+b1rxx(-1)=1-0.9458×0.5=0.5272ryd(1)=rxx(1)+b1rxx(0)=0.5-0.9458×1=-0.4458因此，輸出信號與期望信號的互相關Ryd為求出輸出信號自相關的逆矩陣,并乘以Ryd,就可以得到維納濾波器的最佳解Wopt:把Wopt代入（2.2.27）式，可以計算出該維納濾波達到最佳狀態(tài)時均方誤差，即取得了最小值E［|e(n)|2］min，2.3離散維納濾波器的z域解若不考慮濾波器的因果性，（2.2.20）式可以寫為設定d(n)=s(n)，對上式兩邊做Z變換，得到Sxs(z)=Hopt(z)Sxx(z)假設信號和噪聲不相關，即rsv(m)=0，則Sxs(z)=Sss(z)Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z)（2.3.2）式可以寫成（2.3.5）式表示，當噪聲為0時，信號全部通過；當信號為0時，噪聲全部被抑制掉，因此維納濾波確有濾除噪聲的能力。把信號的頻譜用Pss(ejω)表示，噪聲的頻譜用Pvv(ejω)表示，那么非因果的維納濾波器的傳輸函數(shù)Hopt(ejω)的幅頻特性如圖2.3.1所示。Pss(ejω)≠0,Pvv(ejω)=0Pss(ejω)≠0,Pvv(ejω)≠0Pss(ejω)=0,Pvv(ejω)≠0

然而實際的系統(tǒng)都是因果的。對于一個因果系統(tǒng)，不能直接轉(zhuǎn)入頻域求解的原因是由于輸入信號與期望信號的互相關序列是一個因果序列，如果能夠把因果維納濾波器的求解問題轉(zhuǎn)化為非因果問題，求解方法將大大簡化。那么怎樣把一個因果序列轉(zhuǎn)化為一個非因果序列呢？圖2.3.1非因果維納濾波器的傳輸函數(shù)的幅頻特性

回顧前面講到的時間序列信號模型，假設x(n)的信號模型B(z)已知（如圖2.3.2(a)所示），求出信號模型的逆系統(tǒng)B-1(z)，并將x(n)作為輸入，那么逆系統(tǒng)B-1(z)的輸出ω(n)為白噪聲。一般把信號轉(zhuǎn)化為白噪聲的過程稱為白化，對應的濾波器稱為白化濾波器（如圖2.3.2(b)所示）。圖2.3.2x(n)的時間序列信號模型及其白化濾波器

具體思路如圖2.3.3所示。用白噪聲作為待求的維納濾波器的輸入，設定1/B(z)為信號x(n)的白化濾波器的傳輸函數(shù)，那么維納濾波器的傳輸函數(shù)G(z)的關系為(2.3.7)

因此，維納濾波器的傳輸函數(shù)H(z)的求解轉(zhuǎn)化為G(z)的求解。圖2.3.3維納濾波解題思路2.3.1非因果維納濾波器的求解假設待求維納濾波器的單位脈沖響應為ω(n)，期望信號d(n)=s(n)，系統(tǒng)的輸出信號y(n)=s(n)，g(n)是G(z)的逆Z變換，如圖2.3.3所示。(2.3.9)

可以看出，均方誤差的第一項和第三項都是非負數(shù),要使均方誤差為最小，當且僅當

-∞＜k＜∞(2.3.10)因此g(n)的最佳值為-∞＜k＜∞(2.3.11)對上式兩邊同時做Z變換，得到(2.3.12)這樣，非因果維納濾波器的最佳解為(2.3.13)

因為s(n)=s(n)*δ(n)，且x(n)=ω(n)*b(n)，根據(jù)相關卷積定理(1.4.15)式,得到rxs(m)=rωs(m)*b(-m)(2.3.14)

對上式兩邊做Z變換，得到Sxs(z)=Sωs(z)B(z-1)因此(2.3.15)

將上式代入(2.3.13)式，并根據(jù)x(n)的信號模型，得到非因果的維納濾波器的復頻域最佳解的一般表達式(2.3.16)假定信號與噪聲不相關，即當E［s(n)v(n)］=0時，有rxs(m)=E［(s(n)+v(n))*s(n+m)］=rss(m)rxx(m)=E［(s(n)+v(n))*(s(n+m)+v(n+m))］=rss(m)+rvv(m)對上邊兩式做Z變換,得到Sxs(z)=Sss(z)Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z)(2.3.17)(2.3.18)把(2.3.17)式代入(2.3.15)式,得到（2.3.19)

將（2.3.18）式和（2.3.19）式代入（2.3.16）式,得到信號和噪聲不相關時，非因果維納濾波器的復頻域最佳解和頻率響應分別為（2.3.20)（2.3.21)

下面我們推出該濾波器的最小均方誤差E［|e(n)|2］min的計算,重新寫出(2.3