2023屆高考數(shù)學(xué)特訓(xùn)營(yíng)第2節(jié)-第二課時(shí)-導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值

第2節(jié)第二課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值2023屆1《高考特訓(xùn)營(yíng)》·數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀命題方向數(shù)學(xué)素養(yǎng)1.借助函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件.2.能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)的極大值、極小值以及給定閉區(qū)間上不超過(guò)三次的多項(xiàng)式函數(shù)的最大值、最小值.3.體會(huì)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值、最大(小)值的關(guān)系1.利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值邏輯推理直觀想象邏輯推理2.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值3.已知函數(shù)的極值求參數(shù)的取值0102知識(shí)特訓(xùn)能力特訓(xùn)01知識(shí)特訓(xùn)知識(shí)必記拓展鏈接對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1．函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近的其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則點(diǎn)a叫作函數(shù)y＝f(x)的___________，f(a)叫作函數(shù)y＝f(x)的__________．極小值點(diǎn)極小值(2)函數(shù)的極大值函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近的其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，________，而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則點(diǎn)b叫作函數(shù)y＝f(x)的__________，f(b)叫作函數(shù)y＝f(x)的________．極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值．[注意]

(1)求函數(shù)的極值、函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題易忽視函數(shù)的定義域．(2)已知極值點(diǎn)求參數(shù)時(shí)，由極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0求出參數(shù)后，易忽視對(duì)極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)的檢驗(yàn)．f′(b)＝0極大值點(diǎn)極大值2．函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上________的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則________為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的________．(3)開(kāi)區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無(wú)最值．連續(xù)f(a)

最小值[思考]

導(dǎo)函數(shù)為0與可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)有何關(guān)聯(lián)？點(diǎn)撥：f′(x0)＝0是x0為f(x)的極值點(diǎn)的_________________．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是極值點(diǎn)．必要不充分條件[探究]

極值與最值有怎樣的關(guān)系？1．若函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則相應(yīng)的極值一定是函數(shù)的最值．2．極值只能在定義域內(nèi)取得(不包括端點(diǎn))，最值卻可以在端點(diǎn)處取得，有極值的不一定有最值，有最值的也未必有極值；極值有可能成為最值；非常數(shù)可導(dǎo)函數(shù)最值只要不在端點(diǎn)處取，則必定在極值處取到．1．[概念辨析]極值與極值點(diǎn)極值點(diǎn)不是點(diǎn)，若函數(shù)f(x)在x1處取得極大值，則x1為極大值點(diǎn)，極大值為f(x1)；在x2處取得極小值，則x2為極小值點(diǎn)，極小值為f(x2)．極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系．2．[知識(shí)拓展]邊際函數(shù)經(jīng)濟(jì)學(xué)中，把函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)稱為f(x)的邊際函數(shù)．在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本稱為成本函數(shù)，記為C(x)，出售x件產(chǎn)品的收益稱為收益函數(shù)，記為R(x)，R(x)－C(x)稱為利潤(rùn)函數(shù)，記為P(x)．相應(yīng)地，它們的導(dǎo)數(shù)C′(x)，R′(x)和P′(x)分別稱為邊際成本函數(shù)、邊際收益函數(shù)和邊際利潤(rùn)函數(shù)．

3．[學(xué)以致用]用導(dǎo)數(shù)，巧經(jīng)營(yíng)經(jīng)濟(jì)生活中要分析生產(chǎn)的成本與利潤(rùn)及利潤(rùn)增減的快慢，以產(chǎn)量或單價(jià)為自變量很容易建立函數(shù)關(guān)系，可以運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，巧妙經(jīng)營(yíng)．答案：9解析：y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)，當(dāng)0＜x＜9時(shí)，y′＞0；當(dāng)x＞9時(shí)，y′＜0.所以當(dāng)x＝9時(shí)，y取得極大值同時(shí)為最大值.1．[易錯(cuò)診斷]已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?a，b)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)在(a，b)上的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在(a，b)上的極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(

)

A．1 B．2C．3 D．4B解析：由函數(shù)極值的定義和導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，f′(x)在(a，b)上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，但是在原點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)值恒大于零，故x＝0不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)．其余的3個(gè)交點(diǎn)都是極值點(diǎn)，其中有2個(gè)點(diǎn)滿足其附近的導(dǎo)數(shù)值左正右負(fù)，故極大值點(diǎn)有2個(gè)．2．[教材改編]已知a為函數(shù)f(x)＝x3－12x的極小值點(diǎn)，則a＝(

)A．－4 B．－2C．4 D．2解析：由題意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2.當(dāng)x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，則f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(－2，2)時(shí)，f′(x)＜0，則f(x)單調(diào)遞減．∴f(x)的極小值點(diǎn)為a＝2.D

4．[真題體驗(yàn)](2021·新高考Ⅰ卷)函數(shù)f(x)＝|2x－1|－2lnx的最小值為_(kāi)_____．答案：102能力特訓(xùn)特訓(xùn)點(diǎn)1特訓(xùn)點(diǎn)2特訓(xùn)點(diǎn)3考向1根據(jù)函數(shù)圖象判斷函數(shù)極值典例1

(多選題)(2022·山東省鄆城一模)已知函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則下列判斷正確的是(

)A．f(x)在x＝－4時(shí)取極小值B．f(x)在x＝－2時(shí)取極大值C．x＝1.5是f(x)的極小值點(diǎn)D．x＝3是f(x)的極小值點(diǎn)特訓(xùn)點(diǎn)1利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問(wèn)題【多維考向類】AC解析：由導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象可得：當(dāng)x＝－4時(shí)，其左邊的導(dǎo)數(shù)小于零，右邊的導(dǎo)數(shù)大于零，所以f(x)在x＝－4時(shí)取極小值，所以A正確，當(dāng)x＝1.5時(shí)，其左邊的導(dǎo)數(shù)小于零，右邊的導(dǎo)數(shù)大于零，所以x＝1.5是f(x)的極小值點(diǎn)，所以C正確，而x＝－2和x＝3，左右兩邊的導(dǎo)數(shù)值同號(hào)，所以x＝－2和x＝3不是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以BD錯(cuò)誤，故選AC.由圖象判斷函數(shù)y＝f(x)的極值，要抓住兩點(diǎn)：(1)由y＝f′(x)的圖象與x軸的交點(diǎn)，可得函數(shù)y＝f(x)的可能極值點(diǎn)；(2)由導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象可以看出y＝f′(x)的值的正負(fù)，從而可得函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)性．兩者結(jié)合可得極值點(diǎn)．

當(dāng)x∈(lna，＋∞)時(shí)，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增．故f(x)在x＝lna處取得極小值且極小值為f(lna)＝lna，無(wú)極大值．綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在x＝lna處取得極小值lna，無(wú)極大值．運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)極值的一般步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢驗(yàn)f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側(cè)值的符號(hào)；(5)求出極值．答案：(－9，0)∪(0，1)

1．已知函數(shù)極值，確定函數(shù)解析式中的參數(shù)時(shí)，要注意：根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解．2．導(dǎo)數(shù)值為0不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以用待定系數(shù)法求解后必須檢驗(yàn)．(1)若a＝0，求y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程；(2)若函數(shù)f(x)在x＝－1處取得極值，求f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及最大值和最小值．特訓(xùn)點(diǎn)2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值【師生共研類】[解題指導(dǎo)](1)求f(1)→求f′(1)→點(diǎn)斜式求切線的方程；(2)由f′(－1)＝0→求a的值→利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)f(x)的單調(diào)性→極值情況→求最值．

1．求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值時(shí)，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b)與f(x)的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值．2．若所給的閉區(qū)間[a，b]含參數(shù)，則需對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，通過(guò)對(duì)參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f(x)的最值．

典例5

(2021·天津卷)已知a>0，函數(shù)f(x)＝ax－xex.(1)求曲線f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；(2)證明函數(shù)f(x)存在唯一的極值點(diǎn)；(3)若?a，使得f(x)≤a＋b對(duì)任意的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．解：(1)因?yàn)閒′(x)＝a－(x＋1)ex，所以f′(0)＝a－1，而f(0)＝0，所以在(0，f(0))處的切線方程為y＝(a－1)x(a>0)．特訓(xùn)點(diǎn)3函數(shù)的極值和最值的綜合問(wèn)題【師生共研類】(2)證明：令f′(x)＝a－(x＋1)ex＝0，則a＝(x＋1)ex，令g(x)＝(x＋1)ex，則g′(x)＝(x＋2)ex，令g′(x)＝0，解得x＝－2，當(dāng)x∈(－∞，－2)時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(－2，＋∞)時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x→－∞時(shí)，g(x)<0，當(dāng)x→＋∞時(shí)，g(x)>0，作出圖象．所以當(dāng)a>0時(shí)，y＝a與y＝g(x)僅有一個(gè)交點(diǎn)，令g(m)＝a，則m>－1，且f(m)＝a－g(m)＝0，當(dāng)x∈(－∞，m)時(shí)，a>g(m)，f′(x)>0，f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x∈(m，＋∞)時(shí)，a<g(m)，f′(x)<0，f(x)為減函數(shù)．所以當(dāng)x＝m時(shí)，f(x)有極大值點(diǎn)，且f(x)僅有一個(gè)極值點(diǎn)．(3)由(2)知f(x)max＝f(m)，此時(shí)a＝(1＋m)em(m>－1)，所以{f(x)－a}max＝f(m)－a＝(1＋m)mem－mem－(1＋m)em＝(m2－m－1)em(m>－1)．令h(x)＝(x2－x－1)ex(x>－1)，若存在a，使f(x)≤a＋b對(duì)任意的x∈R恒成立，則等價(jià)于存在x∈(－1，＋∞)，使得h(x)≤b成立，即b≥h(x)min.而h′(x)＝(x2＋x－2)ex＝(x－1)(x＋2)ex(x>－1)，當(dāng)x∈(－1，1)時(shí)，h′(x)<0，h(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h′(x)>0，h(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以h(x