大學(xué)課件-塑性理論

塑性理論主講:崔旭教授創(chuàng)新班航空航天工程學(xué)部沈陽(yáng)航空航天大學(xué)第一章緒論(2學(xué)時(shí))

1.1金屬塑性成形的作用

1.2金屬塑性成形方法的分類

1.3金屬的塑性1.1金屬塑性成形的作用一、概述

1、塑性成形定義：是利用金屬產(chǎn)生塑性變形的能力，使金屬在外力作用下成形的一種加工方法。也叫金屬的塑性加工或金屬壓力加工。

2、壓力加工方法：

a.冶金領(lǐng)域：軋制、拉拔、擠壓；

b.機(jī)械制造：鍛造、沖壓。

下一頁(yè)二、金屬塑性成形優(yōu)點(diǎn)：

1、經(jīng)塑性成形后，其組織、性能都得到改善和提高；

2、金屬的塑性成形材料利用率高，流線分布合理，提高制件強(qiáng)度；

3、可達(dá)到較高精度；

4、高的效率。返回1.2金屬塑性成形方法的分類一、冶金領(lǐng)域金屬成形方法

1、軋制

2、拉拔

3、擠壓二、機(jī)械制造中塑性成形方法

1、鍛造

2、沖壓返回1、軋制：是使金屬錠料或坯料通過(guò)兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軋輥間的特定空間（直線的或異形的），以獲得一定截面形狀材料的塑性成形方法（見表1-1a）。這是由大截面材料變?yōu)樾〗孛娌牧系某Ｓ眉庸み^(guò)程。利用軋制方法可生產(chǎn)出型材、板材和管材；返回2、拉拔：將中等截面的坯料拉過(guò)有一定形狀的模孔，以獲得小截面坯料的塑性成形方法（見表1-1b）。利用拉拔方法可以獲得棒材、管材和線材。返回3、擠壓：將在筒體中的大截面坯料或錠料一端加壓，使金屬?gòu)哪？字袛D出，以獲得符合?？捉孛嫘螤畹男〗孛媾髁系乃苄猿尚畏椒ǎㄒ姳?-1c、d）。適于生產(chǎn)低塑性材料的型材和管材。

返回1、鍛造

1）概念：鍛造屬體積成形，就是通過(guò)金屬體積的轉(zhuǎn)移和分配來(lái)獲得機(jī)器零件（毛坯）的塑性成形方法。為使金屬易于成形和有較好的塑性，鍛造多在熱態(tài)下進(jìn)行，所以鍛造也常稱為熱鍛。

2）分類：自由鍛、模鍛返回

自由鍛：自由鍛一般是在錘或水壓機(jī)上，利用簡(jiǎn)單的工具將金屬錠料或塊料鍛成特定形狀和尺寸的加工方法。表1-1中的e，平砧下鐓粗即為一例。進(jìn)行自由鍛時(shí)不使用專用模具，因而鍛件的尺寸精度低，生產(chǎn)率也不高，所以自由鍛主要用于單件、小批生產(chǎn)或大鍛件的生產(chǎn)。

返回

模鍛：模鍛是適合于大批量生產(chǎn)的鍛造方法，鍛件的成形要用適合于每個(gè)鍛件的模具來(lái)進(jìn)行，表1-1中的f、g是兩種模鍛形式。由于模鍛時(shí)金屬的成形由模具控制，因此模鍛件就有相當(dāng)精確的外形和尺寸，也有相當(dāng)高的生產(chǎn)率。返回2、沖壓：屬于板料成形．是利用專門的模具對(duì)板料進(jìn)行塑性加工的方法，故也稱板料沖壓。同時(shí)，由于一般都在室溫下進(jìn)行，故也常稱為冷沖壓。板料沖壓時(shí)厚度基本不發(fā)生變化。板料沖壓的基本方式有沖裁、彎曲、拉延（表1-1h）成形等多種工序。返回返回1返回2返回3返回4返回5返回61.3金屬的塑性一、塑性

1.概念

2.影響塑性因素二、塑性指標(biāo)

1.概念

2.拉伸試驗(yàn)的塑性指標(biāo)返回1.概念：是指固體材料在外力作用下發(fā)生永久變形，而不破壞其完整性的能力。

2.影響塑性因素：（1）金屬本身的晶格類型、化學(xué)成分和金相組織等；（2）變形時(shí)的外部條件，如變形溫度、變形速度和受力狀況等。返回1.概念：為了衡量金屬塑性的高低，需要有一種數(shù)量上的指標(biāo)，稱為塑性指標(biāo)。

2.拉伸試驗(yàn)的塑性指標(biāo)：延伸率

斷面收縮率式中

—拉伸試樣原始標(biāo)距長(zhǎng)度，

—拉伸試樣破斷后標(biāo)距間的長(zhǎng)度，

—拉伸試樣原始斷面積；

—拉伸試樣破斷處的斷面積。返回第二章應(yīng)力狀態(tài)分析

2.1外力和應(yīng)力

2.2直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)

2.3平衡微分方程

2.4平面應(yīng)力和平面應(yīng)變狀態(tài)

2.5軸對(duì)稱狀態(tài)(10學(xué)時(shí))2.1外力和應(yīng)力

一、外力的分類

1.接觸力2.體力二、內(nèi)力和應(yīng)力

1.內(nèi)力

2.應(yīng)力

3.全應(yīng)力三、全應(yīng)力的應(yīng)用返回接觸力：作用在物體表面上的力，叫做面力或接觸力，它可以是集中力，但更一般的是分布力。2.體力：是作用在物體每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力，例如重力、磁力以及慣性力等等，叫做體力。塑性成形時(shí)，除了高速鍛造、爆炸成形、磁力成形等少數(shù)情況外，體力相對(duì)面力而言是很小的，可以忽略不計(jì)。返回

1.內(nèi)力：在外力作用下，物體內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間就會(huì)產(chǎn)生相互作用的力，叫做內(nèi)力；返回

2.應(yīng)力：

單位面積上的內(nèi)力叫做應(yīng)力；返回

3.全應(yīng)力：如圖2.1，在物體內(nèi)一截面A上圍繞Q取一很小面積ΔF,設(shè)該面積上內(nèi)力的合力為ΔP，則定義為A面上Q點(diǎn)的全應(yīng)力。全應(yīng)力S可以分解成兩個(gè)分量，一個(gè)垂直于A面，叫做正應(yīng)力，一般用σ表示；另一個(gè)平行于A面，叫做剪應(yīng)力，用τ表示。這時(shí)dF可叫做Q點(diǎn)在N方向的微分面，S、σ及τ則分別稱為Q點(diǎn)在N方向微分面上的全應(yīng)力、正應(yīng)力及剪應(yīng)力。返回圖2.1面力、內(nèi)力和應(yīng)力返回三、全應(yīng)力的應(yīng)用如圖2.2，設(shè)一斷面積為Fo的勻截面棒料承受拉力P，通過(guò)棒料內(nèi)一點(diǎn)Q作一切面Ａ，其法線N與拉伸軸成θ角，將棒料切開而移去上半部。由于是均勻拉伸，故A面上的應(yīng)力是均布的。設(shè)Q點(diǎn)在A面上的全應(yīng)力為S，則S的方向一定平行于拉伸軸，而大小則為：式中σ0即為垂直于拉伸軸的切面上的正應(yīng)力。全應(yīng)力S的正應(yīng)力分量及剪應(yīng)力分量可用下式求得：返回圖2.2單向均勻拉伸時(shí)的應(yīng)力返回2.2直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)一、應(yīng)力分量二、質(zhì)點(diǎn)在任意方向切面上的應(yīng)力三、主應(yīng)力和應(yīng)力不變量(2學(xué)時(shí)+2習(xí)題課)四、主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力五、應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量六、八面體應(yīng)力和等效應(yīng)力七、應(yīng)力莫爾圓

(2學(xué)時(shí))返回(2學(xué)時(shí))(2學(xué)時(shí))一、應(yīng)力分量

1、應(yīng)力狀態(tài)的表示方法

2、應(yīng)力分量正、負(fù)方法的確定返回

σij表示應(yīng)力的作用力方向?yàn)閖方向，作用面為i面。如圖2.3，表示為矩陣形式返回返回1返回21）正、負(fù)面的確定：在單元體上，外法線指向坐標(biāo)軸正向的微分面（圖2-3中的前、由、上三個(gè)面）叫做正面，反之稱為負(fù)面。2）應(yīng)力分量正、負(fù)的確定在正面上，指向坐標(biāo)軸正向的應(yīng)力分量取正號(hào)，指向負(fù)向的取負(fù)號(hào)；負(fù)面上的應(yīng)力分量則相反。一般有：（2.1）返回二、質(zhì)點(diǎn)在任意方向切面上的應(yīng)力如圖2.4，在直角坐標(biāo)系內(nèi)任意取一點(diǎn)（單元體）Q，設(shè)其應(yīng)力分量為σij，現(xiàn)有一任意方向的斜切面ABC把單元體切成一個(gè)四面體QABC，則該微分面上的應(yīng)力就是質(zhì)點(diǎn)在任意切面上的應(yīng)力。它可通過(guò)四面體QABC靜力平衡求得。設(shè)ABC微分面的法線為N，N的方向余弦為l、m、n，即：

l=cos(N,x);m=cos(N,y);n=cos(N,z)

并設(shè)SABC=dF,則dFx=ldF;dFy=mdF;dFz=ndF;

下一頁(yè)

返回返回1返回2由靜力平衡條件有：同理（2.2）于是任意斜切面ABC上的全應(yīng)力S為：（2.3）通過(guò)全應(yīng)力S的三個(gè)分量、和在法線方向得投影之和可得到該斜切面上的正應(yīng)力σ，即上一頁(yè)

下一頁(yè)將（2.2）帶入上式，整理后得：（2.4）由于所以，斜切面上的切應(yīng)力為（2.5）式（2.3）、（2.4）及（2.5）說(shuō)明任意斜切面上的全應(yīng)力、正應(yīng)力及切應(yīng)力都可用六個(gè)應(yīng)力分量表示出來(lái)，這些分量對(duì)于確定任意斜面上的應(yīng)力是缺一不可的。上一頁(yè)返回

三、主應(yīng)力和應(yīng)力不變量由圖2.4知，任意微分面ABC所處位置不同，即l、m、n為不同數(shù)值時(shí)，其上全應(yīng)力S大小和方向也不同。當(dāng)ABC上只有正應(yīng)力σ，而無(wú)切應(yīng)力時(shí)（此時(shí)σ=S,τ=0）,QN為主軸方向，斜切面為主平面，σ為主應(yīng)力。主應(yīng)力σ在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量為：下一頁(yè)

返回由式（2.2）可知：變換上式得（2.6）

上一頁(yè)

下一頁(yè)

式（2.6）是關(guān)于l、m、n線性齊次方程組。由于它們不能同時(shí)為零，根據(jù)方程組理論，方程組得判別式恒等于零（2.7）展開（2.7）式，并整理后得（2.8）

上一頁(yè)下一頁(yè)設(shè)（2.9）由此（2.10）我們把I1、I2、I3分別稱為應(yīng)力張量得第一、第二和第三不變量。

上一頁(yè)下一頁(yè)

式（2.10）是以主應(yīng)力為未知數(shù)一元三次方程式，叫做應(yīng)力狀態(tài)的特征方程。解此方程式可求得三個(gè)主應(yīng)力分量σ1、σ2和σ3，并且這三個(gè)主應(yīng)力分量均為實(shí)數(shù)根。主應(yīng)力分量的作用方向可由式(2.6)與關(guān)系式(2.11)

聯(lián)立求得。上一頁(yè)下一頁(yè)

如果取三個(gè)主方向?yàn)樽鴺?biāo)軸，即用主軸1、2、3代替任意坐標(biāo)軸x、y、z，那么在主軸系統(tǒng)中任意斜切面上的全應(yīng)力S、正應(yīng)力σ和切應(yīng)力τ，將由式，（2.3）、(2.4)、(2.5)變成如下的形式：（2.3.a）（2.4.a）（2.5.a）如果取三個(gè)主方向?yàn)樽鴺?biāo)軸，則一般用1、2、3代替x、y、z，這時(shí)應(yīng)力張量為

上一頁(yè)下一頁(yè)例題已知某受應(yīng)力作用點(diǎn)的九個(gè)應(yīng)力分量分別為σx=σy=20×107Pa,τxy=τyx=10×107Pa,σz=0,τxz=τzx=τyz=τzy=0,試求主應(yīng)力分量大小和方向。

解（1）求主應(yīng)力分量的大小由于將I1、I2、I3帶入方程（2.10）得

上一頁(yè)下一頁(yè)解得σ1=30×107Paσ2=10×107Paσ3=0（2）求三個(gè)主應(yīng)力分量得作用方向先求主應(yīng)力σ1=30×107Pa這個(gè)微分面的方向。將已知應(yīng)力分量σx=σy=20×107Pa,τxy=τyx=10×107Pa,σz=0,τxz=τzx=τyz=τzy=0,及σ1=30×107Pa帶入式（2.6）上一頁(yè)下一頁(yè)

并聯(lián)立關(guān)系式，經(jīng)化簡(jiǎn)后得：

-10l+10m=0n=0解此方程得：

上一頁(yè)下一頁(yè)同理，可分別求得σ2=10×107Pa和σ3=0所作用的微分面的方向：上一頁(yè)返回四、主剪應(yīng)力和最大剪應(yīng)力

1、主剪應(yīng)力概念上節(jié)所講的主方向?qū)嶋H上就是正應(yīng)力有極值的方向，主應(yīng)力就是極值。剪應(yīng)力同樣隨斜切平面的方向而變。一般把剪應(yīng)力有極值的平面叫“主剪應(yīng)力平面”，面上作用的剪應(yīng)力叫“主剪應(yīng)力”

2、主剪應(yīng)力的方向和大?。合乱豁?yè)

返回上一頁(yè)下一頁(yè)將每組l、m、n帶入式（2.5a）得到（2.13）上一頁(yè)下一頁(yè)3、最大剪應(yīng)力主剪應(yīng)力中絕對(duì)值最大的一個(gè)，也就是一點(diǎn)所有方向切面上剪應(yīng)力的最大值，叫做最大剪應(yīng)力，以τmax

表示。如設(shè)σ1>σ2>σ3,則：

τmax=±（σ1-σ3）/2（2.14）

4、主剪應(yīng)力平面上的正應(yīng)力將每組l、m、n帶入（2.4a）中，得到：（2.15）上一頁(yè)返回五、應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量

1、平均應(yīng)力概念三個(gè)正應(yīng)力分量的平均值叫平均應(yīng)力，是不變量，與所取坐標(biāo)無(wú)關(guān)，對(duì)于一個(gè)確定的應(yīng)力狀態(tài)，它是單值的，用σm表示：（2.16）

2、應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量概念應(yīng)力張量和矢量一樣，也是可以分解的，我們可將三個(gè)正應(yīng)力分量寫成如下形式：

（2.17）

下一頁(yè)返回將上式帶入張量式，即可將應(yīng)力張量分解成兩個(gè)張量（2.18）

3、應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量的意義由于球應(yīng)力狀態(tài)在任何切面上都沒(méi)有剪應(yīng)力，所以它不能使物體產(chǎn)生形狀變化和塑性變形，而只能產(chǎn)生體積變化。應(yīng)力偏張量只能使物體產(chǎn)生形狀變化，而不能產(chǎn)生體積變化，材料的塑性變形也主要與應(yīng)力偏張量有關(guān)

上一頁(yè)下一頁(yè)4、應(yīng)力偏張量的不變量（2.9a）對(duì)于主軸系統(tǒng)，則(2.9b)上一頁(yè)下一頁(yè)5、應(yīng)力球張量對(duì)金屬塑性的影響對(duì)擠壓和拉拔兩種不同工藝主應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行分析，即上一頁(yè)下一頁(yè)

由計(jì)算結(jié)果知，二種不同工藝其應(yīng)力的偏張量相同，不同的僅是應(yīng)力的球張量。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明擠壓工藝較拉拔工藝材料塑性高，這里主要是應(yīng)力球張量所起不同作用的結(jié)果。應(yīng)當(dāng)指出，應(yīng)力張量分解為應(yīng)力偏張量和應(yīng)力球張量?jī)蓚€(gè)部分是一種數(shù)學(xué)運(yùn)算法則，不應(yīng)無(wú)條件地賦予物理意義。但是，這一運(yùn)算，在塑性加工中球張量，即提高靜液應(yīng)力σm值來(lái)提高金屬材料的塑性的例子是不勝枚舉的。上一頁(yè)返回六、八面體應(yīng)力和等效應(yīng)力

1、八面體應(yīng)力概念以物體內(nèi)任意點(diǎn)Q為原點(diǎn)，以該點(diǎn)的應(yīng)力主軸為坐標(biāo)軸，在無(wú)限靠近Q點(diǎn)處作等傾斜微分面，其法線與三根坐標(biāo)軸的夾角都相等α=β=γ，即,坐標(biāo)間八個(gè)象限的等傾斜微分面可以形成一個(gè)正八面體，所以這種微分面叫八面體平面，面上的應(yīng)力叫八面體應(yīng)力，如圖2.6所示。

下一頁(yè)返回返回2、八面體平面上的應(yīng)力八面體平面的方向余弦滿足，因此：將上面數(shù)值帶入斜切面應(yīng)力公式，可求得八面體正應(yīng)力σ8：（2.19）將八面體平面的方向余弦?guī)爰魬?yīng)力求解公式：（2.20）（2.20）上一頁(yè)下一頁(yè)

可見，σ8就是平均應(yīng)力，是不變量。τ8則是與應(yīng)力球張量無(wú)關(guān)的不變量。

3、等效應(yīng)力將八面體剪應(yīng)力τ8取絕對(duì)值，并乘以系數(shù)，所得到的參量仍是一個(gè)不變量，我們把它叫做“等效應(yīng)力”。（2.21）（2.21a）等效應(yīng)力可以在一定意義上代表整個(gè)應(yīng)力狀態(tài)中偏張量部分。上一頁(yè)返回

七、應(yīng)力莫爾圓應(yīng)力莫爾圓是應(yīng)力狀態(tài)的一種幾何表達(dá)。設(shè)已知某應(yīng)力狀態(tài)三個(gè)主應(yīng)力σ1>σ2>σ3.以應(yīng)力主軸為坐標(biāo)軸，作一斜切微分面，其方向余弦為l、m、n，則可有如下三個(gè)熟知的方程：

下一頁(yè)返回

上列三式可看成是以l2、m2、n2為未知數(shù)的方程組。聯(lián)解此方程組可得：上一頁(yè)下一頁(yè)

將上列各式分子中含σ的括號(hào)展開并對(duì)σ配方，整理后可得：(2.22)上一頁(yè)下一頁(yè)

在σ-τ坐標(biāo)平面上，上式表示三個(gè)圓，圓心都在σ軸上，距離原點(diǎn)分別為、、，它們?cè)跀?shù)值上就是主剪應(yīng)力平面上的正應(yīng)力，三個(gè)圓的半徑隨方向余弦值而變。對(duì)于每一組，都將有圖2.7所示的三個(gè)圓。應(yīng)注意到這三式中，每個(gè)都只包含一個(gè)方向余弦值，表示某一方向余弦值為定值時(shí)σ、τ的變化規(guī)律。例如第一式只含l，故圓O1表示l為定值而m、n變化時(shí)，σ、τ的變化規(guī)律。對(duì)于一個(gè)確定的微分面，l、m、n都是定值，因此三個(gè)圓必然有共同的交點(diǎn)，交點(diǎn)P的坐標(biāo)即該面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。上一頁(yè)下一頁(yè)返回

如果用l=0帶入上面第一式，m=0帶入第二式，n=0帶入第三式，則可得到如下的三個(gè)圓方程：(2.23)上一頁(yè)下一頁(yè)

這三個(gè)圓叫做應(yīng)力莫爾圓（圖2.8)，它們的圓心位置與前述的三個(gè)圓相同，半徑分別等于三個(gè)主剪應(yīng)力，其中第一個(gè)圓O1表示l=0、m2+n2=1時(shí)，也即微分面法線N垂直于σ1軸且在σ2σ3平面上旋轉(zhuǎn)時(shí)，σ和τ的變化規(guī)律。圓O2、O3也可同樣理解。在l、m、n都不等于零時(shí)，代表微分面上應(yīng)力的點(diǎn)雖然不在三個(gè)圓上，但它們將必然落在三個(gè)莫爾圓之間，也即圖圖2.8中畫陰影線的部分。現(xiàn)證明如下：上一頁(yè)下一頁(yè)返回

因?yàn)槭?2.22)所示三個(gè)圓的交點(diǎn)P的坐標(biāo)就是任意微分面的應(yīng)力，現(xiàn)將式(2.22)與式(2.23)作對(duì)比，可以看出，區(qū)別僅在于式（2.22)的等號(hào)后面多了第一項(xiàng)，即只是半徑不同。在σ1>σ2>σ3條件下，式(2.22)等號(hào)后面的第一項(xiàng)具有如下性質(zhì)上一頁(yè)下一頁(yè)

由式（a）（c）可知，式(2.22)第一、第三式所示的圓半徑一定大于或等于莫爾圓O1、O3的半徑，即P點(diǎn)一定不會(huì)在圓O1及O3的里面，同樣，由式（b）可知，點(diǎn)P也不可能在莫爾圓O2的外面。所以，P點(diǎn)只能在三個(gè)圓之間或圓周上，于是上述結(jié)論得到證明。另外，圓O2上τ的極值就是主剪應(yīng)力，由于所有的應(yīng)力點(diǎn)不可能在圓O2的外面，因此τ13就是最大剪應(yīng)力τmax.上一頁(yè)返回2.3平衡微分方程

設(shè)物體（連續(xù)體）內(nèi)有一點(diǎn)Q如圖2.9所示，其坐標(biāo)為x、y、z。以Ｑ為頂點(diǎn)切取一個(gè)邊長(zhǎng)為dx、dy、dz的平行六面體。六面體另一頂點(diǎn)Ｑ`的坐標(biāo)即為x+dx,y+dy,z+dz。由于坐標(biāo)的微量變化，各個(gè)應(yīng)力分量也將產(chǎn)生微量的變化。在一般情況下，我們都認(rèn)為應(yīng)力分量是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，而且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。現(xiàn)設(shè)Q點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為σij，其x面上的正應(yīng)力分量為下一頁(yè)返回返回1返回2

在Ｑ`點(diǎn)的x面上，由于坐標(biāo)變化了dx，故其正應(yīng)力分量將為其余的八個(gè)應(yīng)力分量也可同樣推導(dǎo)，得到相類似的式子，如圖2.9所示。設(shè)圖2.9所示的單元體處于靜力平衡狀態(tài)，且不考慮體力，則由平衡條件ΣPx=0有上一頁(yè)下一頁(yè)簡(jiǎn)化整理后得按ΣPy=0及ΣPz=0還可以推得兩個(gè)式子，于是直角坐標(biāo)系中質(zhì)點(diǎn)的平衡微分方程為（2.24）簡(jiǎn)記為上一頁(yè)下一頁(yè)

下面考慮轉(zhuǎn)矩的平衡。以過(guò)單元體中心且平行于x軸的直線為軸線取力矩，由ΣMx=0有整理：略去微量后得τyz=

τzy,同理得τzx=

τxz,τxy=

τyx

這就是剪應(yīng)力互等定律。上一頁(yè)返回2.4平面應(yīng)力和平面應(yīng)變狀態(tài)

一、平面應(yīng)力狀態(tài)

1、平面應(yīng)力狀態(tài)特征

2、平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力表示方法

3、“純剪”應(yīng)力狀態(tài)

4、平面應(yīng)力狀態(tài)微分方程二、平面應(yīng)變狀態(tài)返回1、平面應(yīng)力狀態(tài)特征

1）物體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)在與某一方向垂直的平面上都沒(méi)有應(yīng)力，如取該方向?yàn)樽鴺?biāo)的z軸，則有σz=τzx=τzy=0。只留下σx、σy、τxy等應(yīng)力分量。z向必為主方向，所有質(zhì)點(diǎn)都是兩向應(yīng)力狀態(tài)；

2）各應(yīng)力分量都與z坐標(biāo)無(wú)關(guān)，因此整個(gè)物體的應(yīng)力分布可以在xy坐標(biāo)平面上表示出來(lái)。下一頁(yè)返回

材料力學(xué)中討論過(guò)的一些問(wèn)題，例如梁的彎曲、薄壁管扭轉(zhuǎn)等都是平面應(yīng)力狀態(tài)。另外，薄壁容器承受內(nèi)壓以及塑性成形中的一些板料成形工序，例如拉延等，由于壁厚或板厚方向的應(yīng)力相對(duì)很小，可以忽略，所以一般也看成是平面應(yīng)力狀態(tài)。返回2、平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力表示方法：或分析平面應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力時(shí)，可利用σ1、σ2應(yīng)力平面內(nèi)的莫爾圓（假設(shè)σ3=0）。該莫爾圓的方程即式第三式：一般為下一頁(yè)返回它們表示同一個(gè)圓，其圓心坐標(biāo)為或，半徑為最大剪應(yīng)力

見圖2.10

利用2.10圖可以很方便地寫出平面應(yīng)力狀態(tài)下一般應(yīng)力σx、σy、τxy與主應(yīng)力σ1、σ2之間的關(guān)系式：上一頁(yè)下一頁(yè)返回（2.26）這時(shí)主平面與x軸的夾角α為（2.27）（2.28）上一頁(yè)返回3、“純剪”應(yīng)力狀態(tài)

它的特點(diǎn)是在主剪平面上的正應(yīng)力為零，如圖2.11a所示。棒料或管料小變形扭轉(zhuǎn)時(shí)就是這種狀態(tài)。純剪狀態(tài)應(yīng)力莫爾圓如圖2.11b所示。由圖可以看出，純剪應(yīng)力就是最大剪應(yīng)力，主軸與坐標(biāo)軸成450角，主應(yīng)力特點(diǎn)是σ1=-σ2=τ。返回返回4、平面應(yīng)力狀態(tài)微分方程：（2.29）返回

二、平面應(yīng)變狀態(tài)

平面應(yīng)變狀態(tài)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力狀態(tài)一般是三向應(yīng)力狀態(tài)，在此種條件下有：當(dāng)εy=0時(shí)σy=(σx+σz)/2；或當(dāng)ε2=0時(shí)σ2=(σ1+σ3)/2。返回2.5軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)

在塑性成形中經(jīng)常遇到旋轉(zhuǎn)體。當(dāng)旋轉(zhuǎn)體承受的外力為對(duì)稱于旋轉(zhuǎn)軸的分布力而且沒(méi)有周向力時(shí)，則物體內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)就處于軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)。處于軸對(duì)稱狀態(tài)時(shí)，旋轉(zhuǎn)體的每個(gè)子午面都始終保持平面，而且各子午面之間的夾角始終不變。由于變形體是旋轉(zhuǎn)體，所以采用圓柱坐標(biāo)或球坐標(biāo)更為方便。用圓柱坐標(biāo)表示的單元體及應(yīng)力狀態(tài)如圖2.12所示，其一般的應(yīng)力張量為下一頁(yè)返回返回（2.30）軸對(duì)稱狀態(tài)時(shí)，由于子午面（也即θ面）在變形過(guò)程中始終不會(huì)扭曲，所以其特點(diǎn)是：1）在θ面上沒(méi)有剪應(yīng)力，即τρθ=τθρ=0，故應(yīng)力張量只有σρ、σθ、σz、τρ等分量，而且σρ是一個(gè)主應(yīng)力，2）各應(yīng)力分量與θ坐標(biāo)無(wú)關(guān)，對(duì)θ的偏導(dǎo)數(shù)都為零。用圓柱坐標(biāo)時(shí)的平衡微分方程為上一頁(yè)下一頁(yè)

（2.31）在有些軸對(duì)稱問(wèn)題中，例如圓柱體的平砧均勻鐓粗、錐孔模均勻積壓和拉拔等，其徑向正應(yīng)力和周向正應(yīng)力是相等的，即σρ=σθ，這樣就又少了一個(gè)未知量。上一頁(yè)返回第三章應(yīng)變分析3.1有關(guān)變形的一些基本概念

3.2小應(yīng)變分析3.3質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)及應(yīng)變張量3.4應(yīng)變與位移關(guān)系方程3.1有關(guān)變形的一些基本概念表示變形大小的物理量稱為應(yīng)變一、變形表示方法變形的表示方法通常采用絕對(duì)變形、相對(duì)應(yīng)變和真實(shí)應(yīng)變（對(duì)數(shù)應(yīng)變）三種。1.絕對(duì)變形如圖3.1所示，其表示方法為壓下量Δh=h-H

展寬量Δb=b-B

延伸量Δl=l-L

式中H、B、L和h、b、l分別為變形前和變形后工件的尺寸。

2.相對(duì)應(yīng)變一般相對(duì)應(yīng)變是用絕對(duì)變形量與工件原始尺寸之比來(lái)表示

式中ε1、ε2、ε3分別表示三個(gè)主軸方向的相對(duì)主應(yīng)變3.真實(shí)應(yīng)變?cè)谧冃芜^(guò)程中，如原始尺寸L經(jīng)過(guò)無(wú)窮多個(gè)中間數(shù)值逐漸變到l，則由L到l的終了應(yīng)變程度可看作是各階段想對(duì)應(yīng)變的總和，即

或

式中e1、e2、e3分別為三個(gè)主軸方向的真實(shí)應(yīng)變。二、有關(guān)變形的一些基本概念

1.線變形，如圖3-2（a）中點(diǎn)P-P12.角變形，如圖3-2（a）中點(diǎn)Q-Q13.平移，如圖3-2（c）中點(diǎn)Q-Q14.轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖3-2（d）中點(diǎn)Q-Q1圖3.2典型變形過(guò)程示意圖

返回3.2小應(yīng)變分析把應(yīng)變量不超過(guò)10-3～10-2數(shù)量級(jí)的應(yīng)變一般稱為小應(yīng)變，應(yīng)變可分為線應(yīng)變和角應(yīng)變。

一、正應(yīng)變：也叫線應(yīng)變，如圖3.3（a），線元PB由原長(zhǎng)r變?yōu)閞1=r+δr，于是我們把單元體長(zhǎng)度的變化

叫做線元PB的線應(yīng)變。伸長(zhǎng)時(shí)ε為正，縮短時(shí)ε為負(fù)。其它線元同理，例如平行于x軸和y軸的線元PA和PC，將分別有

二、剪應(yīng)變（角應(yīng)變）如圖3.3(b)，單元體在xoy面內(nèi)發(fā)生了剪應(yīng)變，線元PA和PC所夾的直角縮小了φ角，變成了，相當(dāng)于C點(diǎn)在垂直于PC方向偏移了δrx，一般地叫工程剪應(yīng)變?？s小時(shí)φ取正號(hào)。圖3.3(b)中φ角是在xy平面內(nèi)發(fā)生的，故可寫作φxy。由于應(yīng)變量很小，故可認(rèn)為PC偏轉(zhuǎn)至PC1時(shí)長(zhǎng)度不變。

圖3.3(b)所示的工程剪應(yīng)變?chǔ)誼y角可以看成是由線元PA和PC同時(shí)向內(nèi)偏轉(zhuǎn)相同的角度γxy及γyx而成，如圖3.3(c)

我們把γxy及γyx定義為剪應(yīng)變（角應(yīng)變）。角標(biāo)的意義是：γxy表示x方向線元向y方向偏轉(zhuǎn)的角度。

三、應(yīng)變方程在實(shí)際變形時(shí)，線元PA和PC偏轉(zhuǎn)的角度不一定相同。現(xiàn)設(shè)它們實(shí)際偏轉(zhuǎn)的角度分別為αxy及αyx（圖3.4a），偏轉(zhuǎn)結(jié)果仍然使縮小了φxy角，于是

這時(shí)，在αxy及αyx中已經(jīng)包含了剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)。我們可以設(shè)想單元體的線元PA和PC先同時(shí)偏轉(zhuǎn)γxy及γyx（圖3.4b），然后整個(gè)單元體再繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度ωz（圖3.4c），其結(jié)果是相同的。由幾何關(guān)系有返回3.3質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)及應(yīng)變張量一、應(yīng)變狀態(tài)圖3.5單元體變形狀態(tài)

由圖3.5中的（a）、（b）、（c）三個(gè)圖可知，有沿x、y、z三個(gè)坐標(biāo)方向的線應(yīng)變分量εx、εy和εz，而從圖3.5中的（d）、（e）、（f）三個(gè)圖又可看見，所發(fā)生的剪應(yīng)變，他們分別是γxy（=γyx）、γyz（=γzy）和γzx（=γxz），于是得到九個(gè)應(yīng)變分量，他們構(gòu)成應(yīng)變張量εij在這當(dāng)中還包括了三個(gè)方向的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)

二、主應(yīng)變、應(yīng)變張量不變量、主剪應(yīng)變和最大剪應(yīng)變通過(guò)某一質(zhì)點(diǎn)，存在有三個(gè)互相垂直的應(yīng)變方向（主軸），在主方向上的線元沒(méi)有角度的偏轉(zhuǎn)，只有線應(yīng)變，該線應(yīng)變就叫主應(yīng)變，一般用ε1、ε2和ε3表示。如取主應(yīng)變?yōu)樽鴺?biāo)軸，則應(yīng)變張量就簡(jiǎn)化為

主應(yīng)變可由應(yīng)變張量的特征方程求得

式中I1`、I2`、I3`分別稱為應(yīng)變張量得第一、第二和第三不變量，他們的值為

知道了三個(gè)主應(yīng)變，在與應(yīng)變主軸方向成±450角的方向上存在三對(duì)各自相互垂直的線元，它們的剪應(yīng)變有極值，叫主剪應(yīng)變，其大小為如ε1》ε2》ε3，則最大剪應(yīng)變?yōu)槿?、?yīng)變偏張量、八面體應(yīng)變和等效應(yīng)變

1.應(yīng)變偏張量三個(gè)線應(yīng)變的平均值為εm，即則應(yīng)變張量可以分解成兩個(gè)張量，前者為偏張量，表示單元體的形狀變化；后者為應(yīng)變的球張量，表示體積變化。塑性變形時(shí)體積不變，εm=0，所以應(yīng)變的偏張量就是應(yīng)變張量。2.八面體應(yīng)變以主軸為坐標(biāo)軸，同樣可作出八面體，其上應(yīng)變?yōu)椋?.等效應(yīng)變將八面體剪應(yīng)變?chǔ)?乘以系數(shù)，所得的參量叫做等效應(yīng)變

單向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)，其主應(yīng)力為ε1、ε2=ε3。塑性變形時(shí)，ε1+ε2+ε3=0，故有ε2=ε3=-0.5ε1，此時(shí)εi=ε1

4.應(yīng)變莫爾圓如果已知主應(yīng)變?chǔ)?、ε2、ε3，可做出應(yīng)變莫爾圓如圖3.6所示。

返回3.4應(yīng)變與位移關(guān)系方程一、應(yīng)變與位移關(guān)系方程的意義為了證明定理和研究應(yīng)力與變形的分布，以及建立變形體內(nèi)的速度場(chǎng)進(jìn)而確定內(nèi)部變形功率等都需要知道應(yīng)變與位移增量以及應(yīng)變速率與位移速度的關(guān)系?？梢岳斫猓冃误w內(nèi)各點(diǎn)的位移是從坐標(biāo)原點(diǎn)起變形不斷積累而引起的。因?yàn)樽冃误w是均勻的連續(xù)體，所以各質(zhì)點(diǎn)的位移是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。

如圖3.7所示，由a點(diǎn)移到a1點(diǎn)的位移矢量aa1，此位移矢量在坐標(biāo)軸上的投影，也就是位移在各坐標(biāo)軸方向的分量分別為u、υ、ω。這些位移分量也是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。

二、應(yīng)變與位移關(guān)系方程過(guò)變形體內(nèi)任意質(zhì)點(diǎn)作單元體，其棱邊分別為dx、dy和dz。由于變形的結(jié)果，此單元體棱邊的長(zhǎng)度及棱邊間的夾角都將發(fā)生改變?，F(xiàn)研究該單元體的一個(gè)面（例如xoy面）的變化情況，如圖3.8所示。應(yīng)變時(shí)P點(diǎn)移至P1點(diǎn)。其位移分量分別為u和υ。u和υ都是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，即u＝f(x,y,z);υ＝f(x,y,z)。當(dāng)位移增量很小時(shí)，可近似認(rèn)為u和υ的增量與它們的全微分相等，Δu≈du和Δυ≈dυ，此時(shí)1.線變形在xoy面上，對(duì)于平行于x軸的線元PA,因?yàn)閐y=0,dz=0,因此也就是，如果P點(diǎn)由于應(yīng)變移動(dòng)了一個(gè)u，則A點(diǎn)由于線段dx的應(yīng)變而移動(dòng)了即PA的絕對(duì)伸長(zhǎng)量為所以PA的相對(duì)應(yīng)變?yōu)?/p>

同理，在xoy面上，對(duì)于平行于y軸的線元PC,因?yàn)閐x=0,dz=0,因此所以PC的相對(duì)應(yīng)變?yōu)?.角變形如圖3.8PC轉(zhuǎn)角αyx的正切為同理因此3.小應(yīng)變幾何方程綜上可知簡(jiǎn)記為三、應(yīng)變連續(xù)方程由小應(yīng)變幾何方程知，六個(gè)應(yīng)變分量取決于三個(gè)位移分量u、υ、ω對(duì)x、y、z的偏導(dǎo)數(shù)，所以六個(gè)應(yīng)變分量不能是相互無(wú)關(guān)的函數(shù)，它們之間應(yīng)有一定的關(guān)系才能保證物體中的所有單元體在變形之后仍然可以連續(xù)地組合起來(lái)，這樣的關(guān)系叫應(yīng)變連續(xù)方程.

將小應(yīng)變幾何方程中εx對(duì)y求兩次偏導(dǎo)數(shù)；將εy對(duì)x求兩次偏導(dǎo)數(shù)，得到將上兩式相加得到同理得到另兩個(gè)式子應(yīng)注意，在每個(gè)坐標(biāo)面內(nèi)，兩個(gè)線應(yīng)變分量一經(jīng)確定，則剪應(yīng)變分量也即確定。第四章屈服準(zhǔn)則

4.1屈服準(zhǔn)則概念4.2屈服準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達(dá)4.3屈服準(zhǔn)則的幾何表達(dá)

—屈服軌跡和屈服表面4.4屈服準(zhǔn)則的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與比較4.1屈服準(zhǔn)則概念一、概念屈服準(zhǔn)則又稱塑性條件或屈服條件，它是描述不同應(yīng)力狀態(tài)下變形體某點(diǎn)進(jìn)入并使塑性狀態(tài)繼續(xù)進(jìn)行所必須遵守的條件。二、單向應(yīng)力狀態(tài)下的屈服準(zhǔn)則由單向拉伸實(shí)驗(yàn)可知，隨著外力的增加材料內(nèi)的應(yīng)力也隨著增加。當(dāng)應(yīng)力的數(shù)值等于于屈服極限σs時(shí)開始產(chǎn)生塑性變形，σ=σs就是單向應(yīng)力狀態(tài)下的屈服準(zhǔn)則，是判斷材料是否達(dá)到塑性狀態(tài)的依據(jù)。下一頁(yè)返回三、任意應(yīng)力狀態(tài)下的屈服準(zhǔn)則對(duì)于任意應(yīng)力狀態(tài)需要有六個(gè)應(yīng)力分量或三個(gè)主應(yīng)力分量來(lái)描述式中C為與材料力學(xué)性能有關(guān)的常數(shù)。用主應(yīng)力來(lái)表示:

也可用應(yīng)力張量不變量來(lái)表示:下一頁(yè)返回用應(yīng)力偏量或應(yīng)力偏張量不變量J2、J3表示:

歷史上不少人提出了不同的假說(shuō)來(lái)描述受力物體((的質(zhì)點(diǎn))由彈性狀態(tài)向塑性狀態(tài)過(guò)渡的條件，其中較符合實(shí)驗(yàn)依據(jù)的要算是米塞斯（MiSES)屈服準(zhǔn)則及屈雷斯加(Tresca)屈服準(zhǔn)則。返回4.2屈服準(zhǔn)則的數(shù)學(xué)表達(dá)一、米塞斯（Mises)屈服準(zhǔn)則二、屈雷斯加（Tresca）屈服準(zhǔn)則返回一、米塞斯（Mises)屈服準(zhǔn)則米塞斯于1913年提出屈服準(zhǔn)則：當(dāng)點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的等效應(yīng)力達(dá)到某一與應(yīng)力狀態(tài)無(wú)關(guān)的定值時(shí)，材料就屈服；或者說(shuō)，材料處于塑性狀態(tài)時(shí)，等效應(yīng)力始終是一不變的定值，也即

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我們用單向拉伸屈服時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)（σs，0，0）代入上式即可得到常數(shù)C：于是，米塞斯屈服準(zhǔn)則的表達(dá)式為:即返回二、屈雷斯加（Tresca）屈服準(zhǔn)則屈雷斯加屈服準(zhǔn)則可表述如下：當(dāng)材料（或質(zhì)點(diǎn)）中的最大剪應(yīng)力達(dá)到某一定值時(shí)，材料就屈服。表達(dá)式為若規(guī)定σ1》σ2》σ3，則:σ1-σ3=2k

若事先不知道主應(yīng)力的大小，則下一頁(yè)返回

其中k值同樣可由單向拉伸屈服時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)（σs，0，0）來(lái)確定，則于是屈雷斯加屈服準(zhǔn)則表達(dá)式為（σ1》σ2》σ3）：返回4.3屈服準(zhǔn)則的幾何表達(dá)

—屈服軌跡和屈服表面一、兩向應(yīng)力狀態(tài)的屈服軌跡二、主應(yīng)力空間中的屈服表面三、π平面上的屈服軌跡返回一、兩向應(yīng)力狀態(tài)的屈服軌跡

1.兩向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的米塞斯屈服準(zhǔn)則

2.兩向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的屈雷斯加屈服準(zhǔn)則

3.兩向應(yīng)力狀態(tài)屈服軌跡的意義返回1.兩向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的米塞斯屈服準(zhǔn)則用σ3=0代入式即可得到兩向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的米塞斯屈服準(zhǔn)則整理得:

即:下一頁(yè)返回

上式在σ1σ2坐標(biāo)平面上是一個(gè)橢圓（圖4.1），它的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸與坐標(biāo)軸成450,長(zhǎng)半軸為。短半軸為，與坐標(biāo)軸的截距是±σs。這個(gè)橢圓就叫σ1σ2平面上的屈服軌跡。返回返回1返回22.兩向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的屈雷斯加屈服準(zhǔn)則

同樣，以σ3=0代入屈雷斯加屈服準(zhǔn)則，可得兩向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)的屈雷斯加屈服準(zhǔn)則下一頁(yè)返回

可表示為:σ1-σ2=σs

（當(dāng)σ1>0，σ2<0,σ3為中間主應(yīng)力）σ1-σ2=-σs

（當(dāng)σ1<0，σ2>0，σ3為中間主應(yīng)力）σ2=σs

（當(dāng)σ2>σ1>0，σ1為中間主應(yīng)力）σ2=-σs

（當(dāng)σ2<σ1<0，σ1為中間主應(yīng)力）σ1=σs

（當(dāng)σ1>σ2>0，σ2為中間主應(yīng)力）σ1=-σs

（當(dāng)σ1<σ2<0，σ2為中間主應(yīng)力）

這是一個(gè)六邊形，內(nèi)接于米塞斯橢圓（圖4.1）。返回3.兩向應(yīng)力狀態(tài)屈服軌跡的意義

任一兩向應(yīng)力狀態(tài)都可用σ1σ2平面上的一點(diǎn)P表示，并可用矢量OP來(lái)代表(圖4.1)。如P點(diǎn)在屈服軌跡的里面，則材料的質(zhì)點(diǎn)處于彈性狀態(tài)，如果P點(diǎn)在軌跡上，則質(zhì)點(diǎn)處于塑性狀態(tài)，對(duì)于理想塑性材料，P點(diǎn)不可能在軌跡的外面。返回二、主應(yīng)力空間中的屈服表面以主應(yīng)力為坐標(biāo)軸可以構(gòu)成一個(gè)“主應(yīng)力空間”，如圖4.2所示。一種應(yīng)力狀態(tài)（σ1，σ2，σ3)即可用該空間中的一點(diǎn)P來(lái)表示，并可用矢量OP來(lái)代表。因此，這個(gè)應(yīng)力狀態(tài)可以寫成三個(gè)矢量的和，OA=σ1,OB=σ2,OC=σ3，于是有下一頁(yè)返回返回

設(shè)OE為該空間第一象限的等傾線，它的方向余弦是，OE軸與三個(gè)主應(yīng)力軸間的等傾角是。對(duì)于這個(gè)軸上的每一點(diǎn)，其應(yīng)力狀態(tài)為是靜液應(yīng)力狀態(tài)，此時(shí)偏應(yīng)力等于零。垂直于OE的任意平面的方程式為式中d—沿OE線從原點(diǎn)到平面的距離。下一頁(yè)返回

因此，靜液應(yīng)力或應(yīng)力張量的球分量隨著從原點(diǎn)到平面的距離的增加而線性增加。對(duì)于過(guò)原點(diǎn)的平面，靜液應(yīng)力是零，即這個(gè)平面叫π平面。由P點(diǎn)引一直線PN⊥OE，并把矢量OP分解成ON及NP，則ON就是應(yīng)力張量中的球張量，而NP就是三個(gè)偏應(yīng)力。因此矢量ON和NP即可分別代表P點(diǎn)的應(yīng)力球張量和偏張量。等傾線ON還有這樣的特點(diǎn)：在垂直于OE的平面上，任何點(diǎn)的應(yīng)力球張量都相同；在平行于OE的直線上，各點(diǎn)的應(yīng)力偏張量都相同。下面討論如何在主應(yīng)力空間中表示屈服準(zhǔn)則。下一頁(yè)返回

代表應(yīng)力偏張量的矢量NP的?？砂慈缦虏襟E求得：OP=ON+NP

所以

其中而就是σ1、σ2、σ3在OE線上的投影之和，考慮到ON的方向余弦為,于是下一頁(yè)返回

由此得到根據(jù)密席斯準(zhǔn)則可知，當(dāng)時(shí)，材料就將發(fā)生屈服。下一頁(yè)返回

由于垂直于OE線的平面上所有的點(diǎn)都具有相同的球張量，而球張量又不影響屈服，所以，如以N為圓心，為半徑，在垂直于OE的平面上作一圓，則圓上的每一點(diǎn)都是屈服的應(yīng)力狀態(tài)。又由于平行于OE的直線上所有的點(diǎn)都有相同的偏張量，因此，以O(shè)E為軸心以為半徑作一圓柱面，面上的點(diǎn)都符合席斯屈服準(zhǔn)則。該圓柱面就是主應(yīng)力空間的密席斯屈服表面（圖4.3）。當(dāng)P點(diǎn)在圓柱面里面時(shí)質(zhì)點(diǎn)處于彈性狀態(tài)，在表面上即處于塑性狀態(tài)。對(duì)于理想塑性材料，P點(diǎn)不能在圓柱面之外。屈雷斯加準(zhǔn)則也可以同樣處理，得到一個(gè)內(nèi)接于密席斯圓柱面的正六棱柱面。返回返回三、π平面上的屈服軌跡在主應(yīng)力空間中，通過(guò)原點(diǎn)并垂直于等傾線OE的平面叫做π平面，它的方程是：

π平面與兩個(gè)屈服表面都垂直，故屈服表面在π平面上的投影（也即交線）是圓及其內(nèi)接正六邊形，這就是π平面上的屈服軌跡，見圖4.4。主應(yīng)力空間中代表應(yīng)力狀態(tài)的矢量在二平面上的投影OP即可代表應(yīng)力偏張量。因此，π平面上的屈服軌跡能更清楚地表示出屈服準(zhǔn)則的性質(zhì)。下一頁(yè)返回返回

三根主軸在π平面上的投影互成1200角。如把主軸負(fù)向的投影也畫出來(lái)，就把平面分成了六個(gè)600角的區(qū)間，每個(gè)區(qū)間內(nèi)主應(yīng)力的大小次序互不相同。三根主軸線上的點(diǎn)都表示（減去了球張量的）單向應(yīng)力狀態(tài)，每個(gè)600角平分線上的點(diǎn)都表示純剪狀態(tài)。由于六個(gè)區(qū)軌跡是一樣的，所以實(shí)際上只要用一個(gè)區(qū)間（σ1≥σ2≥σ3區(qū)間）就可以表示出整個(gè)屈服軌跡的性質(zhì)。返回4.4屈服準(zhǔn)則的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與比較一、中間主應(yīng)力的影響二、屈服準(zhǔn)則的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證返回一、中間主應(yīng)力的影響我們來(lái)討論兩個(gè)屈服準(zhǔn)則的差別?，F(xiàn)設(shè)σ1≥σ2≥σ3，則屈雷斯加準(zhǔn)則可寫成：這時(shí)，中間主應(yīng)力σ2可以在σ2=σ1到σ2=σ3之間任意變化而不影響材料的屈服，但在米塞斯準(zhǔn)則中σ2是有影響的。為了評(píng)價(jià)其影響，先找到一個(gè)能表征中間主應(yīng)力變化的參數(shù)，此參數(shù)應(yīng)不受應(yīng)力球張量的影響。下一頁(yè)返回

由第二章可知，三向莫爾圓的三個(gè)半徑就是三個(gè)主剪應(yīng)力，它們和球張量無(wú)關(guān)。如σ1和σ3不變，則大圓的半徑不變，而兩個(gè)小圓的半徑將隨σ2而變。所以，我們可以用中間兩個(gè)小莫爾圓的半徑之差與大圓半徑的比值作為表征中間主應(yīng)力變化的參數(shù)，用μσ表示。該參數(shù)是由羅代（W.Lode）提出的，叫做羅代應(yīng)力參數(shù)下一頁(yè)返回

當(dāng)σ2在σ1和σ3之間變化時(shí)，μσ將在+1～-1之間變化。為了便于比較，我們可利用μσ將密席斯準(zhǔn)則的式子改寫成接近于屈雷斯加準(zhǔn)則的形式。由上式可知代入米塞斯準(zhǔn)則得下一頁(yè)返回若設(shè)則

式中的β值的變化范圍為1～1.155，如圖4.5及下表所示。中間主應(yīng)力μσβ應(yīng)力狀態(tài)σ2=σ1σ2=（σ1+σ3）/2σ2=σ310-111.1551單向應(yīng)力疊加球張量平面應(yīng)變狀態(tài)單向應(yīng)力疊加靜水壓力下一頁(yè)返回返回

屈雷斯加準(zhǔn)則相當(dāng)于β≡1的情況，即如圖4.5中的水平線所示。這樣，兩個(gè)屈服準(zhǔn)則及中間主應(yīng)力的影響就可看得很清楚了，其中，單向應(yīng)力疊加球張量時(shí)，兩個(gè)準(zhǔn)則是一致的；平面應(yīng)變，也即純剪疊加球張量時(shí)，兩個(gè)準(zhǔn)則相差最大，為15.5％。由以上分析可知，只要采用不同的β值，．上面的式子也可成為兩個(gè)準(zhǔn)則的統(tǒng)一表達(dá)式。這種表達(dá)式還可以寫成另一種形式。如以符號(hào)K表示屈服時(shí)的最大剪應(yīng)力，下一頁(yè)返回即式中，按屈雷斯加準(zhǔn)則，K≡0.5σs;按米塞斯屈服準(zhǔn)則，則K=（0.5～0.577）σs。返回二、屈服準(zhǔn)則的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

1.實(shí)驗(yàn)方法自1926年以來(lái)，用實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證屈服準(zhǔn)則的工作一直都在進(jìn)行。實(shí)驗(yàn)的方法是多種多樣的，最普通的方法是用各種金屬薄壁管承受復(fù)合載荷（例如拉伸與扭轉(zhuǎn)、拉伸與彎曲或者拉伸與內(nèi)壓復(fù)合等），實(shí)驗(yàn)的要求都非常嚴(yán)格。下面只簡(jiǎn)單介紹薄壁管承受拉扭復(fù)合載荷的實(shí)驗(yàn)。下一頁(yè)返回1931年泰勒及奎奈用銅、鋁、鋼薄壁管承受軸向拉力及扭矩做試驗(yàn)，如圖4.6所示,薄壁管復(fù)合拉扭時(shí)可以認(rèn)為是平面應(yīng)力狀態(tài)、承受均勻的拉應(yīng)力σz及剪應(yīng)力τzx。把σz及τzx代入平面應(yīng)力求解主應(yīng)力的方程可得下一頁(yè)返回返回

將所求得的σ1、σ2、σ3分別代入屈雷斯加屈服準(zhǔn)則得代入米塞斯屈服準(zhǔn)則得這兩個(gè)方程為橢圓方程.下一頁(yè)返回

用不同的拉力與扭矩之比作試驗(yàn)，結(jié)界試驗(yàn)點(diǎn)仍在米塞斯條件的曲線附近，如圖4.7所示。下一頁(yè)返回2.兩個(gè)準(zhǔn)則得比較

(1)實(shí)驗(yàn)說(shuō)明一般韌性金屬材料（如銅、鎳、鋁、中碳鋼、鋁合金、銅合金等）與米塞斯條件符合較好。然而羅斯(Ross)和愛欣格(Eichinger)做了一系列鋼管試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)有些情況下試驗(yàn)點(diǎn)偏向于屈雷斯加準(zhǔn)則。如退火軟鋼的上屈服點(diǎn)，似乎屈雷斯加準(zhǔn)則符合得好些。但對(duì)鎂合金，因金相組織不穩(wěn)定等因索，適應(yīng)哪個(gè)準(zhǔn)則未做定論。因此符合哪一個(gè)準(zhǔn)則要看具體材料性質(zhì)?？偟恼f(shuō)來(lái)，多數(shù)金屬符合米塞斯準(zhǔn)則。下一頁(yè)返回當(dāng)應(yīng)力的次序預(yù)知時(shí)，屈雷斯加屈服函數(shù)為線性的，使用起來(lái)很方便，在工程設(shè)計(jì)中常常采用。并用修正系數(shù)來(lái)考慮中間主應(yīng)力的影響，或作為米塞斯條件的近似。米塞斯條件可以寫成或式中中間主應(yīng)力影響系數(shù)。下一頁(yè)返回β在1～1.154范圍內(nèi)，其平均值為1.077,總的講相差不太大。一般情況物體內(nèi)各點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)不同，β的數(shù)值只能憑經(jīng)驗(yàn)由1到1.154之間選取。如果應(yīng)力狀態(tài)僅在某一有限弧段內(nèi)，，則有可能選取的β值使誤差不超過(guò)1％或2%，說(shuō)明β取得適當(dāng)，誤差就很小。前已說(shuō)明對(duì)板料沖壓中為簡(jiǎn)化計(jì)算，通常取β＝1.1下一頁(yè)返回

（3）米塞斯屈服面為屈雷斯加六棱面的外接圓柱面，兩個(gè)準(zhǔn)則在單向壓縮（或更準(zhǔn)確地說(shuō)μσ=±1）時(shí)相符合，而于純剪（或平面應(yīng)變）時(shí)差別最大。返回第五章塑性變形時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

5.1塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn)5.2增量理論（流動(dòng)理論）5.3全量理論（形變理論）5.4應(yīng)力應(yīng)變順序?qū)?yīng)規(guī)律及其應(yīng)用5.1塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn)一、塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn)

二、單向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)塑性變形應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系三、兩向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)塑性變形應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系返回一、塑性變形時(shí)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的特點(diǎn)塑性變形時(shí)全量應(yīng)變與應(yīng)力之間的關(guān)系與彈性變形時(shí)完全不同：

1）塑性變形可以認(rèn)為體積不變，應(yīng)變球張量為零；

2）應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系是非線性的；

3）全量應(yīng)變與應(yīng)力的主軸不一定重合；

4）塑性變形是不可恢復(fù)的，應(yīng)力與應(yīng)變之間沒(méi)有一般的單值關(guān)系，而是與加載歷史或應(yīng)變路線有關(guān)。對(duì)于后兩個(gè)特點(diǎn)，我們可以舉一些實(shí)例加以說(shuō)明。返回二、單向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)塑性變形應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系最簡(jiǎn)單的例子就是單向拉伸（圖5.1）。在彈性范圍內(nèi)，應(yīng)變只取決于當(dāng)時(shí)的應(yīng)力。反之亦然，例如σc總是對(duì)應(yīng)εc，不管是由σa加載而得還是由σd卸載而得。在塑性范圍內(nèi)，如果是理想塑性材料（圖5.1中的虛線），則同一σs可以對(duì)應(yīng)任何應(yīng)變；如果是硬化材料，則由σs加載到σe，對(duì)應(yīng)的應(yīng)變?yōu)棣舉，如由σf卸載到σe，則應(yīng)變?yōu)棣臽f，所以不是單值關(guān)系。返回返回三、兩向應(yīng)力狀態(tài)時(shí)塑性變形應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系下面再舉一個(gè)兩向應(yīng)力的例子。設(shè)一剛塑性硬化材料的單向拉伸及純剪時(shí)的真實(shí)應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖5.2a所示，它在σ-τ平面上的屈服軌跡見圖5.2b。

1、現(xiàn)將材料單向拉伸至屈服點(diǎn)Ａ后繼續(xù)拉至C點(diǎn)，這時(shí)應(yīng)力為σc，應(yīng)變?chǔ)與、-εc/2、-εc/2（見表5.1第1行）,此時(shí)材料的后繼屈服軌跡為CFD。下一頁(yè)返回表5.1返回表5.1加載路線不同時(shí)的應(yīng)力和應(yīng)變

No加載路線最終應(yīng)力狀態(tài)全量應(yīng)變狀態(tài)說(shuō)明1OAC簡(jiǎn)單加載應(yīng)力應(yīng)變對(duì)應(yīng)主軸重合2OC（EJ）F應(yīng)力改變了應(yīng)變未改變主軸不重合3OBD簡(jiǎn)單加載應(yīng)力應(yīng)變對(duì)應(yīng)主軸重合4O（D）F應(yīng)力改變了應(yīng)變未改變主軸不重合5OF`F簡(jiǎn)單加載應(yīng)力應(yīng)變對(duì)應(yīng)主軸重合圖5.2返回2、現(xiàn)設(shè)減小拉應(yīng)力、加上剪應(yīng)力，通過(guò)后繼屈服軌跡里面的任意路線，例如CEF、CJF或CF等等，變載至F點(diǎn)；這時(shí)應(yīng)力為σf、τf但由于F和C點(diǎn)在同一屈服軌跡上，等效應(yīng)力并未增加，不能進(jìn)一步變形，所以應(yīng)變狀態(tài)并無(wú)變化（見表5.1第2行），于是應(yīng)力和應(yīng)變并不對(duì)應(yīng)，而且主軸不重合。下一頁(yè)返回3、如果從初始狀態(tài)先加純剪應(yīng)力通過(guò)屈服點(diǎn)B到達(dá)D點(diǎn)，這時(shí)的應(yīng)力和應(yīng)變見表5.1的第3行。

4、如同樣經(jīng)后繼屈服軌跡里面的任意路線變載到F點(diǎn)，則應(yīng)力應(yīng)變見表5.1第4行。

5、如果從初始狀態(tài)沿真線OF`F到達(dá)F點(diǎn)，則應(yīng)力和應(yīng)變見表5.1第5行，這時(shí)主軸重合。下一頁(yè)返回

上述的第1、3、5種加載路線就是簡(jiǎn)單加載。由表中可看出，同樣的一種應(yīng)力狀態(tài)σf、τf，由于加載路線不同，就有好幾種應(yīng)變狀態(tài)（如C、D點(diǎn)應(yīng)變）；同樣，一種應(yīng)變狀態(tài)（如εc），也可有幾種應(yīng)力狀態(tài)（如C、F點(diǎn)應(yīng)力），而且應(yīng)力應(yīng)變主軸不一定重合。從上述簡(jiǎn)單的例子中，我們可以看到，離開加載路線來(lái)建立應(yīng)力與全量塑性應(yīng)變之間的普遍關(guān)系是不可能的。因此，一般情況下只能建立起應(yīng)力和應(yīng)變?cè)隽恐g的關(guān)系爭(zhēng)然后根據(jù)具體的加載路線，具休分析。另一方面，我們從上述例子中也看到，在簡(jiǎn)單加載的條件下，應(yīng)力和應(yīng)變的主軸重合，而且它們之間有對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此可以建立全量理論。返回5.2增量理論（流動(dòng)理論）

一、列維-密席斯方程二、普朗特-勞斯方程返回一、列維-密席斯方程列維-密席斯方程適用條件：（1)材料是理想剛塑性材料，即彈性應(yīng)變?cè)隽繛榱?，塑性?yīng)變?cè)隽烤褪强倯?yīng)變?cè)隽?；?）材料符合密席斯屈服準(zhǔn)則，即（3）塑性變形時(shí)體積不變，即

（4）應(yīng)力主軸和應(yīng)變?cè)隽康闹鬏S重合；（5）應(yīng)變?cè)隽亢蛻?yīng)力偏張量成正比，即下一頁(yè)返回

式中dλ為瞬時(shí)的非負(fù)比例系數(shù)，它在變形過(guò)程中是變化的，但在卸載時(shí)，dλ=0。上式就是密席斯方程的關(guān)鍵性的表達(dá)式。將上式寫成以下形式利用等比定律就可得到下一頁(yè)返回或以上兩式是常用的式子。上式表明應(yīng)力莫爾圓和應(yīng)變?cè)隽磕獱枅A是兒何相似的，只是原點(diǎn)位置不同（圖5.3）。下一頁(yè)返回返回

比例系數(shù)dλ幾可按如下方法求得。將上式分成三個(gè)式子然后平方，得下一頁(yè)返回將i≠j的三個(gè)式子平方并乘以6，得又有下一頁(yè)返回將上面六個(gè)式子相加，整理后可得所以因此，下一頁(yè)返回于是有下一頁(yè)返回推論：

1.塑性平面變形時(shí)，如設(shè)z向沒(méi)有變形，則有dεz=0,按體積不變條件有

dεx+dεy=0

則有由此可得下一頁(yè)返回2.由列維-密席斯方程直接可以看出，若有某兩個(gè)應(yīng)變分量的增量相等，則對(duì)應(yīng)的應(yīng)力偏量也相等，于是對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量也相等。在第二章中曾指出，在某些軸對(duì)稱狀態(tài)中，dερ=dεθ，于是，因此有

σρ=σθ

應(yīng)指出，密席斯方程僅適用于理想剛塑性材料，所以它只給出了應(yīng)變?cè)隽亢蛻?yīng)力偏量之間的關(guān)系間，對(duì)應(yīng)力球張量則沒(méi)有加以限制。下一頁(yè)返回

因此，如果已知dεij，則由列維-密席斯方程只能求得，而不能直接求得σij這是剛塑性假設(shè)的一個(gè)弱點(diǎn)。另一方面，對(duì)于理想塑性材料，列維-密席斯方程中的等于常數(shù)σs，而實(shí)際上是不定的，所以，如果已知σij則由列維-密席斯方程只能求得dεij各分量之間的比值，而不能直接求得它們的實(shí)際數(shù)值。因此，對(duì)于理想剛塑性材料，應(yīng)變?cè)隽亢蛻?yīng)力分量之間還不完全是單值關(guān)系。返回二、普朗特-勞斯方程普朗特和勞斯在密席斯方程的基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮了彈性變形，他們認(rèn)為，在塑性變形時(shí)，總應(yīng)變?cè)隽縟εij是塑性應(yīng)變?cè)隽繌椥詰?yīng)變?cè)隽恐?，即其中和?yīng)力之間的關(guān)系與密席斯方程相同：彈性應(yīng)變部分下一頁(yè)返回于是可得到普朗特一勞斯方程返回5.3全量理論（形變理論）全量理論所必須滿足的條件：1、外載荷按比例增加，不出現(xiàn)中途卸載的情況；２、體積不可壓縮３、材料的應(yīng)力應(yīng)變曲線σ-ε符合單一曲線假設(shè)，且呈冪函數(shù)形式，即４、塑性變形是微小的，和彈性變形屬于同一數(shù)量級(jí)。

下一頁(yè)返回則有考慮到下一頁(yè)返回因此有也可以寫成如下形式：下一頁(yè)返回也就是說(shuō)，按全量應(yīng)變理論，主應(yīng)力的差值與主應(yīng)變的差值是成比例的，因此應(yīng)力莫爾圓和應(yīng)變莫爾圓一定相似。因?yàn)樯鲜椒肿哟響?yīng)力莫爾圓中三個(gè)圓的直徑，分母代表應(yīng)變莫爾圓中三個(gè)圓的直徑。返回5.4應(yīng)力應(yīng)變順序?qū)?yīng)規(guī)律及其應(yīng)用

前述增量理論及全量理論都能直接給出應(yīng)力偏量與應(yīng)變?cè)隽炕蛉恐g的定量關(guān)系，但是物體內(nèi)的應(yīng)力分布通常很難定量的了解，即使知道了還要求出偏量進(jìn)而求應(yīng)變?nèi)浚ò葱巫兝碚摚?，?jì)算是相當(dāng)繁雜的，如果按增量理論計(jì)算還需對(duì)已求出的應(yīng)變?cè)隽窟M(jìn)行積分，其繁雜就可想而知了。下一頁(yè)返回另一方面，從工程角度來(lái)看，對(duì)于一些繁雜的問(wèn)題，那怕是能給出定性結(jié)果也很可貴，具體的定量問(wèn)題可以從實(shí)驗(yàn)中進(jìn)一步探索（由于如摩擦條件等數(shù)學(xué)模型還未給出，要精確計(jì)算也很難辦到）。鑒于壓力加工理論中關(guān)于成形規(guī)律闡述上存在的一些問(wèn)題，吸取了增量理論及全量理論的共同點(diǎn)，提出了應(yīng)力應(yīng)變順序?qū)?yīng)規(guī)律，并使該規(guī)律的闡述逐漸簡(jiǎn)明和便于應(yīng)用?，F(xiàn)簡(jiǎn)述如下：下一頁(yè)返回塑性變形時(shí)，當(dāng)應(yīng)力順序σ1>σ2>σ3不變，且應(yīng)變主軸方向不變時(shí)，則主應(yīng)變的順序與主應(yīng)力順序相對(duì)應(yīng)，即ε1>ε2>ε3（ε1>0，ε3<0）。當(dāng)?shù)年P(guān)系保持不變時(shí)，相應(yīng)地有。這個(gè)規(guī)律的前一部分是“順序關(guān)系”，后一部分是“中間關(guān)系”。其實(shí)質(zhì)是將增量理論的定量描述變?yōu)橐环N定性判斷。它雖然不能給出各方向應(yīng)變?nèi)康亩拷Y(jié)果，但可以說(shuō)明應(yīng)力在一定范圍內(nèi)變化時(shí)各方向的應(yīng)變?nèi)康南鄬?duì)大小，進(jìn)而可以推斷出尺寸的相對(duì)變化?，F(xiàn)證明如下：下一頁(yè)返回在應(yīng)力順序始終保持不變的情況下，例如σ1>σ2>σ3，則偏應(yīng)力分量的順序也是不變的（σ1-σm）>（σ2-σm）>（σ3-σm）列維一米塞斯應(yīng)力應(yīng)變方程對(duì)于主應(yīng)力條件可以寫成如下形式則知dε1>dε2>dε3

下一頁(yè)返回對(duì)于初始應(yīng)變?yōu)榱愕淖冃芜^(guò)程，可視為幾個(gè)階段所組成，在時(shí)間間隔t1中在時(shí)間間隔t2中同理有

…………

下一頁(yè)返回在時(shí)間間隔tn中也將有由于主軸方向不變，各方向的應(yīng)變?nèi)浚倯?yīng)變）等于各階段應(yīng)變?cè)隽恐停?/p>

下一頁(yè)返回由于σ1>σ2，故有

且因dλ1，dλ2，…，dλn皆大于零，于是ε1-ε2>0即ε1>ε2

，同理有ε2>ε3

即ε1>ε2>ε3

…

下一頁(yè)返回又根據(jù)體積不變條件

ε1+ε2+ε3=0有ε1>0，ε3<0至于沿中間主應(yīng)力σ2方向的應(yīng)變?chǔ)?的符號(hào)需根據(jù)σ2的相對(duì)大小來(lái)定，因若變形過(guò)程中保持，即σ2>σm，由于dλ1，dλ2，…，dλn皆大于零，，所以ε2>0，此時(shí)為壓縮類應(yīng)變。下一頁(yè)返回同理可證，當(dāng)時(shí)，ε2<0，此時(shí)為伸長(zhǎng)類應(yīng)變。及時(shí)ε2=0此時(shí)為平面應(yīng)變。

可得到當(dāng)時(shí)。返回第六章金屬塑性成形基本工序的力學(xué)分析及主應(yīng)力法

6.1主應(yīng)力法的基本原理

6.2鐓粗變形特點(diǎn)及變形力計(jì)算6.1主應(yīng)力法的基本原理主應(yīng)力法又稱切塊法(Slabmethod),是金屬塑性成形中求解變形力的一種近似解法。它通過(guò)對(duì)應(yīng)力狀態(tài)作一些近似假設(shè)，建立以主應(yīng)方表示的簡(jiǎn)化平衡方程和塑性條件，使求解過(guò)程大大簡(jiǎn)化。其基本要點(diǎn)如下：

下一頁(yè)返回1、把變形體的應(yīng)力和應(yīng)變狀態(tài)簡(jiǎn)化為平面問(wèn)題或軸對(duì)稱問(wèn)題，對(duì)于形狀復(fù)雜的變形體，可以把它劃分為若干部分，每一部分分別按平面問(wèn)題或軸對(duì)稱問(wèn)題來(lái)處理。2、根據(jù)變形時(shí)金屬流動(dòng)的方向，沿變形體整個(gè)（或部分）截面切取一個(gè)包含接觸面在內(nèi)的基元體，且設(shè)作用于該基元體上的正應(yīng)力與一個(gè)坐標(biāo)無(wú)關(guān)并為均勻分布的主應(yīng)力，接觸面上的摩擦力用庫(kù)侖摩擦條件或常摩擦條件表示。根據(jù)基元體的靜力學(xué)平衡條件，得到一個(gè)簡(jiǎn)化的應(yīng)力平衡微分方程，這實(shí)際上是一個(gè)常微分方程。下一頁(yè)返回3、在列出該基元體的塑性條件時(shí)，假定接觸面上的正應(yīng)力為主應(yīng)力，即忽略摩擦力對(duì)塑性條件的影響，從而使塑性條件大大簡(jiǎn)化。

4、將經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化的平衡微分方程和塑性條件聯(lián)立求解，并利用邊界條件確定積分常數(shù)，求得接觸面上的應(yīng)力分布，進(jìn)而求得變形力。下一頁(yè)返回

主應(yīng)力法的數(shù)學(xué)演算比較簡(jiǎn)單，也很直觀。在實(shí)際應(yīng)用中，主應(yīng)力法除了用于計(jì)算變形力外，還可以用來(lái)求解某些變形問(wèn)題。主應(yīng)力法得到的是解析解，從解的數(shù)學(xué)表達(dá)式中，可以看出各有關(guān)參數(shù)（如摩擦系數(shù)、變形體的幾何尺寸等）對(duì)求解結(jié)果的影響，因而在金屬塑性成形分析中應(yīng)用非常廣泛。但是，這種方法只能確定接觸面上的應(yīng)力大小和分布，且計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性與所作假設(shè)和實(shí)際情況的接近程度有關(guān)。返回6.2鐓粗變形特點(diǎn)及變形