高中數(shù)學講義（人教B版2019必修二）第06講423對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與圖像

4.4對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)TOC\o"13"\h\z\u題型1對數(shù)函數(shù)的概念 2題型2對數(shù)函數(shù)求值 5◆類型1對數(shù)函數(shù)求解析式 5◆類型2對數(shù)函數(shù)求值 8◆類型3對數(shù)函數(shù)含參求值 10題型3與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問題 13◆類型1對數(shù)函數(shù)的定義域 13◆類型2對數(shù)型復合函數(shù)的定義域 15◆類型3與定義域相關(guān)的含參取值問題 17◆類型4與定義域相關(guān)的含參取值范圍問題 20題型4對數(shù)函數(shù)圖象過定點問題 22◆類型1對數(shù)型函數(shù)的定點 22◆類型2對數(shù)型函數(shù)與點坐標相關(guān)的問題 24題型5對數(shù)函數(shù)圖像問題 26◆類型1對函型函數(shù)的圖形選擇 26◆類型2對數(shù)型函數(shù)圖像的畫法 30◆類型3對數(shù)型函數(shù)的圖像含參問題 34◆類型4對數(shù)型函數(shù)的圖像與底數(shù)的大小關(guān)系問題 37題型6利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小 40題型7對數(shù)函數(shù)不等式 43◆類型1不含參的對數(shù)不等式 43◆類型2含參對數(shù)不等式 46◆類型3抽象不等式 48題型8與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)的問題 57◆類型1對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的判斷 57◆類型2對數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 61◆類型3復合函數(shù)的單調(diào)性 63◆類型4單調(diào)性求參數(shù)取值范圍問題 68題型9奇偶性相關(guān)問題 72知識點一.對數(shù)函數(shù)的定義1．對數(shù)函數(shù)的概念函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞)．2.兩種特殊的對數(shù)函數(shù)（1）常用對數(shù)函數(shù)：以10為底的對數(shù)函數(shù).（2）自然對數(shù)函數(shù)：以無理數(shù)e為底的對數(shù)函數(shù).知識點二.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)列表如下：y＝logax(a>0，且a≠1)底數(shù)a>10<a<1圖象定義域(0，＋∞)值域R單調(diào)性在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)共點性圖象過定點(1,0)，即x＝1時，y＝0函數(shù)值特點x∈(0,1)時，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)時，y∈[0，＋∞)x∈(0,1)時，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)時，y∈(－∞，0]對稱性函數(shù)y＝logax與y＝的圖象關(guān)于x軸對稱注意：掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其關(guān)鍵是理解圖象的特征，利用幾何直觀掌握函數(shù)的性質(zhì).知識點三.不同底的對數(shù)函數(shù)圖象的相對位置一般地，對于底數(shù)a>1的對數(shù)函數(shù)，在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)，底數(shù)越大越靠近x軸；對于底數(shù)0<a<1的對數(shù)函數(shù)，在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)，底數(shù)越小越靠近x軸．題型1對數(shù)函數(shù)的概念【方法總結(jié)】判斷一個函數(shù)是否為對數(shù)函數(shù)的方法對數(shù)函數(shù)必須是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必須滿足以下條件：(1)對數(shù)式系數(shù)為1.(2)底數(shù)為大于0且不等于1的常數(shù)．(3)對數(shù)的真數(shù)僅有自變量x.【例題1】（2021上·高一校考課時練習）下列函數(shù)中，是對數(shù)函數(shù)的有①y=logax(a∈R)；②y=log8x；③A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的概念分析可得答案.【詳解】①y=logax在a>0且a≠1②y=log8x和④y=log⑤y=2log4x故選：B.【變式11】1.（2022·高一課時練習）下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是（

）A．y=loga(2x) B．y=lg10x【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的概念即得.【詳解】因為函數(shù)y=logax(a>0所以ABC均為對數(shù)型復合函數(shù)，而D是底數(shù)為自然常數(shù)的對數(shù)函數(shù).故選：D.【變式11】2.（多選）（2023上·貴州遵義·高一統(tǒng)考期末）（多選題）下列函數(shù)表達式中，是對數(shù)函數(shù)的有（

）A．y=logπx B．y=log2x【答案】AB【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義知，形如y=logax(a>0【詳解】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義知，y=logπx而y=log4x故選：AB【變式11】3.（多選）（2022上·高一課時練習）下列函數(shù)為對數(shù)函數(shù)的是（

）A．fx=logm?1x（m>1，且C．fx=ln【答案】AC【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義判斷各選項即可.【詳解】形如y=logax（a>0對于A，由m>1，且m≠2，可知m?1>0，且m?1≠1，故A符合題意；對于B，不符合題意；對于C，符合題意；對于D，不符合題意；故選：AC.【變式11】4.（2023·全國·高一專題練習）指出下列函數(shù)中，哪些是對數(shù)函數(shù)？①y=5②y=?log③y=log④y=log⑤y=log【答案】④【分析】由對數(shù)函數(shù)定義可得.【詳解】對數(shù)函數(shù)定義：函數(shù)y=log①是指數(shù)函數(shù)，不是對數(shù)函數(shù)；②log3x的系數(shù)為③真數(shù)為x，所以不是對數(shù)函數(shù)；④滿足定義，是對數(shù)函數(shù)；⑤真數(shù)是x+1，所以不是對數(shù)函數(shù).故④是對數(shù)函數(shù).題型2對數(shù)函數(shù)求值◆類型1對數(shù)函數(shù)求解析式【例題21】（2023上·上海·高一上海市朱家角中學校考階段練習）已知對數(shù)函數(shù)過點(4,2)，則其解析式為．【答案】f【分析】利用待定系數(shù)法，設出函數(shù)解析式，把點代入求解即可.【詳解】設對數(shù)函數(shù)解析式為fx=logax因為對數(shù)函數(shù)過點(4,2)，所以loga4=2，解得所以對數(shù)函數(shù)解析式為fx故答案為：f【變式21】1．（2023上·高一課時練習）對數(shù)函數(shù)的圖象過點16,2，則對數(shù)函數(shù)的解析式為.【答案】y=【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的概念直接求解即可.【詳解】設對數(shù)函數(shù)的解析式為y=logax(a>0由已知可得loga16=2，即解得a=4，即函數(shù)解析式為y=log故答案為：y=【變式21】2.（2022·江蘇省濱海中學模擬預測）寫出滿足條件“函數(shù)y=fx在0,+∞上單調(diào)遞增，且f【答案】log【分析】根據(jù)已知確定函數(shù)形式，再結(jié)合單調(diào)性舉例．【詳解】fxy=fx+【變式21】3．（2023上·全國·高一專題練習）已知函數(shù)fx=b+logax（x>0(1)求fx(2)fx【答案】(1)f(2)2或16【分析】（1）由已知得b+loga8=2（2）fx2=3f【詳解】（1）由已知得，b+loga8=2，b+loga解得a=2，b=?1；故fx（2）fx2=3f∴l(xiāng)og2∴x=2或16.【變式21】4．（2023上·高一課時練習）已知對數(shù)函數(shù)fx的圖象過點4(1)求fx(2)解方程fx【答案】(1)f(2)x=256【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求解，（2）根據(jù)指對互化即可求解.【詳解】（1）由題意設fx=logax由函數(shù)圖象過點4,12即loga4=1解得a=16，故fx（2）方程fx=2，即所以x=162=256【變式21】5．（2023下·云南玉溪·高一云南省玉溪第一中學?？计谥校┮阎瘮?shù)fx=logax，g(x)=(1)求fx，g(2)若fm=gn【答案】(1)fx=log(2)答案見解析【分析】（1）列方程組求出f(4),g(4)，由對數(shù)的運算即可求解；（2）對m分類討論，由對數(shù)的運算及性質(zhì)比較大小即可.【詳解】（1）由f4+g4即a=2∴f(x)=log2x（2）由fm=gn當m=1時，有l(wèi)og2m=0，所以n=1，此時當m>1時，因為log2所以0<lgmlg2=當0<m<1時，因為log2所以0>lgmlg2=◆類型2對數(shù)函數(shù)求值【例題22】（2023上·高一課時練習）已知對數(shù)函數(shù)fx的圖象過點8,3，則f【答案】?5【分析】假設函數(shù)解析式fx=logax，代入點8,3【詳解】設fx=log∵fx過點8,3，∴l(xiāng)oga8=3，即a3∴f1故答案為：?5.【變式22】1.（2023·高一課時練習）已知對數(shù)函數(shù)y=fx的圖像過點e,1，則【答案】3【分析】首先求出對數(shù)函數(shù)表達式，再代入求值即可.【詳解】由題意可知，設f(x)=log因為e,1在圖像上，則f(e)=則f(x)=lnx，則故答案為：3【變式22】2.（2022上·北京·高三北京市第十三中學?？奸_學考試）已知函數(shù)fx=logax，且f【答案】4?1【分析】由f2=12，得到【詳解】由題意，函數(shù)fx=logax，因為f所以fx則f1故答案為：4；?1.【變式22】3．（2023上·黑龍江大慶·高一大慶實驗中學校考期中）已知gx為R上的偶函數(shù)，當x>0時，gx=【答案】5【分析】利用偶函數(shù)的基本性質(zhì)可求得g?2【詳解】因為gx為R上的偶函數(shù)，當x>0時，g則g?2故答案為：5.【變式22】4.（2023上·天津·高一?？茧A段練習）已知函數(shù)f(x)=log3(ax+b)的圖象經(jīng)過點A(2,1)B(5,2)．則f(14)÷f3+1【答案】6【分析】利用待定系數(shù)法求得f(x)的解析式，再代入數(shù)值求解即可.【詳解】因為函數(shù)f(x)=log3(ax+b)的圖像過點A(2,1)所以log32a+b=1log3則fx所以f(14)=logf3則f(14)÷f3故答案為：6.【變式22】5.（2023上·高一課前預習）已知fx=cx+dex+b,g【答案】cloga【分析】根據(jù)已知函數(shù)解析式，寫出對應復合函數(shù)解析式即可.【詳解】由題設fgx=cg(x)+deg(x)+b=故答案為：clogax+d◆類型3對數(shù)函數(shù)含參求值【例題23】（2023上·高一課時練習）若函數(shù)f(x)=aA．1或2 B．1C．2 D．a(chǎn)>0且a≠1【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義即可得到方程，解出即可.【詳解】∵函數(shù)f(x)=a∴a2?3a+3=1，a>0且解得a=1或a=2，∴a=2，故選：C．【變式23】1．（2023上·高一課時練習）函數(shù)f(x)=(a【答案】1【分析】利用對數(shù)函數(shù)的定義知，a2?a+1=1，解出【詳解】由題意得a2解得a=0或1，又a+1>0且a+1≠1，所以a=1.故答案為：1【變式23】2.（2023上·高一課時練習）已知函數(shù)f(x)=2m2【答案】1【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義即可得到答案.【詳解】因為函數(shù)f(x)是對數(shù)函數(shù)，則2m2?m=1故答案為：1.【變式23】3.（2022上·廣東深圳·高一?？计谀┰Oa∈R，若函數(shù)fx=log2A．7 B．3 C．1 D．?1【答案】D【分析】由題可得f(x)=log2(x+a)【詳解】∵f(x)=log2(x+a)∴f(3)=log2(3+a)=1故選：D【變式23】4.（2018·高一課時練習）已知函數(shù)fx=logax+2A．?2 B．2 C．12 D．【答案】B【解析】將6，3代入fx=logax+2【詳解】因為函數(shù)fx=log所以loga則a3所以fx=log故選：B.【變式23】5.（2023上·江蘇無錫·高一統(tǒng)考期末）已知對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠1)的圖象過點4,A．14 B．12 C．2 【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合對數(shù)運算求解.【詳解】由題意可得：loga4=12=則log4故選：C.題型3與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問題【方法總結(jié)】求對數(shù)型函數(shù)的定義域時應遵循的原則1分母不能為0.2根指數(shù)為偶數(shù)時，被開方數(shù)非負.3對數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不為1.◆類型1對數(shù)函數(shù)的定義域【例題31】（2023上·四川綿陽·高一綿陽中學?？计谀┖瘮?shù)fxA．x|x≥?12 C．x|x≥?12且x≠2 【答案】D【分析】根據(jù)已知列出不等式組，求解即可得出答案.【詳解】要使fx有意義，則應有2x+1≥0解得x>1且x≠2.故選：D.【變式31】1.（2023上·貴州畢節(jié)·高一校考階段練習）函數(shù)fxA．?1,2 B．?1,2 C．1,2 D．1,2【答案】A【分析】由被開方數(shù)大于等于0及真數(shù)大于0計算即可得.【詳解】要使函數(shù)有意義需滿足2?x≥0x+1>0，解得?1<x≤2，則函數(shù)的定義域為?1,2故選：A.【變式31】2.（2023上·陜西咸陽·高一校考階段練習）函數(shù)fx【答案】0,【分析】直接由根式和對數(shù)的意義求函數(shù)的定義域.【詳解】要使函數(shù)有意義，須有：9?x2≥0x>0lnx+1≠0故答案為：0,【變式31】3．（2023上·廣東汕頭·高一校考階段練習）函數(shù)fx【答案】0,【分析】由二次根式、分式、對數(shù)函數(shù)的定義域即可求解.【詳解】由題意函數(shù)fx=1x+即函數(shù)fx=1故答案為：0,2【變式31】4.（2023·四川成都·成都七中校考一模）與y=1A．y=x23C．y=lg10x【答案】D【分析】求出各函數(shù)的定義域，即可得出合適的選項.【詳解】對于函數(shù)y=14x，有x>0，即函數(shù)y=對于A選項，函數(shù)y=x23對于B選項，函數(shù)y=x2的定義域為對于C選項，對任意的x∈R，10x>0，即函數(shù)y=lg對于D選項，函數(shù)y=elnx故選：D.◆類型2對數(shù)型復合函數(shù)的定義域【例題32】（2022上·黑龍江大慶·高一?？计谀┖瘮?shù)y=logA．0,12 B．0,12 【答案】C【分析】由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0，分類求解對數(shù)不等式得答案．【詳解】要使原函數(shù)有意義，則logx當x>1時，logx12當0<x<1時，logx12所以函數(shù)y=logx1故選：C．【變式32】1．（2023上·新疆烏魯木齊·高一?？计谀┖瘮?shù)y=lg【答案】(?∞,0)【分析】由真數(shù)大于0，列出不等式，解得函數(shù)的定義域.【詳解】由題意，可知(12)解得x<0，函數(shù)定義域為(?∞故答案為：(?∞【變式32】2．（2023上·安徽·高一校聯(lián)考競賽）已知函數(shù)y=f2x的定義域為[?32A．[0,74]C．?2,4 D．?2,?1【答案】D【分析】根據(jù)給定的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合抽象函數(shù)定義域，列出不等式組求解即得.【詳解】由函數(shù)y=f2x的定義域為[?32因此函數(shù)y=f(1?x)ln(x+2)中，?3≤1?x≤4x+2>0x+2≠1所以函數(shù)y=f(1?x)ln(x+2)故選：D【變式32】3．（2023上·湖北·高一洪湖市第一中學校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)y=f12x+1的定義域是2,4A．2,3 B．2,3C．2,3∪3,6 【答案】A【分析】由函數(shù)定義域的概念及復合函數(shù)定義域的求解方法運算求解即可.【詳解】因為函數(shù)y=f12x+1的定義域是2,4所以2≤12x+1≤3，所以函數(shù)f所以要使函數(shù)gx=fxln所以函數(shù)gx=f故選：A.【變式32】4．（2019·云南曲靖·高三曲靖一中階段練習）已知函數(shù)fx=lgA．(?∞,10) B．(0,10) C．[?10,10] 【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)真數(shù)大于零有fx【詳解】由題意fx=lg所以y=ffx?1故選：D【變式32】5．（2023上·陜西渭南·高三?？茧A段練習）已知fx的定義域為0,2，則函數(shù)gA．1,3 B．C．1,2 D．【答案】A【分析】根據(jù)已知函數(shù)定義域、對數(shù)、分數(shù)的性質(zhì)列不等式性質(zhì)求定義域.【詳解】由題設0≤x2?1≤2log1所以函數(shù)定義域為1,3故選：A◆類型3與定義域相關(guān)的含參取值問題【例題33】（2019上·高一課時練習）設函數(shù)f(x)=a?lgx的定義域為0,10A．0 B．10 C．1 D．1【答案】C【解析】先帶參數(shù)求函數(shù)的定義域，與已知條件比較可得a的關(guān)系．求得a值．【詳解】由a?lgx?0得∵函數(shù)f(x)=a?lgx∴10故選：C.【點睛】本題考查對數(shù)型復合函數(shù)的定義域，掌握對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式33】1.（2022下·山東濟寧·高二期末）若函數(shù)y=x2+2x+a+lnx+2的定義域為1,+∞，則a=A．?3 B．3 C．1 D．?1【答案】A【分析】根據(jù)題意可知x=1為方程x2+2x+a=0的一個根，從而可求出【詳解】由x2+2x+a≥0x+2>0由題意可知上式的解集為1,+∞所以x=1為方程x2所以1+2+a=0，得a=?3，故選：A【變式33】2.（2023上·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx=ax?x2【答案】2【分析】根據(jù)題意可得ax?x【詳解】由題意，要使函數(shù)fx則ax?x2≥0所以a=2，此時由xx?2≤0x>故答案為：2.【變式33】3.（2015上·湖北武漢·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)fx(1)若函數(shù)fx的定義域為?∞,1(2)若函數(shù)fx的定義域為R，值域為?∞,?1(3)若函數(shù)fx在?∞,1【答案】(1)a=2(2)實數(shù)a的值為1或?1(3)1,2【分析】（1）根據(jù)題意可得1，3為方程x2?2ax+3=0的兩個根，然后根據(jù)對稱軸公式即可求得（2）根據(jù)題意可得x2?2ax+3>0在R上恒成立，可得a的范圍，再由值域列出方程求得（3）根據(jù)題意結(jié)合復合函數(shù)的單調(diào)性列出不等式即可.【詳解】（1）令ux=x所以函數(shù)ux的圖像的對稱軸方程為x=?2a?2（2）由題意，對于方程x2?2ax+3=0，Δ=由函數(shù)fx的值域為?∞,?1，可得當x=a時，fa=故實數(shù)a的值為1或?1．（3）函數(shù)fx在?∞,1上單調(diào)遞增，則u易知函數(shù)ux的圖像的對稱軸為直線x=a，所以a≥1易知ux在x=1當x=1時，有u1=1?2a+3>0，得所以實數(shù)a的取值范圍是1,2．◆類型4與定義域相關(guān)的含參取值范圍問題【例題34】（2023上·上?！じ咭簧虾Ｊ羞M才中學校聯(lián)考階段練習）已知a∈R，若函數(shù)y=lgx2?ax+1定義域為【答案】?2,2【分析】由題意有x2【詳解】若函數(shù)y=lgx2?ax+1定義域為有Δ=a2?4<0，解得?2<a<2，即故答案為：?2,2【變式34】1.（2023上·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習）若函數(shù)f(x)=lgA．(?1,0) B．[?1,1] C．(0,1) D．(1,+【答案】D【分析】將問題轉(zhuǎn)化為ax【詳解】由題函數(shù)f(x)=lg所以ax2當a=0時，ax當a≠0時，若?x則需a>0Δ=4?4a綜上實數(shù)a的取值范圍為(1,+∞故選：D【變式34】2.（2023上·廣東深圳·高一校考期中）已知函數(shù)fx=log2mx2【答案】(4,+【分析】結(jié)合題意可轉(zhuǎn)化為mx2+4x+m?3>0，在x∈R上恒成立，然后分【詳解】因為函數(shù)fx的定義域為R，所以mx2當m=0時，即0?x2+4x?3>0，此時x>34當m≠0時，m>0Δ=4綜上：實數(shù)m的取值范圍是(4,+∞故答案為：(4,+∞【變式34】3.（2023下·貴州遵義·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)fx(1)若fx(2)若f0【答案】(1)0(2)a=1【分析】（1）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為x2+2ax+a＞0對（2）根據(jù)題意表示f0【詳解】（1）因為若fx所以x2+2ax+a＞所以Δ=4a2即a的取值范圍為0（2）由題意得，f0=log則a>03a+1>0，得a>0所以f0得3a2+a=4，解得a=1所以a=1題型4對數(shù)函數(shù)圖象過定點問題【方法總結(jié)】y＝logax(a>0，且a≠1)圖象過定點(1,0)，即x＝1時，y＝0◆類型1對數(shù)型函數(shù)的定點【例題41】（2024上·江蘇揚州·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）函數(shù)f(x)=loga(2x?3)+5（a>0，a≠1）的圖象過定點AA．(1,0) B．(1,5) C．(2,5) D．(2,6)【答案】C【分析】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)所過的定點坐標.【詳解】令2x?3=1，則x=2，此時f(x)=loga1+5=5，故定點A故選：C【變式41】1.（2024上·遼寧遼陽·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)y=loga6?x4+2x(a>1)【答案】2【分析】根據(jù)loga【詳解】令6?x4+2x=1，得x=23，所以點故答案為：(2【變式41】2．（2023上·湖北·高一校聯(lián)考階段練習）函數(shù)y=logax+ax?1+2（a>0且a≠1）的圖象恒過定點k,b，若m+n=b?k且A．9 B．8 C．92 D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)性質(zhì)求得k=1,b=3，然后妙用“1”可得.【詳解】當x=1時，y=log所以，函數(shù)y=logax+ax?1所以，m+n=3?1=2，因為m>0，n>0，所以，9n+mmn當且僅當9nm=m所以，9n+mmn故選：B【變式41】3.（2023上·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習）已知曲線y=loga(x?2)+1（a>0且a≠1）過定點(s,t)，若m+n=s?t且m>0，n>0A．16 B．10 C．8 D．4【答案】C【分析】求出曲線y=loga(x?2)+1所過定點，即可得m+n=2，將9【詳解】對于y=loga(x?2)+1，令x?2=1，即x=3即曲線y=loga(x?2)+1（a>0且a≠1）過定點(3,1)故m+n=2，又m>0，n>0，則9m當且僅當9nm=mn，結(jié)合故選：C【變式41】4.（2023上·海南省直轄縣級單位·高一校考階段練習）函數(shù)fx=loga2x+1+2（a>0，a≠1）的圖象經(jīng)過定點A，若點A也在函數(shù)【答案】4【分析】根據(jù)對數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)求得A，代入gx的解析式，求得b，進而求得g【詳解】由2x+1=1，解得x=0，f0=2，所以所以g0所以gx=2故答案為：4【變式41】5.（2021·湖北·高一階段練習）若函數(shù)fx=ax+2+1與gx【答案】25【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象過定點求出給定函數(shù)圖象過的定點，列式求出m，n的值即可計算作答.【詳解】函數(shù)fx=ax+2+1圖象過定點依題意，1?m2=?2n=2，解得m◆類型2對數(shù)型函數(shù)與點坐標相關(guān)的問題【例題42】（2023上·高一課時練習）若點a,b在y=log2xA．1a,bC．2a,b+1【答案】D【分析】根據(jù)題意可知滿足b=log【詳解】若點a,b在y=log2x當x=1a時，易知log21a當x=2a時，易知log22a=log2當x=2a時，易知log22a當x=a2時，易知log2a2故選：D【變式42】1.（2021·全國·高一專題練習）若點(a，b)在函數(shù)fx=lnA．1a,?b C．ea,1?b 【答案】B【分析】由題意可得b=ln【詳解】因為點(a，b)在fx=ln所以?b=ln1a，1?b=故選：B．【變式42】2.（多選）（2021·高一課時練習）已知點m,n在函數(shù)y=logaxA．m2,2n C．m+a,n+a D．m【答案】AD【分析】將點坐標代入函數(shù)方程即可確定結(jié)果.【詳解】由題意知：loga對于A，∵logam2=2對于B，∵logama=a對于C，∵logam+a與n+a未必相等，∴對于D，∵logama=故選：AD.題型5對數(shù)函數(shù)圖像問題◆類型1對函型函數(shù)的圖形選擇【例題51】（2023·廣東·高三統(tǒng)考學業(yè)考試）下列函數(shù)可能是對數(shù)函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用對數(shù)函數(shù)的圖象可得合適的選項.【詳解】對數(shù)函數(shù)的定義域為0,+∞故選：A.【變式51】1.（2019·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考三模）當0<a<1時，在同一坐標系中，函數(shù)y=a?x與A． B．C． D．【答案】C【分析】通過底數(shù)范圍判斷指對函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)，即可判斷圖像，得出答案.【詳解】當0<a<1時，1a>1，函數(shù)y=a故選：C.【變式51】2.（2022·浙江省富陽中學）設a>0且a≠1,b∈R，函數(shù)fA． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)底數(shù)a對指數(shù)型與對數(shù)型函數(shù)單調(diào)性的影響，圖像的平移，以及圖像與坐標軸的交點與1的大小關(guān)系，即可排除求解.【詳解】函數(shù)fx=a①若0<a<1,fx=ax?b如圖C，若1-b>1，則b<0，此時gx=logax+b的漸近線為x=?如圖D，f0=a?b②若1<a時，fx=ax?b，gx=loga【變式51】3.（2023上·福建三明·高一三明一中校考期中）若函數(shù)y=ax(a>0，且a≠1)的圖象過點2,4A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，求出a，再由函數(shù)單調(diào)性及奇偶性判斷即得.【詳解】由函數(shù)y=ax的圖象過點2,4，得a2=4，而a>0且函數(shù)y=log2x當x>0時，y=log2x故選：A【變式51】4.（2023上·江蘇鹽城·高一鹽城市伍佑中學校聯(lián)考階段練習）已知a>1，則函數(shù)y=ax與函數(shù)A． B．C． D．【答案】A【分析】分別分析y=ax與【詳解】因為a>1，所以y=ax在又y=loga(?x)所以由復合函數(shù)單調(diào)性可知，y=loga(?x)在(?故選：A.【變式51】5．（2021上·陜西漢中·高一校聯(lián)考期中）已知lga=?lgb≠0，則函數(shù)fx=a?xA． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)參數(shù)對于指數(shù)函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的影響，結(jié)合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，逐項檢驗，可得答案.【詳解】對于A、B、C，由圖像可知，對于函數(shù)fx=a?x=由lga=?lgb≠0，則b>1，即函數(shù)g對于D，由圖像可知，對于函數(shù)fx=a?x=由lga=?lgb≠0，則0<b<1，即函數(shù)g故選：C.◆類型2對數(shù)型函數(shù)圖像的畫法【例題52】（2021·高一課時練習）畫出函數(shù)f(x)=log【答案】答案見詳解．【分析】按照流程：f(x)=log【詳解】按照流程：f(x)=1.圖像向上平移1個單位；2.圖像向右平移12【變式52】1.（2020·高一課時練習）畫出函數(shù)y=lg【答案】作圖見解析【分析】先求得函數(shù)的定義域，畫出對數(shù)函數(shù)y=lg【詳解】由函數(shù)y=lg(x?1)，則滿足x?1>0，解得x>1，即函數(shù)的定義為先畫得對數(shù)函數(shù)y=lgx的圖象，將函數(shù)得到函數(shù)y=lg(x?1)，再將函數(shù)y=lg即可得到函數(shù)y=lg【點睛】本題主要考查了對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解答中可求得函數(shù)的定義域，再結(jié)合函數(shù)的圖象變換進行求解是解答的關(guān)鍵，著重考查作圖能力.【變式52】2．（2022·湖南·高一課時練習）畫出函數(shù)y=log3【答案】圖象見解析，相同點：兩個函數(shù)的圖象都過1,0點，定義域為0,+∞不同點：函數(shù)y=log3【分析】畫出圖象，然后可得它們圖象之間的關(guān)系.【詳解】函數(shù)y=log3相同點：函數(shù)y=log3x及y不同點：函數(shù)y=log3x為0,+∞上的增函數(shù)，函數(shù)【變式52】3.（2016上·廣西桂林·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)f(x)={（1）在表中畫出該函數(shù)的草圖；（2）求函數(shù)y=f(x)的值域、單調(diào)增區(qū)間及零點．【答案】（1）草圖見解析；（2）y=f(x)的值域為R，y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間：[0，1]，y=f(x)的零點為x1=?1【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的解析式畫出函數(shù)的圖像．（2）結(jié)合函數(shù)的圖像求出的值域、單調(diào)增區(qū)間及零點．【詳解】解：（1）函數(shù)草圖，如圖所示：f(x)=x2?1(x<1)過點(0,?1)顯然f(x)=x2?1(x<1)與f(x)=且f(x)=log12（2）y=f(x)的值域為R，y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間：[0，1]，y=f(x)的零點為x1=?1，【變式52】4.（2023上·廣東佛山·高一?？茧A段練習）已知fx為定義在區(qū)間?∞,0∪0,+(1)當x∈?∞,0(2)在給出的坐標系中畫出函數(shù)fx的圖象，寫出函數(shù)f【答案】(1)f(2)作圖見解析，單調(diào)增區(qū)間是0,+∞，單調(diào)減區(qū)間是【分析】（1）按偶函數(shù)的定義即可求解；（2）按偶函數(shù)的對稱性即可作圖，再由圖得單調(diào)性.【詳解】（1）設x∈?∞,0由已知f?x又fx為定義在區(qū)間?∞,0∪0,+（2）由（1）可得函數(shù)圖象如圖所示.所以fx的單調(diào)增區(qū)間是0,+∞◆類型3對數(shù)型函數(shù)的圖像含參問題【例題53】（2023上·江西南昌·高一統(tǒng)考期末）若0<b<1<a，則函數(shù)y=logA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖像特征即可求解結(jié)論．【詳解】∵0<b<1<a，∴y=logbx圖像向左平移a個單位，得到y(tǒng)=log故函數(shù)y=log故選：A．【變式53】1.（2023上·山東聊城·高一校聯(lián)考期末）已知a>1，?2<b<?1，則函數(shù)y=logA．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，分析函數(shù)性質(zhì)，再判斷函數(shù)圖象經(jīng)過的象限作答.【詳解】a>1，?2<b<?1，函數(shù)y=logax?b而u=x?b在(b,+∞)上遞增，又y=logau在(0,+當b<x<b+1時，有0<x?b<1，loga(x?b)<0，函數(shù)當b+1<x<0時，有1<x?b<?b，loga(x?b)>0，函數(shù)當x>0時，有x?b>?b，loga(x?b)>0，函數(shù)所以函數(shù)y=log故選：D【變式53】2．（多選）（2023上·河北石家莊·高一石家莊精英中學?？茧A段練習）已知函數(shù)y=loga(3x?5)+2（a>0且a≠1）恒過定點(m,n)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】CD【分析】確定函數(shù)過定點2,2，得到f(x)=2【詳解】函數(shù)y=loga(3x?5)+2，當x=2時，y=2故m=n=2，f(x)=2函數(shù)可以由y=2故選：CD【變式53】3．（2022·全國·高一課時練習）已知函數(shù)fx=logax?b（aA．a(chǎn)>0，b<?1 B．a(chǎn)C．0<a<1，b<?1 D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求解.【詳解】因為函數(shù)fx=logax?b為減函數(shù)，所以0<a<1又因為函數(shù)圖象與x軸的交點在正半軸，所以x【變式53】4．（2021·全國·高一單元測試）（多選）已知函數(shù)y=logax+A．a(chǎn)>1 B．0<a<1C．c【答案】BD【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象判斷．【詳解】由圖象知0<a<1，可以看作是y=loga故選：BD．【變式53】5．（2022上·廣西南寧·高一南寧二中校聯(lián)考階段練習）已知定義在?2,0上的函數(shù)fx=loga?x+1a>0,a≠1的值域是?1,0.若函gx【答案】?【分析】由對數(shù)函數(shù)的值域分類討論求得a，再由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得結(jié)論．【詳解】函數(shù)fx=loga?x+1（a>0且當a>1時，fx∴f?2當0<a<1時，fx∴f?2=∵gx∴g0=1故答案為：?◆類型4對數(shù)型函數(shù)的圖像與底數(shù)的大小關(guān)系問題【例題54】（2021·全國·高一課時練習）如圖是對數(shù)函數(shù)y=logax的圖象，已知a值取5，53，45，18，則相應的CA．18，45，53，5 B．5，53，45，18C．53，5，45，18【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷．【詳解】∵當a>1時，圖象呈上升趨勢；當0<a<1時，圖象呈下降趨勢，又當a>1時，a越大，圖象向右越靠近x軸；0<a<1時，a越小，圖象向右越靠近x軸，故C1，C2，C3，C【變式54】1．（2022·新疆巴音郭楞·高一期末）如圖是三個對數(shù)函數(shù)的圖象，則a、b、c的大小關(guān)系是（

）A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞b＞aC．c＞a＞b D．a(chǎn)＞c＞b【答案】D【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象與單調(diào)性確定大小．【詳解】y＝logax的圖象在（0，＋∞）上是上升的，所以底數(shù)a＞1，函數(shù)y＝logbx，y＝logcx的圖象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b，c∈（0，1），又易知c＞b，故a＞c＞b.故選：D．【變式54】2．（2021·全國·高一）圖中曲線分別表示y=logaA．0<a<bC．0<c<d【答案】C【解析】在坐標系中，令y=1【詳解】如圖所示：當y=1時，x1=所以0<c【變式54】3．（2021·全國·高一課時練習）(多選)如圖是三個對數(shù)函數(shù)的圖象，則（

）A．a(chǎn)>1 B．0<b<1C．2【答案】ABC【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象可判斷出a>1>【詳解】由對數(shù)函數(shù)圖象得a>1,0<b,c<1，令y=1，logbb=【變式54】4.（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，A，B，C，D是y=lgx，y=log4x

（1）函數(shù)y=lg（2）函數(shù)y=log（3）函數(shù)y=log（4）函數(shù)y=log【答案】DBAC【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)分析判斷.【詳解】對于對數(shù)函數(shù)y=logax（a>0當a>1時，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；當0<a<1時，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減；所以函數(shù)y=log且當a>1時，底數(shù)越大，圖象越靠近x軸，所以函數(shù)y=lgx的圖象是D，函數(shù)y=log故答案為：D；B；A；C.題型6利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小【方法總結(jié)】比較對數(shù)值大小的常用方法1同底數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.2同真數(shù)的利用對數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉(zhuǎn)化.3底數(shù)和真數(shù)都不同，找中間量.注意：比較數(shù)的大小時先利用性質(zhì)比較出與零或1的大小.【例題6】（2022·全國·高一課時練習）分別比較下列各組數(shù)的大?。?1)log3.82.5，log2.8(2)8?0.7，log70.8(3)log25與【答案】(1)log3.82.5<(3)log【分析】（1）對于同底數(shù)的對數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性，對于不同底數(shù)的對數(shù)，利用中間值法；（2）對數(shù)與指數(shù)之間的比較，利用中間值法；（3）對于真數(shù)相同的對數(shù)，利用函數(shù)圖象.（1）因為y=log2.8x在0,+∞上是增函數(shù)，所以log2.84.6>log2.82.9>（2）因為y=8x在R上是增函數(shù)，所以0<8?0.7<80=1．因為y=log7x（3）方法一：函數(shù)y=log2當x>1時，y=log2x方法二：因為log25=1log52，【變式61】1.（2023上·河南鄭州·高一河南省實驗中學?？茧A段練習）設a=log31π，b=π13，c=A．a(chǎn)>b>c B．c>a>bC．c>b>a D．b>c>a【答案】D【分析】計算a=log31π<0【詳解】a=log31π<故a<0<c<1<b.故選：D【變式61】2.（2023上·天津西青·高一天津市西青區(qū)楊柳青第一中學校考期末）已知a=30.6，b=logA．c>a>b B．b>a>c C．a(chǎn)>b>c D．a(chǎn)>c>b【答案】D【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出a、b、c三個數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】因為a=30.6>而0<121.2<0.2故選：D.【變式61】3.（2023上·湖北襄陽·高一?？计谀┤粢阎猘=log23，b=A．b<a<c B．c<b<aC．a(chǎn)<b<c D．b<c<a【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合中間值“32【詳解】因為a=log23>log2且b=log34<且c=log1.54>所以b<a<c.故選：A.【變式61】4．（2023上·湖南長沙·高一長沙市第十五中學校聯(lián)考階段練習）已知a=log372，b=1413，A．c>a>b B．b>a>cC．c>b>a D．a(chǎn)>b>c【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷大小.【詳解】由題知，c=loga=log0<b=1所以a>b>c.故選：D題型7對數(shù)函數(shù)不等式【方法總結(jié)】(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a>1與0<a<1兩種情況進行討論．(2)形如logax>b的不等式，應將b化為以a為底數(shù)的對數(shù)式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的單調(diào)性求解．(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用換底公式化為同底的對數(shù)進行求解，或利用函數(shù)圖象求解．◆類型1不含參的對數(shù)不等式【例題71】解下列關(guān)于x的不等式：(1)(2)log3x<1；（3）log2(x－1)>1；（4）log0.7(2x)<log0.7(x－1)【解析】(1)由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,4－x>0，,x<4－x，))解得0<x<2.所以原不等式的解集為{x|0<x<2}．（2)因為log3x<1＝log33，所以x滿足的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,log3x<log33，))即0<x<3.所以x的取值集合為{x|0<x<3}．（3）∵log2(x－1)>1＝log2eq\f(1,2)，∴x－1>eq\f(1,2)，即x>eq\f(3,2).（4）函數(shù)y＝log0.7x在(0，＋∞)上為減函數(shù)，所以由log0.7(2x)<log0.7(x1)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x>0，,x－1>0，,2x>x－1，))解得x>1.即x的取值范圍是(1，＋∞)．【變式71】1．（2022·全國·高一專題練習）不等式log1【答案】?1?【分析】運用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，及二次不等式的解法，即得.【詳解】由log12?x2?x+7>0，可得log12?x2?【變式71】2．（2022·黑龍江·哈爾濱七十三中高一期末）解關(guān)于x的不等式：log【答案】{【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)定義域，列出不等式，即可求得答案.【詳解】因為函數(shù)y=log1即x>?1?2<x<1，解得【變式71】3．（2022·陜西·咸陽市高新一中高一開學考試）已知函數(shù)f(x)=【答案】x0<x【分析】利用對數(shù)運算化簡fx的解析式，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得不等式f【詳解】f(則不等式f(x)>0，即log3x<?1=log所以不等式f(x)>0的解集為x【變式71】4．（2022·河南焦作·高一期末）已知則p:x2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】求解一元二次不等式以及對數(shù)不等式，通過集合間的關(guān)系即可判斷.【詳解】∵x2?4x?12<0，∴?2<x<6，∵log【變式71】5．（2022·吉林·長春外國語學校高一開學考試）已知p：log3b>A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及不等式的性質(zhì)分別求出p、q的等價條件，再根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可；【詳解】解：由log3b>log3a得到b>a>0，由1a>1b，即1a?1b=b【變式71】6.（2023上·江蘇無錫·高一泰州中學校聯(lián)考階段練習）不等式x2【答案】0,2【分析】對原不等式變形為x2+ln【詳解】x2?x?2<lnx2?x?2<lnx+2?2lnx即x2+2lnx<lnx+2+令gx=x+lnx，因為所以gx在0,+∞則x>0x2<x+2故答案為：0,2.【點睛】本題主要根據(jù)函數(shù)特征，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式.◆類型2含參對數(shù)不等式【例題72】（2023上·全國·高一專題練習）已知logaA．0,34∪1,+∞ B．34【答案】A【分析】對a進行分類討論，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及對數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為loga34當a>1時，a>34，所以當0<a<1時，a<34，所以綜上，a的取值范圍是0,3故選:A．【變式72】1.（2022上·北京海淀·高一校考階段練習）已知loga53A．0,1∪1,5C．0,53∪【答案】D【分析】不等式即為loga53<log【詳解】loga53<1=logaa當a∈0,1時，y=logax為減函數(shù)，故所以a的取值范圍是0,1∪故選：D【變式72】2.（2021上·內(nèi)蒙古通遼·高二霍林郭勒市第一中學?？茧A段練習）若logaa2A．(0,1) B．0,12 C．12【答案】D【分析】利用比差法判斷真數(shù)的大小關(guān)系，進而根據(jù)原不等式即可判斷a的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意分析可知a>0且a≠1，∵a2+1?2a∵logaa2+1故選：D【變式72】3．（2022·全國·高一課時練習）解關(guān)于x的不等式：loga(x+1)>log【答案】當a>1時，原不等式的解集為x1<x<【分析】分成a>1，0<a<1【詳解】當a>1時，原不等式等價于{3?x2>0所以當a>1時，原不等式的解集為x1<x<3；當0<a<1所以當0<a<1時，原不等式的解集為{x|?1<x<1}；綜上，當a>1【變式72】4.（2022·全國·高一專題練習）解下列不等式：(1)logx(2)log(【答案】(1)43,【分析】（1）、（2）結(jié)合對數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)、對數(shù)運算求得不等式的解集.（1）由題x>0且x≠1，3x?4>0且3x?4≠1，得x>43且x≠53，則0<3x?4<1x>3x?4或3x（2）由題log(x?1)x2?1>1=故不等式解集為(2,+∞).◆類型3抽象不等式考點1解析式已知【例題73】（2022·河南新鄉(xiāng)·高一期末）已知函數(shù)fx=log【答案】?4,0【分析】由題意可得f1?【詳解】由f1?x=log2x≤2，得0<x【變式73】1．（2022·全國·高一課時練習）設函數(shù)fx=lgx2+1A．13,1 B．?1,32 C．【答案】D【分析】方法一:求出f3方法二:設t=x2+1，則y=lgt，判斷出fx【詳解】方法一:∵fx=lgx2+1∴由f3方法二:根據(jù)題意，函數(shù)fx=lgx2+1，其定義域為R，有f?x=lgx2+1=fx，即函數(shù)fx為偶函數(shù)，設t=x2+1，則y【變式73】2．（2023上·廣西玉林·高一博白縣中學?？茧A段練習）已知函數(shù)fx=eA．0,2 B．0,12∪12,3【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，分析得到函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，結(jié)合性質(zhì)及題中條件列出不等式，解出即可.【詳解】依題函數(shù)的定義域為?∞且f?x所以函數(shù)為偶函數(shù)，又當x>0時，fx函數(shù)f(x)在0,+∞有對稱性知，函數(shù)f(x)在?∞因為fx+1所以x+1>解得0<x<2，故選：A.【變式73】3．（2023上·廣東深圳·高一深圳外國語學校?？茧A段練習）設函數(shù)f(x)=|ln(xA．(?∞,1) B．(?13,+∞【答案】C【分析】分析函數(shù)f(x)的奇偶性及在(0,+∞【詳解】函數(shù)f(x)=|ln(x2+1即函數(shù)f(x)的定義域為R，f(?x)=|ln即函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，當x≤0時，x2+1?x≥1有l(wèi)n(x2+1?x)≥0，則f(x)=因此y=x2+1?x在(?∞而函數(shù)y=x2在(?∞,0)上遞減，從而函數(shù)f(x)在(?∞不等式f(x+1)>f(2x)?f(|x+1|)>f(|2x|)，于是|2x|<|x+1|，兩邊平方整理得3x2?2x?1<0所以不等式f(x+1)>f(2x)的解集(?1故選：C考點2解析式未知【例題74】（2023下·陜西榆林·高二校聯(lián)考期中）已知fx是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞增，則不等式A．0,1 B．1,+∞ C．0,2 D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得到函數(shù)fx在R上單調(diào)遞增，把不等式轉(zhuǎn)化為log【詳解】由fx是定義在R上的奇函數(shù)，且在區(qū)間0,+可得函數(shù)fx在R又由flog2x>f1所以不等式flog2x故選：D.【變式74】1．（2022上·安徽阜陽·高三安徽省太和中學校考階段練習）已知奇函數(shù)fx在R上單調(diào)遞增，且f1=1，則關(guān)于xA．0,1 B．1,+∞ C．0,e 【答案】C【分析】利用奇偶性改變自變量的符號，利用單調(diào)性脫掉函數(shù)記號，即可求解【詳解】因為fx為奇函數(shù)，所以f所以原不等式可化為2fln即flnx<1，因為f所以lnx<1，解得x∈故選：C【變式74】2．（2023上·江蘇徐州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，fx=【答案】[?4,0]∪[【分析】利用奇偶性求出函數(shù)f(x)的解析式f(x)=?【詳解】當x<0時，?x>0，所以f(?x)=log因為函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(x)=?f(?x)=?log所以當x<0時，f(x)=?log所以f(x)=?要解不等式f(x)≥?2，只需x>0log2x≥?2或x<0解得x≥14或?4≤x<0或綜上，不等式的解集為[?4,0]∪[1故答案為：[?4,0]∪[1【變式74】3．（2023上·上海徐匯·高一上海市西南位育中學校考期末）已知函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，且在0,+∞上是嚴格增函數(shù)，f?1=0，則不等式flog【答案】(【分析】結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系，將不等式進行等價轉(zhuǎn)化，進行求解即可．【詳解】∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在[0,+∞)上是增函數(shù)，∴f(1)=f(?1)=0，則不等式flog2x∴|log2x|<1，即?1<log2故答案為：(1【變式74】4.（2023·高一課時練習）已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在0,+∞上為增函數(shù)，f13【答案】0,【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性，將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】因為f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在0,+∞所以fx在?∞,0上單調(diào)遞減，又f所以x>13時fx>0，x<?13時所以不等式flog18x>0即?13log即log2x<?1或解得0<x<12或x>2，即不等式flog故答案為：0,◆類型5與復合函數(shù)有關(guān)的不等式【例題75】（2023上·湖南長沙·高二雅禮中學?？茧A段練習）若函數(shù)fx=x【答案】x|x>2，或0<x<1，或x<1?2【分析】令t=fx，分t≤0、t>0討論，求出t的范圍，再分x≤0、x>0【詳解】令t=fx當t≤0時，由ft=t2?2t>0解得t>2所以當x≤0時，fx=xx>0時，fx=log2x<0當t>0時，ft=log所以當x≤0時，fx=x2?2x>1解得x>1+x>0時，fx=log綜上所述，ffx>0的解集為x|x>2，或0<x<1故答案為：x|x>2，或0<x<1，或x<1?2【變式75】1.（2022·浙江大學附屬中學高一期末）已知fx是在定義域0,+∞上的單調(diào)函數(shù)，且對任意x∈0,+∞都滿足：ffx【答案】(0,3)【分析】由換元法求出fx【詳解】由題意得fx?2log2x且f(t)=2log2t+t=4故答案為：(0,3)【變式75】2.2023上·四川成都·高一四川省成都列五中學?？茧A段練習）設函數(shù)flog2x的定義域為14,4【答案】?1,?【分析】由題意利用換元法得到關(guān)于t的函數(shù)，判斷出ft的奇偶性和單調(diào)性，然后將不等式變形，由單調(diào)性和定義域得到關(guān)于x【詳解】令t=log2x，則x=2t所以f(t)=2t?1因為f(?t)=2所以函數(shù)ft因為f(t)=2而y=2t+1所以函數(shù)ft而不等式f1f1所以?2≤1由?2≤14x由12x?2≤2由14x?4<12x?2所以?1<12x綜上，?1<x≤?1故答案為：?1,?1【點睛】方法點睛：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，脫掉“f”是解有關(guān)函數(shù)不等式的常用方法.【變式75】3.（2023上·陜西渭南·高三?？茧A段練習）已知函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，當x≤0時，fx單調(diào)遞減，則不等式【答案】x52<x<【分析】由已知可得fx在(0,+∞)上遞增，再由偶函數(shù)的性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為f【詳解】因為函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，當x≤0時，f所以fx在(0,+因為fx是定義在R所以由flog13所以log3所以log32x?5<?所以0<2x?5<18或解得52<x<41所以不等式的解集為x52<x<故答案為：x52<x<【變式75】4.（2023上·貴州六盤水·高一統(tǒng)考階段練習）已知函數(shù)fx=loga((1)若a>1，b=0，求不等式fx+1(2)若?m∈[1,+∞)，【答案】(1)?(2)?【分析】（1）根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性得到f(x)的單調(diào)性，再分類討論即可；（2）首先得到2m+1≥2【詳解】（1）當b=0時，f(x)=log由x2?1>0，解得x>1或x<?1，所以f(x)的定義域為因為f(?x)=logax因為函數(shù)y=x2?1在(?所以f(x)在(?∞,?1)上單調(diào)遞減，在當x+1>1，即x>0時，此時函數(shù)單調(diào)遞增，且x+4>x+1，原不等式成立.當x+1<?1,x+4>1，即?3<x<?2時，?x?1∈1,2因為f(x+1)=f(?x?1)≤f(x+4)，則?x?1≤x+4，解得x≥?52，所以而x+4>x+1恒成立，即當x+4<?1時，不等式無解，綜上，原不等式的解集是?5（2）因為m≥1，且2m+1?2又因為f2m+1≥f2m當0<a<1時，y=logax是減函數(shù)，函數(shù)t(x)=此時函數(shù)f(x)在其定義域的x=?b2的右側(cè)區(qū)間上單調(diào)遞減，與f(x)在當a>1時，要使f(x)在[4,+∞則t(x)=x2+bx?1在[4,+∞)所以?b2≤4綜上，b的取值范圍是?15【點睛】關(guān)鍵點睛：本題第一問的關(guān)鍵是得到復合函數(shù)的單調(diào)性，再合理分類討論；第二問的關(guān)鍵是等價轉(zhuǎn)化為f(x)在[4,+∞)上單調(diào)遞增，再對題型8與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)的問題◆類型1對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的判斷【例題81】（2020·全國·高一課時練習）函數(shù)fxA．0,+∞上的增函數(shù) B．0,+∞上的減函數(shù)C．R上的增函數(shù) D．R上的減函數(shù)【答案】A【解析】對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a【詳解】y=log2x的定義域為(0,+∞),又2>1,故【點睛】本題考查對數(shù)函數(shù)的定義域以及單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.【變式81】1．（2022·全國·高一課時練習）判斷下列函數(shù)的單調(diào)性：y=（2）y=（3）y=（4）y=lg(3?2【答案】（1）在0,+∞上單調(diào)遞增；（2）在0,+∞上單調(diào)遞減；（3）在?12,+∞【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷可得；（2）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷可得；（3）根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性法則判斷可得；（4）根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性法則判斷可得；【詳解】解：（1）y=log2（2）y=log3（3）因為y=log7(2x+1)，令2x+1>0，解得x>?12（4）因為y=lg(3?2x)，令3?2x>0又因為y=lgx在定義域上單調(diào)遞增，y=3?2x在定義域上單調(diào)遞減，所以函數(shù)【變式81】2．（2022·全國·高三專題練習）判斷及證明函數(shù)y=【答案】增函數(shù)．證明見解析.【分析】首先由y=f(x)【詳解】增函數(shù)，證：由1+x1?x>0知：定義域為x∈(?1,1)任取?1<x1<x2<1，f∴f(x1【變式81】3．（2020·上?！じ咭徽n時練習）求證：函數(shù)y=loga【答案】見解析【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性定義即可證明.【詳解】證明：在區(qū)間(0,+∞)上任取x1,x2，設∵0<x1<x2，∴x1x2∈(0,1)．又∵a所以函數(shù)y=loga【點睛】本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.【變式81】4．（2019·湖南·長沙市雅禮書院中學高一期中）已知f(（1）求函數(shù)f(（2）求f(【答案】（1）f(x)=log【分析】（1）根據(jù)f1=1列方程，解方程求得a的值，也即求得fx（2）根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性同增異減，結(jié)合函數(shù)fx的定義域，求得f【詳解】（1）由f1=1得log4a+2+3=1,a+5=4,a=?1，所以（2）函數(shù)y=?x2+2x+3的對稱軸是x=1，開口向下；函數(shù)y=log【點睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)值求函數(shù)解析式，考查對數(shù)型函數(shù)的定義域、單調(diào)區(qū)間的求法，屬于基礎(chǔ)題.【變式81】5．已知函數(shù)f(x)=【答案】詳見解析.【分析】分a>1和0<a<1，先作出函數(shù)f【詳解】當a>1時，函數(shù)f則y=|由圖象知：y=|f(x)|當0<a<1時，函數(shù)則y=|由圖象知：y=|f(x)|◆類型2對數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【方法總結(jié)】求形如y＝logaf(x)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟(1)求出函數(shù)的定義域．(2)研究函數(shù)t＝f(x)和函數(shù)y＝logat在定義域上的單調(diào)性．(3)判斷出函數(shù)的增減性求出單調(diào)區(qū)間．【例題82】（2022下·浙江紹興·高二?？紝W業(yè)考試）關(guān)于函數(shù)fxA．在R上是增函數(shù) B．在R上是減函數(shù)C．在區(qū)間（14，+∞）【答案】C【分析】先求出函數(shù)定義域，再結(jié)合復合函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)進行判斷即可.【詳解】由函數(shù)f(x)的解析式知定義域為（1設t=2x?1顯然t=2x?12（t>0）在（由復合函數(shù)的單調(diào)性可知f(x)在（1故選：C【變式82】1.（2021·全國·高一專題練習）函數(shù)fx【答案】(?∞，2)【分析】利用對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由2?x>0，得x<2．又函數(shù)y=2?x，x∈(?∞，2)為減函數(shù)，∴函數(shù)fx=ln故答案為：(?∞，2)【變式82】2．（2021·全國·高一課時練習）函數(shù)y=【答案】0,+∞【分析】利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷y=12【詳解】任取x1,x則fx因為x1<x2，所以x1x2所以y=12lnx?1在故答案為：0,+∞.【變式82】3．（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)f(A．0,12 B．0,1C．0,+∞ 【答案】D【分析】先去絕對值化簡函數(shù)，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即得結(jié)果.【詳解】由f(x)=log12x=log12【變式82】4.（2019上·湖南·高一校聯(lián)考階段練習）函數(shù)fx【答案】2,+∞【分析】根據(jù)對數(shù)真數(shù)大于零可求得函數(shù)的定義域；分別在x<2和x>2兩種情況下，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性可求得fx【詳解】由x?2>0得：x≠2

∴fx當x<2時，fx=log12∴fx的單調(diào)遞減區(qū)間為故答案為：2,+∞【點睛】本題考查對數(shù)型復合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解問題，涉及到分類討論思想的應用；關(guān)鍵是能夠明確復合函數(shù)單調(diào)性遵循“同增異減”原則；易錯點是忽略函數(shù)定義域的要求，造成求解錯誤.◆類型3復合函數(shù)的單調(diào)性【例題83】（2023上·江蘇南通·高一海安高級中學?？茧A段練習）已知函數(shù)fx=log【答案】?1,1【分析】根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】fx=log而函數(shù)y=?x2+2x+3在?1,1函數(shù)y=log所以fx的單調(diào)減區(qū)間為?1,1故答案為：?1,1【變式83】1.（2022·全國·高一課時練習）函數(shù)y=ln【答案】0,1【分析】先求出函數(shù)定義域，再結(jié)合二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由?x2+2x>0，解得0<則函數(shù)t=?x2+2x在0,1所以函數(shù)y=ln?x2+2【變式83】2.（2023上·河北唐山·高三開灤第一中學?？茧A段練習）若fx=aexA．0,1 B．?∞,1 C．32【答案】B【分析】先利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出a，再根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性求解即可.【詳解】因為fx=a所以f0=a2?1=0，解得a=2則gx=lnx?1x?2因為二次函數(shù)y=x?1x?2=x2且y=ln所以復合后，gx=ln故選：B【變式83】3.（2020上·安徽蚌埠·高一固鎮(zhèn)縣第一中學?？茧A段練習）已知函數(shù)f(x)=loga(?（1）當a=7時，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間（使用復合函數(shù)思想判斷，不用定義判斷）；（2）若f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍．【答案】（1）[72,6)【分析】（1）先求出定義域，再判斷t=?x2+7x?6（2）討論a>1（0<a<1），由復合函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)t=?x2+ax?6【詳解】（1）當a=7時，f(x)=log由?x2+7x?6>0，得即f(x)的函數(shù)的定義域為(1,6)設t=?x2則t=?x2+7x?6所以其在(1,72)又y=log所以f(x)在(1,72)所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[7（2）若f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間則當a>1，則函數(shù)t=?x2+ax?6存在單調(diào)遞增區(qū)間即可，則判別式Δ=a2當0<a<1，則函數(shù)t=?x2+ax?6存在單調(diào)遞減區(qū)間即可，則判別式Δ=a2?24>0得綜上實數(shù)a的取值范圍是a>26【點睛】關(guān)鍵點睛：在判斷復合函數(shù)的單調(diào)性時，關(guān)鍵是按照“同增異減”的原則進行判斷，但要注意函數(shù)的定義域.【變式83】4.（2020上·寧夏·高三寧夏大學附屬中學?？茧A段練習）已知函數(shù)f(x)=log（1）當a=10時，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（2）若fx存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a【答案】（1）[5,9)；（2）a>6．【解析】（1）先由a=10得f(x)=log（2）討論a>1，0<a<1兩種情況，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性，以及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）當a=10時，f(x)=log由?x2+10x?9>0，得x即fx的函數(shù)的定義域為(1,9)設t=?x2+10x?9則t=?x2+10x?9所以其在1,5上單調(diào)遞增，在5,9上單調(diào)遞減；又y=log所以求f(x)的單調(diào)減區(qū)間，等價為求t=?x2+10x?9因為t=?x2+10x?9，1<x<9∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[5,9)．（2）若f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則當a>1，則函數(shù)t=?x2+ax?9存在單調(diào)遞增區(qū)間即可，則判別式Δ=a2當0<a<1，則函數(shù)t=?x2+ax?9存在單調(diào)遞減區(qū)間即可，則判別式Δ=a2?36>0得綜上實數(shù)a的取值范圍是a>6．【點睛】本題主要考查求對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查由對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，涉及二次函數(shù)的單調(diào)性，屬于?？碱}型.【例題84】（2021·重慶市育才中學）已知f(x?2)=lnA．(?2,+∞) B．(?2,0) C．(0,+∞) D．(0,2)【答案】A【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)單調(diào)性，判定y=lnx?【詳解】因為對數(shù)函數(shù)y=lnx在0,+∞上是增函數(shù)，反比例函數(shù)y=?所以y=lnx?2x在定義域0,+∞上單調(diào)遞增；又f(x【變式84】1.（2022·江蘇南通）設函數(shù)fx=?x2+2A．?∞,1 B．?2,1 C．1,+∞ D．1,4【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)y=【詳解】依題意，gfx=loga(?x2+2x+8)，則?x2+2x+8>0得：?2<x<4，即函數(shù)y=gfx的定義域為【變式84】2.（2023上·湖南長沙·高一長沙市第十五中學校聯(lián)考階段練習）若函數(shù)f(x)=12x，函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)圖象關(guān)于y=xA．[?2,0) B．(?2,0] C．(0,2] D．[0,2)【答案】B【分析】首先求出gx解析式，從而得到g【詳解】因為函數(shù)f(x)=12x且函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)所以gx所以g4?x2=log所以g4?x2又y=4?x2在?2,0上單調(diào)遞增，在y=log12x在定義域上單調(diào)遞減，所以g4?故選：B◆類型4單調(diào)性求參數(shù)取值范圍問題【方法總結(jié)】1．已知對數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，要結(jié)合復合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律，注意函數(shù)的定義域求解；若是分段函數(shù)，則需注意兩段函數(shù)最值的大小關(guān)系．2．求對數(shù)型函數(shù)的值域一般是先求真數(shù)的范圍，然后利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解．【例題85】（2020上·江蘇南通·高一江蘇省如皋中學?？茧A段練習）函數(shù)fx=lnx2A．1 B．2 C．1或2 D．以上答案均不對【答案】A【分析】根據(jù)一元二次不等式的解和復合函數(shù)的單調(diào)性求解．【詳解】若Δ=4a2?12≥0，則x2?2ax+3=0有兩個實根x1,x2（x1≤所以Δ<0，即?3<a<3，此時y=即f(x)的減區(qū)間是(?∞,a]，由題意a=1．故選：A．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性．解題關(guān)鍵是題意中減區(qū)間(?∞,1]，右閉區(qū)間．這樣就能確定x2?2ax+3>0在【變式85】1.（2022·山西朔州·高一期末）已知y=logaA．(0,1) B．(1,43)C．[【答案】B【分析】令t=8?3ax，由于底數(shù)a>0【詳解】因為a>0，所以t=8?3ax為減函數(shù)，而當a>1時，y=logat是增函數(shù)，所以y=loga故選：B【點睛】本題考查復合函數(shù)增減性的判斷，屬于中檔題【變式85】2.（2022·陜西·武功縣普集高級中學）已知函數(shù)fx=loga6?A．1,3 B．1,3 C．0,1 D．1,+∞【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)