文科數(shù)學(xué)考前重要知識點(diǎn)梳理

考前：記定義、公式、性質(zhì)、易錯點(diǎn)考時：熟題---認(rèn)真對待生題---化生為熟難題---化大為小一.三角(一)任意角的三角函數(shù)及三角恒等變換【主干知識】(1)同角三角函數(shù)之間的關(guān)系:①平方關(guān)系:_______________;②商數(shù)關(guān)系:__________.(2)誘導(dǎo)公式:①公式:Sα+2kπ;Sπ±α;S-α;;②巧記口訣:奇變偶不變,符號看象限,α當(dāng)銳角看.sin2α+cos2α=1(3)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式:①sin(α±β)=_______________________;②cos(α±β)=______________________;③tan(α±β)=___________.④輔助角公式:asinα+bcosα=_______________=cos(α+θ).sinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ?sinαsinβ(4)二倍角的正弦、余弦、正切公式:①sin2α=____________;②cos2α=_____________=2cos2α-1=1-2sin2α;③tan2α=_________.(5)降冪公式:①sin2α=__________;②cos2α=__________.2sinαcosαcos2α-sin2α角α的弧度數(shù)公式|α|=____(弧長用l表示)角度與弧度的換算①1°=_____rad②1rad=(____)°弧長公式弧長l=______扇形面積公式S=______=_______(6)公式：r|α|(7)任意角的三角函數(shù)

定義:設(shè)角α終邊與單位圓交于P(x,y),則______=y,______=x,tanα=________.sinαcosα【規(guī)律方法】1.用定義法求三角函數(shù)值的兩種情況(1)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r，然后用三角函數(shù)的定義求解.(2)已知角α的終邊所在的直線方程，則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義來求相關(guān)問題.【規(guī)律方法】2利用同角三角函數(shù)的關(guān)系式化簡求值的三種常用方法(1)切弦互換法:利用tanα=進(jìn)行轉(zhuǎn)化.(2)和積轉(zhuǎn)化法:利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化.(3)常值代換法:其中之一就是把1代換為sin2α+cos2α.同角三角函數(shù)關(guān)系sin2α+cos2α=1和tanα=聯(lián)合使用,可以根據(jù)角α的一個三角函數(shù)值求出另外兩個三角函數(shù)值.根據(jù)tanα=可以把含有sinα,cosα的齊次式化為tanα的關(guān)系式.【規(guī)律方法】3.利用誘導(dǎo)公式解題的原則和步驟(1)誘導(dǎo)公式應(yīng)用的原則：負(fù)化正、大化小，化到銳角為終了.(2)誘導(dǎo)公式應(yīng)用的步驟：【提醒】誘導(dǎo)公式應(yīng)用時不要忽略了角的范圍和三角函數(shù)的符號. 【規(guī)律方法】4.三角恒等變換的思路與方法思路:(1)和式:降次、消項、逆用公式.(2)三角分式:分子與分母約分或逆用公式.(3)二次根式:切化弦、變量代換、角度歸一.方法:(1)弦切互化:一般是切化弦.(2)常值代換:特別是“1”的代換,如1=sin2α+cos2α=tan45°等.(3)降次與升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式(降冪公式)降次.(4)公式的變形應(yīng)用:如sinα=cosαtanα,sin2α=,cos2α=,tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),1±sinα=等.(5)角的合成及三角函數(shù)名的統(tǒng)一:asinα+bcosα=(6)角的拆分與角的配湊:如α=(α-β)+β,β=±α可視為的半角等.(二)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)【主干知識】重要性質(zhì)(1)增減性:函數(shù)遞增區(qū)間遞減區(qū)間y=sinx_____________________________________________(k∈Z)(k∈Z)函數(shù)遞增區(qū)間遞減區(qū)間y=cosx_____________________________________________y=tanx_____________________無[-π+2kπ,2kπ](k∈Z)[2kπ,π+2kπ](k∈Z)(k∈Z)(2)對稱性:函數(shù)對稱中心對稱軸y=sinx____________________________y=cosx___________________________y=tanx______________無(kπ,0)(k∈Z)x=kπ(k∈Z)【規(guī)律方法】1.三角函數(shù)的性質(zhì)(1)運(yùn)用整體換元法求解單調(diào)區(qū)間與對稱性:類比y=sinx的性質(zhì),只需將y=Asin(ωx+φ)中的“ωx+φ”看成y=sinx中的“x”,采用整體代入求解.①令ωx+φ=kπ+(k∈Z),可求得對稱軸方程;②令ωx+φ=kπ(k∈Z),可求得對稱中心的橫坐標(biāo);③將ωx+φ看作整體,可求得y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間,注意ω的符號.(2)奇偶性:①函數(shù)y=Asin(ωx+φ),x∈R是奇函數(shù)?φ=kπ(k∈Z);函數(shù)y=Asin(ωx+φ),x∈R是偶函數(shù)?φ=kπ+(k∈Z);②函數(shù)y=Acos(ωx+φ),x∈R是奇函數(shù)?φ=kπ+(k∈Z);函數(shù)y=Acos(ωx+φ),x∈R是偶函數(shù)?φ=kπ(k∈Z);③函數(shù)y=Atan(ωx+φ),x∈R是奇函數(shù)?φ=(k∈Z).(3)周期性:函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的最小正周期T=,注意y=|Asin(ωx+φ)|的周期T=.(4)最值(或值域):求最值(或值域)時,一般要確定u=ωx+φ的范圍,然后結(jié)合函數(shù)y=sinu或y=cosu的性質(zhì)可得函數(shù)的最值(值域).【規(guī)律方法】2.三角函數(shù)的圖象函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=Asin(ωx+φ)+B的確定方法字母確定途徑說明A由最值確定

B由最值確定

ω由函數(shù)的周期確定相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對值為半個周期,最高點(diǎn)(或最低點(diǎn))的橫坐標(biāo)與相鄰零點(diǎn)差的絕對值為個周期字母確定途徑說明φ由圖象上的特殊點(diǎn)確定可通過認(rèn)定特殊點(diǎn)是五點(diǎn)中的第幾個關(guān)鍵點(diǎn),然后列方程確定;也可通過解簡單三角方程確定三角函數(shù)圖象的兩種變換方法(1)y=sinxy=sin(x+φ)y=sin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0).(2)y=sinxy=sinωxy=sin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0).(三)解三角形的綜合問題【主干知識】(1)正弦定理定理變形公式變形1變形2_________________=2R(2R為△ABC外接圓的直徑)a=_______b=_______c=_______sinA=sinB=sinC=重要結(jié)論:a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC2RsinA2RsinB2RsinC(2)余弦定理(3)面積公式S△ABC=bcsinA=________=_________=_____.定理推論a2=_____________b2=_____________c2=_____________cosA=__________cosB=__________cosC=__________b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosC【規(guī)律方法】正、余弦定理的應(yīng)用(1)邊角互化:求角;求邊;求三角形面積;確定三角形的形狀(2)結(jié)合基本不等式:求三角形周長、面積的最值二.數(shù)列【主干知識】(1)等差數(shù)列通項公式:an=_________.(2)等差數(shù)列前n項和公式:Sn=________=____________.(3)等比數(shù)列通項公式:________.a1+(n-1)dan=a1qn-1(4)等比數(shù)列前n項和公式:Sn=_______________________(5)等差中項公式:_______________________.(6)等比中項公式:_____________________.(7)數(shù)列{an}的前n項和與通項an之間的關(guān)系:an=_______________2an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2)(8)等差(比)數(shù)列的性質(zhì)盤點(diǎn)類型等差數(shù)列等比數(shù)列項的性質(zhì)2ak=am+al(m,k,l∈N*且m,k,l成等差數(shù)列)=am·al(m,k,l∈N*且m,k,l成等差數(shù)列)am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q)am·an=ap·aq(m,n,p,q∈N*且m+n=p+q)和的性質(zhì)當(dāng)n為奇數(shù)時:

當(dāng)n為偶數(shù)時:

依次每k項和:Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…構(gòu)成等差數(shù)列依次每k項的和:Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…構(gòu)成等比數(shù)列(k不為偶數(shù)且公比q≠-1)

【規(guī)律方法】(一)

1.求通項公式an(1)列方程求基本量(2)Sn與an的關(guān)系的應(yīng)用(討論,檢驗(yàn))(3)疊加法:an+1=an+f(n)(4)疊乘法:2.求最大(小)項:化為判斷an+1和an的差的正負(fù)【規(guī)律方法】(二)求Sn

1.分組求和的常見方法(1)根據(jù)等差、等比數(shù)列分組.(2)根據(jù)正號、負(fù)號分組.(3)根據(jù)數(shù)列的周期性分組.2.裂項后相消的規(guī)律(1)裂項系數(shù)取決于前后兩項分母的差.(2)裂項相消后前、后保留的項數(shù)一樣多.3.錯位相減法的關(guān)注點(diǎn)(1)適用題型:等差數(shù)列{an}乘以等比數(shù)列{bn}對應(yīng)項({an·bn})型數(shù)列求和.(2)步驟:①求和時先乘以數(shù)列{bn}的公比.②把兩個和的形式錯位相減.③整理結(jié)果形式.三.立幾1.三視圖①畫法規(guī)則：長對正、高平齊、寬相等；②擺放規(guī)則：側(cè)視圖在正視圖的右側(cè)，俯視圖在正視圖的下方.2.直觀圖橫等長,縱折半3.平行與垂直(1)線面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理定理符號表示圖形表示線面平行的判定定理________________線面平行的性質(zhì)定理________________定理符號表示圖形表示線面垂直的判定定理________________線面垂直的性質(zhì)定理________________(2)面面平行與垂直的判定定理、性質(zhì)定理:定理符號表示圖形表示面面垂直的判定定理________________面面垂直的性質(zhì)定理________________定理符號表示圖形表示面面平行的判定定理________________面面平行的性質(zhì)定理_______________【規(guī)律方法】1.證平行判斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的判定定理(aα,b?α,a∥b?a∥α).(2)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β,a?α?a∥β).判定面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理.(2)利用垂直于同一條直線的兩平面平行.2.證垂直判定線面垂直的常用方法方法一：利用線面垂直的判定定理.（兩垂一相交）方法二：利用面面垂直的性質(zhì)定理.（與交線垂直）面面垂直的證明方法（1）面面垂直的判定定理（2）用面面垂直的定義線線垂直的常用方法：線面垂直→線線垂直3.求體積（找底和高）四.概率統(tǒng)計1.利用頻率分布直方圖估計樣本的數(shù)字特征(1)中位數(shù):在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等,由此可以估計中位數(shù)的值.(2)平均數(shù):平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.(3)眾數(shù):在頻率分布直方圖中,眾數(shù)是最高的矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo).2.最小二乘法估計的三個步驟(1)作出散點(diǎn)圖，判斷是否線性相關(guān).(2)如果是，則用公式求，，寫出回歸方程.(3)根據(jù)方程進(jìn)行估計.【提醒】回歸直線方程恒過點(diǎn)3.獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)2×2列聯(lián)表.(2)K2統(tǒng)計量.K2=(其中n=a+b+c+d為樣本容量).y1y2總計x1ab____x2cdc+d總計a+c____a+b+c+da+bb+d4.求古典概型概率的基本步驟(1)算出所有基本事件的個數(shù)n.(列舉法,列表法)(2)求出事件A包含的所有基本事件數(shù)m.(3)代入公式P(A)＝求出P(A).5.幾何概型的概率公式(畫圖)P(A)=____________________________________________.五.解幾【主干知識】1.直線與圓(1)直線的斜率公式①已知直線的傾斜角為α(α≠90°),則直線的斜率為k=_______.②已知直線過點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(x2≠x1),則直線的斜率為k=________(x2≠x1).tanα(2)距離公式①A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)間的距離:|AB|=___________________.②點(diǎn)到直線的距離:d=___________(其中點(diǎn)P(x0,y0),直線方程為Ax+By+C=0).(3)直線與圓相交時弦長公式弦長l=_______,其中R為圓的半徑,d為圓心到弦所在直線的距離.(4)直線的兩種位置關(guān)系①當(dāng)不重合的兩條直線l1和l2的斜率存在時:(i)兩直線平行:l1∥l2?k1=k2.(ii)兩直線垂直:l1⊥l2?k1·k2=-1.②當(dāng)兩直線方程分別為:l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0時:(i)兩直線平行l(wèi)1∥l2?A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0或B1C2-B2C1≠0.(ii)兩直線垂直l1⊥l2?A1A2+B1B2=0.2.圓錐曲線(1)三個定義式:①橢圓:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|);②雙曲線:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|);③拋物線:|PF|=|PM|,點(diǎn)F不在直線l上,PM⊥l于M.(2)直線與圓錐曲線相交時的弦長:設(shè)而不求,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,進(jìn)行整體代入.即當(dāng)直線與圓錐曲線交于點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)時,|AB|=_____________=_______.(3)拋物線的過焦點(diǎn)的弦長:拋物線y2=2px(p>0)過焦點(diǎn)F的弦AB,若A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=,y1y2=-p2,弦長|AB|=x1+x2+p.同樣可得拋物線y2=-2px,x2=2py,x2=-2py類似的性質(zhì).|y1-y2|3.圓錐曲線重要性質(zhì)(1)橢圓、雙曲線中a，b，c之間的關(guān)系：①在橢圓中：________；離心率為_____.②在雙曲線中：________；離心率為_____.(2)雙曲線的漸近線方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)：①雙曲線=1(a>0，b>0)的漸近線方程為________；焦點(diǎn)坐標(biāo)F1_______,F2______.②雙曲線=1(a>0，b>0)的漸近線方程為________,焦點(diǎn)坐標(biāo)F1_______,F2______.a2=b2+c2c2=b2+a2(-c,0)(c,0)(0,-c)(0,c)(3)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程:①拋物線y2=±2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為______,準(zhǔn)線方程為________.②拋物線x2=±2py(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為________,準(zhǔn)線方程為________.【規(guī)律方法】1.直線與圓幾何法判斷直線與圓的位置關(guān)系的流程求過一點(diǎn)且與圓相切的切線方程的方法及步驟(1)方法：待定系數(shù)法.(2)步驟：①判斷點(diǎn)是否在圓上，若在圓上，則有且只有一條切線；若在圓外，則有且只有兩條切線；②設(shè)切線方程(一般設(shè)點(diǎn)斜式方程)；③利用圓心到直線的距離等于半徑，求待定系數(shù)值；④得切線方程.【提醒】若利用點(diǎn)斜式方程求得過圓外一點(diǎn)的切線只有一條，則需結(jié)合圖形把斜率不存在的那條切線補(bǔ)上.2.直線與圓錐曲線

解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的常見步驟第一步：確定直線與圓錐曲線的方程(設(shè)直線,設(shè)交點(diǎn))第二步：聯(lián)立方程；消元第三步：利用根與系數(shù)關(guān)系;根的判別式Δ第四步：結(jié)合題意解決具體問題(交點(diǎn)個數(shù);弦長;弦中點(diǎn))六.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)【主干知識】(1)基本初等函數(shù)的八個導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))f′(x)=__f(x)=xα(α∈R)f′(x)=______f(x)=sinxf′(x)=_____0αxα-1cosx原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)=cosxf′(x)=______f(x)=ax(a>0,且a≠1)f′(x)=_____f(x)=exf′(x)=__f(x)=logax(a>0,且a≠1)f′(x)=_____f(x)=lnxf′(x)=__-sinxaxlnaex(2)導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則①[f(x)±g(x)]′=________________;②[f(x)·g(x)]′=_______________________;③_________________f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)+f(x)g′(x)【規(guī)律方法】1.判斷函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的方法(1)直接求零點(diǎn):令f(x)=0,則方程解的個數(shù)即為零點(diǎn)的個數(shù).(2)零點(diǎn)存在性定理:利用該定理不僅要求函數(shù)在[a,b]上是連續(xù)的曲線,且f(a)·f(b)<0,還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個零點(diǎn).(3)數(shù)形結(jié)合:對于給定的函數(shù)不能直接求解或畫出圖形,常會通過分解轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象,然后數(shù)形結(jié)合,看其交點(diǎn)的個數(shù)2.求曲線y=f(x)的切線方程的三種類型及方法(1)已知切點(diǎn)P(x0,y0),求y=f(x)過點(diǎn)P的切線方程:求出切線的斜率f′(x0),由點(diǎn)斜式寫出方程.(2)已知切線的斜率為k,求y=f(x)的切線方程:設(shè)切點(diǎn)P(x0,y0),通過方程k=f′(x0)解得x0,再由點(diǎn)斜式寫出方程.(3)已知切線上一點(diǎn)(非切點(diǎn)),求y=f(x)的切線方程:設(shè)切點(diǎn)P(x0,y0),利用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率f′(x0),再由斜率公式求得切線斜率,列方程(組)解得x0,再由點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式寫出方程.3.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的“兩個”方法(1)①確定函數(shù)y=f(x)的定義域;②求導(dǎo)數(shù)y′=f′(x);③解不等式f′(x)>0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間;④解不等式f′(x)<0,解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間.(2)①確定函數(shù)y=f(x)的定義域;②求導(dǎo)數(shù)y′=f′(x),令f′(x)=0,解此方程,求出在定義區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)根;③列表確定f′(x)在各個區(qū)間內(nèi)的符號,根據(jù)符號判定函數(shù)在每個相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.4.已知函數(shù)y=f(x)在(a,b)的單調(diào)性,求參數(shù)的范圍的方法(1)利用集合間的包含關(guān)系處理:y=f(x)在(a,b)上單調(diào),則區(qū)間(a,b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集.(2)轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題求解:即“若函數(shù)單調(diào)遞增,則f′(x)≥0;若函數(shù)單調(diào)遞減,則f′(x)≤0”.5.研究極值、最值問題應(yīng)注意的三個關(guān)注點(diǎn)(1)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)并不一定就是函數(shù)的極值點(diǎn),所以在求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)后一定注意分析這個零點(diǎn)是不是函數(shù)的極值點(diǎn).(2)求函數(shù)最值時,不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點(diǎn)就是最值點(diǎn),要通過認(rèn)真比較才能下結(jié)論.(3)含參數(shù)時,要討論參數(shù)的大小.七.集合、常用邏輯用語1.必記公式(1)A∩B=A?_____.(2)A∪B=A?_____.(3)若集合A的元素有n個,則A的子集個數(shù)是__,真子集個數(shù)是____,非空真子集的個數(shù)是____.A?BB?A2n2n-12n-22.四種命題及其相互關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系:若q,則p若﹁p,則﹁q若﹁q,則﹁p(2)四種命題中的等價關(guān)系:原命題等價于_________,否命題等價于_______,在四種形式的命題中真命題的個數(shù)只能是0或2或4.逆否命題逆命題3.充分、必要條件:設(shè)集合A={x|x滿足條件p},B={x|x滿足條件q},則有從邏輯觀點(diǎn)看從集合觀點(diǎn)看p是q的充分不必要條件(p?q,q

p)_____p是q的必要不充分條件(q?p,p

q)_____p是q的充要條件(p?q)____p是q的既不充分也不必要條件(p

q,q

p)A與B互不包含A=B4.命題p,q,p∧q,p∨q,﹁p的真假關(guān)系pqp∧qp∨q﹁p真真_________真假_________假真_________假假_________真真假假真假假真真假假真5.全稱命題和特稱命題的否定:命題命題的否定?x∈M,p(x)______________?x0∈M,p(x0)______________?x0∈M,﹁p(x0)?x∈M,﹁p(x)八.向量1.特殊向量名稱說明零向量長度等于__的向量，其方向是_______，記作0單位向量長度等于_________的向量平行向量方向___________的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線相等向量長度相等且方向_____的向量相反向量長度相等且方向____的向量0任意的1個單位相同或相反相同相反2.必記公式(1)兩個非零向量平行、垂直的充要條件:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則①a∥b?a=λb(b≠0)?__________;②a⊥b?a·b=0?__________.x1y2-x2y1=0x1x2+y1y2=0(2)向量的夾角公式:設(shè)θ為a與b(a≠0,b≠0)的夾角,且a=(x1,y1),b=(x2,y2),則cosθ=__________________.3.重要結(jié)論(1)若a與b不共線,且λa+μb=0,則________.(2)已知