2025北師數(shù)學六下第一單元《圓錐的體積》教學分析

圓錐的體積學習目標1.通過具體情境觀察、實物感知等活動，感受物體體積的大小，發(fā)展空間觀念。2.經(jīng)歷“猜想與驗證”探索圓錐體積計算方法的過程，掌握圓錐體積的計算方法，能正確計算圓錐的體積，能運用圓錐體積計算方法解決一些簡單的實際問題。編寫說明圓柱的體積的計算方法是探索圓錐體積的基礎。在探索圓柱體積計算方法的基礎上，教科書再次引導學生經(jīng)歷“猜想與驗證”的探索過程，從而理解、掌握圓錐體積的計算方法。教科書先創(chuàng)設了“一堆圓錐形小麥”的簡單情境，引導學生結合情境來體會圓錐體積的實際含義?！み@堆小麥的體積是多少呢？想一想，如何得到圓錐的體積？這是學生經(jīng)歷猜想圓錐體積公式的思考過程。這個猜想有一定難度，因此要提供圓柱和圓錐的直觀圖（如教科書所示），引發(fā)學生聚焦圓錐的體積和它同底等高的圓柱的體積的關系，產(chǎn)生合理的猜想?！ぐ凑障旅娴姆椒ㄗ鲆蛔?，你有什么發(fā)現(xiàn)？這是驗證“猜想”的過程，驗證的方法是“倒沙”實驗，通過這個實驗發(fā)現(xiàn)圓錐的體積和它同底等高的圓柱體積之間的數(shù)量關系。教科書中呈現(xiàn)了用做實驗來“驗證”的方法，即用一個空心圓錐裝滿沙子倒入等底等高的圓柱中，看幾次能倒?jié)M來驗證，從而推導出圓錐體積的計算方法。·如果用V表示圓錐的體積，S表示底面積，h表示高，你能寫出圓錐體積的計算公式嗎？這是讓學生自己完成圓錐體積公式的抽象化、形式化的過程。在探索的基礎上，引導學生用字母表示體積計算公式?！と绻←湺训牡酌娣e半徑為2m，高為1.5m。小麥堆的體積是多少立方米？在探索得出計算方法的基礎上運用圓錐體積公式解決情境中提出的實際問題，計算出小麥堆的體積。教學建議教學時，結合“一堆圓錐形小麥”的簡單情境，讓學生說說什么是圓錐的體積，并提出“怎樣求圓錐的體積”的問題?！み@堆小麥的體積是多少呢？想一想，如何得到圓錐的體積？如何計算圓錐的體積？教師先讓學生提出自己的猜想，并說說自己是怎樣想的。學生猜想有困難時，教師可以呈現(xiàn)圓柱和圓錐的直觀圖（如教科書所示），引導學生想圓錐的體積和它同底等高的圓柱的體積的關系，從而提出合理的猜想。學生可能會想到“圓錐的體積大概是和它等底等高的圓柱體積的幾分之一”，也可能會進一步猜想二分之一、三分之一等，只要比較合理，教師都應給予肯定。·按照下面的方法做一做，你有什么發(fā)現(xiàn)？在提出猜想的基礎上，教師要創(chuàng)造條件讓盡可能多的學生參與實驗，親身體驗，并組織學生展開交流。教師還可以引導學生用幾個“高相等底不等”“底相等高不等”“底和高均不等”等幾組圓柱和圓錐做對比實驗，促進學生對圓柱和圓錐之間關系的理解?？偨Y圓錐體積的計算方法時，還要注意數(shù)學思想方法的總結。·如果用V表示圓錐的體積，S表示底面積，h表示高，你能寫出圓錐體積的計算公式嗎？引導學生自己嘗試寫出圓錐體積的計算公式：?！と绻←湺训牡酌娣e半徑為2m，高為1.5m。小麥堆的體積是多少立方米？引導學生應用計算方法解決情境中“小麥堆的體積是多少”的實際問題，教師要關注學生是否漏乘“”。練一練練一練一共6道題，其中第1~5題是配合問題串以及圓錐計算方法應用的練習；第6題是綜合練習。第1題讓學生通過觀察和計算，進一步理解圓錐體積和圓柱體積之間的關系，加深理解。第2題側重運用圓錐體積的計算方法直接進行計算。第3~5題是圓柱體積計算的簡單應用。第6題是捏橡皮泥的實踐活動，幫助學生進一步理解圓柱與圓錐之間的關系。第1題本題設計了4個不同的圓柱，讓學生通過觀察和計算，判斷“圓錐的體積與哪個圓柱的體積相等”，進一步理解圓錐體積和圓柱體積之間的關系。練習時，關鍵是學生獨立思考后，引導學生交流是怎么想的，第1個和第4個學生容易判斷，而第2、第3個學生不容易判斷，特別是第2個，學生很容易發(fā)生混淆，認為“圓錐和圓柱的高相等，圓錐的底面直徑是圓柱底面直徑的3倍，所以體積相等”。教師可以引導學生通過計算說明，“圓錐的底面直徑是圓柱底面直徑的3倍，圓錐的底面積是圓柱底面積的9倍，所以圓錐的體積與第2個圓柱的體積不相等”。正確答案是第3個圓柱，即圓錐和圓柱的底面積相等，而圓錐的高是圓柱的3倍。第2題本題是運用圓錐體積公式的基本練習，要注意的是第（1）小題是已知底面積和高，第（2）小題是已知半徑和高，第（3）小題是已知直徑和高，教學時要注意提高學生的識圖能力，引導學生根據(jù)不同的已知條件分別計算。練習時，可以先讓學生獨立練習，教師根據(jù)學生的練習反饋情況進行必要的指導。答案：（1）；（2）；（3）。第3題答案：。第4題本題是運用有關知識解決實際問題。第（1）小題：求帳篷的占地面積就是求圓錐底面的面積。答案：。第（2）小題：求帳篷的體積實質(zhì)是求圓錐的體積。答案：。第5題本題是運用圓錐體積的知識解決實際問題，先要根據(jù)周長算出底面的半徑，再逐一解決兩個問題?？梢宰寣W生獨立計算。答案：，，4.71×700=3297(kg)。第6題本題為實踐活動，目的是通過捏橡皮泥的活動，幫助學生進一步理解圓柱與圓錐之間的關系，初步體會“等積變形”。第（1）小題，因為體積不變，底面積也不變，所以圓錐的高應是圓柱的3倍，圓錐的高應是15cm。第（2）小題，因為體積不變，高不變，所以圓錐的底面面積應是圓柱的3倍，圓錐的底面面積是。練習時，可以先讓學生說一說，再實際操作，然后再比較、分析。這樣，有了實際的感知和體驗，能促進學生對知識的理解，促進學生空間觀念的發(fā)展。孩子，我的解釋你能明白嗎——“圓錐的體積”教學案例執(zhí)教：劉千（北京市上地實驗小學）教學內(nèi)容本冊教科書第11頁“圓錐的體積”。課前思考“圓錐的體積”一課，教師教學用書上對教學目標的敘述非常明確：結合具體情境和實踐活動，了解圓錐體積與容積的含義，經(jīng)歷“類比猜想—驗證說明”的探索過程，掌握圓錐體積的計算方法。教學目標中特別提出的“類比猜想”，在小學數(shù)學教學中有過不少的滲透，剛剛學完的圓柱體積計算方法的探索也經(jīng)歷了“類比猜想要驗證說明”的過程，讓學生體會到從特殊到一般的認識規(guī)律，從而得出一般性結論。對“圓錐的體積”再一次經(jīng)歷的“類比猜想”中，什么是合適的類比對象呢？我想教師們一定會毫不遲疑地回答——圓柱。那么，學生真的認為圓錐體積就應該是等底等高圓柱體積的嗎？事實上并不是！課堂寫真學生疑惑一：圓柱是由長方形繞一邊旋轉而成，圓錐是由直角三角形繞一直角邊旋轉而成，若三角形是長方形的一半，那么旋轉后的圓錐是否該是圓柱體積的一半呢？可是書上說圓錐體積是等底等高圓柱體積的。學生疑惑二：圓錐和三角形比較接近，三角形的面積是在等底等高平行四邊形面積的基礎上除以2得到的，那么圓錐的體積會不會也是在圓柱體積的基礎上除以2得到的呢？學生疑惑三：從圓柱體的中心挖出一個圓錐，剩余部分是否能拼成另一個圓錐？如果能，就該是的關系。真沒想到，學生會有這么多不同的思考！如果我們一廂情愿地讓學生類比圓柱，簡單地通過實驗讓學生去發(fā)現(xiàn)等底等高的圓錐體積和圓柱體積之間1:3的關系，那么學生真正的猜想何以展現(xiàn)，又如何能給予他們更為有效的引導呢？因此，我不急于得到圓錐的公式，更希望通過猜想與實驗的過程，培養(yǎng)學生的想象力、創(chuàng)造力，引導學生調(diào)整自己認識上的一些不足，體會數(shù)學的魅力和探索的樂趣。猜想過后，是開放的操作與實驗過程。課堂上，倒米的、切橡皮泥的、剪紙的、小組討論研究的，學生忙得不亦樂乎——有疑惑三的學生借助圓柱形大蠟燭進行實驗。在把圓柱一步一步地削成圓錐的過程中，他們發(fā)現(xiàn)，由于圓錐底部是“一個點”，即圓柱底部削去的部分較多，那么，削去的體積一定比剩下的圓錐體積大，于是推翻了自己認為圓錐體積是等底等高圓柱體積的想法。但有著疑惑一、疑惑二的學生雖然通過其他同學的實驗發(fā)現(xiàn)了的關系，但始終沒能想明白，自己的猜想問題出在哪里。于是，我這樣點撥學生：將圓錐和三角形進行類比猜想的同學想法很有個性，但我們必須注意的問題是“旋轉”和“平移”有著很大的不同，我們可以試著從平面幾何中，同心圓面積的變化來深入思考——平面上，假設同心圓中內(nèi)圓半徑為1，外圓半徑為2，那么，半徑長度的比是1:2，半徑只增加了1倍；但是，內(nèi)圓面積為×，外圓面積為×，內(nèi)圓與外圓面積比是1:4，面積卻增加了3倍，即環(huán)形面積是內(nèi)圓面積的3倍。這時，如果以這個同心圓的一條直徑做旋轉，同心圓環(huán)形掃過的區(qū)域一定比內(nèi)圓掃過的區(qū)域大得多（圖1）。圖1當學生理解了同心圓面積的這一變化時，我們再來假設，如果一個長方形進行如圖2（1）所示的旋轉，出現(xiàn)了如此變化——形成了圓柱。那么，切掉這個長方形的一半，再旋轉，就形成了如圖2（2）所示的等底等高的圓錐體。圖2而事實上，在長方形“旋轉”時每一個點留下的痕跡是不同的，如圖3（1），灰色區(qū)域留下的“痕跡”最少，可以用數(shù)字“1”來表示；白色區(qū)域留下的痕跡最大，可以用數(shù)字“3”來表示。那么切掉一半的話（圖3（2）），我們會發(fā)現(xiàn)，留下的三角形在旋轉時痕跡較少，而剪掉的三角形在旋轉時卻會留下很大的痕跡，因此，剪掉部分經(jīng)過旋轉所形成的圖形的體積一定比剩下的體積大。圖3學生聽后不由得鼓起了掌。雖然我無法讓學生真正理解為什么是的關系，但我卻能讓學生體會到他們的猜想是有價值的，他們選擇的類比對象也是易于理解的，只是因掌握的知識所限，暫時無法準確地解決問題?！邦惐仁且粋€偉大的引路人?！睌?shù)學學習通常都是在類比、歸納等方法的基礎上，獲得對有關問題的初步結論或解決方法的猜想，然后再設法證明或否定猜想，進而達到解決問題的目的。我們要讓學生充分地經(jīng)歷“類比猜想—驗證說明”的過程。但類比的對象不應是我們規(guī)定的，我們要真正學會尊重學生，給予學生猜想的空間，再通過推理等方法獲得進一步證明，他們一定會有更多的想法暴露出來，給我們帶來更多的驚喜。也許學生的證明并不嚴密，但只要能夠從不同角度作出自圓其說的說明，那么學生的想象力、創(chuàng)造力就能獲得一定程度的發(fā)展。（上文發(fā)表于《新世紀小學數(shù)學》2010年第3期，以下案例問題和案例研討為收入本書時編者所加。）課后解讀數(shù)學教學要引導學生經(jīng)歷探索知識的過程。在上述案例中，教師充分引導學生經(jīng)歷猜想圓錐體積公式、操作驗證猜想、解釋說明的過程，有利于學生的知識建構、活動經(jīng)驗的積累和思維的發(fā)展。盡管有圓柱體積計算方法為基礎，但立體圖形的體積變化的想象相對比較困難，所以對學生來說，要形成“圓錐體積計算方法”的猜想并把原因弄明白也是比較困難的。上述案例中，在教師的充分引導下，學生在形成猜想中提出了很多想法和疑惑，這些“猜想”體現(xiàn)了學生自己的獨立的思考，而且也都有一定的合理的聯(lián)系，對學生的想法首先值得肯定。我們的教學中要提倡這樣讓學生充分表達自己想法的教學行為。在形成很多不同的猜想后，劉老師并不急于統(tǒng)一學生的想法，形成所謂的“共同的猜想”，而是提供充分的操作和實驗的材料，鼓勵學生用倒米、切橡皮泥、剪紙等不同的方法去驗證或說明自己的猜想。在操作中，學生有了很多直觀體驗，并大多能得出結論。這是教學的關鍵環(huán)節(jié)，關鍵要引導學生理清思路、正確操作或?qū)嶒?，并有條理地用實驗或操作的結果來說明自己的想法，進一步提出自己的疑惑。在學生實驗或操作的基礎上提出疑惑后，可以像劉老師那樣，從數(shù)學的角度，進一步創(chuàng)造性地使用“用圓環(huán)面積說明，再用長方形旋轉說明”等方式幫助學生進一步理解。案例研討1.在猜想環(huán)節(jié)，上述案例中學生的三個疑惑你遇到過嗎？課堂上如何充分暴露學生