九年級(jí)數(shù)學(xué)考點(diǎn)大串講（人教版）：期中真題必刷常考60題（32個(gè)考點(diǎn)專練）（解析版）

期中真題必刷常考60題(32個(gè)考點(diǎn)專練)

一.一元二次方程的解(共1小題)

1.(2022秋?西青區(qū)校級(jí)期中)關(guān)于x的一元二次方程(m―1)/+]+m2?1=0的一個(gè)根為0,則少為()

A.0B.1C.-1D.1或-1

【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把x=0代入原方程列出關(guān)于〃？的方程，通過解該方程來求〃?

的值；注意一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不等于零.

【解答】解：依題意，得

m2-1=0,且m-1W0,

解得m=-1.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的解的定義，一元二次方程的定義.注意，一元二次方程的二次項(xiàng)系

數(shù)不為0,這是考試中經(jīng)常出現(xiàn)的知識(shí)點(diǎn)，需要同學(xué)們注意.

二.解一元二次方程.配方法(共2小題)

2.(2022秋?青羊區(qū)校級(jí)期中)用配方法解一元二次方程4.、-3=0,下列變形結(jié)果正確的是()

A.(x-2)2=1B.(x-2)2=7C.(x-4)2=1D.(x-4)2=7

【分析】首先移項(xiàng)，再進(jìn)行配方，方程左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，即可變形成左邊是完

全平方，右邊是常數(shù)的形式.

【解答】解:?-4x-3=0,

-4x+4=3+4,

即(x-2)2=7,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用配方法蟀一元二次方程，熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵.

3.(2022秋?西城區(qū)校級(jí)期中)一元二次方程/?6%?5=0配方后可變形為()

A.(x+3)2=4B.(x-3)2=4C.(x+3)2=14D.(x?3)2=14

【分析】先移項(xiàng)，再根據(jù)完全平方公式配方，即可得出選項(xiàng).

【解答】解：AT-6x-5=0,

,r-6x=5,

.r-6x+9=5+9,

(x-3)2=14,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了用配方法解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關(guān)鍵.

三.解一元二次方程.公式法（共1小題）

4.（2022秋?武岡市期中）己知關(guān)于x的一元二次方程（a+―/-2u+（a-h）=0,其中a,h,c分別為

△A8C三邊的長(zhǎng).

（1）如果x=l是方程的一個(gè)根，試判斷△48C的形狀，并說明理由；

（2）如果△ABC是等邊三角形，試求這個(gè)一元二次方程的根.

【分析】（】）把人?=1代入方程，整理后得出ac=0,求出a=c,根據(jù)等腰三角形的判定得出即可；

（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出a=b=c,代入方程得出f?x=0,再求出方程的解即可.

【解答】解：（I）ZXABC是等腰三角形，

理由：,?"=1是方程的根，

（。+〃）-2c+（a-b）=0,

a+b-2c+a-〃=0,

??a-c=0,

.\a=c,

???△ABC是等腰三角形；

（2）如果△ABC是等邊三角形，則a=》=c,

原方程可化為：2”，-2at=0,

-x=0,

解得：Xl=0，X2=l.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定，等邊三角形的性質(zhì)，一元二次方程的解和解一元二次方程等知

識(shí)點(diǎn)，能熟記等腰三角形的判定定理和等邊三角形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.

四.解一元二次方程.因式分解法（共2小題）

5.（2022秋?廣陽區(qū)校級(jí)期中）方程的解為川=0,xi=M.

【分析】利用因式分解法即可求得方程的解.

【解答】解：7■畬x=0,

X（X-V3）=0'

Axi=0?X2=V^，

故答案為幻=0,X2=V3.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：在接開平方

法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵.

6.(2022秋?柳江區(qū)期中)解方程:?-2.r-8=0.

【分析】利用因式分解法解方程.

【解答】解：(x-4)(x+2)=0,

x-4=0或％+2=0,

所以XI=4,X2=-2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程因式分解法；因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，

這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

五.根的判別式(共3小題)

7.(2022秋?青羊區(qū)校級(jí)期中)關(guān)于x的一元二次方程/-公+〃=()有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則〃的值是()

A.4B.-4C.1D.-1

【分析】由一元二次方程根的判別式，解出即可.

【解答】解：???一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

A=tr-4ac=0，

即(-2)2-4XlX?=0,

解得，a=l;

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，①當(dāng)△>()時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；②

當(dāng)A=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；③當(dāng)4V0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.

8.(2022秋?建華區(qū)校級(jí)期中)關(guān)于x的一元二次方程/+(/n-2)x+〃?+l=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則〃?

的值是?；?.

【分析】先根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根列出關(guān)于，〃的方程，求出機(jī)的值即可.

【解答】解：???關(guān)于x的一元二次方程x+機(jī)+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

A=(/n-2)2-4(zn+1)=0,即"P-8〃2=0,解得〃?=0或加=8.

故答案為：?；?.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是根的判別式，一元二次方程0?+法+c=0(“WO)的根與A=扇-4〃c有如下關(guān)系：

當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

9.(2022秋?華容區(qū)期中)若關(guān)于x的一元二次方程"2?2r-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則攵的取值范圍是」

2-1且.

【分析】先根據(jù)一元二次方程II勺定義及根的判別式列出關(guān)于2的不等式組，求出&的取值范圍即可.

【解答】解：?.?關(guān)于X的一元二次方程扇?2Y?1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

.Jk聲0

**△=（-2）2+4k>0，

解得女2?1且AW0.

故答案為：左2?1且&W0.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程—+以+c=o（e0）的根與Aj2-4ac的關(guān)系

是解答此題的關(guān)鍵.

六.根與系數(shù)的關(guān)系（共2小題）

1（）.（2022秋?普城區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于工的一元二次方程f+（2-1）x+F-1=0有實(shí)數(shù)根.

（1）求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

（2）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為川，4，若XI2+E2=%求L的值.

【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式求解即可；

（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可.

【解答】解：（1）???關(guān)于x的一元二次方程Y+（2什1）1=0有實(shí)數(shù)根，

???A=b2-4ac=（2&+1）2?4（F?1）20,

.??4F+4A+1-4狂+4,0,

,"T

（2）解：???方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為xi,如

/.Xl+X2=-（2&+1）,X\*X2=!C-I,

VA2=9,

12+X2

:.（X1+X2）2-2AIX2=9,

/.[-⑵+1）]2-2（A2-1）=9,

.??4必+4k+l-2d+2=9,

：.k--3或1,

,?”等

:?k=1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的判別式，熟知一元二次方程

的相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

11.（2022春?大觀區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于工的一元二次方程/+（〃z+2）x+m=0.

(1)求證：無論,〃取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：

(2)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根XI,X2,且M+X2+2lLV2=3,求機(jī)的值.

【分析】(1)先計(jì)算根的判別式的值，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)為斷△>(),然后根據(jù)根的判別式的意義得到

結(jié)論；

(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到xi+x2=-(m+2),x\xi=m,則由XI+X2+2AIX2=3得到-(〃?+2)+2〃?=

3,然后解關(guān)于機(jī)的方程即可.

【解答】(1)證明：???△=(〃葉2)2-4,〃

=〃尸+4〃?+4-4m

=〃尸+4>0,

???無論m取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)解：根據(jù)題意得xi+.r2=-(m+2),xix2=m,

VXI+X2+ZVIA-2=3,

-(m+2)+2//2=3,解得/〃=5,

即機(jī)的值為5.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若川，X2是一元二次方程a/+/*+c=O(aWO)的兩根，則加+工2

=上.也考查了根的判別式.

aa

七.由實(shí)際問題抽象出一元二次方程(共3小題)

12.(2022秋?武昌區(qū)期中)如圖，有一張矩形紙片，長(zhǎng)105?，寬6cm，在它的四角各減去一個(gè)同樣的小正

方形，然后折疊成一個(gè)無蓋的長(zhǎng)方體紙盒.若紙盒的底面(圖中陰影部分)面積是32。產(chǎn),求剪去的小正

方形的邊長(zhǎng).設(shè)剪去的小正方形邊長(zhǎng)是xom根據(jù)題意可列方程為()

A.10X6-4X6x=32B.10X6-4^=32

C.(10-A)(6-x)=32D.(10-2A)(6-2X)=32

【分析】設(shè)剪去的小正方形邊長(zhǎng)是叩〃，則做成的紙盒的底面長(zhǎng)為(10-2x)cm,寬為(6-Zv)”〃，根

據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解.

【解答】解:設(shè)剪去的小正方形邊長(zhǎng)是xc/w,則做成的紙盒的底面長(zhǎng)為(10-2x)cm,寬為(6-2x)cm,

依題意，得：(10-Zt)(6-2A)=32.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的

關(guān)鍵.

13.(2022秋?恩施市期中)受國際油價(jià)影響，今年我國汽油價(jià)格總體呈上升趨勢(shì).某地92號(hào)汽油價(jià)格六月

底是7.5元/升，八月底是8.4元/升.設(shè)該地92號(hào)汽油價(jià)格這兩個(gè)月平均每月的增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意列

出方程，正確的是()

A.7.5(1+x2)=8.4

D.7.5(1+x)2=8.4

C.8.4(1-x)2=7.5

D.7.5(1+x)+7.5(1+x)2=8.4

【分析】利用該地92號(hào)汽油八月底的價(jià)格=該地92號(hào)汽油六月底的價(jià)格X(1+該地92號(hào)汽油價(jià)格這兩

個(gè)月平均每月的增長(zhǎng)率)2,即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解.

【解答】解：依題意得7.5(1-x)2=8.4,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的

關(guān)鍵.

14.(2022秋?豐臺(tái)區(qū)校級(jí)期中)2021年是中國共產(chǎn)黨建黨100周年，全國各地積極開展“弘揚(yáng)紅色文化,

重走長(zhǎng)征路”主題教育活動(dòng).據(jù)了解，某展覽中心3月份的參觀人數(shù)為10萬人，5月份的參觀人數(shù)增加

到12.1萬人.設(shè)參觀人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為-則可列方程為10(I+x)2=12.1.

【分析】利用5月份的參觀人數(shù)=3月份的參觀人數(shù)X(1+月平均增長(zhǎng)率)2,即可得出關(guān)于x的一元二

次方程，此題得解.

【解答】解：依題意得：10(1+x)2=12.1.

故答案為:10(1+x)2=12.1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的

關(guān)鍵.

八.一元二次方程的應(yīng)用(共1小題)

15.(2022秋?薛城區(qū)期中)請(qǐng)根據(jù)圖片內(nèi)容填空：每輪傳染中，平均一個(gè)人傳染了10人.

我叫Omicron（奧密克戎）,是新冠病毒

的變異毒株，我的傳染性很強(qiáng)，傳播速度

很快。有一次我感染了1個(gè)人，此人未被

有效隔離，經(jīng)過兩輪傳染后共有121名感

3一

【分析】設(shè)每輪傳染中，平均一個(gè)人傳染了x人，根據(jù)“感染1個(gè)人，此人未被有效隔離，經(jīng)過兩輪傳

奧后共有121名感染者”，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)每輪傳染中，平均一個(gè)人傳染了x人，

依題意得：l+x+x（l+x）=121,

即（1+x）2=121,

解得：X1=10,X2=-12（不符合題意，舍去），

???每輪傳染中，平均一個(gè)人傳染了10人.

故答案為：10.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

九.二次函數(shù)的圖象（共1小題）

16.（2022秋?都勻市校級(jí)期中）函數(shù)）=公+〃和y=aP+以+c在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是（）

【分析】根據(jù)二次函數(shù)、一次函數(shù)的圖象位置，判斷系數(shù)符號(hào)是否一致，即可判斷.

【解答】解：A、二次函數(shù)的圖象開口向上則4>0,一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限，則。<0,不

一致，故A不合題意；

B、二次函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸x=-上>0,則a>0,b<0,一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象

2a

限，則。>0,h>0,不一致，故3不合題意：

C、二次函數(shù)的圖象開口向下，a<LO,一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三、四象限，則〃>0,不一致，故C不

合題意:

D、二次函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸工=-上>0,則。>0,bVO,一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、三、四象

2a

限，則。>0,b<0,一致，故。符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象，關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)），=履+人在不同情況下所

在的象限，以及熟練掌握二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)等.

一十.二次函數(shù)的性質(zhì)（共2小題）

17.（2022秋?余杭區(qū)校級(jí)期中）拋物線y=-（x-1）2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（1,3）B.（-I,3）C.（-1,-3）D.（1,-3）

【分析】根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式解析式寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可.

【解答】解：y=-（公1）2+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,3）.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握利用頂點(diǎn)式解析式寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)的方法是解題的關(guān)鍵.

18.（2022秋?河北區(qū)期中）二次函數(shù)y=（m+l）x'-2+2x-i的圖象開口向下，則/〃=?2.

【分析】直接利用二次函數(shù)的定義以及其性質(zhì)得出加的值.

【解答】解：二次函數(shù)），=（加+1）xm"2+2x_i的圖象的開口向下，

：.nr-2=2,且m+lVO,

解得：加=-2.

故答案為：-2.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的定義，正確掌握二次函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

一十一.二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（共1小題）

19.（2022秋?博興縣期中）如圖，拋物線y=o?+"+c（〃K0）的對(duì)稱軸是直線尸1,下列結(jié)論：①abc>

0,②/-4ac>0,③9〃+3Hc>0,?8a+e<（）,其中正確的個(gè)數(shù)為（）

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象分別判斷〃，b,c的符號(hào)即可判斷結(jié)論①；利用圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可判斷

結(jié)論②：利用x=3時(shí)的函數(shù)值的正負(fù)即可判斷結(jié)論③：利用對(duì)稱軸及當(dāng)x=-2時(shí)函數(shù)值的正負(fù)即可判

析結(jié)論④.

【解答】解：???拋物線開口向下，

，aVO,

???拋物線對(duì)稱軸在)，軸右側(cè)，

與a異號(hào),即力>(),

???拋物線與y軸交點(diǎn)在y軸正半軸，

Ac>0,

：?abc<0,故①錯(cuò)誤，不符合題意.

???拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

???廬-4心>0,故②正確,符合題意.

由圖象可知，當(dāng)x=3時(shí)，y>0,

9a+30+c>0,

故③正確，符合題意；

???拋物線對(duì)稱軸為直線l=-a=i,

2a

:?b=-2a,

把x=-2代入y=cur-2ax+c得y=8a+c,

由圖象可得x=-2時(shí)yVO,

：?8a+cV0,

故④正確，符合題意.

故正確的是②③④共3個(gè)，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)系數(shù)與圖象的關(guān)系，解題關(guān)鍵是根據(jù)圖象找出對(duì)應(yīng)大值與y的大小關(guān)系.

一十二.二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征(共1小題)

20.(2022秋?大武口區(qū)校級(jí)期中)已知拋物線，y=-/+/zr+c經(jīng)過4(-2,2),B(6,2),C(-3,yi),

D(6,四點(diǎn)，則戶與”的大小關(guān)系是戶_S_V2?(填或“=”)

【分析】根據(jù)A(-2,2),B(6,2)兩點(diǎn)可確定拋物線的對(duì)稱軸，再根據(jù)開口方向，B、C兩點(diǎn)與對(duì)稱

軸的遠(yuǎn)近，判斷)，1與中的大小關(guān)系.

【解答】解：???拋物線過4(-2,2),B(6,2)兩點(diǎn)，

???拋物線的對(duì)稱軸為工=必1=2

1V0,拋物線開口向下，離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)，函數(shù)值越小，

VC(-3,)，i),D(6,”)，|-3-2|>|6-2|,

比較可知C點(diǎn)比點(diǎn)。離對(duì)稱軸遠(yuǎn)，

???對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)值小，

即y]<y2,

故答案為：V.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的增減性.當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)。>0時(shí)，在對(duì)稱軸的左邊，),隨x的增大而減小，

在對(duì)稱軸的右邊，丁隨x的增大而增大；時(shí)，在對(duì)稱軸的左邊，)，隨x的增大而增大，在對(duì)稱軸的右

邊，)，隨x的增大而減小.

一十三.二次函數(shù)圖象與幾何變換(共2小題)

21.(2022秋?道里區(qū)校級(jí)期中)拋物線,，=3/向右平移|個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得到的拋物線

是()

A.y=3(x-I)2-2B.y=3(x+1)2-2

C.y=3(x+1)2+2D.y=3(x-1)2+2

【分析】根據(jù)圖象向下平移減，向右平移減，可得答案.

【解答】解：拋物線)，=3/向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，所得到的拋物線是y=3(x-1)

2-2,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，用平移規(guī)律“左加右減，上加下減”直接代入函數(shù)解析

式求得平移后的函數(shù)解析式.

22.(2022秋?岑溪市期中)將二次函數(shù)y=(x+1)2?2的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單

位長(zhǎng)度得到的二次函數(shù)解析式是

()

A.>'=(x-1)2-5B.y=(x-I)2+IC.y=(x+3)2+lD.y=(x+3)2-5

【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律進(jìn)而求出即可.

【解答】解：將二次函數(shù)y=(x+1)2-2的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到

的二次函數(shù)解析式是)，=(x+1-2)2-2-3,即)，=(x-1)2-5.

故選：4.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減.

一十四.拋物線與x軸的交點(diǎn)(共3小題)

23.(2022秋?昌平區(qū)校級(jí)期中)在平面直角坐標(biāo)系中，開口向下的拋物線什°的一部分圖象

如圖所示，它與x軸交于A(I,0),與)，軸交于點(diǎn)B(0,3),則〃的取值范圍是()

-3<?<0C.a<—D.—<?<—

222

【分析】根據(jù)圖象得出aVO,OVO,由拋物線與x軸交于A(1,0),與)，軸交于點(diǎn)8(0,3),得出a+b

=-3,得出-3V〃V0即可.

【解答】解：根據(jù)圖象得：。<0,b<(),

???拋物線與x軸交于A(1,0),與y軸交于點(diǎn)B(0,3),

.fa+b+c=O

c=3

a+b=-3,

V/?<0,

???-3<a<0,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，難度?股，關(guān)鍵是正確獲取圖

象信息進(jìn)行解題.

24.(2022秋?良慶區(qū)校級(jí)期中)將二次函數(shù))，=-/+2A+3的圖象在x軸上方的部分沿x軸翻折后，所得新

函數(shù)的圖象如圖所示.當(dāng)更線y=x+》與新函數(shù)的圖象恰有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的值為旦或?3.

【分析】分兩種情形：如圖，當(dāng)直線y=x+〃過點(diǎn)B時(shí)，直線)，=武)與該新圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)

直線,，=x+A與拋物線)，=(x-1)2?4(-1&W3)只有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直線)，=x+人與該新圖象恰好有

三個(gè)公共點(diǎn)，分別求解即可.

【解答】解：二次函數(shù)解析式為y=-/+2r+3=-(x-1)2+4,

，拋物線y=-x1+2x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4),

當(dāng))，=0時(shí)，?-2x-3=0,

解得：xi=-工，m=3,

2

則拋物線卜=-f+2x+3與x軸的交點(diǎn)為A(-1,0),B(3,0),

把拋物線y=-?+2X+3圖象x軸上方的部分沿x軸翻折到x珈下方，

則翻折部分的拋物線解析式為產(chǎn)(x-1)2?4(?1?),頂點(diǎn)坐標(biāo)M(1,-4),

如圖，當(dāng)直線,=戶8過點(diǎn)B怔，直線)，=.葉力與該新圖象恰好有三個(gè)公共點(diǎn)，

???3+〃=0,

解得：b=-3；

當(dāng)直線)，=x+b與拋物線尸(x-1)2-4(-1<A<3)只有1個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直線)，=x+8與該新圖象恰好

有三個(gè)公共點(diǎn)，

即(x-1)2?4=%+%有相等的實(shí)數(shù)解，

整理得：/?3x?0-3=O,A=32-4(=0,

解得：6=衛(wèi)，

4

所以〃的值為：-3或一包，

4

故答案為：旦或-3.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考杳了拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)，掌握翻折的性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，二次

函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的方法是解本題的關(guān)犍.

25.(2022秋?通州區(qū)期中)若二次函數(shù))，=』?2什火的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k=1

【分析】令什4=0,求八=0時(shí)女的值.

【解答】解：令』?2計(jì)2=0,

???拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，

???△=（-2）2-軟=0,

解得k=l,

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.

一十五.二次函數(shù)的應(yīng)用（共6小題）

26.（2022秋?小店區(qū)期中）一個(gè)小球從地面豎直向上彈出，它在空中距離地面的高度人（〃?）與彈出的時(shí)間

/（s）滿足的關(guān)系式為〃=15/-5尸.當(dāng)小球第一次距離地面10m時(shí)，小球彈出的時(shí)間為1秒.

【分析】把10代入關(guān)系式解方程可求出九

【解答】解:當(dāng)/?=10時(shí)，15/-5尸=10,

:解得fi=l,t2=2,

???小球第一次距離地面10〃?，

t=1,

故答案為：1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)和一元二次方程的應(yīng)川，關(guān)鍵是代入已知的。就能求出九

27.（2022秋?襄州區(qū)期中）某種型號(hào)的小型無人機(jī)著陸后滑行的距離S（米）關(guān)于滑行的時(shí)間，（秒）的函

數(shù)解析式是S=-0.253+83無人機(jī)著陸后滑行16秒才的停下來.

【分析】飛機(jī)停卜時(shí)，也就是滑行距離最遠(yuǎn)時(shí)，即在本題中需求出s最大時(shí)對(duì)應(yīng)的/值.

【解答】解：由題意得，

S=-0.25r+8r

=-0.25（z2-32/+256-256）

=-0.25（/-16）2+64,

????0.25<0,

.??/=16時(shí)，飛機(jī)滑行的距離最大，

即當(dāng)，=16秒時(shí)，飛機(jī)才能停下來.

故答案為：16.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，能熟練的應(yīng)用配方法得到頂點(diǎn)式是解題關(guān)鍵.

28.（2022秋?惠民縣期中）擲實(shí)心球是濱州市中考體育測(cè)試中的一個(gè)項(xiàng)目，如圖所示，一名男生擲實(shí)心球,

實(shí)心球行進(jìn)的路線是一段拋物線，已知實(shí)心球出手時(shí)離地面2米，當(dāng)實(shí)心球行進(jìn)的水平距離為4米時(shí)達(dá)

到最高點(diǎn)，此時(shí)離地面3.6米，這名男生此次拋擲實(shí)心球的成績(jī)是10米.

【分析】已知拋物線的頂點(diǎn)（4,3.6）,拋物線與），軸的交點(diǎn)（0,2）,可設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式，并求出解析

式；要得到實(shí)心球的成績(jī)，即求出與x軸交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x的值即可.

【解答】解：拋物線的頂點(diǎn)（4,3.6）,設(shè)拋物線的解析式為：），=〃（x-4）2+3.6

把（0,2）代入解析式可求得殘=」，

10

2

他物線的解析式為：y=-l-（x-4）+3.6

當(dāng)，=。時(shí),-^-（X-4）2+3.6-0

解得：x\=-2（舍去），X2=1O,

即這名男生此次拋擲實(shí)心球的成績(jī)是10米；

故答案為：10.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，比題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際

問題.

29.（2022秋?游仙區(qū)期中）如圖是拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂離水面2〃?時(shí)，水面寬4/〃，如果水面下降0.5〃，，

那么水面寬度增加_（275-4）m.

IIIIIIII」一

:11;1“GJ1』”」:

'~4m"

【分析】根據(jù)已知建立平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求出二次函數(shù)解析式，再通過把y=-2代入拋物線解析式

得出水面寬度，即可得出答案.

【解答】解：建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)橫軸x通過AB,縱軸,，通過A3中點(diǎn)O且通過C點(diǎn)，則通過畫圖

可得知。為原點(diǎn)，

Ay

拋物線以y軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過A,8兩點(diǎn)，OA=O8=￡AB=2米，拋物線頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（0,2）,

通過以上條件可設(shè)頂點(diǎn)式），=小耳2,其中?？赏ㄟ^將A點(diǎn)坐標(biāo)（-2,0）代入拋物線解析式可得出：。=

-0.5,

所以拋物線解析式為），=-05/+2,

當(dāng)水面下降0.5米，通過拋物線在圖上的觀察可轉(zhuǎn)化為：

當(dāng)-0.5時(shí)，對(duì)應(yīng)的拋物線上兩點(diǎn)之間的距離，也就是直線,v=-0.5與拋物線相交的兩點(diǎn)之間的距

離，

可以通過把），=-0.5代入拋物線解析式得出：

-0.5=-0.5/+2,

解得：x=±粕，所以水面寬度增加到2y米，比原先的寬度當(dāng)然是增加了（2遙-4）米，

故答案為：（2遙-4）.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)已知建立坐標(biāo)系從而得出二次函數(shù)解析式是解決問題的

關(guān)鍵.

30.（2022秋?龍亭區(qū)校級(jí)期中）加圖，一小球M從斜坡OA上的。點(diǎn)處拋出，球的拋出路線是拋物線的一

部分，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，斜坡可以用一次函數(shù)刻畫.若小球到達(dá)的最高的點(diǎn)坐標(biāo)

2

為（4,8）,解答下列問題：

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）在斜坡CM上的8點(diǎn)有一棵樹，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,樹高為4,小球M能否飛過這棵樹？通過計(jì)算

說明理由；

（3）求小球M在飛行的過程中離斜坡。4的最大高度.

【分析】（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為（x-4）2+8,把（0,0）代入即可得到答案；

（2）把x=2分別代入y=-1（x-4）2+8和），=工，即可得到答案；

22

（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：（1）???小球到達(dá)的最高的點(diǎn)坐標(biāo)為（4,8）,

???設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a（x-4）2+8,

把（0,0）代入得，0=。（0-4）2+8,

解得：『--1,

2

???拋物線的表達(dá)式為尸（…）2+8；

（2）當(dāng)x=2時(shí)，yi=-x=l,V2=-—（x-4）2+8=6>

22

V6-1>4,

???小球M能飛過這棵樹；

（3）小球M在飛行的過程中離斜坡OA的高度人=-工（x-4）2+8-_l.i=-_1（x-工）2+至，

22228

???小球M在飛行的過程中離斜坡OA的最大高度為學(xué).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，其中涉及到兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的求解方法，二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的求

解方法，待定系數(shù)法求-次函數(shù)的解析式，難度適中.利用數(shù)形結(jié)合與方程思想是解題的關(guān)鍵.

31.（2022秋?牧野區(qū)校級(jí)期中）擲實(shí)心球是蘭州市高中階段學(xué)校招生體育考試的選考項(xiàng)目.如圖1是一名

女生投實(shí)心球，實(shí)心球行進(jìn)路線是一條拋物線，行進(jìn)高度），（，〃）與水平距離不（〃?）之間的函數(shù)關(guān)系如圖

2所示，擲出時(shí)起點(diǎn)處高度為紅口，當(dāng)水平距離為3〃?時(shí)，實(shí)心球行進(jìn)至最高點(diǎn)處.

3

（1）求），關(guān)于X的函數(shù)表達(dá)式.

（2）根據(jù)蘭州市高中階段學(xué)校招生體育考試評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（女生），投擲過程中，實(shí)心球從起點(diǎn)到落地點(diǎn)的

水平距離大于等于6.70”?，此項(xiàng)考試得分為滿分10分.該女生在此項(xiàng)考試中是否得滿分，請(qǐng)說明理由.

圖1圖2

【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)出『關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，再用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

（2）根據(jù)該同學(xué)此次投擲實(shí)心球的成績(jī)就是實(shí)心球落地時(shí)的水平距離，令），=（）,解方程即可.

【解答】解：（1）設(shè)y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y=a（x-3）2+3.

把（0,￡）代入解析式，得￡=a（0-3）2+3，

oO

解得

27

49

y=-97"（X-3）+3-

乙I

（2）該女生在此項(xiàng)考試中是得滿分.

理由：令y=0,即獲（X-3）2+3=0，

4I

解得巾=7.5,.門=-1.5（舍去）.

???該女生投擲實(shí)心球從起點(diǎn)到落地點(diǎn)的水平距離為7.5〃?，大于6.70〃?.

...該女生在此項(xiàng)考試中是得滿分.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用和一元二次方程的解法，關(guān)健是理解題意把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題.

一十六.二次函數(shù)綜合題（共3小題）

32.（2022秋?會(huì)澤縣期中）如圖，已知拋物線y=+辰+。交x軸于4（-3,0）,B（4,0）兩點(diǎn)，交

3

y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，連接AC、BC.

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）連接OP,BP,若S.BOP=2SMOC,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q,使得NQ/M=75°?若存在,直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存

在，請(qǐng)說明理由.

【分析】（1）將A（?3,0）,B（4,0）兩點(diǎn)代入.v=-^x~+bx+c,即可求解;

3

(2)先求出S?AC=6,則Sa3OP=12,設(shè)P"-工尸+2[-4),可得[X4X|-』/2+工+4|=12,即可

33233

求P點(diǎn)坐標(biāo);

（3）在對(duì)稱軸上取點(diǎn)“使QM=M8,則NEMB=30°,可得MB=2BE,再由8石=工，分別求出

2

QM=7,ME=三心可求Q（￡,7+^/3）,Q點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為嗑-7-劑號(hào)）.

乙乙乙乙乙

【解答】解：（1）將4（-3,0）,B（4,0）兩點(diǎn)代入＞，=--j-^+^+c,

-3-3b+c=0

16

—^~+4b+c=0

o

解得懸

c=4

/.y="-.v2!—xi4；

33

(2)令x=(),則y=4,

：.C(0,4),

???OC=4,

???4(-3,0),

???0A=3,

?e?SAOAC=—■X3X4=6,

2

:S&BOP=2S〉A(chǔ)OC，

?e?SABOP=129

設(shè)P(1,-』P+21+4),

33

*：B(4,0),

:.04=4,

11)1

A^X4X|-三，十』什4|=12,

233

解得/=6或z=-5,

:.P(-5,-6)或(6,-6)；

(3)存在點(diǎn)Q,使得/QBA=75°,理由如下:

=--^+―x+4=--(x

33

???拋物線的對(duì)稱軸為

在對(duì)稱軸上取點(diǎn)M使QM=MB,

:?/EMB=2NMQB,

???NQB4=75°,

；?NMQB=15°,

.\ZEMB=30°,

；.MB=2BE,

，：B(4,0),E(-1,0),

：.BE=—,

2

,BM=QM=7,ME=-V3,

2

。點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為弓，-7--1V3）:

綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（27+2V3）或足，-7?工弧）.

22

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直

用三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意能夠構(gòu)造等腰三角形是解題的關(guān)鍵.

33.(2022秋?賓陽縣期中)已知拋物線y=-歷:+c的圖象與文軸交于點(diǎn)A(-3,0)和點(diǎn)C,與)，軸交

于點(diǎn)B(0,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)設(shè)點(diǎn)戶為拋物線的對(duì)稱粕上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AP4c的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)在第二象限的拋物線上，是否存在一點(diǎn)Q,使得△4B0的面積最大？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說明理由.

【分析】(1)根據(jù)拋物線y=-『-/>+,的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-3,0)和點(diǎn)B(0,3),得到方程組，解方

程組即可得到結(jié)論；

(2)解方程求得C(-1,0),由于A、C兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則此時(shí)PB+PC=PB+PA=AB求

得直線A8解析式為y=x+3；于是得到P點(diǎn)坐標(biāo)為(-I,2：；

(3)設(shè)Q(x,2x+3)是第二象限的拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作QO_Lx軸交直線A8于點(diǎn)區(qū)于是

得到E的坐標(biāo)為(x,-x+3),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)?.?拋物線y=-.9-法+。的圖象經(jīng)過點(diǎn)4(-3,0)和點(diǎn)B(0.3),

?[0=-9+3b+3,

,1c=3'

解得〃=2,c=3,

???拋物線的解析式為：)，=??-2計(jì)3.

(2)對(duì)稱軸為工=--=-1,

2a

令y=-x2-21+3=0,

解得加=-3,X2=1,

???C(1,0),

如圖所示，

?.?點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于直線x=-1對(duì)稱，

???連接AB與對(duì)稱軸4=-1的交點(diǎn)即為所求之尸點(diǎn),

???BC的長(zhǎng)是個(gè)定值，

則此時(shí)的點(diǎn)P,使△P8C的周工最小，

由于4。兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，

則此時(shí)P13+PC=PB+R\=AI3Mzh.

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,

由人(-3,0)、B(0,3)可得：

r-3k+b=0

b=3'

解得A=l,b=3,

???直線AB解析式為)，=x+3；

當(dāng)x=-1時(shí)，y=2,

???尸點(diǎn)坐標(biāo)為(?1,2)；

(3)結(jié)論：存在.

設(shè)Q（x,-.v2-2v+3）是第二象限的拋物線上一點(diǎn)，

過點(diǎn)Q作QO_Lx軸交直線4B于點(diǎn)E,則E的坐標(biāo)為（x,x+3）,

QE=-A*2-2x+3-（x+3）=-x2-3x,

：--SMBQ=S^QE+S^AQE=PE*OA=-—（?+3x）=-—（x+—）2+—,

22228

???當(dāng)X=4時(shí)，S.ABQ取得最大值.

乙

??.當(dāng)工=￡時(shí)，）,=-/.公+3=華，

:.Q（—,—）.

24

所以，在第二象限的拋物線上，存在一點(diǎn)。使得的面積最大：。點(diǎn)的坐標(biāo)為（-旦，至）.

24

【點(diǎn)評(píng)】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性

質(zhì)，正確地理解題意是解題的關(guān)鍵.

34.（2022秋?思明區(qū)校級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線），=/-標(biāo)-3與x軸交于A、8兩點(diǎn)（點(diǎn)A

在點(diǎn)8的左側(cè)），與），軸交于點(diǎn)C.

（1）求A,3,C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖1,連接BC,點(diǎn)石是第四象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)七作于點(diǎn)片EG〃工軸交直

線BC于點(diǎn)G,求面積的最大值；

（3）如圖2,點(diǎn)M在線段OC上（點(diǎn)M不與點(diǎn)O重合），點(diǎn)M、N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，射線BN、8W分別

Si

與拋物線交于P、Q兩點(diǎn)，連接孫、QA,若△8MN的面積為3,四邊形BRIQ的面積為S2,求」■的

S2

值.

圖1圖2

【分析】(1)令y=0,求點(diǎn)B、A的坐標(biāo)，令y=0,求點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；

(2)先判斷△GE”是等腰直角三角形，設(shè)EC,「?2「3),則G(P?2/,r-2z-3),則弘6防=工X

2

222

AG￡=A[-(Z-J.)+_L],當(dāng)/=3時(shí)，ZkEPG面積的最大值為包：

24216264

(3)設(shè)M((),〃力，則N(0,-/?),由用待定系數(shù)法求直線8"、8N的解析式，再通過聯(lián)立方程組的

方法求出點(diǎn)P、。的坐標(biāo)，分別求出Si=-3m,S^iiPAQ=S^APB+SMBQ=-X4XPQ=-即可

m23

求紅=旦

s216

【解答】解：(1)令)，=0,則』-2x-3=0,

解得x=3或1=-1,

???A(-1,0),B(3,0),

令x=0,則)，=?3,

AC(0,-3)；

(2)-：B(3,0),C(0,-3),

:.OB=OC,

；?NO8C=45°,

〈GE〃工軸，

???NFGE=45°,

VEF±BC,

.??△GE〃是等腰直角三角形，

；?GF=EF,

設(shè)直線BC的解析式為y=kx^b,

.fb=-3

*I3k+b=0，

解得（E,

lb=-3

-3,

設(shè)E（z,尸?2L3）,則GCZ2-，,r-2r-3）,

.*.GE=/-?+2r=-?+3/,

.??當(dāng)1=3時(shí)，△￡FG面積的最大值為駕;

264

(3)設(shè)M(0,/〃)，則N(0,-〃?)，

設(shè)直線BN的解析式為y=k'x+b',

k’4

解得,K3，

bz=-m

—x-m

3

y=X2-2X~3

騏立方程組

x=3

解得

m2-12my=0'

同理可求直線BM的解析式為y=-，〃,

y=X2-2X~3

聯(lián)立方程組，

x=3,

解得

m+12my=0

：.Q（-

，：MN=-Im,

111o41->A

.*.Si=—X3X（-2m）=-3m,S四邊形/?出Q=S“P/J+SD3Q==X4X（—m--—m-—mz--m）=-

229393

旦,

3

.S]-3m9

虧一16F

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，用待定系數(shù)法求函數(shù)的解

析式的方法是解題的關(guān)鍵.

一十七.垂徑定理（共2小題）

35.（2022秋?南湖區(qū)校級(jí)期中）如圖，AB為。0的直徑，弦CQL48于點(diǎn)E,若48=26,EB=8,求弦CO

為長(zhǎng).

A

【分析】連接。C，根據(jù)垂徑定理得到CE=ED，根據(jù)48=26求出。。、08的長(zhǎng)，根據(jù)所=8求出OE

的長(zhǎng)，利用勾股定理求出CE,即可得到C。的長(zhǎng).

【解答】解：連接0C，如圖所示：