2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章推理與證明2數(shù)學(xué)證明練習(xí)北師大版選修1-2

PAGEPAGE1§2數(shù)學(xué)證明課時(shí)過關(guān)·實(shí)力提升1.下面說法正確的有()①演繹推理是由一般到特別的推理;②演繹推理是由特別到一般的推理;③演繹推理的一般模式是三段論形式;④演繹推理的結(jié)論的正誤與大前提、小前提和推理形式有關(guān).A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)答案:C2.有一段演繹推理是這樣的:“若一條直線平行于一個(gè)平面,則該直線平行于平面內(nèi)全部的直線.已知直線b不在平面α內(nèi),直線a在平面α內(nèi),直線b∥平面α,則直線b∥直線a.”此推理的結(jié)論明顯是錯(cuò)誤的,這是因?yàn)?)A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤 D.大、小前提都錯(cuò)誤解析:本題的大前提不對(duì),一條直線平行于一個(gè)平面,該直線并不與平面內(nèi)全部的直線都平行.答案:A3.等和數(shù)列的定義:在一個(gè)數(shù)列中,假如每一項(xiàng)與它后面一項(xiàng)的和都等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫作等和數(shù)列.下列數(shù)列不是等和數(shù)列的為()A.an=10 B.an=C.an=D答案:C4.“∵四邊形ABCD是矩形,∴四邊形ABCD的對(duì)角線相等.”以上推理的大前提是()A.正方形都是對(duì)角線相等的四邊形B.矩形都是對(duì)角線相等的四邊形C.等腰梯形都是對(duì)角線相等的四邊形D.矩形都是對(duì)邊平行且相等的四邊形答案:B5.在邊長(zhǎng)不相等的三角形中,a為最大邊,要想得到∠A為鈍角的結(jié)論,三邊a,b,c應(yīng)滿意的條件是()A.a2<b2+c2 B.a2=b2+c2C.a2>b2+c2 D.a2≤b2+c2解析:由題意,知cosA=所以b2+c2-a2<0,所以a2>b2+c2.答案:C6.★f(x)是定義在(0,+∞)內(nèi)的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù),且滿意xf'(x)+f(x)<0.對(duì)隨意正數(shù)a,b,若a<b,則必有()A.bf(a)<af(b) B.af(b)<bf(a)C.af(a)<f(b) D.bf(b)<f(a)解析:構(gòu)造函數(shù)F(x)=xf(x),則F'(x)=xf'(x)+f(x).由題設(shè)條件,知F(x)=xf(x)在(0,+∞)內(nèi)是削減的.若a<b,則F(a)>F(b),即af(a)>bf(b).又f(x)是定義在(0,+∞)內(nèi)的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù),所以bf(a)>af(a)>bf(b)>af(b).故選B.答案:B7.用演繹推理證明y=x2在(-∞,0)內(nèi)是削減的時(shí),大前提是.

解析:大前提:函數(shù)遞減的定義,即在定義域D內(nèi)的區(qū)間I上,若x1<x2,f(x1)>f(x2),則f(x)在區(qū)間I上是削減的.小前提:y=x2在(-∞,0)內(nèi),對(duì)于x1<x2,有f(x1)>f(x2).結(jié)論:y=x2在(-∞,0)內(nèi)是削減的.答案:函數(shù)遞減的定義8.“平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1,F2的距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡是橢圓(大前提).已知平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)F1(-2,0),F2(2,0)的距離之和為4(小前提),則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓(結(jié)論).”此推理中錯(cuò)誤的環(huán)節(jié)是.

解析:大前提應(yīng)是到兩定點(diǎn)距離之和為定值(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡是橢圓,概念出錯(cuò),不嚴(yán)密.答案:大前提9.如圖,在銳角三角形ABC中,M為AB的中點(diǎn),AD⊥BC,BE⊥AC,D,E是垂足.求證:EM=DM.(要求:用三段論證明,并指出每一步推理的大前提和小前提.)證明因?yàn)橛幸粋€(gè)內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形,大前提在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90°,小前提所以△ABD是直角三角形.結(jié)論同理,△ABE也是直角三角形.因?yàn)橹苯侨切涡边吷系闹芯€等于斜邊的一半,大前提M是Rt△ABD斜邊AB的中點(diǎn),DM是斜邊上的中線,小前提所以DM=同理,EM=所以EM=DM.10.已知正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=a證明∵Sn=an2+a∵a1>0,∴a1=1.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=∴(an+an-1)(an-an-1-1)=0.∵an>0,∴an-an-1=1.∴{an}為等差數(shù)列.11.請(qǐng)你把不等式“若a1,a2是正實(shí)數(shù),則有a12a2+a22解:推廣的結(jié)論:若a1,a2,…,an都是正實(shí)數(shù),則a12an+a22a證明:因?yàn)閍1,a2,…,an都是正實(shí)數(shù),所以a12an+an≥2a1,a22an-1故a12an+a22a12.★如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的棱長(zhǎng)均為a,D,E分別為C1C,AB的中點(diǎn),A1B交AB1于點(diǎn)G.求證:(1)A1B⊥AD;(2)CE∥平面AB1D.證明(1)連接A1D,DG,BD,因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1是棱長(zhǎng)均為a的正三棱柱,所以四邊形A1ABB1為正方形,所以A1B⊥AB1.因?yàn)镈是C1C的中點(diǎn),所以△A1C1D≌△BCD,所以A1D=BD.因?yàn)镚為A1B的中點(diǎn),所以A1B⊥DG.因?yàn)镈G∩AB1=G,DG?平面AB1D,AB1?平面AB1D,所以A1B⊥平面AB1D.因?yàn)锳D?平面AB1D,所以A1B⊥A