第2章 隨機(jī)變量及其分布

隨機(jī)變量及其分布《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》&人民郵電出版社02目錄/Contents2.12.22.32.4隨機(jī)變量及其分布常用的離散型隨機(jī)變量常用的連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量函數(shù)的分布目錄/Contents2.1隨機(jī)變量及其分布一、隨機(jī)變量的定義二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)三、離散型隨機(jī)變量及其分布律四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)許多隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)數(shù)密切聯(lián)系,也有些隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果從表面上看并不與實(shí)數(shù)相聯(lián)系.下面我們通過(guò)幾個(gè)例子來(lái)引入隨機(jī)變量的概念.一、隨機(jī)變量的定義

例1拋擲一顆均勻的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)X的取值樣本空間={正面朝上,反面朝上}樣本空間不是一個(gè)數(shù)集.但是我們可以人為地把試驗(yàn)結(jié)果和實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái).令樣本點(diǎn)X的取值正面朝上→1反面朝上→0一、隨機(jī)變量的定義

引進(jìn)隨機(jī)變量后,隨機(jī)事件及其概率可以通過(guò)隨機(jī)變量來(lái)表達(dá).定義1

一、隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量如果一個(gè)隨機(jī)變量?jī)H可能取有限或可列個(gè)值，則稱其為離散型隨機(jī)變量、AB如果一個(gè)隨機(jī)變量的取值充滿了數(shù)軸上的一個(gè)區(qū)間（或某幾個(gè)區(qū)間的并），則稱其為連續(xù)型隨機(jī)變量。一、隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量的直觀解釋

隨機(jī)變量X是樣本點(diǎn)的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的自變量是樣本點(diǎn)，可以是數(shù)，也可以不是數(shù)，定義域是樣本空間，而因變量必須是實(shí)數(shù)。這個(gè)函數(shù)可以讓不同的樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)不同的實(shí)數(shù)，也可以讓多個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)于一個(gè)實(shí)數(shù)。一、隨機(jī)變量的定義

定義2

二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)例1設(shè)一盒子中裝有10個(gè)球，其中5個(gè)球上標(biāo)有數(shù)字1,3個(gè)球上標(biāo)有數(shù)字2，2個(gè)球上標(biāo)有數(shù)字3。

二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)

解二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)

二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)

二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)分布函數(shù)的性質(zhì)

02

分布函數(shù)單調(diào)不減;

二、隨機(jī)變量的分布函數(shù)（1）非負(fù)性定義3

（2）規(guī)范性

三、離散型隨機(jī)變量及其分布律換句話說(shuō)，如果一個(gè)隨機(jī)變量只可能取有限個(gè)值或可列無(wú)限個(gè)值,那么稱這個(gè)隨機(jī)變量為（一維）離散型隨機(jī)變量.一維離散型隨機(jī)變量的分布律也可表示為：三、離散型隨機(jī)變量及其分布律

例2

求三、離散型隨機(jī)變量及其分布律解

三、離散型隨機(jī)變量及其分布律

定義4四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)

概率密度函數(shù)滿足下面兩個(gè)條件:12

四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)

12

這兩個(gè)條件同樣刻劃了密度函數(shù)的特征性質(zhì),即如果有實(shí)值函數(shù)具備這兩條性質(zhì),那么它必定是某個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù).

四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)

分布函數(shù)和概率密度函數(shù)的關(guān)系在幾何上的體現(xiàn):

四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)

連續(xù)型隨機(jī)變量的性質(zhì)

1

2四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量的性質(zhì)

四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)

例3求解

四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)

解(2)四、連續(xù)型隨機(jī)變量及其密度函數(shù)目錄/Contents2.12.22.32.4隨機(jī)變量及其分布常用的離散型隨機(jī)變量常用的連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量函數(shù)的分布目錄/Contents2.2常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量一、二項(xiàng)分布二、泊松分布三、超幾何分布四、幾何分布與負(fù)二項(xiàng)分布

一、二項(xiàng)分布

在概率論中,二項(xiàng)分布是一個(gè)重要的分布.在許多獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,都具有二項(xiàng)分布的形式.一、二項(xiàng)分布

一、二項(xiàng)分布

某人向同一目標(biāo)重復(fù)獨(dú)立射擊5次，每次命中目標(biāo)的概率為0.8，求（1）此人能命中3次的概率；（2）此人至少命中2次的概率。例412一、二項(xiàng)分布

二、泊松分布泊松分布也是一種常用的離散型分布，它常常與計(jì)數(shù)過(guò)程相聯(lián)系，例如某一時(shí)段內(nèi)某網(wǎng)站的點(diǎn)擊量；早高峰時(shí)間段內(nèi)駛?cè)敫呒艿缆返能囕v數(shù)；一本書上的印刷錯(cuò)誤數(shù)。01OPTION02OPTION03OPTION二、泊松分布

例5解

二、泊松分布已知一購(gòu)物網(wǎng)站每周銷售的某款手表的數(shù)量X服從參數(shù)為6的泊松分布.問(wèn)周初至少預(yù)備多少貨源才能保證該周不脫銷的概率不小于0.9.假定上周沒(méi)有庫(kù)存,且本周不再進(jìn)貨.例6二、泊松分布

二、泊松分布解

定理（泊松定理）

泊松定理告訴我們:二項(xiàng)概率可以用泊松分布的概率值來(lái)近似.二、泊松分布設(shè)某保險(xiǎn)公司的某人壽保險(xiǎn)險(xiǎn)種有1000人投保，每個(gè)投保人在一年內(nèi)死亡的概率為0.005，且每個(gè)人在一年內(nèi)是否死亡是相互獨(dú)立的，試求在未來(lái)一年中這1000個(gè)投保人中死亡人數(shù)不超過(guò)10人的概率．例7二、泊松分布

二、泊松分布解

三、超幾何分布

三、超幾何分布

四、幾何分布與負(fù)二項(xiàng)分布幾何分布也是一種常用的離散型分布，例如01OPTION02OPTION03OPTION

四、幾何分布與負(fù)二項(xiàng)分布例8

證明

四、幾何分布與負(fù)二項(xiàng)分布這個(gè)例題說(shuō)明，幾何分布具有無(wú)記憶性的性質(zhì).

四、幾何分布與負(fù)二項(xiàng)分布目錄/Contents2.12.22.32.4隨機(jī)變量及其分布常用的離散型隨機(jī)變量常用的連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量函數(shù)的分布目錄/Contents2.3常用的連續(xù)型隨機(jī)變量一、均勻分布二、指數(shù)分布三、正態(tài)分布

一、均勻分布

一、均勻分布

一、均勻分布例9

一、均勻分布解

一、均勻分布解

一、均勻分布

二、指數(shù)分布

指數(shù)分布的密度函數(shù)圖形如下:指數(shù)分布的分布函數(shù)圖形如下:

二、指數(shù)分布證明

例10

二、指數(shù)分布

三、正態(tài)分布

正態(tài)分布的密度函數(shù)曲線圖形

三、正態(tài)分布正態(tài)分布概率密度函數(shù)的曲線特征:

132

三、正態(tài)分布正態(tài)分布概率密度函數(shù)的曲線特征:4

三、正態(tài)分布

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù)圖形

三、正態(tài)分布關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有以下結(jié)果:

132三、正態(tài)分布

例11解三、正態(tài)分布

三、正態(tài)分布

查表并計(jì)算可得得

例12解三、正態(tài)分布三、正態(tài)分布

例13

解

▲▲▲右圖為分位數(shù)的幾何意義

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)概念:

三、正態(tài)分布

例14三、正態(tài)分布解

三、正態(tài)分布

綜述所求，可知，在此次考試中，分?jǐn)?shù)在88.384以上的，為等級(jí)A，分?jǐn)?shù)在73至88.384之間的，為等級(jí)B，分?jǐn)?shù)在57.616至73之間的，為等級(jí)C，分?jǐn)?shù)在57.616以下的，為等級(jí)D。三、正態(tài)分布目錄/Contents2.12.22.32.4隨機(jī)變量及其分布常用的離散型隨機(jī)變量常用的連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量函數(shù)的分布目錄/Contents2.4隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

……概率…………概率……

則Y=g(X)的分布律為一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

例151

2

一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

解

一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

例16解

二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

01OPTION02OPTION03OPTION

二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

1324

二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

例17解直接對(duì)上式求導(dǎo)有

二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布

例18解

定理1定理2

二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布總結(jié)/summary隨機(jī)變量分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量：分布律二項(xiàng)分布、泊松分布、幾何分布連續(xù)型隨機(jī)變量：密度函數(shù)均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布隨機(jī)變量函數(shù)的分布謝謝觀賞《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》&人民郵電出版社海量圖