全優(yōu)課堂·數(shù)學(xué)·必修第二冊(人教A版) 課后提能訓(xùn)練 試題及答案 第8章

第八章8.1第1課時A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．下列幾何體中，是棱柱的有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個【答案】C【解析】根據(jù)棱柱的定義可知只有①③⑤是棱柱．故選C．2．如圖所示，三棱臺A′B′C′－ABC截去三棱錐A′－ABC后，剩余部分幾何體是()A．三棱錐 B．三棱柱C．四棱錐 D．不規(guī)則幾何體【答案】C【解析】根據(jù)圖形可見，底面四條邊，所以為四棱錐．故選C．3．給定一個正方體形狀的土豆塊，只切一刀，除了可以得到四面體、四棱柱等類型的多面體以外，還能得到的多面體的類型可以含有()A．五棱柱、七面體 B．五棱柱、六棱錐C．六棱錐、七面體 D．以上答案都錯誤【答案】A【解析】如圖，分別取AB，AD，A1B1，A1D1的中點(diǎn)E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1，分別連接EF，EE1，F(xiàn)F1，E1F1，可得幾何體BCDFE－B1C1D1F1E1為一個直五棱柱，且為七面體．故選A．4．(多選)下列命題正確的有()A．長方體是直四棱柱，直四棱柱是長方體B．有兩個面平行，其他各個面都是平行四邊形的多面體是棱柱C．有一個面是平行四邊形的棱錐一定是四棱錐D．正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形【答案】CD【解析】對于A，直四棱柱底面可以為任意四邊形，所以直四棱柱不一定是長方體，故A錯誤；對于B，如圖，上、下底面平行，各個面都是平行四邊形，此幾何體不是棱柱，故B錯誤；對于C，棱錐側(cè)面全為三角形，有一個面是平行四邊形，則此面為底面，所以該棱錐為四棱錐，故C正確；對于D，正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，故D正確．故選CD．5．一個棱錐的各棱長都相等，那么這個棱錐一定不是()A．三棱錐 B．四棱錐C．五棱錐 D．六棱錐【答案】D【解析】由題意可知，每個側(cè)面均為等邊三角形，每個側(cè)面的頂角均為60°，如果是六棱錐，因?yàn)?×60°＝360°，所以頂點(diǎn)會在底面上，因此不是六棱錐．6．如圖，將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜一個小角度，則傾斜后水槽中的水形成的幾何體是()A．棱柱 B．棱臺C．棱柱與棱錐的組合體 D．不能確定【答案】A【解析】如圖，因?yàn)橛兴牟糠质冀K有兩個平面平行，而其余各面都易證是平行四邊形，因此是棱柱．7．一個棱柱有10個頂點(diǎn)，所有的側(cè)棱長的和為60cm，則每條側(cè)棱長為________cm．【答案】12【解析】棱柱有10個頂點(diǎn)，則該棱柱為五棱柱，共有5條側(cè)棱，且側(cè)棱長都相等，故側(cè)棱長為eq\f(60,5)＝12(cm)．8．在下面的四個平面圖形中，是側(cè)棱都相等的四面體的展開圖的為________(填序號)．【答案】①②【解析】易知③④中的圖組不成四面體，只有①②可以．9．如圖，M是棱長為2cm的正方體ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中點(diǎn)，沿正方體表面從點(diǎn)A到點(diǎn)M的最短路程是________cm．【答案】eq\r(13)【解析】由題意，若以BC為軸展開，則A，M兩點(diǎn)連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為2cm，3cm，故兩點(diǎn)之間的距離是eq\r(13)cm．若以BB1為軸展開，則A，M兩點(diǎn)連成的線段所在的直角三角形的兩直角邊的長度分別為1cm，4cm，故兩點(diǎn)之間的距離是eq\r(17)cm．故沿正方體表面從點(diǎn)A到點(diǎn)M的最短路程是eq\r(13)cm．10．畫出如圖所示的幾何體的表面展開圖．解：表面展開圖如圖所示(答案不唯一)．B級——綜合運(yùn)用練11．下列幾何體的展開圖，其中是棱錐的為()eq\o(\s\up7(),\s\do5(A))eq\o(\s\up7(),\s\do5(B))eq\o(\s\up7(),\s\do5(C))eq\o(\s\up7(),\s\do5(D))【答案】B【解析】對于A選項(xiàng)，圖形沿著折線翻折起來是一個五棱柱，故A選項(xiàng)錯誤；對于B選項(xiàng)，圖形沿著折線翻折起來是一個五棱錐，故B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，圖形沿著折線翻折起來是一個三棱臺，故C選項(xiàng)錯誤；對于D選項(xiàng)，圖形沿著折線翻折起來是一個四棱柱，故D選項(xiàng)錯誤．故選B．12．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，F(xiàn)是線段A1B1上的動點(diǎn)，則AF＋FC1的最小值為________．【答案】eq\r(6)＋eq\r(2)【解析】依題意，把正三棱柱ABC－A1B1C1的上底面△A1B1C1與側(cè)面矩形ABB1A1放在同一平面內(nèi)，連接AC1，AC1交A1B1于點(diǎn)F，如圖，此時點(diǎn)F可使AF＋FC1取最小值，長度為AC1，而∠AA1C1＝150°，AC1＝eq\r(AAeq\o\al(2,1)＋A1Ceq\o\al(2,1)－2AA1·A1C1cos∠AA1C1)＝eq\r(22＋22－23cos150°)＝eq\r(8＋4\r(3))＝eq\r(6)＋eq\r(2)，所以AF＋FC1的最小值為eq\r(6)＋eq\r(2)．13．如圖，試從正方體ABCD－A1B1C1D1的八個頂點(diǎn)中任取若干個，連接后構(gòu)成以下空間幾何體，并且用適當(dāng)?shù)姆柋硎境鰜恚?1)只有一個面是等邊三角形的三棱錐；(2)四個面都是等邊三角形的三棱錐；(3)三棱柱．解：(1)如圖1所示，三棱錐A1－AB1D1(答案不唯一)．(2)如圖2所示，三棱錐B1－ACD1(答案不唯一)．(3)如圖3所示，三棱柱A1B1D1－ABD(答案不唯一)．C級——創(chuàng)新拓展練14．(多選)若正三棱錐V－ABC和正四棱錐V1－A1B1C1D1的所有棱長均為a，將其中兩個正三角形側(cè)面△VAB與△V1A1B1按對應(yīng)頂點(diǎn)粘合成一個正三角形以后，得到新的組合體是()A．五面體 B．七面體C．斜三棱柱 D．正三棱柱【答案】AC【解析】由題意作出正三棱錐與正四棱錐按對應(yīng)頂點(diǎn)粘合成新的組合體，如圖，所以新的組合體是五面體或斜三棱柱．故選AC．第八章8.1第2課時A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．以鈍角三角形的較小邊所在的直線為軸，其他兩邊旋轉(zhuǎn)一周所得到的幾何體是()A．兩個圓錐拼接而成的組合體B．一個圓臺C．一個圓錐D．一個圓錐挖去一個同底的小圓錐【答案】D【解析】以鈍角三角形的較小邊所在的直線為軸，其他兩邊旋轉(zhuǎn)一周，如圖，鈍角△ABC中，AB邊最小，以AB為軸，其他兩邊旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體是一個圓錐挖去一個同底的小圓錐．故選D．2．如圖所示的組合體的結(jié)構(gòu)特征是()A．一個棱柱中截去一個棱柱 B．一個棱柱中截去一個圓柱C．一個棱柱中截去一個棱錐 D．一個棱柱中截去一個棱臺【答案】C【解析】如題圖，可看成是四棱柱截去一個角，即截去一個三棱錐后得到的簡單組合體，故為一個棱柱中截去一個棱錐所得．3．等邊三角形ABC繞底邊上的中線AD所在的直線旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是()A．圓臺 B．圓錐C．圓柱 D．球【答案】B【解析】由題意可得AD⊥BC，且BD＝CD，所以形成的幾何體是圓錐．故選B．4．用長為4、寬為2的矩形作側(cè)面圍成一個圓柱，此圓柱軸截面的面積為()A．8 B．eq\f(8,π)C．eq\f(4,π) D．eq\f(2,π)【答案】B【解析】當(dāng)圍成的圓柱底面周長為4，高為2時，設(shè)圓柱底面圓的半徑為r，則2πr＝4，所以r＝eq\f(2,π)，所以軸截面是長為2，寬為eq\f(4,π)的矩形，所以軸截面的面積為2×eq\f(4,π)＝eq\f(8,π)．同理，當(dāng)圍成的圓柱底面周長為2，高為4時，軸截面的面積也為eq\f(8,π)．故選B．5．圓錐的側(cè)面展開圖是直徑為a的半圓面，那么此圓錐的軸截面是()A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．頂角為30°的等腰三角形 D．其他等腰三角形【答案】A【解析】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，依題意可知2πr＝π·eq\f(a,2)，則r＝eq\f(a,4)，故軸截面是邊長為eq\f(a,2)的等邊三角形．6．(2024年宜春月考)如圖，陰影部分所示的平面圖形繞中間軸旋轉(zhuǎn)所形成的幾何體為()A．一個球 B．一個圓柱C．一個球中間挖去一個圓柱 D．一個球中間挖去一個圓錐【答案】C【解析】題圖中圓面繞中間軸旋轉(zhuǎn)形成球、矩形及其內(nèi)部繞中間軸旋轉(zhuǎn)形成圓柱，故得到的幾何體為一個球中間挖去一個圓柱．7．在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，則△ABC繞邊AB所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體是________，母線長l＝________．【答案】圓錐5【解析】所得幾何體是圓錐，母線長l＝AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(32＋42)＝5．8．若母線長是4的圓錐的軸截面的面積是8，則該圓錐的高是________．【答案】2eq\r(2)【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，則圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(42－r2)．由題意可知eq\f(1,2)·2r·h＝req\r(42－r2)＝8，所以r2＝8．所以h＝2eq\r(2)．9．某地球儀上北緯30°緯線圈的長度為12πcm，如圖所示，則該地球儀的半徑是________cm．【答案】4eq\r(3)【解析】如圖，由題意知北緯30°所在小圓的周長為12π，則該小圓的半徑r＝6．又因?yàn)椤螦BO＝30°，所以該地球儀的半徑R＝eq\f(6,cos30°)＝4eq\r(3)(cm)．10．若圓錐底面半徑為1cm，高為eq\r(2)cm，其中有一個內(nèi)接正方體，求這個內(nèi)接正方體的棱長．解：過圓錐的頂點(diǎn)S和正方體的上底面的一條對角線BD作圓錐的截面，得圓錐的軸截面SEF，正方體的對角面BDD1B1，如圖所示．設(shè)正方體的棱長為xcm，則BB1＝xcm，B1D1＝eq\r(2)xcm，作SO⊥EF于點(diǎn)O，則SO＝eq\r(2)cm，OE＝1cm．因?yàn)椤鱁B1B∽△EOS，所以eq\f(BB1,SO)＝eq\f(EB1,EO)，即eq\f(x,\r(2))＝eq\f(1－\f(\r(2),2)x,1)，所以x＝eq\f(\r(2),2)，即內(nèi)接正方體的棱長為eq\f(\r(2),2)cm．B級——綜合運(yùn)用練11．用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面半徑的比是1∶4，且該圓臺的母線長為9，則截去的小圓錐的母線長為()A．eq\f(9,4) B．3C．12 D．36【答案】B【解析】軸截面如圖所示，設(shè)截去的小圓錐的母線長為y，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得eq\f(y,y＋9)＝eq\f(1,4)，解得y＝3．故選B．12．(2024年上海期中)兩個平行平面截一個半徑為4的球，得到的截面面積分別為10π和7π，則這兩個平面之間的距離為________．【答案】3＋eq\r(6)或3－eq\r(6)【解析】設(shè)這兩個截面所在的截面圓的半徑分別為R和r，由截面面積分別為10π和7π，知πR2＝10π，πr2＝7π，所以R＝eq\r(10)，r＝eq\r(7)，所以兩個截面到球心的距離分別為D＝eq\r(42－(\r(10))2)＝eq\r(6)，d＝eq\r(42－(\r(7))2)＝3．當(dāng)兩個截面在球心的異側(cè)時，這兩個平面之間的距離為d＋D＝3＋eq\r(6)；當(dāng)兩個截面在球心的同側(cè)時，這兩個平面之間的距離為d－D＝3－eq\r(6)．綜上，這兩個平面之間的距離為3＋eq\r(6)或3－eq\r(6)．13．一個圓臺的母線長為12cm，兩底面面積分別為4πcm2和25πcm2．求：(1)圓臺的高；(2)截得此圓臺的圓錐的母線長．解：如圖，將圓臺恢復(fù)成圓錐后作其軸截面，設(shè)圓臺的高為hcm，截得該圓臺的圓錐的母線為xcm，由條件可得圓臺的上底面半徑r′＝2cm，下底面半徑r＝5cm．(1)由勾股定理得h＝eq\r(122－(5－2)2)＝3eq\r(15)(cm)，故圓臺的高為3eq\r(15)cm．(2)由三角形相似得eq\f(x－12,x)＝eq\f(2,5)，解得x＝20(cm)．故截得此圓臺的圓錐的母線長為20cm．C級——創(chuàng)新拓展練14．(2024年廣州月考)碌碡是我國古代人民發(fā)明的一種把米、麥、豆等糧食加工成粉末的器具，如圖，近似圓柱形碌碡的軸固定在經(jīng)過圓盤圓心且垂直于圓盤的木樁上，當(dāng)人或動物推動木柄時，碌碡在圓盤上滾動．若人或動物推動木柄繞圓盤轉(zhuǎn)動一周，碌碡恰好滾動了3圈，則該圓柱形碌碡的底面圓的半徑與其高之比為()A．1∶2 B．1∶3C．1∶4 D．2∶3【答案】B【解析】設(shè)碌碡的底面圓的半徑為r，其高為h，由已知可得6πr＝2πh，所以h＝3r，即碌碡的底面圓的半徑與其高之比為1∶3．故選B．第八章8.2A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．如圖，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直觀圖，其中A′B′＝A′C′，A′B′∥x′軸，A′C′∥y′軸，則△ABC是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．鈍角三角形【答案】B【解析】∵A′B′∥x′軸，A′C′∥y′軸，∴AB⊥AC．又AC＝2A′C′＝2AB，∴△ABC是直角三角形，不是等腰三角形．故選B．2．(2024年大慶讓胡路區(qū)期中)如圖所示的是水平放置的△ABC的直觀圖，其中A′O′＝B′O′＝C′O′＝1，則原△ABC是一個()A．等邊三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】根據(jù)題意，將直觀圖還原為原圖，如圖，其中OB＝OC＝B′O′＝C′O′＝1，OA＝2A′O′＝2，則BC＝2，AB＝AC＝eq\r(4＋1)＝eq\r(5)，則原△ABC是一個等腰三角形．故選C．3．(多選)(2024年六安一中期中)如圖所示的是水平放置的三角形的直觀圖，D′是△A′B′C′中B′C′邊上的一點(diǎn)，且D′C′＜D′B′．如果A′D′∥y′軸，那么原△ABC中AB，AD，AC這三條線段中()A．最長的是AB B．最長的是ACC．最短的是AC D．最短的是AD【答案】AD【解析】由題意得到原△ABC如圖所示．其中，AD⊥BC，BD＞DC，所以AB＞AC＞AD，所以△ABC中AB，AD，AC這三條線段中最長的是AB，最短的是AD．故選AD．4．如圖，某四邊形的直觀圖是上底為2，下底為4，高為1的等腰梯形，則原四邊形的面積為()A．4 B．4eq\r(2)C．6 D．6eq\r(2)【答案】D【解析】原圖形的面積等于“斜二測圖形”面積乘2eq\r(2)，由該四邊形的“斜二測圖形”的面積為eq\f(1,2)×(2＋4)×1＝3，所以原圖形的面積為3×2eq\r(2)＝6eq\r(2)．故選D．5．已知△ABC的平面直觀圖△A′B′C′是斜邊長為4的等腰直角三角形，那么△ABC的面積為()A．8 B．8eq\r(2)C．16eq\r(2) D．16eq\r(3)【答案】B【解析】△A′B′C′是斜邊長為4的等腰直角三角形，則直角邊的長為2eq\r(2)，故面積為eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)＝4．所以△ABC的面積為4×2eq\r(2)＝8eq\r(2)．故選B．6．(2024年邯鄲期中)如圖，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形O′A′B′C′，且O′A′∥B′C′，O′A′＝2B′C′＝4，A′B′＝2，則該平面圖形的高為()A．2eq\r(2) B．2C．4eq\r(2) D．eq\r(2)【答案】C【解析】在直角梯形O′A′B′C′中，O′A′∥B′C′，O′A′＝2B′C′＝4，A′B′＝2，顯然∠A′O′C′＝45°，于是O′C′＝eq\f(O′A′－B′C′,cos∠A′O′C′)＝eq\f(2,cos45°)＝2eq\r(2)，直角梯形O′A′B′C′對應(yīng)的原平面圖形為如圖中直角梯形OABC，BC∥OA，OC⊥OA，OA＝2BC＝4，OC＝2O′C′＝4eq\r(2)，所以該平面圖形的高為4eq\r(2)．故選C．7．(2024年深圳龍崗區(qū)期中)如圖，水平放置的△ABC的斜二測直觀圖是圖中的△A′B′C′，若A′C′＝3，B′C′＝2，則邊AB的實(shí)際長度為________．【答案】5【解析】將直觀圖還原為原圖形，如圖所示，則AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，所以AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(32＋42)＝5．8．有一個長為4cm，寬為3cm的矩形，則其直觀圖的面積為________cm2．【答案】3eq\r(2)【解析】該矩形的面積為S＝4×3＝12(cm2)，由平面圖形的面積與直觀圖的面積間的關(guān)系，可得直觀圖的面積為S′＝eq\f(\r(2),4)S＝3eq\r(2)(cm2)．9．如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′軸，則原平面圖形的面積為________．【答案】36eq\r(2)【解析】在直觀圖中，設(shè)B′C′與y′軸的交點(diǎn)為D′，則易得O′D′＝3eq\r(2)，所以原平面圖形為一邊長為6，高為6eq\r(2)的平行四邊形，所以其面積為6×6eq\r(2)＝36eq\r(2)．10．如圖，已知水平放置的平面圖形的直觀圖是一等腰直角三角形ABC，且AB＝BC＝1，試畫出它的原圖形，并求出直觀圖和原圖形的面積．解：根據(jù)題意，直觀圖為等腰直角三角形，且AB＝BC＝1，則AC＝eq\r(2)，其面積S′＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)．(1)在如圖所示的圖形中畫相應(yīng)的x軸、y軸，使∠xOy＝90°(O與A′重合)；(2)在x軸上取C′，使A′C′＝AC，在y軸上取B′，使A′B′＝2AB；(3)連接B′C′，則△A′B′C′就是原圖形，原圖的面積S＝eq\f(1,2)×A′B′×A′C′＝eq\f(1,2)×2×eq\r(2)＝eq\r(2)．B級——綜合運(yùn)用練11．(2024年重慶九龍坡區(qū)期中)如圖，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二測畫法的直觀圖，△A′B′C′的邊A′C′＝6，B′C′＝4，則原△ABC中∠A的平分線長度是()A．2eq\r(13) B．3eq\r(3)C．4eq\r(3) D．3eq\r(5)【答案】D【解析】易知△ABC為直角三角形，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∠A的平分線交BC于點(diǎn)D，根據(jù)角平分線的性質(zhì)知CD∶DB＝AC∶AB＝6∶10，又因?yàn)锽C＝8，所以CD＝3，DB＝5，所以AD＝eq\r(AC2＋CD2)＝eq\r(62＋32)＝3eq\r(5)．故選D．12．如圖所示的水平放置的三角形的直觀圖，D′是△A′B′C′中B′C′邊的中點(diǎn)，且A′D′平行于y′軸，那么A′B′，A′D′，A′C′三條線段對應(yīng)原圖形中的線段AB，AD，AC中，最長的是________，最短的是________．【答案】AB和ACAD【解析】因?yàn)锳′D′∥y′軸，所以在△ABC中，AD⊥BC，又因?yàn)镈′是B′C′的中點(diǎn)，所以D是BC的中點(diǎn)，所以AB＝AC＞AD．13．(2024年宜昌一中月考)在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝2，CD＝1，AD＝3，AA1＝4．(1)畫出四棱柱ABCD－A1B1C1D1的直觀圖；(2)將四棱柱ABCD－A1B1C1D1補(bǔ)成一個長方體，并說出補(bǔ)上的幾何體的名稱．解：(1)由題意，結(jié)合直觀圖的畫法，即可得到直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的直觀圖，如圖1．(2)由題意，結(jié)合長方體的幾何特征，可得補(bǔ)成的長方體，如圖2，即補(bǔ)上的幾何體是三棱柱BCE－B1C1E1．C級——創(chuàng)新拓展練14．(2024年唐山期中)如圖，中國人民銀行發(fā)行的直徑為8cm的圓形龍年黃金紀(jì)念幣，背面設(shè)計中，以一個碩大的龍首居中作為主圖案，龍首形象生動俊俏，目光清澈篤定．整個修長俊秀的形象中少了些森嚴(yán)，平添幾分硬朗與銳利．龍角與龍須延展至幣面之外，向外的張力滿含蓄勢待發(fā)的力量感；深淺藍(lán)色搭配的龍睛，炯炯有神．整體造型展現(xiàn)出炎黃子孫人才輩出，敢為人先的拼搏與進(jìn)取的精神面貌．該紀(jì)念幣用斜二測畫法后，所得直觀圖的面積為()A．4eq\r(2)πcm2 B．8πcm2C．16πcm2 D．16eq\r(2)πcm2【答案】A【解析】根據(jù)題意，原圖為直徑為8cm的圓，其面積S＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))eq\s\up12(2)π＝16π(cm2)，則其直觀圖的面積S′＝eq\f(\r(2),4)S＝4eq\r(2)π(cm2)．故選A．第八章8.3第1課時A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．正方體的表面積為96，則正方體的體積為()A．48eq\r(6) B．64C．16 D．96【答案】B【解析】設(shè)正方體的棱長為a，則6a2＝96，∴a＝4，故V＝a3＝43＝64．2．已知圓柱OO1及其展開圖如圖所示，則其體積為()A．π B．2πC．3π D．4π【答案】D【解析】設(shè)底面半徑為r，高為h，根據(jù)展開圖得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(h＝4，,2πr＝2π，))則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(h＝4，,r＝1，))所以圓柱的體積為πr2h＝π×12×4＝4π．故選D．3．將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積是()A．4π B．3πC．2π D．π【答案】C【解析】底面圓半徑為1，高為1，側(cè)面積S＝2πrh＝2π×1×1＝2π．故選C．4．若正三棱錐的底面邊長等于a，三條側(cè)棱兩兩垂直，則它的側(cè)面積為()A．eq\f(3,4)a2 B．eq\f(\r(3),4)a2C．eq\f(3,2)a2 D．3a2【答案】A【解析】因?yàn)檎忮F的底面邊長等于a，三條側(cè)棱兩兩垂直，所以三棱錐的側(cè)棱長為eq\f(\r(2),2)a，則它的側(cè)面3×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)a×eq\f(\r(2),2)a＝eq\f(3,4)a2．5．如果軸截面為正方形的圓柱的側(cè)面積是4π，那么圓柱的體積等于()A．π B．2πC．4π D．8π【答案】B【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r，則圓柱的母線長為2r，由題意得S圓柱側(cè)＝2πr×2r＝4πr2＝4π，解得r＝1，所以V圓柱＝πr2×2r＝2πr3＝2π．故選B．6．(多選)已知某幾何體的直觀圖如圖所示，其中底面為長為8，寬為6的長方形，頂點(diǎn)在底面投影為底面中心，高為4．該幾何體的體積和側(cè)面積分別用V和S表示，則()A．V＝64 B．V＝32C．S＝40＋24eq\r(2) D．S＝40＋12eq\r(2)【答案】AC【解析】幾何體的體積為V＝eq\f(1,3)·S矩形·h＝eq\f(1,3)×6×8×4＝64．正側(cè)面及相對側(cè)面底邊上的高為h1＝eq\r(42＋32)＝5．左、右側(cè)面的底邊上的高為h2＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2)．故幾何體的側(cè)面面積S＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×8×5＋\f(1,2)×6×4\r(2)))＝40＋24eq\r(2)．7．如圖，已知正六棱柱的最大對角面的面積為1m2，互相平行的兩個側(cè)面的距離為1m，則這個六棱柱的體積為________m3，側(cè)面積為________m2．【答案】eq\f(3,4)3【解析】設(shè)正六棱柱的底面邊長為am，高為hm，則2ah＝1，eq\r(3)a＝1，解得a＝eq\f(\r(3),3)，h＝eq\f(\r(3),2)．所以六棱柱的體積V＝eq\f(\r(3),4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))eq\s\up12(2)×6×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,4)(m3)，S側(cè)＝6×eq\f(\r(3),3)×eq\f(\r(3),2)＝3(m2)．8．(2024年日照東港區(qū)期中)如圖，在正四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，A1B1＝1，且棱臺的側(cè)面積為6，則該棱臺的高為________．【答案】eq\f(\r(3),2)【解析】在正四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，如圖，設(shè)斜高為h′，則側(cè)面積為4×eq\f(1,2)×(1＋2)h′＝6，解得h′＝1，所以該棱臺的高為h＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2)．9．圓臺的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4，若母線長為10，則圓臺的表面積為________．【答案】168π【解析】先畫軸截面，再利用上、下底面半徑和高的比求解．圓臺的軸截面如圖所示，設(shè)上底面半徑為r，下底面半徑為R，則它的母線長為l＝eq\r(h2＋(R－r)2)＝eq\r((4r)2＋(3r)2)＝5r＝10，所以r＝2，R＝8．故S側(cè)＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S側(cè)＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π．10．若圓錐的表面積是15π，側(cè)面展開圖的圓心角是60°，求圓錐的體積．解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線為l，則2πr＝eq\f(1,3)πl(wèi)，得l＝6r．又因?yàn)镾錐＝πr2＋πr·6r＝7πr2＝15π，解得r＝eq\r(\f(15,7))，所以圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(35r2)＝eq\r(35×\f(15,7))＝5eq\r(3)．所以V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×eq\f(15,7)×5eq\r(3)＝eq\f(25\r(3),7)π．B級——綜合運(yùn)用練11．(2024年福清模擬)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為eq\f(7,8)，且該圓錐的母線是底面半徑的eq\r(2)倍，若△SAB的面積為5eq\r(15)，則該圓錐的表面積為()A．40eq\r(2)π B．(40＋40eq\r(2))πC．80eq\r(2)π D．(40＋80eq\r(2))π【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，則母線長為l＝eq\r(2)r，因?yàn)槟妇€SA，SB所成角θ的余弦值為eq\f(7,8)，且θ∈(0，π)，所以sinθ＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))2)＝eq\f(\r(15),8)，所以△SAB的面積為eq\f(1,2)×(eq\r(2)r)2×eq\f(\r(15),8)＝5eq\r(15)，解得r＝2eq\r(10)，所以母線長為l＝eq\r(2)×2eq\r(10)＝4eq\r(5)，所以該圓錐的表面積為S＝πr2＋πrl＝π×(2eq\r(10))2＋π×2eq\r(10)×4eq\r(5)＝(40＋40eq\r(2))π．故選B．12．已知某幾何體是由兩個全等的長方體和一個三棱柱組合而成，如圖所示，其中長方體的長、寬、高分別為4，3，3，三棱柱底面是直角邊分別為4，3的直角三角形，側(cè)棱長為3，則此幾何體的體積是________，表面積是________．【答案】90138【解析】該幾何體的體積V＝4×6×3＋eq\f(1,2)×4×3×3＝90，表面積S＝2(4×6＋4×3＋6×3)－3×3＋eq\f(1,2)×4×3×2＋eq\r(32＋42)×3＋3×4＝138．13．一個圓錐的底面半徑為2cm，高為6cm，在其內(nèi)部有一個高為xcm的內(nèi)接圓柱．(1)求圓錐的側(cè)面積；(2)當(dāng)x為何值時，圓柱的側(cè)面積最大？并求出側(cè)面積的最大值．解：(1)圓錐的母線長為eq\r(62＋22)＝2eq\r(10)(cm)，∴圓錐的側(cè)面積S1＝π×2×2eq\r(10)＝4eq\r(10)π(cm2)．(2)畫出圓錐的軸截面如圖所示．設(shè)圓柱的底面半徑為rcm，由題意，知eq\f(r,2)＝eq\f(6－x,6)，∴r＝eq\f(6－x,3)，∴圓柱的側(cè)面積S2＝2πrx＝eq\f(2π,3)(－x2＋6x)＝－eq\f(2π,3)[(x－3)2－9]，∴當(dāng)x＝3時，圓柱的側(cè)面積取得最大值，且最大值為6πcm2．C級——創(chuàng)新拓展練14．(2024年佛山模擬)木桶效應(yīng)，也可稱為短板效應(yīng)，是說一只水桶能裝多少水取決于它最短的那塊木板．如果一只桶的木板中有一塊不齊或者某塊木板有破洞，這只桶就無法盛滿水，此時我們可以傾斜木桶，設(shè)法讓桶裝水更多．如圖，棱長為2的正方體容器，在頂點(diǎn)C1和棱AA1的中點(diǎn)M處各有一個小洞(小洞面積忽略不計)，為了保持平衡，以BD為軸轉(zhuǎn)動正方體，則用此容器裝水，最多能裝水的體積V＝()A．4 B．eq\f(16,3)C．6 D．eq\f(20,3)【答案】C【解析】如圖，以BD為軸轉(zhuǎn)動正方體，要使能裝水最多，則水面平行BD且經(jīng)過MC1，設(shè)水面與棱BB1，DD1的交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，即多面體ABCD－MEC1F的體積．∵M(jìn)為棱AA1的中點(diǎn)，∴B1E＝D1F＝eq\f(1,2)，∴多面體ABCD－MEC1F的體積V＝2×2×1＋eq\f(1,2)×2×2×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×2eq\r(2)×eq\f(1,2)×eq\r(2)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×eq\f(1,2)＝6．故選C．第八章8.3第2課時A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．已知球O的表面積為16π，則球O的體積為()A．eq\f(4,3)π B．eq\f(8,3)πC．eq\f(16,3)π D．eq\f(32,3)π【答案】D【解析】因?yàn)榍騉的表面積是16π，所以球O的半徑為2，所以球O的體積為eq\f(4π,3)×23＝eq\f(32,3)π．故選D．2．球的表面積S1與它的內(nèi)接正方體的表面積S2的比值是()A．eq\f(π,3) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,2) D．π【答案】C【解析】設(shè)球的內(nèi)接正方體的棱長為a，球的半徑為R，則3a2＝4R2，所以a2＝eq\f(4,3)R2，球的表面積S1＝4πR2，正方體的表面積S2＝6a2＝6×eq\f(4,3)R2＝8R2，所以eq\f(S1,S2)＝eq\f(π,2)．3．用與球心距離為1的平面去截球，所得截面圓的面積為π，則球的表面積為()A．eq\f(8π,3) B．eq\f(32π,3)C．8π D．eq\f(8\r(2)π,3)【答案】C【解析】設(shè)球的半徑為R，則截面圓的半徑為eq\r(R2－1)，∴截面圓的面積為S＝π(eq\r(R2－1))2＝(R2－1)π＝π．∴R2＝2．∴球的表面積S＝4πR2＝8π．4．(2024年龍巖三模)已知球的體積為eq\f(32,3)π，且該球的表面積與底面半徑為2的圓錐的側(cè)面積相等，則該圓錐的體積為()A．eq\f(4\r(15),3)π B．eq\f(8\r(15),3)πC．4eq\r(15)π D．8eq\r(15)π【答案】B【解析】設(shè)球的半徑為R，則球的體積V＝eq\f(4πR3,3)＝eq\f(32,3)π，解得R＝2，所以球的表面積S＝4πR2＝16π，設(shè)圓錐的母線長為l，底面圓半徑為r，則πrl＝16π，即2πl(wèi)＝16π，解得l＝8，因此該圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(64－4)＝2eq\r(15)，可得圓錐的體積V1＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(8\r(15),3)π．故選B．5．已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為()A．π B．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,2) D．eq\f(π,4)【答案】B【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R＝1，由圓柱兩個底面的圓周在同一個球的球面上可知，r，R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形．∴r＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2)．∴圓柱的體積V＝πr2h＝eq\f(3,4)π×1＝eq\f(3π,4)．故選B．6．(2024年唐山二模)已知長方體的一條棱長為2，體積為16，則其外接球表面積的最小值為()A．5π B．12πC．20π D．80π【答案】C【解析】長方體的長為2，設(shè)寬為x，高為y，由于長方體的體積為2xy＝16，故y＝eq\f(8,x)，設(shè)長方體的外接球的半徑為R，所以(2R)2＝22＋x2＋eq\f(64,x2)≥4＋2eq\r(x2·\f(64,x2))＝4＋16＝20，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2eq\r(2)時取等號，故4R2≥20，解得R≥eq\r(5)，故S球的最小值為4·π·(eq\r(5))2＝20π．故選C．7．(2024年上海閔行區(qū)三模)現(xiàn)有一個底面半徑為2cm、高為9cm的圓柱形鐵料，若將其熔鑄成一個球形實(shí)心工件，則該工件的表面積為________cm2(損耗忽略不計)．【答案】36π【解析】由圓柱和球的體積相等，得π×22×9＝eq\f(4,3)πR3?R＝3，∴該鐵球的表面積為4πR2＝36π(cm2)．8．已知各頂點(diǎn)都在一個球面上的正四棱錐的高為3，體積為6，則這個球的表面積為________．【答案】16π【解析】正四棱錐的高為3，體積為6，易知底面面積為6，邊長為eq\r(6)．如圖，正四棱錐P－ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，記為O，PO＝AO＝R，PO1＝3，OO1＝3－R，在Rt△AO1O中，AO1＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(3)，由勾股定理R2＝(eq\r(3))2＋(3－R)2，得R＝2，故球的表面積S＝16π．9．(2024年安陽二模)一個球的表面積為100π，一個平面截該球得到截面圓直徑為6，則球心到這個平面的距離為________．【答案】4【解析】球的表面積為100π，可設(shè)球的半徑為R，4πR2＝100π，解得R＝5，一個平面截該球得到的截面圓的直徑為6，則截面圓的半徑為3，所以球心到這個平面的距離為eq\r(52－32)＝4．10．某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱體，左右兩端均為半球，若圖中r＝1，l＝3，試求該組合體的表面積和體積．解：該組合體的表面積S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π．該組合體的體積V＝eq\f(4,3)πr3＋πr2l＝eq\f(4,3)π×13＋π×12×3＝eq\f(13π,3)．B級——綜合運(yùn)用練11．(2024年廈門思明區(qū)模擬)在圓臺O1O2中，圓O2的半徑是圓O1半徑的2倍，且O2恰為該圓臺外接球的球心，則圓臺的側(cè)面積與球的表面積之比為()A．3∶4 B．1∶2C．3∶8 D．3∶10【答案】C【解析】令外接球的半徑為2R，依題意O2A＝2R，O2B＝2R，O1B＝R．如圖，過點(diǎn)B作BC⊥O2A，則O2C＝O1B＝R，所以AC＝O2C＝R．又因?yàn)锽C＝O1O2＝eq\r((2R)2－R2)＝eq\r(3)R，所以AB＝eq\r(R2＋(\r(3)R)2)＝2R，所以圓臺的側(cè)面積S1＝eq\f(1,2)(2πR＋2π×2R)×2R＝6πR2，球的表面積S2＝4π×(2R)2＝16πR2，所以圓臺的側(cè)面積與球的表面積之比為S1∶S2＝(6πR2)∶(16πR2)＝3∶8．故選C．12．(2024年汕頭潮南區(qū)月考)某同學(xué)用球形模具自制棒棒糖．現(xiàn)熬制的糖漿恰好裝滿一圓柱形容器(底面半徑為3cm，高為10cm)，共做了20個完全相同的棒棒糖，則每個棒棒糖的表面積為________cm2．(損耗忽略不計)【答案】9π【解析】圓柱形容器的體積為V圓柱＝π×32×10＝90π．設(shè)棒棒糖的半徑為r，則每個棒棒糖的體積V棒棒糖＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(90π,20)＝eq\f(9,2)π，解得r＝eq\f(3,2)，∴S表＝4πr2＝4π×eq\f(9,4)＝9π．13．已知一倒置圓錐的母線長為10cm，底面半徑為6cm．(1)求該圓錐的高；(2)若有一球剛好放進(jìn)該圓錐(球與圓錐的底面相切)中，求這個球的半徑以及此時圓錐剩余空間的體積．解：(1)設(shè)圓錐的高為hcm，底面半徑為Rcm，母線長為lcm，則h＝eq\r(l2－R2)＝eq\r(102－62)＝8，所以圓錐的高為8cm．(2)球放入圓錐后的軸截面如圖所示，設(shè)球的半徑為rcm．易得△OCD∽△ACO1，則eq\f(OC,AC)＝eq\f(OD,AO1)，即eq\f(8－r,10)＝eq\f(r,6)，解得r＝3．圓錐剩余空間的體積為圓錐的體積減去球的體積，即V圓錐－V球＝eq\f(1,3)×π×62×8－eq\f(4,3)π×33＝96π－36π＝60π(cm3)，故此時圓錐剩余空間的體積為60πcm3．C級——創(chuàng)新拓展練14．(2024年天津和平區(qū)模擬)如圖，將兩個相同大小的圓柱垂直放置，兩圓柱的底面直徑與高相等，且中心重合，它們所圍成的幾何體稱為“牟合方蓋”．已知兩圓柱的高為2，則該“牟合方蓋”內(nèi)切球的體積為()A．eq\f(4\r(2)π,9) B．eq\f(2\r(2)π,3)C．eq\f(8π,9) D．eq\f(4π,3)【答案】D【解析】如圖，將兩個互相垂直的圓柱放到棱長為2的正方體內(nèi)，則正方體的內(nèi)切球與這兩個圓柱的側(cè)面和底面都相切，又因?yàn)槟埠戏缴w上下兩個頂點(diǎn)和側(cè)面的四個曲面剛好與正方體的側(cè)面相切，故正方體的內(nèi)切球內(nèi)切于牟合方蓋，所以正方體內(nèi)切球即為牟合方蓋的內(nèi)切球，其半徑為1，所以該“牟合方蓋”內(nèi)切球的體積為eq\f(4π,3)．故選D．第八章8.48.4.1A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．點(diǎn)A在直線l上，l在平面α外，用符號正確的是()A．A∈l，l?α B．A∈l，l?αC．A?l，l?α D．A?l，l∈α【答案】B【解析】∵點(diǎn)A在直線上l，直線l在平面α外，∴A∈l，l?α．故選B．2．(多選)下列命題正確的有()A．三角形是平面圖形B．四邊形是平面圖形C．四邊相等的四邊形是平面圖形D．圓是平面圖形【答案】AD【解析】根據(jù)基本事實(shí)1可知A，D正確，B，C錯誤．故選AD．3．空間不共線的四點(diǎn)，可確定的平面?zhèn)€數(shù)是()A．1 B．4C．1或4 D．1或3【答案】C【解析】當(dāng)這四個點(diǎn)在一個平面內(nèi)的時候，確定一個平面；當(dāng)三個點(diǎn)在一個平面上，另一個點(diǎn)在平面外的時候，確定四個平面．故選C．4．(2024年延安一中月考)如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是()A．直線AB B．直線ACC．直線BC D．直線CD【答案】D【解析】由題意，知D∈l，l?β，所以D∈β．又因?yàn)镈∈AB，所以D∈平面ABC，所以點(diǎn)D在平面ABC與平面β的交線上．又因?yàn)镃∈β，C∈平面ABC，所以點(diǎn)C在平面ABC與平面β的交線上，所以平面ABC∩平面β＝CD．5．三條兩兩平行的直線可以確定平面的個數(shù)為()A．0 B．1C．0或1 D．1或3【答案】D【解析】當(dāng)三條直線是同一平面內(nèi)的平行直線時，確定一個平面．當(dāng)三條直線是三棱柱側(cè)棱所在的直線時，確定三個平面．故選D．6．(2024年平遙二中期中)在空間四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，H，G四點(diǎn)，如果EF與GH能相交于點(diǎn)P，那么()A．點(diǎn)P不在直線AC上 B．點(diǎn)P必在直線BD上C．點(diǎn)P必在平面ABC內(nèi) D．點(diǎn)P必在平面ABC外【答案】C【解析】如圖，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，BC上，有E∈平面ABC，F(xiàn)∈平面ABC，則直線EF?平面ABC．同理，直線GH?平面ADC．又因?yàn)镋F，GH能相交于點(diǎn)P，即P∈EF，P∈GH，所以P∈平面ABC，P∈平面ADC．又因?yàn)槠矫鍭BC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，A不正確，C正確，D不正確；又因?yàn)橹本€AC與BD沒有公共點(diǎn)，所以點(diǎn)P不在直線BD上，B不正確．故選C．7．(1)空間任意4點(diǎn)，沒有任何3點(diǎn)共線，它們最多可以確定________個平面．(2)空間5點(diǎn)，其中有4點(diǎn)共面，它們沒有任何3點(diǎn)共線，這5個點(diǎn)最多可以確定________個平面．【答案】(1)4(2)7【解析】(1)可以想象三棱錐的4個頂點(diǎn)，它們總共確定4個平面．(2)可以想象四棱錐的5個頂點(diǎn)，它們總共確定7個平面．8．設(shè)平面α與平面β相交于l，直線a?α，直線b?β，a∩b＝M，則M________l．【答案】∈【解析】因?yàn)閍∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β．又因?yàn)棣痢搔拢絣，所以M∈l．9．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1的所有棱中，既與AB共面，又與CC1共面的棱有________條．【答案】5【解析】由題圖可知，既與AB共面，又與CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1共5條．10．如圖，已知：A∈l，B∈l，C∈l，D?l，求證：直線AD，BD，CD共面．證明：因?yàn)镈?l，所以l與D可以確定平面α．因?yàn)锳∈l，所以A∈α．又因?yàn)镈∈α，所以AD?α．同理，BD?α，CD?α．所以AD，BD，CD在同一平面α內(nèi)，即它們共面．B級——綜合運(yùn)用練11．設(shè)P1，P2，P3，P4為空間中的四個不同點(diǎn)，則“P1，P2，P3，P4中有三點(diǎn)在同一條直線上”是“P1，P2，P3，P4在同一個平面內(nèi)”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【解析】由過一條直線和直線外一點(diǎn)有且只有一個平面，可得P1，P2，P3，P4在同一個平面內(nèi)，故充分條件成立．由過兩條平行直線有且只有一個平面可得，當(dāng)P1∈l1，P2∈l1，P3∈l2，P4∈l2，l1∥l2時，P1，P2，P3，P4在同一個平面內(nèi)，但P1，P2，P3，P4中無三點(diǎn)共線，故必要條件不成立．故選A．12．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面A1CC1與平面BDC1的交線是________．【答案】C1M【解析】因?yàn)镃1∈平面A1CC1，且C1∈平面BDC1，同時M∈平面A1CC1，且M∈平面BDC1，所以平面A1CC1與平面BDC1的交線是C1M．13．如圖，在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，且eq\f(CF,FB)＝eq\f(AE,EB)＝eq\f(1,3)．求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)直線EH，BD，F(xiàn)G相交于一點(diǎn)．證明：(1)在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，∴HG∥AC．又∵eq\f(CF,FB)＝eq\f(AE,EB)＝eq\f(1,3)，∴EF∥AC．∴EF∥HG，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)如圖，設(shè)EH與FG交于點(diǎn)P，∵EH?平面ABD，∴P在平面ABD內(nèi)．同理P在平面BCD內(nèi)，且平面ABD∩平面BCD＝BD，∴點(diǎn)P在直線BD上．∴直線EH，BD，F(xiàn)G相交于一點(diǎn)．C級——創(chuàng)新拓展練14．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是棱DD1和BB1上的點(diǎn)，且MD＝eq\f(1,3)DD1，NB＝eq\f(1,3)BB1，那么正方體過點(diǎn)M，N，C1的截面圖形是()A．三角形 B．四邊形C．五邊形 D．六邊形【答案】C【解析】如圖，延長C1M交CD的延長線于點(diǎn)P，延長C1N交CB的延長線于點(diǎn)Q，連接PQ，交AD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，連接NF，ME，則正方體過點(diǎn)M，N，C1的截面圖形是五邊形．故選C．第八章8.48.4.2A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是()A．異面或平行 B．異面或相交C．異面 D．相交、平行或異面【答案】D【解析】異面直線不具有傳遞性，可以以長方體為載體加以說明，a，b異面，直線c的位置可如圖所示．故選D．2．(多選)下列結(jié)論正確的有()A．a(chǎn)∥α，b?α，則a∥bB．若a?α，b?α，則a，b無公共點(diǎn)C．若a?α，則a∥α或a與α相交D．若a∩α＝A，則a?α【答案】CD【解析】結(jié)合直線與平面的位置關(guān)系可知，A，B錯誤，C，D正確．3．已知平面α與平面β，γ都相交，則這三個平面可能的交線有()A．1條或2條 B．2條或3條C．1條或3條 D．1條或2條或3條【答案】D【解析】當(dāng)三個平面兩兩相交且過同一直線時，它們有1條交線；當(dāng)平面β和γ平行時，它們的交線有2條；當(dāng)這三個平面兩兩相交且不過同一條直線時，它們有3條交線．4．已知異面直線a，b，有a?α，b?β且α∩β＝c，則直線c與a，b的關(guān)系是()A．c與a，b都相交 B．c與a，b都不相交C．c至多與a，b中的一條相交 D．c至少與a，b中的一條相交【答案】D【解析】若c與a，b都不相交，因?yàn)閏與a在α內(nèi)，所以a∥c．因?yàn)閏與b都在β內(nèi)，所以b∥c．所以a∥b，與已知條件矛盾．如圖，只有以下三種情況．5．(2024年宿州調(diào)研)若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是()A．l1⊥l4 B．l1∥l4C．l1與l4異面 D．l1與l4的位置關(guān)系不確定【答案】D【解析】構(gòu)造如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1，取l1為AD，l2為AA1，l3為A1B1，當(dāng)取l4為B1C1時，l1∥l4，當(dāng)取l4為BB1時，l1⊥l4，故排除A，B，C．故選D．6．(多選)(2024年重慶八中月考)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)分別為BC，BB1的中點(diǎn)，則()A．EF與A1C1是異面直線 B．EF與B1C1是相交直線C．AC與B1C1是異面直線 D．AC與A1C1是異面直線【答案】ABC【解析】連接CB1(圖略)．因?yàn)镃B1與AC相交，AC∥A1C1，CB1與平面ACC1A1相交，所以CB1與A1C1異面．又因?yàn)镃B1∥EF，EF?平面ACC1A1，所以EF與A1C1異面，A正確；同理，AC與B1C1異面，C正確；EF與B1C1在同一平面內(nèi)，且延長EF與B1C1可交于一點(diǎn)，故直線EF與B1C1相交，故B正確；AC∥A1C1，故AC與A1C1是共面直線，故D錯誤．故選ABC．7．點(diǎn)P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，并且是所在棱的中點(diǎn)，則下圖中，直線PQ與RS是異面直線的是________．【答案】③【解析】①，②中PQ，RS平行，④中直線PQ與RS相交(或RP∥SQ)，即直線PQ與RS共面，均不是異面直線；③中的直線PQ與RS是兩條既不平行，又不相交的直線，即直線PQ與RS是異面直線．8．若M是兩條異面直線a，b外的一點(diǎn)，則過點(diǎn)M且與a，b都平行的平面有________個．【答案】0或1【解析】當(dāng)點(diǎn)M在過a且與b平行的平面或過b且與a平行的平面內(nèi)時，沒有滿足條件的平面；當(dāng)點(diǎn)M不在上述兩個平面內(nèi)時，滿足條件的平面只有1個．9．已知a，b是兩條直線，α，β是兩個平面，則下列說法正確的有________(填序號)．①若α∥β，a?α，b?β，則a與b是異面直線；②若α∥β，a?α，則a∥β；③若α∩β＝b，a?α，則a與β一定相交．【答案】②【解析】①中直線a與b沒有交點(diǎn)，所以a與b可能異面也可能平行，故①錯誤；②中直線a與平面β沒有公共點(diǎn)，所以a∥β，故②正確；③中直線a與平面β有可能平行，故③錯誤．10．如圖，若P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA≠PB，PN⊥AB，N為垂足，M為AB的中點(diǎn)，求證：PN與MC為異面直線．證明：∵PA≠PB，PN⊥AB，N為垂足，M是AB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)N與點(diǎn)M不重合．∵N∈平面ABC，P?平面ABC，CM?平面ABC，N?CM，∴由異面直線的判定定理可知，直線PN與MC為異面直線．B級——綜合運(yùn)用練11．(多選)(2024年南通重點(diǎn)中學(xué)期中)如圖是正方體的展開圖，則在這個正方體中，下列命題正確的有()A．AF與CN平行 B．BM與AN是異面直線C．AF與BM是異面直線 D．BN與DE是異面直線【答案】CD【解析】把正方體的平面展開圖還原，如圖，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可知，AF與CN異面，故A錯誤；BM與AN平行，故B錯誤；BM?平面BCMF，F(xiàn)∈平面BCMF，A?平面BCMF，F(xiàn)?BM，故AF與BM是異面直線，故C正確；DE?平面ADNE，N∈平面ADNE，B?平面ADNE，N?DE，故BN與DE是異面直線，故D正確．12．一個平面將空間分成兩部分，兩個平面最多將空間分成四部分，三個平面最多將空間分成八部分……由此猜測n個平面最多將空間分成()A．2n部分 B．n2部分C．2n部分 D．eq\f(n3＋5n,6)＋1部分【答案】D【解析】由一個平面將空間分成兩部分，兩個平面最多將空間分成四部分，三個平面最多將空間分成八部分，可以排除A，B兩個選項(xiàng)．四個平面時，可以考慮在三個平面最多將空間分成八部分的情況下再加一個平面，則第四個平面最多可以將該八部分中的七個分為兩部分，所以四個平面最多將空間分成十五部分，可以排除C選項(xiàng)，故選D．13．如圖，平面α，β，γ滿足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判斷a與b，a與β的位置關(guān)系并證明你的結(jié)論．解：a∥b，a∥β．證明如下．由α∩γ＝a知a?α且a?γ，由β∩γ＝b知b?β且b?γ，因?yàn)棣痢桅拢琣?α，b?β，所以a，b無公共點(diǎn)．又因?yàn)閍?γ且b?γ，所以a∥b．因?yàn)棣痢桅?，所以α與β無公共點(diǎn)．又因?yàn)閍?α，所以a與β無公共點(diǎn)，所以a∥β．C級——創(chuàng)新拓展練14．如圖，已知平面α∩β＝l，點(diǎn)A∈α，點(diǎn)B∈α，點(diǎn)C∈β，且A?l，B?l，直線AB與l不平行，那么平面ABC與平面β的交線與l有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論．解：平面ABC與β的交線與l相交．證明如下：因?yàn)锳B與l不平行，且AB?α，l?α，所以AB與l一定相交．設(shè)AB∩l＝P(圖略)，則P∈AB，P∈l．又因?yàn)锳B?平面ABC，l?β，所以P∈平面ABC，P∈β．所以P是平面ABC與β的一個公共點(diǎn)，而C也是平面ABC與β的一個公共點(diǎn)，且P，C是不同的兩點(diǎn)，所以直線PC就是平面ABC與β的交線，即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，所以平面ABC與平面β的交線與l相交．第八章8.58.5.1A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．(2024年蕪湖期末)若∠AOB＝∠A1O1B1且OA∥O1A1，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(O1A1,\s\up6(→))的方向相同，則下列結(jié)論正確的是()A．OB∥O1B1且eq\o(OB,\s\up6(→))與eq\o(O1B1,\s\up6(→))的方向相同B．OB∥O1B1C．OB與O1B1一定不平行D．OB與O1B1不一定平行【答案】D【解析】如圖，當(dāng)∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(O1A1,\s\up6(→))的方向相同時，OB與O1B1不一定平行．故選D．2．若兩個三角形不在同一平面內(nèi)，它們的邊兩兩對應(yīng)平行，則這兩個三角形()A．全等 B．相似C．僅有一個角相等 D．無法判斷【答案】B【解析】由等角定理知，這兩個三角形的三個角分別對應(yīng)相等，所以這兩個三角形相似．3．如圖，在三棱錐A－BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AC，CD，BD，AB的中點(diǎn)，且AD＝BC，那么四邊形EFGH是()A．平行四邊形 B．矩形C．菱形 D．正方形【答案】C【解析】因?yàn)镠，G分別是BA，BD的中點(diǎn)，所以HG∥AD，且HG＝eq\f(1,2)AD，同理，EF∥AD，且EF＝eq\f(1,2)AD，所以HG綉EF，所以四邊形EFGH是平行四邊形．易知HE＝eq\f(1,2)BC，又AD＝BC，所以EF＝HE，可得四邊形EFGH為菱形．故選C．4．已知a，b是兩條異面直線，c∥a，那么c與b的位置關(guān)系()A．一定是異面 B．一定是相交C．不可能是平行 D．不可能是垂直【答案】C【解析】a，b是兩條異面直線，c∥a，那么c與b可能異面，可能相交，可能垂直，但不可能平行．因?yàn)槿鬰∥b，由c∥a，得a∥b，與a，b是兩條異面直線矛盾．故選C．5．(多選)在正方體ABCD－A1B1C1D1中(如圖)，l?平面A1B1C1D1，且l與B1C1不平行，則下列說法可能成立的是()A．l與AD平行 B．l與AD相交C．l與AC平行 D．l與BD平行【答案】CD【解析】假設(shè)l∥AD，則由AD∥BC∥B1C1，知l∥B1C1，這與l與B1C1不平行矛盾，所以l與AD不平行．又l在上底面中，AD在下底面中，故l與AD無公共點(diǎn)，故l與AD不相交．選項(xiàng)C，D都可能成立．6．如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，A1C1與B1D1相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別是B1O，C1O的中點(diǎn)，則長方體的各棱中與EF平行的有()A．3條 B．4條C．5條 D．6條【答案】B【解析】由于E，F(xiàn)分別是B1O，C1O的中點(diǎn)，故EF∥B1C1，因?yàn)楹屠釨1C1平行的棱有AD，BC，A1D1，所以符合題意的棱共有4條．7．在三棱錐P－ABC中，PB⊥BC，E，D，F(xiàn)分別是AB，PA，AC的中點(diǎn)，則∠DEF＝________．【答案】90°【解析】如圖所示，因?yàn)镋，D，F(xiàn)分別為AB，PA，AC的中點(diǎn)，可得DE∥PB，EF∥BC，又因?yàn)镻B⊥BC，所以DE⊥EF，所以∠DEF＝90°．8．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AF∶FC，則EF與B1C1的位置關(guān)系是________．【答案】平行【解析】在△ABC中，∵AE∶EB＝AF∶FC，∴EF∥BC．又BC∥B1C1，∴EF∥B1C1．9．已知P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，D，E分別是△PAB，△PBC的重心，AC＝a，則DE的長為________．【答案】eq\f(a,3)【解析】如圖，連接PD，PE并延長，分別交AB，BC于點(diǎn)M，N．因?yàn)镈，E分別是△PAB，△PBC的重心，所以M，N分別為AB，BC的中點(diǎn)．所以DE∥MN且DE＝eq\f(2,3)MN，MN∥AC且MN＝eq\f(1,2)AC，所以DE∥AC且DE＝eq\f(1,3)AC，所以DE＝eq\f(a,3)．10．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中的平面A1C1內(nèi)有一點(diǎn)P，經(jīng)過點(diǎn)P作棱BC的平行線，應(yīng)該怎樣畫？請說明理由．解：如圖，在平面A1C1內(nèi)過點(diǎn)P作直線EF∥B1C1，交A1B1于點(diǎn)E，交C1D1于點(diǎn)F，則直線EF即為所求．理由如下：因?yàn)镋F∥B1C1，BC∥B1C1，所以EF∥BC．B級——綜合運(yùn)用練11．(多選)如圖，設(shè)E，F(xiàn)，G，H依次是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上除端點(diǎn)外的點(diǎn)，且eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)＝λ，eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝μ，則下列結(jié)論正確的有()A．當(dāng)λ＝μ時，四邊形EFGH是平行四邊形B．當(dāng)λ≠μ時，四邊形EFGH是梯形C．當(dāng)λ＝μ＝eq\f(1,2)時，四邊形EFGH是平行四邊形D．當(dāng)λ＝μ≠eq\f(1,2)時，四邊形EFGH是梯形【答案】ABC【解析】如圖，連接BD．∵eq\f(AE,AB)＝eq\f(AH,AD)＝λ，∴EH∥BD，且EH＝λBD．同理，F(xiàn)G∥BD，且FG＝μBD．∴EH∥FG．所以當(dāng)λ＝μ時，EH＝FG，所以四邊形EFGH是平行四邊形．選項(xiàng)A，C正確，選項(xiàng)D錯誤．當(dāng)λ≠μ時，EH≠FG，四邊形EFGH是梯形，選項(xiàng)B正確．故選ABC．12．已知E，E′分別是正方體ABCD－A′B′C′D′的棱AD，A′D′的中點(diǎn)，則四邊形BB′E′E的形狀為________，∠BEC與∠B′E′C′的大小________．(填相等或互補(bǔ))【答案】平行四邊形相等【解析】如圖，因?yàn)辄c(diǎn)E，E′分別是AD，A′D′的中點(diǎn)，所以AE∥A′E′，且AE＝A′E′．所以四邊形AEE′A′是平行四邊形．所以AA′∥EE′，且AA′＝EE′．又因?yàn)锳A′∥BB′，且AA′＝BB′，所以EE′∥BB′，且EE′＝BB′．所以四邊形BB′E′E是平行四邊形．所以BE∥B′E′，同理可證CE∥C′E′．又因?yàn)椤螧EC與∠B′E′C′的兩邊方向相同，所以∠BEC＝∠B′E′C′．13．如圖，在三棱錐P－ABC中，G，H分別為PB，PC的中點(diǎn)，M，N分別為△PAB，△PAC的重心，求證：GH∥MN．證明：如圖，取PA的中點(diǎn)Q，連接BQ，CQ，則M，N分別在BQ，CQ上．∵M(jìn)，N分別為△PAB，△PAC的重心，∴eq\f(QM,MB)＝eq\f(QN,CN)＝eq\f(1,2)，則MN∥BC．又∵G，H分別為PB，PC的中點(diǎn)，∴GH∥BC，∴GH∥MN．C級——創(chuàng)新拓展練14．如圖，在空間四邊形ABCD中，E，H分別為AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是BC，CD上的點(diǎn)，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，若BD＝6cm，梯形EFGH的面積為28cm2，則平行線EH，F(xiàn)G間的距離為________cm．【答案】8【解析】因?yàn)镋，H分別為AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是BC，CD上的點(diǎn)，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，BD＝6cm，所以EH＝3cm，F(xiàn)G＝6×eq\f(2,3)＝4(cm)．設(shè)EH，F(xiàn)G間的距離為hcm，則S梯形EFGH＝eq\f((EH＋FG)h,2)＝28，解得h＝8．第八章8.58.5.2A級——基礎(chǔ)過關(guān)練1．下列選項(xiàng)中，一定能得出直線m與平面α平行的是()A．直線m在平面α外B．直線m與平面α內(nèi)的兩條直線平行C．平面α外的直線m與平面內(nèi)的一條直線平行D．直線m與平面α內(nèi)的一條直線平行【答案】C【解析】因?yàn)橹本€m在平面α外也包括直線與平面相交，A不符合題意；因?yàn)槿鄙贄l件m?α，B與D不符合題意；由直線與平面平行的判定定理知C符合題意．2．(多選)下列敘述錯誤的有()A．一條直線和另一條直線平行，那么它就和經(jīng)過另一條直線的任何平面平行B．一條直線平行于一個平面，則這條直線與這個平面內(nèi)所有直線都沒有公共點(diǎn)，因此這條直線與這個平面內(nèi)的所有直線都平行C．若平面α外的直線l與平面α不平行，則l與α內(nèi)任一直線都不平行D．與一平面內(nèi)無數(shù)條直線都平行的直線必與此平面平行【答案】ABD【解析】兩直線可能共面，A錯；一條直線平行于一個平面，這個平面內(nèi)的直線可能與它異面，B錯；C正確；對于D，直線有可能在平面內(nèi)，D錯．3．(2024年張家口月考)若m，n表示直線，α表示平面，則以下命題正確的是()A．若m∥n，n?α，則m∥αB．若m∥α，n∥α，則m∥nC．若m∥n，n∥α，則m∥αD．若m∥α，m?β，α∩β＝n，則m∥n【答案】D【解析】對于A，若m∥n，n?α，則m∥α或m?α，故A錯誤；對于B，若m∥α，n∥α，則m∥n或m與n相交或m與n異面，故B錯誤；對于C，若m∥n，n∥α，則m∥α或m?α，故C錯誤；對于D，由線面平行的性質(zhì)知D正確．4．如圖所示，長方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AA1和BB1的中點(diǎn)，過EF的平面EFGH分別交BC和AD于G，H，則HG與AB的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．異面 D．平行和異面【答案】A【解析】由題意可知EF∥AB，∴EF∥平面ABCD．又∵平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH，∴GH∥AB，故選A．5．如圖，α∩β＝l，a?α，b?β，且a，b為異面直線，則以下結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)，b都與l平行B．a(chǎn)，b中至多有一條與l平行C．a(chǎn)，b都與l相交D．a(chǎn)，b中至多有一條與l相交【答案】B【解析】如果a，b都與l平行，根據(jù)基本事實(shí)4，有a∥b，這與a，b為異面直線矛盾，故a，b中至多有一條與l平行．6．如圖，棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是矩形，D是A1C1上的動點(diǎn)，若A1B∥平面B1CD，則eq\f(DC1,A1C1)的值為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．1【答案】B【解析】如圖，連接BC1交B1C于點(diǎn)O，連接OD．因?yàn)锳1B∥平面B1CD，平面B1CD∩平面A1BC1＝OD，所以A1B∥OD．又因?yàn)镺是B1C的中點(diǎn)，所以D是A1C1上的中點(diǎn)，即eq\f(DC1,A1C1)＝eq\f(1,2)．故選B．7．如圖，ABCD－A1B1C1D1是正方體，若過A，C，B1三點(diǎn)的平面與底面A1B1C1D1的交線為l，則l與AC的關(guān)系是________．【答案】平行【解析】連接A1C1，∵AC∥A1C1，∴AC∥平面A1B1C1D1．又∵AC?平面AB1C，平面AB1C∩平面A1B1C1D1＝l，∴AC∥l．8．梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，則直線CD與平面α的位置關(guān)系是________．【答案】平行【解析】因?yàn)锳B∥CD，AB?平面α，CD?平面α，由線面平行的判定定理可得CD∥α．9．如圖，E是棱長為1正方體ABCD－A1B1C1D1的棱C1D1上的一點(diǎn)，且BD1∥平面B1CE，則線段CE的長度為________．【答案】eq\f(\r(5),2)【解析】如圖，連接BC1，交B1C于點(diǎn)O，連接EO，則O為BC1的中點(diǎn)．∵BD1∥平面B1CE，BD1?平面D1BC，平面D1BC∩平面B1CE＝OE，∴OE∥BD1，故E為D1C1的中點(diǎn)，得EC1＝eq\f(1,2)．在Rt△EC1C中，CE＝eq\r(CCeq\o\al(2,1)＋ECeq\o\al(2,1))＝eq\r(1＋\f(1,4))＝eq\f(\r(5),2)．10．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，C1D1的中點(diǎn)，求證：EF∥平面BDD1B1．證明：如圖，取D1B1的中點(diǎn)O，連接OF，OB．因?yàn)镺F綉eq\f(1,2)B1C1，BE綉eq\f(1,2)B1C1，所以O(shè)F綉B(tài)E．所以四邊形OFEB是平行四邊形．所以EF∥BO．因?yàn)镋F?平面BDD1B1，BO?平面BDD1B1，所以EF∥平面BDD1B1．B級——綜合運(yùn)用練11．將一正方體表面沿著幾條棱裁開放平得到如圖所示的展開圖，則在原正方體中()A．AB∥CD B．AB∥平面CDC．CD∥GH D．AB∥GH【答案】C【解析】原正方體如圖，由圖可得CD∥GH，C正確；AB與CD相交，A錯誤；AB與平面CD相交，B錯誤；AB與GH是異面直線，D錯誤．故選C．12．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為3，點(diǎn)N在BD上，點(diǎn)M在B1C上，且CM＝eq\r(2)，MN∥平面AA1B1B，則BN的長為________．【答案】2eq\r(2)【解析】如圖，作ME∥CB交BB1于點(diǎn)E，作NF∥DA交AB于點(diǎn)F，連接EF．因?yàn)锽C∥AD，所以ME∥NF，所以M，E，F(xiàn)，N四點(diǎn)共面．因?yàn)镸N∥平面AA1B1B，所以MN∥EF．所以四邊形MEFN為平行四邊形，所以ME＝NF．因?yàn)閑q\f(B1M,B1C)＝eq\f(ME,BC)，eq\f(BN,BD)＝eq\f(NF,AD)，BC＝AD，所以eq\f(B1M,B1C)＝eq\f(BN,BD)．又因?yàn)锽1C＝BD，所以BN＝B1M．因?yàn)锽1C＝eq\r(2)BC＝3eq\r(2)，CM＝eq\r(2)，所以B1M＝2eq\r(2)，故BN＝2eq\r(2)．13．如圖，AB是圓O的直徑，C是圓O上異于A，B的點(diǎn)，P為平面ABC外一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點(diǎn)．記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系，并加以證明．解：直線l∥平面PAC，證明如下