2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義限時規(guī)范訓(xùn)練新人教A版必修4

PAGE1-2.4.1平面對量數(shù)量積的物理背景及其含義【基礎(chǔ)練習(xí)】1．(2024年北京房山區(qū)模擬)已知a為單位向量且a，b的夾角為eq\f(π,3)，a·b＝1，則|b|＝()A．1 B．2C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),2)【答案】B【解析】由題意得|a|＝1，〈a，b〉＝eq\f(π,3)，則a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝|b|coseq\f(π,3)＝1，所以|b|＝2.故選B．2．(2024年北京一模)已知平面對量a，b滿意|a|＝3，|b|＝2，a與b的夾角為120°，若(a＋mb)⊥a，則實(shí)數(shù)m的值為()A．1 B．eq\f(3,2)C．2 D．3【答案】D【解析】∵|a|＝3，|b|＝2，a與b的夾角為120°，∴a·b＝|a||b|cos120°＝3×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－3.∵(a＋mb)⊥a，∴(a＋mb)·a＝a2＋ma·b＝32－3m＝0，解得m＝3.故選D．3．若向量a與b的夾角為60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，則|a|＝()A．2 B．4C．6 D．12【答案】C【解析】∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，∴a2－a·b－6b2＝－72.∴|a|2－|a||b|cos60°－6|b|2＝－72.∴|a|2－2|a|－24＝0.又|a|≥0，∴|a|＝6.4．(2024年四川成都月考)已知|a|＝1，|b|＝2且a⊥(a－b)，則向量a在b方向上的投影為()A．eq\f(1,2) B．eq\r(2)C．1 D．eq\f(\r(2),2)【答案】A【解析】因?yàn)閨a|＝1，|b|＝2且a⊥(a－b)，所以a·(a－b)＝a2－a·b＝0，則a·b＝a2＝1.所以向量a在b方向上的投影為|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(1,2).故選A．5．已知向量a，b滿意|b|＝3，a在b方向上的投影是eq\f(3,2)，則a·b＝________.【答案】eq\f(9,2)【解析】∵a在b方向上的投影是eq\f(3,2)，∴|a|cos〈a，b〉＝eq\f(3,2)，∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝eq\f(3,2)×3＝eq\f(9,2).6．在平面上給定非零向量e1，e2滿意|e1|＝3，|e2|＝2，e1，e2的夾角為60°，則|2e1－3e2|的值為________．【答案】6【解析】∵|2e1－3e2|2＝4|e1|2－12e1·e2＋9|e2|2＝4×9－12×3×2×eq\f(1,2)＋9×4＝36，∴|2e1－3e2|＝6.7．已知向量a，b的夾角為60°且|a|＝2，|b|＝1，若c＝a－4b，d＝a＋2b，求：(1)a·b；(2)|c＋d|.【解析】(1)a·b＝|a||b|cos60°＝2×1×eq\f(1,2)＝1.(2)∵c＋d＝2a－2b，∴|c＋d|＝eq\r(c＋d2)＝eq\r(2a－2b2)＝2eq\r(a2－2a·b＋b2)＝2eq\r(22－2×1＋12)＝2eq\r(3).8．已知|a|＝2，|b|＝3，a與b的夾角是60°.(1)求(a＋b)·(a－2b)的值；(2)求|2a－b|的值．【解析】(1)∵|a|＝2，|b|＝3，a，b的夾角是60°，∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝2×3cos60°＝3，|a|2＝4，|b|2＝9.∴(a＋b)·(a－2b)＝|a|2－a·b－2|b|2＝－17.(2)|2a－b|2＝(2a－b)2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝16－12＋9＝13，∴|2a－b|＝eq\r(13).【實(shí)力提升】9．(2024年貴州模擬)如圖，在四邊形ABCD中，AB＝4，AD＝CD＝2，AB∥CD，AB⊥AD，E是BC的中點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))＝()A．8 B．12C．16 D．20【答案】D【解析】由題意得eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(5,4)eq\o(AB,\s\up6(→)).所以eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\o(AD,\s\up6(→))＋\f(5,4)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(5,4)AB2＝0＋eq\f(5,4)×42＝20.故選D．10．(2024年山西呂梁模擬)如圖，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝4，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角為135°，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋4eq\o(OB,\s\up6(→))，則λ＝()A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】由題意得eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2eq\r(2)cos135°＝－2.由eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋4eq\o(OB,\s\up6(→))，可得eq\o(OC,\s\up6(→))2＝λ2eq\o(OA,\s\up6(→))2＋16eq\o(OB,\s\up6(→))2＋8λeq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))，則16＝4λ2＋32－16λ，所以λ2－4λ＋4＝0，解得λ＝2.故選B．11．在△ABC中，AB＝4，AC＝2eq\r(6)，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2，則BC＝________.【答案】2【解析】eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))2＝2，∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2＋42＝18.∴eq\o(BC,\s\up6(→))2＝(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))2＝eq\o(AC,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2－2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝24＋16－2×18＝4.∴BC＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(4)＝2.12．已知|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為eq\f(π,3).(1)求a·b；(2)向量a＋λb與向量λa－b的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．【解析】(1)a·b＝|a||b|coseq\f(π,3)＝1×2×eq\f(1,2)＝1.(2)(a＋λb)·(λa－b)＝λa2＋(λ2－1)a·b－λb2＝λ＋λ2－1－4λ＝λ2－3λ－1.因?yàn)閍＋λb與向量λa－b的夾角為鈍角，所以(a＋λb)·(λa－b)＜0.令λ2－3λ