湖北省部分名校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題 含解析

湖北部分名校新高考協(xié)作體屆高三1月聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試題?8小題，每小題5分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知，則()A.1B.C.D.2.設(shè)集合，，，則()A.B.C.D.3.學(xué)校為促進(jìn)學(xué)生課外興趣發(fā)展，積極開展各類校園社團(tuán)活動(dòng)，某同學(xué)計(jì)劃從美術(shù)、街舞等五個(gè)社團(tuán)中選擇三個(gè)參加，若美術(shù)和街舞中最少選擇一個(gè)，則不同的選擇方法共有()A.7種B.8種C.9種D.10種4.已知函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為A.B.C.D.5.若，則()A.B.C.D.6.作邊長(zhǎng)為3的正三角形的內(nèi)切圓，再作這個(gè)圓的內(nèi)接正三角形，然后再作新三角形的內(nèi)切圓，如此下去，則前n個(gè)內(nèi)切圓的面積之和為A.B.C.D.7.若是奇函數(shù)，則的值為()A.B.1C.D.8.已知橢圓上存在兩點(diǎn)，到點(diǎn)的距離相等，則橢圓離心率的取值范圍為A.B.C.D.3分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.已知圓錐的頂點(diǎn)為P，AB為底面圓O的直徑，，，點(diǎn)C在圓O上，則()第1頁(yè)，共1頁(yè)A.該圓錐的側(cè)面積為B.該圓錐的體積為C.三棱錐體積的最大值為1D.該圓錐內(nèi)部最大的球的半徑為10.某校一數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了一款飛行器模型，其平面圖的輪廓線C為：平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之和為6，點(diǎn)P的軌跡為曲線C，則下列說法中正確的有()A.曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱B.點(diǎn)在曲線C的內(nèi)部C.若點(diǎn)在C上，則D.曲線C上到直線和到點(diǎn)F的距離相等的點(diǎn)有無窮多個(gè)11.已知函數(shù)，則下列命題中正確的是A.0是的極小值點(diǎn)B.有可能有三個(gè)零點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)，D.若存在極大值點(diǎn)，且，其中，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分。12.對(duì)于隨機(jī)事件A，B，若，，，則.13.如圖所示，已知中，點(diǎn)P，Q，R依次是邊BC上的三個(gè)四等分點(diǎn)，若，，則.14是邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD在平面上的投影光線、、、互相平行與平面所成角為ABCD，在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中保持平面且ABCD與平面所成角為的第1頁(yè)，共1頁(yè)體積的最大值為.四、解答題：本題共5小題，共分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題13分已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，求若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求16.本小題15分記銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知求已知邊，求的取值范圍.17.本小題15分如圖在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是菱形，，平面ABCD，，若G為EC中點(diǎn)，證明：平面在棱EC上有一點(diǎn)M，且M到平面BCF的距離為，求二面角的正弦值.第1頁(yè)，共1頁(yè)18.本小題17分已知雙曲線的上下頂點(diǎn)分別是MNF的直線l與雙曲線的上支交于PQ兩點(diǎn)在y軸左側(cè)求直線l斜率的取值范圍；若，求直線l的方程；探究直線MP和直線NQ的斜率之比是否為定值?若是定值，求出此定值，若不是定值，請(qǐng)說明理由.19.本小題17分1696年，洛必達(dá)在他的著作《無限小分析》一書中創(chuàng)造了一種算法，用以尋找滿足一定條件的兩函數(shù)之商的極限，算法之一為：若函數(shù)和滿足下列條件：①，②在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)與可導(dǎo)，且③，那么據(jù)此回答下面問題：求的值，并用導(dǎo)數(shù)的定義證明：已知ⅰ求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;ⅱ若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.第1頁(yè)，共1頁(yè)答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本題考查了復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.先計(jì)算z，再求【解答】解：因?yàn)?，所以，所以，則，所以故選2.【答案】D【解析】【分析】本題考查了交并補(bǔ)混合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)補(bǔ)集和并集的定義結(jié)合已知條件進(jìn)行求解即可.【解答】解：因?yàn)椋瑒t，又因?yàn)椋瑒t故選3.【答案】C【解析】【分析】本題考查了排列組合，屬于基礎(chǔ)題.分兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合組合知識(shí)進(jìn)行求解即可.【解答】解：由題知共有兩種情況，第一種情況：美術(shù)、街舞都選，則需從剩余的三個(gè)社團(tuán)中選擇一個(gè)，共有種選擇方法;第二種情況：美術(shù)、街舞中選擇一個(gè)，則還需從剩余的三個(gè)社團(tuán)中選擇兩個(gè)，共有種選擇方法，第1頁(yè)，共1頁(yè)故不同的選擇方法共有種.故選4.【答案】D【解析】【分析】本題考查了利用單調(diào)性求參，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)對(duì)稱性確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可.【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，解得：故選5.【答案】B【解析】【分析】本題考查了二倍角正弦、余弦、正切公式，屬于中檔題.利用二倍角的正弦、余弦、正切公式化簡(jiǎn)即可.【解答】解：，，，，故選：6.【答案】B【解析】【分析】本題考查了等比數(shù)列的概念及其前n項(xiàng)和公式，屬于中檔題.首先得到第n個(gè)內(nèi)切圓的半徑和第n個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)間的關(guān)系，進(jìn)而得到內(nèi)切圓半徑間的關(guān)系為等比數(shù)列，代入求和公式即可.第1頁(yè)，共1頁(yè)【解答】解：設(shè)第n個(gè)正三角形的內(nèi)切圓半徑為，第n個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)為，可知正三角形內(nèi)切圓半徑是正三角形邊長(zhǎng)的，又半徑為的圓內(nèi)接三角形的邊長(zhǎng)滿足，即，所以，，即從第二個(gè)正三角形開始，每個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)是前一個(gè)的，每個(gè)正三角形的內(nèi)切圓半徑也是前一個(gè)正三角形內(nèi)切圓半徑的，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，則，設(shè)前n個(gè)內(nèi)切圓的面積和為，則，故選7.【答案】A【解析】【分析】本題考查了利用函數(shù)奇偶性求參，對(duì)數(shù)型函數(shù)定義域，屬于中檔題.根據(jù)已知條件得到，求出a，結(jié)合函數(shù)的定義域及，求出b，進(jìn)而可得結(jié)果.第1頁(yè)，共1頁(yè)【解答】解：函數(shù)的定義域需滿足，即，又函數(shù)為奇函數(shù)，其定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，即，解得，所以定義域?yàn)橛?，即，所以故選8.【答案】D【解析】【分析】本題考查了求橢圓的離心率，屬于中檔題.AB中點(diǎn)為，則，，得到AB中垂線方程：，得出，進(jìn)而可得結(jié)果.【解答】解：設(shè)AB中點(diǎn)為，則，，由題意，點(diǎn)在線段AB中垂線上，坐標(biāo)代入橢圓方程得，所以，所以AB中垂線方程：，令，則，又，所以，，故選9.【答案】BCD【解析】【分析】本題考查圓錐的側(cè)面積，圓錐的體積，棱錐的體積，以及球的切接問題，屬于中檔題.根據(jù)題干條件及所需知識(shí)點(diǎn)逐個(gè)分析即可.第1頁(yè)，共1頁(yè)【解答】解：對(duì)于A，該圓錐的側(cè)面積為，A錯(cuò)誤;對(duì)于B，該圓錐的體積為，B正確;對(duì)于C，當(dāng)C為中點(diǎn)時(shí)，體積最大為1，C正確;對(duì)于D，當(dāng)球與圓錐內(nèi)切時(shí)，表面積最大，此時(shí)球心在圓錐的高上，設(shè)為，球半徑為r，過向PB作垂線，垂足為D，則，又，所以，所以，D正確，故選：10.【答案】ACD【解析】【分析】本題考查曲線與方程，屬于中檔題.根據(jù)題意列等式，去根號(hào)和絕對(duì)值，即可求解曲線C的軌跡方程，從而對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷.【解答】解：設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)P到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之和為6，所以，當(dāng)時(shí)，得，兩邊平方得，當(dāng)時(shí)，得，兩邊平方得，對(duì)于A，由圖易知，兩段拋物線弧均關(guān)于y軸對(duì)稱，故曲線C關(guān)于y軸對(duì)稱，故A正確；對(duì)于B，如圖，曲線C由兩段拋物線弧組成，在中，令，得，故點(diǎn)不在曲線C的內(nèi)部，故B錯(cuò)誤；第1頁(yè)，共1頁(yè)對(duì)于C，若點(diǎn)在上，得，所以，若點(diǎn)在上，同理得，故C正確；D，F(xiàn)為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線，故D正確.故選：11.【答案】ACD【解析】【分析】本題考查導(dǎo)數(shù)中的零點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，屬于中檔題.討論a的取值情況，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，進(jìn)而判斷A，B；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，判斷，的大小關(guān)系，進(jìn)而判斷C；若存在極大值點(diǎn)，則，即，因?yàn)?，化?jiǎn)等式，即可判斷【解答】解：由題意可得，令，當(dāng)時(shí)，得或，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極小值，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，第1頁(yè)，共1頁(yè)所以在處取得極小值；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，故A正確；對(duì)于B，只有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，又，，所以，故C正確；對(duì)于D，若存在極大值點(diǎn)，則，即，因?yàn)椋?，所以，，即，又，所以，故D正確.故選：12.【答案】【解析】【分析】本題考查條件概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.利用條件概率計(jì)算即可求解.【解答】解：，且，，，，則故答案為：13.【答案】8第1頁(yè)，共1頁(yè)【解析】【分析】本題考查向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算，向量的數(shù)量積，屬于中檔題.利用平面向量的四則運(yùn)算，得到，可得，，再化簡(jiǎn)，即可求解.【解答】解：，，故答案為：14.【答案】【解析】【分析】本題考查了空間距離的計(jì)算，線面平行的判定與性質(zhì)，線面垂直的判定，直線與平面所成的角，柱體的體積公式，屬于中檔題.首先證明多面體為直四棱柱，再求出該棱柱的底面邊長(zhǎng)和高即可.【解答】解：因?yàn)?，，，AB、平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫矫?，且平面平面，所以，又因?yàn)椋詾槠叫兴倪呅?，所以，同理可得，又因?yàn)?，所以多面體為直四棱柱，作交于點(diǎn)M，所以平面平面，第1頁(yè)，共1頁(yè)又因?yàn)槠矫?，所以作于N，所以，即，又，、平面，所以平面，所以就是直線與平面所成角，即，所以在中由正弦定理得，，，點(diǎn)B到直線的距離為，所以多面體的體積，化簡(jiǎn)得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.故答案為15.【答案】解：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，第1頁(yè)，共1頁(yè)，又，是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，，，又時(shí)也滿足上式，；，，，【解析】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列的遞推關(guān)系，分組法求和，屬于中檔題.利用數(shù)列的遞推關(guān)系求解即可；采用分組轉(zhuǎn)化求和法求解即可.16.【答案】解：由，可得，即，所以，即，因?yàn)?，所以，又，所以；由正弦定理可得，?頁(yè)，共1頁(yè)，因?yàn)闉殇J角三角形，則，解得，，所以的取值范圍是【解析】本題考查正弦定理解三角形，屬于中檔題.根據(jù)已知等式和正弦定理，化簡(jiǎn)即可求解.利用正弦定理得到的取值范圍，從而得解.17.【答案】解：證明：連接BD交AC于N，連接GN，GF，是菱形，，且N是AC的中點(diǎn)，且，，，且，四邊形BNGF是平行四邊形，，又平面ABCD，平面ABCD，，又因?yàn)?，且AC、平面EAC，平面EAC，平面EAC，又平面EAC，，四邊形ABCD是菱形，，，，G為EC中點(diǎn)，，又因?yàn)?，且EC、平面EFC，平面EFC；第1頁(yè)，共1頁(yè)，平面ABCD，平面ABCD且，以N為原點(diǎn)，NC，NB，NG所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，，設(shè)平面BCF的法向量為，則，取，得到x1，z1，故平面BCF的一個(gè)法向量為，M在棱CE上，設(shè)，點(diǎn)M到平面BCF的距離，，故，又，，設(shè)平面MBD的法向量為，第1頁(yè)，共1頁(yè)，取，得y2，z2，故平面MBD的一個(gè)法向量為，又平面ABCD的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則，，綜上，二面角的正弦值為【解析】本題考查利用空間向量求線線、線面和面面的夾角，線面垂直的判定，利用空間向量求點(diǎn)、線、面之間的距離，線面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題.利用幾何關(guān)系得到，，即可證明；M面之間的夾角.18.【答案】解：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線l與雙曲線交于上下頂點(diǎn)，與題意矛盾；故直線l的斜率一定存在，可設(shè)直線l的方程為：，，，聯(lián)立，得，所以，令，解得；第1頁(yè)，共1頁(yè)依題，解得，因?yàn)?，所以，故，直線方程為；，，，由，可知，代入上式得為定值.【解析】本題考查圓錐曲線與向量的綜合，雙曲線中定值問題，屬于中檔題.設(shè)直線l的方程為：，，即可；由題意得，又，求解即可得k，從而得到直線方程;得到直線MP和直線NQ的斜率之比表達(dá)式，將根與系數(shù)表達(dá)式代入即可證明.19.【答案】解：，依據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義：因?yàn)?，定義域?yàn)镽，所以，令