平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用舉例課件-

第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用舉例根底梳理1.兩個(gè)向量的夾角(1)定義兩個(gè)非零向量a和b,作OA=a,OB=b,那么∠AOB=θ叫做向量a與b的夾角.(2)范圍向量夾角θ的范圍是0°≤θ≤180°,a與b同向時(shí),夾角θ=;a與b反向時(shí),夾角θ=.(3)向量垂直如果向量a與b的夾角θ=90°,那么a與b垂直,記作.a⊥b第一頁，編輯于星期五：四點(diǎn)三十六分。2.平面向量的數(shù)量積(1)平面向量數(shù)量積的定義兩個(gè)非零向量a和b,它們的夾角為θ,我們把數(shù)量叫做向量a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b,即a·b=,并規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為.(2)一向量在另一向量方向上的投影①定義:設(shè)θ是非零向量a和b的夾角,那么叫做a在b的方向上的投影,|b|cosθ叫做投影.b在a的方向上的投影是一個(gè)實(shí)數(shù),而不是向量,當(dāng)0°≤θ<90°時(shí),它是,當(dāng)90°<θ≤180°時(shí),它是,當(dāng)θ=90°時(shí),它是.②a·b的幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與的投影|b|cosθ的乘積.|a||b|·cosθ|a||b|·cosθ0|a|cosθb在a方向上正數(shù)負(fù)數(shù)0b在a方向上第二頁，編輯于星期五：四點(diǎn)三十六分。3.向量的數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a,b都是非零向量,e是與b方向相同的單位向量,θ是a與e的夾角,那么(1)e·a=a·e=|a|cosθ.(2)a⊥ba·b=0.(3)當(dāng)a與b同向時(shí),a·b=|a||b|.當(dāng)a與b反向時(shí),a·b=-|a||b|.特別地:a·a=a2=|a|2或|a|=.(4)|a·b|≤|a||b|.(5)(α是a與b的夾角).第三頁，編輯于星期五：四點(diǎn)三十六分。4.向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b=b·a(交換律);(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(數(shù)乘結(jié)合律);(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).5.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2).(1)a·b=x1x2+y1y2.(2).(3).第四頁，編輯于星期五：四點(diǎn)三十六分。(4)假設(shè)a與b夾角為θ,那么.(5)假設(shè)c的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),那么6.平面向量在平面幾何中的應(yīng)用用向量方法解決幾何問題一般分四步:(1)選好基向量；(2)建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(3)通過向量運(yùn)算研究幾何元素之間的關(guān)系,如距離、夾角等問題;(4)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯〞成幾何關(guān)系.第五頁，編輯于星期五：四點(diǎn)三十六分。典例分析題型一數(shù)量積的運(yùn)算【例1】(2021·廣東聯(lián)考)向量,且.求a·b及|a+b|.分析利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及性質(zhì),注意x的取值范圍.解第六頁，編輯于星期五：四點(diǎn)三十六分。學(xué)后反思與三角函數(shù)相結(jié)合考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及其應(yīng)用是高考熱點(diǎn)題型.解答此類問題,除了要熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式、向量模、夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式外,還應(yīng)掌握三角恒等變換的相關(guān)知識，分析求模類型.第七頁，編輯于星期五：四點(diǎn)三十六分。舉一反三1.〔2021·廣州綜測〕點(diǎn)A(1,0),B(0,1),C〔2sinθ,cosθ〕.〔1〕假設(shè)|AC|=|BC|,求tanθ的值；〔2〕假設(shè)〔OA+2OB〕·OC=1,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求sin2θ的值.解析：（1）∵A(1,0),B(0,1),C(2sinθ,cosθ)，∴AC=(2sinθ-1,cosθ),BC=(2sinθ,cosθ-1).∵|AC|=|BC|,∴化簡得2sinθ=cosθ.又∵cosθ≠0(若cosθ=0,則sinθ=±1,上式不成立),∴tanθ=第八頁，編輯于星期五：四點(diǎn)三十六分。(2)∵OA=(1,0),OB=(0,1),OC=(2sinθ,cosθ),∴OA+2OB=(1,2).∵(OA+2OB)·OC=1,∴2sinθ+2cosθ=1，∴sinθ+cosθ=，∴(sinθ+cosθ)2=,∴sin2θ=題型二模長與垂直問題【例2】已知︳a︳=4，︳b︳=8，a與b的夾角是(1)計(jì)算︳a+b︳,︳4a-2b︳；（2）當(dāng)k為何值時(shí)，分析：（1）利用模長公式求解。（2）利用向量垂直的充要條件，通過坐標(biāo)表示列方程求k第九頁，編輯于星期五：四點(diǎn)三十六分。解：由已知得，學(xué)后反思（1）利用數(shù)量積求解模長問題是數(shù)量積的重要應(yīng)用，根據(jù)實(shí)際合理選擇以下公式：①第十頁，編輯于星期五：四點(diǎn)三十六分。②③(2)非零向量是非常重要的性質(zhì)，它對于解決平面幾何圖形中有關(guān)垂直問題十分有效，應(yīng)熟練掌握；若舉一反三2（2009湖北）已知向量c=(-1,0)(1)求向量的長度的最大值；（2）設(shè)，且，求的值。第十一頁，編輯于星期五：四點(diǎn)三十六分。解析：〔1〕方法一：那么方法二：∵︱b︱=1,︱c︱=1,︱b+c︱≤︱b︱+︱c︱=2當(dāng)時(shí)，有︱b+c︱=(-2,0),即︱b+c︱=2∴b+c的長度的最大值為2.

（2）方法一：由已知可得第十二頁，編輯于星期五：四點(diǎn)三十六分。方法二：若平方后化簡得第十三頁，編輯于星期五：四點(diǎn)三十六分。題型三夾角問題【例3】(14分)a、b都是非零向量,且|a|=|b|=|a-b|.求a與a+b的夾角.分析由公式可知,求兩個(gè)向量的夾角關(guān)鍵是求數(shù)量積及模的積.本題中|a|=|b|=|a-b|的充分利用是求數(shù)量積的關(guān)鍵,考慮怎樣對條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化.解方法一:由|a|=|b|=|a-b|得,所以而所以|a+b|=|a|.設(shè)a與a+b的夾角為θ,第十四頁，編輯于星期五：四點(diǎn)三十六分。由于0°≤θ≤180°,所以θ=30°方法二:設(shè)由|a|=|b|=|a-b|得,所以即所以故.設(shè)a與a+b的夾角為θ,第十五頁，編輯于星期五：四點(diǎn)三十六分。則由于0°≤θ≤180°,所以θ=30°.學(xué)后反思(1)求兩個(gè)向量的夾角,需求得a·b及|a|,|b|或得出它們的關(guān)系,注意夾角的取值范圍是[0°,180°].(2)向量有兩種表示形式,即坐標(biāo)法和幾何法,解題時(shí)要靈活選擇.此題通過比較兩種方法發(fā)現(xiàn),利用向量的幾何形式解答此類題目顯得更加簡捷和直觀.第十六頁，編輯于星期五：四點(diǎn)三十六分。舉一反三3·已知，a和b的夾角為，求當(dāng)向量的夾角是銳角時(shí)，的取值范圍。解析：的夾角為銳角，即的夾角為銳角，所以所以第十七頁，編輯于星期五：四點(diǎn)三十六分。題型四綜合應(yīng)用問題【例4】向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t).假設(shè)函數(shù)f(x)=a·b在區(qū)間(-1,1)上是增函數(shù),求t的取值范圍.分析先求出f(x)的表達(dá)式,然后利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系及本函數(shù)的性質(zhì)求解，注意x的取值范圍.解因?yàn)閒(x)=a·b=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,所以f′(x)=-3x2+2x+t.假設(shè)f(x)在(-1,1)上是增函數(shù),那么在(-1,1)上f′(x)≥0.所以第十八頁，編輯于星期五：四點(diǎn)三十六分。而當(dāng)t≥5時(shí),f′(x)在(-1,1)上滿足f′(x)>0,即假設(shè)f(x)在(-1,1)上是增函數(shù),那么t的取值范圍為[5,+∞).學(xué)后反思新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)向量的工具性,要求加強(qiáng)向量與三角、函數(shù)、解析幾何、立體幾何等知識的聯(lián)系,因此,把函數(shù)、向量、導(dǎo)數(shù)等知識進(jìn)行綜合必將是高考的趨勢.此題實(shí)質(zhì)上是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性問題,向量起到構(gòu)造函數(shù)關(guān)系的作用,一旦求出函數(shù)解析式f(x)=-x3+x2+tx+t,就可以用導(dǎo)數(shù)等知識解決.解題時(shí)應(yīng)分清層次,明確向量在綜合問題中的作用,把復(fù)雜問題分解為多個(gè)簡單問題來解決.第十九頁，編輯于星期五：四點(diǎn)三十六分。舉一反三4.已知向量OA=(3,-4），OB=(6,-3),OC=(5-m,-3-m),(1)若點(diǎn)A,B，C能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件；(2)若△ABC為直角三角形，且∠A為直角，求實(shí)數(shù)的m值。解析：（1）已知向量若點(diǎn)A,B,C能構(gòu)成三角形，則這三點(diǎn)共線，故知3(1-m)≠2-m,滿足條件。（2）若△ABC為直角三角形，且∠A為直角，則∴3（2-m)+(1-m)=0,解得第二十頁，編輯于星期五：四點(diǎn)三十六分。易錯(cuò)警示【例1】下列命題正確的序號是

。①若a∥b,b∥c,則a∥c②若是平面內(nèi)一組非零向量，則由，得x=y=0;③④若，且c≠o,則a=b;⑤在△ABC中，若有，則△ABC為鈍角三角形；⑥與c垂直錯(cuò)解：①②③④⑤⑥第二十一頁，編輯于星期五：四點(diǎn)三十六分。錯(cuò)誤分析：認(rèn)為①正確，在于忽略了零向量和任意向量平行這一性質(zhì)，只有非零向量的平行性才具有傳遞性；認(rèn)為②正確，原因是審題錯(cuò)誤，只有強(qiáng)調(diào)、不共線才有此結(jié)論；認(rèn)為③正確，在于將向量數(shù)量積運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算律混淆了，向量數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律，這是因?yàn)楸硎九cc共線的向量，而表示與a共線的向量，而a和c的方向并不一定一致；④同③的錯(cuò)誤一樣，數(shù)量積的運(yùn)算不滿足消去率，由數(shù)量積的意義只需a和b在c方向上投影相同即可；認(rèn)為⑤正確，錯(cuò)誤在于忽視向量夾角的概念，﹤0說明∠B的補(bǔ)角為鈍角，故此時(shí)三角形形狀不確定。正解⑥；由于[]=故結(jié)論成立?！纠?】設(shè)是夾角為的兩個(gè)單位向量，且，求的值。錯(cuò)解：第二十二頁，編輯于星期五：四點(diǎn)三十六分。錯(cuò)解分析:上面的解法錯(cuò)誤的認(rèn)為是分別與x軸、y軸方向相同的單位向量。正解