福建省泉州市2025屆高三上學(xué)期質(zhì)量監(jiān)測（二）數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

泉州市2025屆高中畢業(yè)班質(zhì)量監(jiān)測（二）高三數(shù)學(xué)2025.01本試卷共19題，滿分150分，共8頁.考試用時120分鐘.注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.考生作答時，將答案答在答題卡上.請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.在草稿紙、試題卷上答題無效.3.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚.4.保持答題卡卡面清潔，不折疊、不破損.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知向量，，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示可求出實數(shù)的值.【詳解】因為向量，，且，則，解得，故選：C.2.設(shè)集合，，若，則（）A.2 B.1 C.0 D.-1【答案】D【解析】【分析】由求解并驗證即可；【詳解】由題意可得：，解得：或，當(dāng)時，，，不符合舍去，當(dāng)時，，，符合，故，故選：D3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)和對數(shù)的運算可得.【詳解】由得，，故選：B.4.已知定義在上的函數(shù)為奇函數(shù)，且，則（）A.-2 B.0 C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)得，令即可求解.【詳解】因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，令有，又由，所以，故選：B.5.（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】先通分，再應(yīng)用輔助公式結(jié)合二倍角公式計算化簡求值即可.【詳解】.故選：C.6.已知正三棱臺的高為4，的內(nèi)切圓和的外接圓的半徑均為1，則該正三棱臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)三角形面積公式和正弦定理求出和的邊長，進而求出兩三角形面積，利用臺體體積公式進行求解.【詳解】和均為等邊三角形，設(shè)邊長為，故，又，故，解得，故，在中，由正弦定理得，解得，故，故正三棱臺體積為.故選：A.7.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點在的漸近線上，與軸垂直，點在軸上，.若，則的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件，求出漸近線的斜率，再根據(jù)求雙曲線的離心率.【詳解】如圖：不妨設(shè)點在第一象限.因為與軸垂直，，且，所以.所以點坐標(biāo)為.所以.所以.故選：B8.若函數(shù)有個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對，，三種情況分類討論，即可得到的取值范圍.詳解】設(shè)，則對有，對有.所以在上遞增，在上遞減，這表明，且等號成立當(dāng)且僅當(dāng).①當(dāng)時，對有，故至多有一個零點，不滿足條件；②當(dāng)時，取充分小的正數(shù)，使得，，；再取充分大的正數(shù)，使得，，，則，且，，，.從而根據(jù)零點存在定理，可知有個零點，滿足條件；③當(dāng)時，由于當(dāng)時，單調(diào)遞減，故在的范圍內(nèi)至多有一個零點.而當(dāng)時，有，且若，則必有，即.所以在的范圍內(nèi)至多有一個零點.二者結(jié)合，可知至多有兩個零點，不滿足條件.綜合①②③，可知的取值范圍是.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A.的最小正周期為B.C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.在區(qū)間上的取值范圍為【答案】AD【解析】【分析】對于A，求出解析式即可判斷；對于B，分別計算化簡即可判斷；對于CD，由結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)即可求解判斷.【詳解】對于A，由題得，所以的最小正周期為，故A正確；對于B，，，所以，故B錯誤；對于C，，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C錯誤；對于D，，則，則，所以在區(qū)間上的取值范圍為，故D正確.故選：AD10.設(shè)正項等比數(shù)列的前項和為，的前項積為.若，，則（）A.數(shù)列等差數(shù)列 B.C. D.的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】對于選項A:利用等比通項公式即等差數(shù)列的判定即可判斷選項A；對于選項B:求出公比，即可算數(shù)首項；對于選項C：利用等差數(shù)列前n項和公式及不等式即可判斷；對于選項D：求出前n項積，即可求出最大值.【詳解】對于選項A：設(shè)公比為q，因為，所以，故，由為常數(shù)，故選項A正確.對于選項B：，所以，解得：或（舍），所以，故選項B錯誤.對于選項C：，故選項C正確.對于選項D:由于，其圖象對稱軸為，，故或時，的最大值為，故選項D正確.故選：ACD11.已知正方體的棱長為2，點是的中點，點滿足，點在上，，則下列說法正確的是（）A.若，，則平面B.若，則C.若，則二面角的正弦值為D.若，則三棱錐的體積的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】由空間向量法判斷線面位置關(guān)系，求角，距離即可.【詳解】如圖建立空間直角系，則,則，則，選項A：若，，，設(shè)平面的法向量為，則由，，可知，令，得，故，由，故A錯誤；選項B：，，，故B正確；選項C：若，，設(shè)，，由得，得，故，又，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，故，平面的法向量為，設(shè)二面角的平面角為，則，故，故C正確；選項D：若，則，，由得，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，平面的法向量為，點到平面的距離，，故D正確，故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知復(fù)數(shù)，則_____.【答案】【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的乘除運算結(jié)合模長公式即可求解.【詳解】,所以，故答案為：.13.寫出一個與直線和軸都相切且半徑為1的圓的標(biāo)準方程_____.【答案】，或，或，或.（答案不唯一）【解析】【分析】利用待定系數(shù)法設(shè)圓的標(biāo)準方程為，求出滿足條件的即可.【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準方程為，根據(jù)題意有，圓心到直線的距離為，當(dāng)時，或；當(dāng)時，或；所以滿足條件的圓的標(biāo)準方程為，或，或，或.14.在平面四邊形中，，，，，則_____；若點是的中點，則當(dāng)取得最大值時，四邊形的面積為_____.【答案】①.10②.52【解析】【分析】利用余弦定理建立方程求出；取中點，借助線段和差關(guān)系求出取最大值的條件，再利用三角形面積公式計算得解.【詳解】中，由余弦定理得，即，整理得，而，解得，取中點，連接，由點是的中點，得，，在中，，，，則，，當(dāng)且僅當(dāng)共線時取等號，因此當(dāng)取得最大值時，，，，所以四邊形的面積.故答案為：10；52【點睛】關(guān)鍵點點睛：取中點，由求出取最大值的條件是求解問題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)的圖象在點處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為.（1）求；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值.【答案】（1）（2）最大值為，最小值為【解析】【分析】（1）根據(jù)求得在點處的切線方程，在根據(jù)切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為即可求解；（2）由（1）得，利用導(dǎo)數(shù)即可求最值.【小問1詳解】由得，所以，又，所以在點處的切線方程為，即.當(dāng)時，；當(dāng)時，.因為與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為且，所以，所以.【小問2詳解】由（1）得，.由得或.當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，因為，，，，且，所以在上的最大值為，最小值為.16.如圖1，在矩形中，，，點E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，且.將四邊形沿翻折至四邊形，使得，如圖2所示.圖1圖2（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論.（2）連結(jié)，利用勾股定理得，過點作，則.以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可求得線面所成角的正弦值.【小問1詳解】，，，，.，，，.又，平面，，平面.【小問2詳解】連結(jié).，，，.過點作，則.又平面，則，，，以為原點，，EF，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則即取，可得.設(shè)直線與平面所成的角為，則.故直線與平面所成角的正弦值為.17.已知點A，B為橢圓的上、下頂點，點，，其中，且，直線與交于點.（1）證明：點在上；（2）若直線交于，兩點，且，求.【答案】（1）證明見解析（2），或者【解析】【分析】（1）解法一：將直線以及直線的方程求出來，消去并整理即可證明；解法二：將直線以及直線的方程求出來，聯(lián)立方程求出點的坐標(biāo)，驗證是否成立即可；（2）解法一：求出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，由韋達定理可得及的值，由弦長公式分別求出的長，由題意可求出，再由弦長公式可計算的值；解法二：假設(shè)直線的參數(shù)方程，將其代入橢圓得到韋達定理，則，進而可求，進而可計算的值.【小問1詳解】解法一：由題可知（i）若，則，此時，經(jīng)檢查符合橢圓的方程，所以點在上.（ii）若，則直線的方程為，直線的方程為，由可得①②，消去，得，即，所以點在上.解法二：由題可知（i）若，則，經(jīng)檢查符合橢圓的方程，所以點在上.（ii）若，則直線的方程為，直線的方程為（*），由消去，得，代入（*）式得，所以.因為，符合橢圓的方程，所以點在上.【小問2詳解】解法一：因為直線的斜率，所以直線的方程為，即.由方程組消去，得.由得，解得.設(shè)，，則，.則，，所以.又，所以，解得，或者.由，又，所以，或者.解法二：由于直線的斜率，設(shè)直線的方程為（為參數(shù)），代入橢圓方程，得，即，由，，得，解得，或者.由，又，所以，所以，或者.18.隨機數(shù)廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)加密、安全通信、金融等領(lǐng)域.計算機中的隨機數(shù)是由算法產(chǎn)生的，其“隨機性”的優(yōu)劣取決于所采用的算法.某工廠計劃生產(chǎn)一種隨機數(shù)發(fā)生器，這種發(fā)生器的顯示屏能顯示1，2，3，4中的一個數(shù)字，每按一次數(shù)字更新按鈕后，顯示屏上的數(shù)字將等可能地更新為另三個數(shù)字中的一個.在試生產(chǎn)階段，采用兩種不同算法，生產(chǎn)出相應(yīng)算法的甲、乙兩種隨機數(shù)發(fā)生器.為評估兩種算法的優(yōu)劣，從這兩種隨機數(shù)發(fā)生器中隨機抽取150件進行檢驗，得到數(shù)據(jù)餅圖如下：（1）已知這150件發(fā)生器中，乙種發(fā)生器的三級品為2件.在答題卡中填寫列聯(lián)表；依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為甲、乙兩種發(fā)生器的一級品率存在差異?一級品非一級品合計甲

乙

合計

（2）若發(fā)生器顯示屏的初始顯示數(shù)字為1，記按次數(shù)字更新按鈕后得到的數(shù)字為，.（i）求，；（ii）檢測一個發(fā)生器是否為一級品的方案為：每件被測發(fā)生器需進行100輪測試，每輪測試共按10次數(shù)字更新按鈕；表示100輪測試得到“”的頻率，規(guī)定滿足的被測發(fā)生器為一級品.若某件發(fā)生器經(jīng)100輪測試后得到，能否判斷該發(fā)生器為一級品?附：，0.10.050010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列聯(lián)表見解析，存在差異（2）（i），；（ii）該發(fā)生器為一級品【解析】【分析】（1）根據(jù)題意完善列聯(lián)表，求，并于臨界值對比分析；（2）解法一：（i）利用全概率公式求，；（ii）利用全概率公式結(jié)合遞推法可得，根據(jù)等比數(shù)列求得，進而分析求解；解法二：設(shè)相應(yīng)事件，利用獨立事件概率乘法公式求，；（ii）根據(jù)獨立事件結(jié)合遞推法可得，根據(jù)等比數(shù)列求得，進而分析求解；解法三：（i）（ii）根據(jù)題意利用全概率公式求，，，進而分析理解.【小問1詳解】根據(jù)題意可得列聯(lián)表：一級品非一級品合計甲262450乙7030100合計9654150零假設(shè)為：甲、乙兩批發(fā)生器的一級品率沒有差異.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，所以可以認為甲、乙兩批發(fā)生器的一級品率存在差異，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.【小問2詳解】（i）依題意可得.記“按次按鈕后顯示的數(shù)字為1”，由全概率公式，得.（ii）由全概率公式，得，所以，即，且，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即.所以.因為，所以該發(fā)生器為一級品.解法二：（i）依題意可得.記“按次按鈕后顯示的數(shù)字為1”，“按次按鈕后顯示的數(shù)字為2”，“按次按鈕后顯示的數(shù)字為3”，“按次按鈕后顯示的數(shù)字為4”，則，且，，，兩兩互斥.依據(jù)題意得，，.由全概率公式，得.（ii）所以，即，且，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列.所以，即.所以.因為，所以該發(fā)生器為一級品.解法三：（i）依題意可得.記“按次按鈕后顯示的數(shù)字為1”，由全概率公式，得.........因為，所以該發(fā)生器為一級品.19.將數(shù)組的某一個全排列記為，若滿足：，能被3整除，則稱為的一個“好排列”.例如：的“好排列”共有兩個：，.（1）寫出的所有“好排列”；（2）若中“好排列”至少有4個，求的取值范圍；（3）記的“好排列”個數(shù)為，證明：.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）按新定義即可求解；（2）結(jié)合新定義分，，討論即可；（3）先確定考慮中“好排列”個數(shù)，由除以3的余數(shù)，共有