高考數(shù)學第二輪專題核心素養(yǎng)與高考新變化-函數(shù)、導數(shù)與高等數(shù)學的聯(lián)系

核心素養(yǎng)與高考新變化——函數(shù)、導數(shù)與高等數(shù)學的聯(lián)系模塊一

高考數(shù)學與高等數(shù)學知識(如極限思想、高斯函數(shù)、函數(shù)的凹凸性、洛必達法則等)的接軌,意在考查數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算等核心素養(yǎng),有意識地強化這方面的訓練,有利于培養(yǎng)探究、創(chuàng)新能力,拓寬思維,提升核心素養(yǎng).

C

ABBCD圖H-1

【技法點撥】極限思想在高中數(shù)學中的應用體現(xiàn)在兩個方面:一是利用極限思想理解題意;二是利用洛必達法則將較難求解的問題轉化為較易求解的問題.

A

C

ABCD圖H-2D

C[解析]對于①,設f(x)=C,C為常數(shù),當λ=-1時,f(x+λ)+λf(x)=0恒成立,所以函數(shù)f(x)=C是“λ~特征函數(shù)”,所以f(x)=0不是常數(shù)函數(shù)中唯一的“λ~特征函數(shù)”,故①不正確.對于②,函數(shù)f(x)=2x+1,則f(x+λ)+λf(x)=2(x+λ)+1+λ(2x+1),當λ=-1時,f(x+λ)+λf(x)=-2≠0.當λ≠-1時,由f(x+λ)+λf(x)=0,得2(λ+1)x=-3λ-1,方程2(λ+1)x=-3λ-1有唯一的實數(shù)根,所以不存在常數(shù)λ(λ∈R)使得f(x+λ)+λf(x)=0對任意的實數(shù)x都成立,所以函數(shù)f(x)=2x+1不是“λ~特征函數(shù)”,故②正確.

【技法點撥】以某些特殊函數(shù)為背景考查函數(shù)的基本概念及應用時,關鍵是理解函數(shù)的實質,與熟悉的函數(shù)類比,通過賦特殊值或數(shù)形結合解決.

C

C

D

D

3.已知函數(shù)y=f(x)(x∈[-1,1])的導函數(shù)y=f'(x)的圖像如圖H-3所示,則函數(shù)y=f(x)的圖像可能是 (

)圖H-3ABCD圖H-4B[解析]由題知,當x∈[-1,1]時,f'(x)>0,所以函數(shù)f(x)單調遞增.因為f'(x)在[-1,0]上單調遞增,所以函數(shù)f(x)在[-1,0]上的圖像下凹,因為函數(shù)f'(x)在[0,1]上單調遞減,所以函數(shù)f(x)在[0,1]上的圖像上凸.故選B.【技法點撥】利用函數(shù)的凹凸性可以考查函數(shù)值增減的快慢,即考查導函數(shù)的幾何意義.進一步可以利用二階導數(shù)來新定義凹凸函數(shù):二階導數(shù)在所給定的區(qū)間上恒為負值,則說明函數(shù)是凸函數(shù),否則函數(shù)不是凸函數(shù).四、不動點定理1.設I是函數(shù)y=f(x)的定義域,若存在x0∈I,使f(x0)=-x0,則稱x0是f(x)的一個“次不動點”,也稱f(x)在區(qū)間I上存在“次不動點”.若函數(shù)f(x)=ax3-3x2-x+1在R上存在三個“次不動點”,則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-2,0)∪(0,2) B.(-2,2)C.(-1,0)∪(0,1) D.[-1,1]

A1.設I是函數(shù)y=f(x)的定義域,若存在x0∈I,使f(x0)=-x0,則稱x0是f(x)的一個“次不動點”,也稱f(x)在區(qū)間I上存在“次不動點”.若函數(shù)f(x)=ax3-3x2-x+1在R上存在三個“次不動點”,則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-2,0)∪(0,2) B.(-2,2)C.(-1,0)∪(0,1) D.[-1,1]

A

②③

②③

(2)定義:對于函數(shù)f(x),若存在x0,使f(x0)=x0成立,則稱x0為函數(shù)f(x)的不動點.如果函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)存在不動點,求實數(shù)a的取值范圍.

【技法點撥】破解此類不動點問題的關鍵如下:一是注意定義域優(yōu)先原則,判斷有關函數(shù)的單調性時,需