專題03 拋物線的焦點弦問題（解析版）-高考數學圓錐曲線部分必會十大基本題型

拋物線必會十大基本題型講與練03拋物線的焦點弦問題典例分析類型一、求焦點弦的弦長1．已知拋物線的焦點為F，過點F作直線l與拋物線分別交于A，B兩點，若第一象限內的點為線段的中點，則的長度為（

）A．12 B．18 C．16 D．8【答案】C【分析】設，，直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，由的中點的坐標，求出參數的值，即可得到，再根據焦點弦的性質計算可得；【詳解】由條件得，設，，直線的方程為：，聯(lián)立得，∴，由得.∴，所以.2．設拋物線的焦點為F，A為拋物線上一點且A在第一象限，，現(xiàn)將直線繞點F逆時針旋轉得到直線l，且直線l與拋物線交于C，D兩點，則（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】C【分析】作圖，求出A點旋轉后的與x軸正方向的夾角，寫出直線l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，根據弦長公式即可.【詳解】依題意作上圖，，，設，由拋物線的性質，，，AF與x軸正方向的夾角為，A點繞F逆時針旋轉后，得點，軸，直線l的方程為，代入拋物線方程得，；3．已知F是拋物線的焦點，拋物線C上的點滿足，若在準線上的射影分別為，且的面積為5，則_______【答案】#6.25【分析】設出直線AB，聯(lián)立拋物線，利用韋達定理得到兩根之和，兩根之積，利用的面積和向量比例關系得到，進而利用焦點弦公式進行求解.【詳解】設直線AB為，聯(lián)立拋物線得：，設，，則，，其中，，則，由可得：，則，解得：，此時，所以，故，解得：，當，時，，此時，當，時，，此時，綜上：，.4．已知拋物線的焦點為F，準線為l，過F的直線m與E交于A，B兩點，的垂直平分線分別交l和x軸于P，Q兩點.若，則__________.【答案】【分析】根據題意可得，由于對角線與垂直，得四邊形是菱形，在由拋物線的定義即可得到為等邊三角形，可得直線的方程，把直線和拋物線進行聯(lián)立，進而求得答案.【詳解】垂直平分，，，在四邊形中，對角線與垂直，四邊形是菱形，由拋物線的定義可得：，故，為等邊三角形故，故，故直線。故把直線與拋物線進行聯(lián)立得，設，則，。類型二、求焦點弦的所在直線的斜率1．已知拋物線，過焦點的直線l與C交于A，B兩點，若以為直徑的圓與C的準線切于點，則l的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設直線聯(lián)立拋物線并應用韋達定理求出、、、關于k的表達式，根據求出k值，即可寫出直線方程.【詳解】由題設，直線l的斜率存在且不為0，令，聯(lián)立拋物線并整理得：，則，，所以，，又，綜上，，可得，故直線，即.2．已知斜率為的直線過拋物線的焦點且與拋物線相交于兩點，過分別作該拋物線準線的垂線，垂足分別為，，若與的面積之比為4，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：根據題意，，進而設直線：，，，進而聯(lián)立方程，結合韋達定理得，，再根據面積比得，進而結合焦半徑公式得，再解方程組即可得答案；方法二：設直線AB的傾斜角為，進而根據面積比得，根據焦半徑與傾斜角的關系得，，進而得，，即可得答案.【詳解】解法一：由拋物線得，設直線：，，，故聯(lián)立方程得，所以，由已知和拋物線定義知：，所以，故由焦半徑公式得：，即，故，解方程組得.方法二：由已知和拋物線定義知：，設直線AB的傾斜角為，則，，所以，解得，所以．3．設拋物線：的焦點為，過點作斜率為的直線與拋物線交于，兩點，若，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設直線的方程，代入拋物線方程，利用韋達定理、拋物線的定義及，聯(lián)立即可求得的值．【詳解】設方程為，，由，消去得，則有①，由得，即②，由①②解得，4．（多選題）拋物線焦點為，直線經過點交于兩點，交軸于點，若，則(

)A．B．點的坐標為C．D．弦的中點到軸的距離為【答案】ACD【分析】由拋物線的方程可得焦點的坐標可得的值，判斷A；由向量關系和拋物線定義可得點的橫坐標，代入拋物線的方程可得點的縱坐標，從而判斷B；求出直線的斜率，進而求出直線的方程，與拋物線聯(lián)立，求出兩根之和，再由拋物線的性質可得焦點弦的長度，從而判斷C；根據AB中點恒坐標可求AB中點到y(tǒng)軸的距離，從而判斷D．【詳解】拋物線的焦點為,，由題意可得，解得，即拋物線的方程為，∴A選項正確；過B作垂直于拋物線準線于，由得，∴，即，代入拋物線的方程可得，∴，∴B選項不正確；根據拋物線的對稱性，不妨取當在軸下方時，即，，∴，∴直線的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立可得：，設，，∴，由拋物線的性質可得，∴C選項正確；∵的中點的橫坐標為，∴AB中點到y(tǒng)軸距離為，∴D選項正確；類型三、有焦點弦的最值問題1．已知為拋物線的焦點，過作兩條互相垂直的直線、，直線與交于A、B兩點，直線與交于D、E兩點，則的最小值為(

)A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】設，，設、斜率分別為，則.聯(lián)立直線方程和拋物線方程，得和，由即基本不等式即可求其最小值.【詳解】設，，由題可知直線、的斜率存在且不為零，設方程為，聯(lián)立方程，得，∴，同理設直線斜率為，則，，由拋物線定義可知，當且僅當(或)時，取得等號．2．已知拋物線過焦點的直線與拋物線交于、兩點，則最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】推導出，然后在代數式上乘以，展開后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】拋物線的焦點的坐標為，若直線與軸重合，則該直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，設點、，設直線的方程為，聯(lián)立，可得，，由韋達定理可得，，所以，所以，當且僅當時，等號成立，因此，的最小值為.3．已知拋物線的焦點為F，過F的直線l交拋物線C于AB兩點，且，則p的值為______．【答案】3【解析】【分析】根據拋物線焦點弦性質求解，或聯(lián)立l與拋物線方程，表示出，求其最值即可.【詳解】已知，設，，，則，∵，所以，，∴，當且僅當m=0時，取..類型四、焦點與共線向量交匯問題1．已知點為拋物線的焦點，過點的直線交拋物線于兩點，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】當斜率不存在時，即，，不符合題意，設直線的斜率為，則直線的拋物線為，聯(lián)立直線與拋物線方程，可得，再結合韋達定理和拋物線的性質，即可求解．【詳解】點為拋物線的焦點，，設，，，，當斜率不存在時，即，所以，不符合題意，設直線的斜率為，則直線的拋物線為，聯(lián)立直線與拋物線方程，化簡整理，可得①，由韋達定理，可得，，，解得②，將②代入①可得，，解得或，，，又，，．2．過拋物線焦點F的直線與該拋物線及其準線都相交，交點從左到右依次為A，B，C.若，則線段BC的中點到準線的距離為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】由向量的關系可得線段|AB|，|BF|的關系，結合拋物線的定義，可求出直線AB的傾斜角，進而求出直線的斜率，設直線AB的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，求出B，C橫坐標之和，進而求出線段BC的中點到準線的距離．【詳解】由拋物線的方程可得焦點，漸近線的方程為：，由，可得由于拋物線的對稱性，不妨假設直線和拋物線位置關系如圖示：作垂直于準線于，準線交x軸與N,則,故，故,而x軸，故,所以直線的傾斜角為，所以直線的方程為，設，，，，聯(lián)立，整理可得：，可得，所以的中點的橫坐標為3，則線段的中點到準線的距離為，鞏固練習1．直線過拋物線的焦點，且與交于兩點，若使的直線有且僅有1條，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】利用拋物線對稱性，即可得出滿足條件的焦點弦必須垂直于軸，即可得出兩點坐標，代入方程解出【詳解】由拋物線的對稱性，要使的直線有且僅有1條，則必須垂直于軸，故兩點坐標為，代入拋物線方程可解得，2．過拋物線：焦點且斜率為的直線與交于，兩點，設滿足，則為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設，寫出直線方程代入拋物線方程后應用韋達定理得，代入可得．【詳解】拋物線焦點為，直線方程為，設，由得，，，，，，則，，，所以，解得．3．已知拋物線的焦點為F，直線l的斜率為且經過點F，直線l與拋物線C交于A，B兩點（點A在第一象限），與拋物線的準線交于點D，若，則以下結論錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】作出圖形，利用拋物線的定義、相似三角形等知識來判斷各選項命題的正誤.【詳解】如下圖所示：分別過點、作拋物線的準線的垂線，垂足分別為點、.拋物線的準線交軸于點，則，由于直線的斜率為，其傾斜角為，由軸，，由拋物線的定義可知，，則為等邊三角形，，則，，得，A選項正確；，又，為的中點，則，B選項正確；，，（拋物線定義），C選項正確；，，D選項錯誤.4．拋物線：的焦點為，直線過點，斜率，且交拋物線于，（點在軸的下方）兩點，拋物線的準線為，為坐標原點，作于，于，小明計算得出以下三個結論：①；②平分；③．其中正確的結論個數為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】【分析】對于①：設直線m的傾斜角為α，利用拋物線的焦點弦的弦長公式即可求解；對于②：利用幾何法證明；對于③：由拋物線的焦半徑公式即可求解.【詳解】由拋物線的方程可得焦點F（1，0），準線方程為：x=-1，如圖對于①：令直線m的傾斜角為α，∵，∴，∴，①正確；對于②：∵，∴∠AA1F=∠AFA1，又∵AA1∥OF，∴∠AA1F=∠A1FO，∴∠A1FA=∠A1FO，∴A1F平分∠OFA，②正確；對于③：由拋物線的性質可得，，，∴，，∴|AA1|·|BB1|=|AA1|+|BB1|，③正確.5．已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，過F的直線l交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，且A，B在其準線上的射影分別為A1，B1，則下列結論正確的是（

）A．若直線l⊥x軸，則|AB|=2 B． C．y1·y2=-4 D．∠A1FB1=【答案】CD【解析】【分析】選項A，求解A，B點的坐標，從而求出AB的長；選項BC，設出直線l的方程，聯(lián)立直線l與拋物線C的方程組，消元得一元二次方程，得到兩根之積；D選項，由拋物線定義得到∠AFA1=∠A1FO=∠AFO，∠BFB1=∠B1FO=∠BFO，從而得到答案.【詳解】拋物線C的焦點F（1，0），準線方程x=-1，顯然l不垂直于y軸，設l的方程為x=my+1，由得：y2-4my-4=0，y1，y2是此方程的二根，選項A，直線l⊥x軸，m=0，y1=2，y2=-2，則|AB|=4，即選項A錯誤；選項B，y1·y2=-4，則，即選項B錯誤；選項C，y1·y2=-4，即選項C正確；選項D，如圖中，由拋物線的定義知，|AF|=|A1A|，∴∠AA1F=∠AFA1，又AA1//x軸，∴∠AA1F=∠A1FO，∴∠AFA1=∠A1FO=∠AFO，同理可得，∠BFB1=∠B1FO=∠BFO，∴∠A1FB1=∠A1FO+∠B1FO=（∠AFO+∠BFO）=，即選項D正確.6．（多選題）已知拋物線，過焦點F作一直線l交拋物線于，兩點，以下結論正確的有（

）A．沒有最大值也沒有最小值 B．C． D．【答案】BCD【解析】【分析】可設直線AB的方程為，將其與拋物線的方程聯(lián)立，得到關于y的一元二次方程，得到，判斷出C選項，由拋物線的定義知，，，求出，判斷出B選項，由基本不等式判斷出A選項，表達出，代入兩根之和，兩根之積即可.【詳解】由題意知，，直線AB的斜率不可能為0，故可設其方程為，聯(lián)立，消去x，得，，，即選項C正確；由拋物線的定義知，,，所以，即選項B正確；∵，∴，∴，∴有最小值，即選項A錯誤；又，∴，即選項D正確；7．拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線，為坐標原點，一條平行于軸的光線從點射入，經過上的點A反射后，再經上另一點反射后，沿直線射出，經過點．下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則平分C．若，則D．若，延長交直線于點，則，，三點共線【答案】ABD【解析】【分析】根據求出焦點為、A點坐標，可得直線的方程與拋物線方程聯(lián)立得點坐標，求出可判斷AC；時可得，．由可判斷B；求出點坐標可判斷D.【詳解】若，則拋物線，，的焦點為，直線的方程為：，可得，，選項正確；時，因為，所以，又，所以，所以平分，選項B正確；若，則拋物線，，，的焦點為，直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程求解可得，所以，選項C不正確；若，則拋物線，，，延長交直線于點，則，由C選項可知，所以，，三點共線，故D正確.8．已知過拋物線焦點的直線與拋物線相交于兩點，則下列結論正確的是（

）A．B．以為直徑的圓與直線相切C．的最小值為D．的最小值為【答案】ABCD【解析】【分析】設出直線方程聯(lián)立拋物線方程，得出根與系數關系，根據向量運算可判斷A，結合圖形及拋物線的定義可判斷B，設，利用拋物線定義、三角函數及均值不等式判斷C，根據拋物線定義，根與系數的關系及均值不等式判斷D.【詳解】由可得，所以焦點，準線方程為，顯然直線斜率存在，設直線方程為，，，如圖，聯(lián)立可得，所以，對于A,，故正確；對于B，取AB的中點為N過分別作準線的垂線，垂足分別為,則,即圓心到準線的距離等于半徑，所以以為直徑的圓與直線相切，故正確；對于C，設,則，,則，所以，當且僅當且僅當時，即時等號成立，故正確；對于D,，當且僅當時等號成立，故正確.9．在平面直角坐標系中，過拋物線的焦點的直線與拋物線的兩個交點，則（

）A．B．以為直徑的圓與直線相切C．的最小值D．經過點與軸垂直的直線與直線交點一定在定直線上【答案】BD【解析】【分析】設出直線方程并代入拋物線方程，根據根與系數的關系可以判斷A；根據拋物線的定義可以判斷B；驗證與x軸平行時可以判斷C；求出兩條直線的交點坐標即可判斷D.【詳解】由題意，拋物線的焦點為，易知直線的斜率存在，設，代入拋物線方程并整理得：，則.故A錯誤；由橢圓的定義可知，以為直徑的圓的圓心坐標為，它到直線的距離為，則以為直徑的圓與直線相切.故B正確；當與x軸平行時，易得，則.故C錯誤；，與的交點坐標為，根據A，可知坐標為，即在直線上.故D正確.10．過拋物線的焦點作直線交拋物線于，兩點，為線段的中點，則（

）A．以線段為直徑的圓與直線相切B．以線段為直徑的圓與軸相切C．當時，D．的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】A選項由判斷即可；B選項判斷和之間的關系，C選項，先聯(lián)立得到，再結合條件解出，即可解出；D選項借助基本不等式進行判斷.【詳解】準線方程，，設在準線上的射影為，，可得以線段為直徑的圓與直線相切，故A正確；設，則，，設中點為,在軸上的射影為，則，令，即，解得，故只有時，以線段為直徑的圓與軸相切，B錯誤；設直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程可得，，，由得，解得，，故C正確；由得，當且僅當時取等號，故D正確.11．在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：的焦點為，過點的直線交于不同的，兩點，則下列說法正確的是（

）A．若點，則的最小值是4B．C．若，則直線的斜率為D．的最小值是9【答案】ABD【解析】【分析】對于A，過點A作C的準線的垂線，垂足為，則利用拋物線的定義結合圖形求解即可，對于B，設直線AB的方程為，，，將直線方程代入拋物線方程中，消去，利用根據與系數的關系，從而可求出的值，對于C，由，可得，化簡后將選項B中的式子代入可求出的值，從而可求出直線的斜率，對于D，根據選項B中的式子可求得，則化簡后利用基本不等式可求得結果【詳解】由題意知，C的準線方程為，焦點F（1，0），過點A作C的準線的垂線，垂足為，則，故的最小值是點Q到C的準線的距離，即為4，故A正確；設直線AB的方程為，，，由得．所以，，，，所以，故B正確；若，又，，所以，解得，則直線AB的斜率為，故C錯誤；，所以，當且僅當，時，等號成立，故D正確，12．已知直線過拋物線：的焦點，且直線與拋物線交于，兩點，過，兩點分別作拋物線的切線，兩切線交于點，設，，.則下列選項正確的是（

）A． B．以線段為直徑的圓與直線相離C．當時， D．面積的取值范圍為【答案】BD【解析】【分析】求出拋物線C的焦點、準線，設出直線l的方程，與拋物線C的方程聯(lián)立，再逐一分析各個選項，計算判斷作答.【詳解】拋物線：的焦點，準線，顯然直線斜率存在，設直線的方程為，由消去y并整理得：，于是得：，，A不正確；，線段AB中點到準線的距離為，因此，以線段AB為直徑的圓與直線相切，該圓與直線相離，B正確；當時，則點F是線段AB的中點，，，C不正確；設拋物線C在點處切線方程為：，由消去y并整理得：，則，解得，于是得拋物線C在A處切線方程為：，同理在B處切線方程為：，聯(lián)立兩切線方程解得，，即點，點G到直線AB的距離為，而，因此，面積的，當且僅當時取“=”，所以面積的取值范圍為，D正確.13．已知點和拋物線，過的焦點且斜率為的直線與相交于兩點，若，則______________.【答案】【解析】【分析】設,利用點差法表示出直線的斜率,取AB的中點,利用拋物線的定義和梯形中位線判斷出MM0平行于x軸.可以求出y1+y2=4,即可求出斜率k.【詳解】設,則，所以,所以,取AB的中點,分別過點A,B作準線x=2的垂線,垂足分別為A1,B1.因為,所以∠AMB=90°,所以.因為M0為AB的中點,所以MM0平行于x軸.因為,所以y0=2,則y1+y2=4,即k=-2.14．已知拋物線的焦點為F，A為拋物線C上一點．以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓交拋物線C的準線于B，D兩點，A，F(xiàn)，B三點共線，且，則______．【答案】2【解析】【分析】求得拋物線的焦點和準線方程，由，，三點共線，推得，由三角形的中位線性質可得到準線的距離，可得的值．【詳解】拋物線的焦點為，，準線方程為，因為，，三點共線，可得為圓的直徑，如圖示：設準線交x軸于E，所以，則，由拋物線的定義可得，又是的中點，所以到準線的距離為,15．已知拋物線：直線過拋物線的焦點與拋物線交于，兩點，以為直徑的圓與拋物線的準線的公共點是，則直線的斜率___________.【答案】【解析】【分析】設，，利用點差法可得直線的斜率.【詳解】設，，因為，如圖，過作準線的垂線，為垂足，設中點，過作準線的垂線，是垂足，則，則，，，又，所以以為直徑的圓與準線相切，點即為點，以為直徑的圓與拋物線的準線的公共點是，所以，因為．所以，16．已知F是拋物線的焦點，過F的直線l與C交于A，B兩點，線段中點的縱坐標為4，則________．【答案】16【解析】【分析】設出，得到，兩式相減，結合中點縱坐標求出中點橫坐標，進而求出焦點弦長.【詳解】由題意，焦點為，設的中點為，設直線l的斜率為k，所以，又，兩式相減得：，故，故，直線l為：，所以，．18．如圖所示，過拋物線的焦點的直線交拋物線于，兩點，交其準線于點，若，且，則=_______.【答案】2【分析】根據拋物線的定義，已知條件及直角三角形邊角關系和拋物線焦半徑公式即可求解.【詳解】如圖所示，過作準線的垂線，則|，由，得直線的傾斜角為.設，由，得，又因為，所以解得.17．過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，為坐標原點，記直線的斜率分別為，則______.【答案】【分析】過焦點作直線要分為有斜率和斜率不存在兩種情況進行分類討論.【詳解】拋物線的焦點，當過焦點的直線斜率不存在時，直線方程可設為，不妨令，則，故當過焦點的直線斜率存在時，直線方程可設為，令由整理得，則，，綜上，18．已知拋物線C：上一點到焦點F的距離為2．(1)求實數p的值；(2)若直線