山東省濟南市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2025年1月濟南市高一期末學(xué)習(xí)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.將化為弧度為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)角度制和弧度制轉(zhuǎn)化即可.【詳解】因為，所以.故選：C2.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先得出集合A，再應(yīng)用元素與集合的關(guān)系判斷即可.【詳解】因為集合，則，所以A錯誤，B正確；空集是集合A的真子集，C錯誤；集合A不是整數(shù)集的子集，D錯誤.故選：B.3.“是第一象限角”是“是銳角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)邏輯條件的定義判斷.【詳解】是銳角，則是第一象限角，但是第一象限角，不一定是銳角，如，故“是第一象限角”是“是銳角”的必要不充分條件.故選：B【點睛】本題主要考查邏輯條件，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.4.下列函數(shù)在定義域上既是增函數(shù)又是奇函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域，根據(jù)解析式特征判斷其單調(diào)性，利用奇偶性定義判斷其奇偶性即可逐一判斷.【詳解】對于A，函數(shù)的定義域為，顯然為增函數(shù)，且因可得函數(shù)為奇函數(shù)，故A正確；對于B，，定義域為，因即不是奇函數(shù)，故B錯誤；對于C，的定義域為，且在每一個區(qū)間上為增函數(shù)，但不能說函數(shù)在定義域上遞增，故C錯誤；對于D，因的定義域為，函數(shù)在上先增后減，在上先減后增，故不是定義域上的增函數(shù)，故D錯誤.故選：A.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】應(yīng)用指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合邊界值1比較大小即可.【詳解】因為單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，所以，則.故選：D.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式計算即可.【詳解】因為，所以，所以.故選：C.7.若，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分，和三種情況分類討論，其中當(dāng)時，利用判別式列不等式求解即可，最后求并集.【詳解】當(dāng)時，不等式為，即，顯然在有解，符合題意；，命題“”為真命題，當(dāng)時，對于拋物線，開口向下，顯然在有解，符合題意；當(dāng)時，對于拋物線，開口向上，只需，解得或，又，所以或，綜上，實數(shù)的取值范圍是或，即.故選：D8.若函數(shù)在上有且僅有三個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化簡得到，由得到：，結(jié)合正弦函數(shù)零點構(gòu)造不等式即可；【詳解】由可得：，函數(shù)在上有且僅有三個零點，則，解得：，故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，且，若在上的最大值為，最小值為，且，則實數(shù)的值可以是（）A. B. C. D.2【答案】AC【解析】【分析】由的范圍討論單調(diào)性，確定最值即可求解；【詳解】當(dāng)時，單調(diào)遞增，此時，，所以，解得，當(dāng)時，單調(diào)遞減，此時，，所以，解得，所以實數(shù)的值可以是或，故選：AC.10.若，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)，結(jié)合作差法逐項判斷.【詳解】對于A，由，得，A正確；對于B，由，得，又，所以，B錯誤；對于C，由，得，又，所以，C正確；對于D，由，得，則，則，D正確.故選：ACD11.已知定義在上的函數(shù)則（）A. B.不存在單調(diào)區(qū)間C. D.在定義域內(nèi)的任意區(qū)間上都不存在最大值【答案】ABD【解析】【分析】分析的各種情況，得到各種情況下的答案，應(yīng)用賦值法結(jié)合單調(diào)性定義等得到選項答案.【詳解】對于A，已知當(dāng)是互質(zhì)的正整數(shù)時，.對于，此時，，且和互質(zhì)，根據(jù)函數(shù)定義可得，所以選項A正確.對于B，若存在，是單調(diào)增區(qū)間，當(dāng)是互質(zhì)的正整數(shù)時，，是無理數(shù)，使得，故不是單調(diào)增區(qū)間；若是存在，是單調(diào)減區(qū)間，當(dāng)是互質(zhì)的正整數(shù)時，，是無理數(shù)，使得，故不是單調(diào)減區(qū)間；即不存在單調(diào)區(qū)間，所以選項B正確.對于C，分情況討論的值：當(dāng)時，，，所以，當(dāng)?shù)臒o理數(shù)時，，則，當(dāng)是互質(zhì)的正整數(shù)時，，若，情況不存在.若，，若時，當(dāng)為正整數(shù)時，若為整數(shù)可寫成，則，不存在，使得，選項C錯誤.對于D，在任意區(qū)間，存在最大值，則存在有理數(shù)（是互質(zhì)的正整數(shù)），在區(qū)間內(nèi)，總能找到形如（是互質(zhì)的正整數(shù)）的有理數(shù)，，所以不存在最大值.所以在定義域內(nèi)的任意區(qū)間上都不存在最大值，選項D正確.故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解題的關(guān)鍵點是對當(dāng)是互質(zhì)的正整數(shù)時，的應(yīng)用.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知角的頂點與原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，點是終邊上一點，則的值為______．【答案】【解析】【分析】應(yīng)用任意角的三角函數(shù)定義計算即可.【詳解】因為點是終邊上一點，則.故答案為：.13.已知冪函數(shù)．給定條件：①且；②．寫出一個同時滿足①②條件的函數(shù)解析式______．【答案】（答案不唯一，，其中，且是奇數(shù)，是偶數(shù)）【解析】【分析】通過分析冪函數(shù)需要滿足的兩條性質(zhì)具體分析.【詳解】冪函數(shù)，對于條件①是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減，而條件②說明函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)，當(dāng)時，冪函數(shù)在上單調(diào)遞減。又因為是偶函數(shù)，對于冪函數(shù)，若（互質(zhì)），當(dāng)為偶數(shù)時，函數(shù)是偶函數(shù),若寫出具體函數(shù)解析式,可以令（滿足，是奇數(shù)，是偶數(shù)）,此時冪函數(shù),對于，滿足②.對求導(dǎo)，，在時，，在單調(diào)遞減，所以滿足①，所以答案為：.14.函數(shù)所有零點之和為______．【答案】2【解析】【分析】分析函數(shù)的對稱性和單調(diào)性，再求出所有零點和.【詳解】函數(shù)的定義域為R，，函數(shù)的圖象關(guān)于直線，當(dāng)時，，令，任取，，由，得，則，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，，于是函數(shù)在上有唯一零點，由對稱性知，函數(shù)在上有唯一零點，所以函數(shù)所有零點之和為2.故答案為：2【點睛】關(guān)鍵點點睛：分析函數(shù)的對稱性及單調(diào)性是求解問題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合．（1）求，；（2）若，且，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1），（2）．【解析】【分析】（1）解一元二次不等式得集合，利用補集、交集的定義求解即得；（2）由可得，故可得，解之得參數(shù)范圍.【小問1詳解】因為或，所以所以【小問2詳解】因由，可得，則所以，解得則實數(shù)的取值范圍為．16.已知函數(shù)的最小正周期為．某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填大了部分數(shù)據(jù)，如下表：0

020

0（1）請在上表補充完整數(shù)據(jù)，并直接寫出實數(shù)的值．（2）將圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．若，求的值域．【答案】（1）答案見解析，（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)最值求得，根據(jù)最小正周期求得，進一步完成表格數(shù)據(jù)補充即可.（2）先根據(jù)三角函數(shù)圖象變換法則求得，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解值域即可.【小問1詳解】由題意，則，完善表格如下：

【小問2詳解】由題意可知，，因為，所以，所以，所以，所以的值域為．17.已知某企業(yè)生產(chǎn)某種設(shè)備的最大產(chǎn)能為70臺，每臺設(shè)備的售價為80萬元．記該企業(yè)生產(chǎn)臺設(shè)備需要投入的總成本為（單位：萬元），且假設(shè)生產(chǎn)的設(shè)備全部都能售完．（1）求利潤（單位：萬元）關(guān)于生產(chǎn)臺數(shù)的函數(shù)解析式，并求該企業(yè)生產(chǎn)20臺設(shè)備時的利潤（利潤銷售額-成本）；（2）當(dāng)生產(chǎn)多少臺該設(shè)備時，該企業(yè)所獲利潤最大？最大利潤是多少萬元？【答案】（1），400萬元．（2）生產(chǎn)60臺該設(shè)備時，該企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤820萬元．【解析】【分析】（1）根據(jù)分段函數(shù)表示的總成本函數(shù)，結(jié)合利潤銷售額-成本，易得利潤的解析式，代值計算即得生產(chǎn)20臺設(shè)備時的利潤；（2）根據(jù)（1）求得的利潤函數(shù)，分段求出每段函數(shù)的最大值，比較即得最大利潤.【小問1詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，；綜上，當(dāng)臺時，萬元，所以該企業(yè)生產(chǎn)20臺該設(shè)備時，所獲利潤為400萬元．【小問2詳解】當(dāng)時，，故當(dāng)臺時，取得最大值，最大值為500萬元；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故當(dāng)臺時，取得最大值，最大值為820萬元；因為，所以當(dāng)生產(chǎn)60臺該設(shè)備時，該企業(yè)所獲利潤最大，最大利潤為820萬元．18.已知函數(shù)．（1）解關(guān)于的方程：；（2）記函數(shù)．（?。┡袛嘣谏系膯握{(diào)性，并用定義證明；（ⅱ）若，都有，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）（ⅰ）在單調(diào)遞減，證明見解析；（ⅱ）．【解析】【分析】（1）先根據(jù)已知方程求出的范圍，再利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解即得.（2）（ⅰ）利用函數(shù)的單調(diào)性定義法推理證明其單調(diào)性即可；（ⅱ）因，都有，可推得，由（?。├迷趩握{(diào)遞減，可得使得成立，從而轉(zhuǎn)化成求在上的最小值即可.【小問1詳解】因，由，可得，又，則有，解得（不合題意，舍去）或，故原方程的解為．【小問2詳解】（?。┰趩握{(diào)遞減.證明如下：，且，所以，因，則有，故有，可得，即，故在單調(diào)遞減．（ⅱ）若，都有，則有，由（?。┛傻?，在單調(diào)遞減，則，所以，即，故可得．即使得成立，所以，即求在的最大值，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時，，故得，即的取值范圍為．19.是定義在上的函數(shù)．若滿足，則稱為的“不動點”．已知函數(shù)．（1）求的“不動點”；（2）記．若，則稱為的一個周期，為的一個“周期點”．若是的“周期點”，那么的所有周期中的最小值稱為的最小周期．如果的最小周期是，則稱是的一個“-周期點”．特殊的，的“1-周期點”即為的“不動點”．（ⅰ）判斷的“周期點”個數(shù)，并說明理由；（ⅱ）若．證明：當(dāng)時，不存在“周期點”．【答案】（1）（2）（?。┕灿?個，理由見解析；（ⅱ）證明見解析【解析】【分析】（1）應(yīng)用不動點定義計算求解即可；（2）（?。?yīng)用周期點的定義計算即可判斷；（ⅱ）結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性應(yīng)用周期點的定義即可證明.【小問1詳解】由題意，解得．故的不動點為；【小