安徽省六安市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題 含解析

六安市屆普通高中高三教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題注意事項：．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和座位號填寫在答題卡上．．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求解集合，再求其在中的補集，最后求這個補集與集合的交集.【詳解】對于不等式，解得.所以集合.所以或.集合，所以.故選：B.2.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.C.2D.【答案】D【解析】【分析】把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由復(fù)數(shù)模的計算公式計算.【詳解】解：由題意知，，，第1頁/共22頁∴，故選：D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)模的求法.3.設(shè)是空間中的一個平面，是三條不同的直線，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A，由，得或，與可以相交、平行或是異面直線，A錯誤；對于B，，要，必有相交，B錯誤；對于C，由，得或，與可以相交、平行或是異面直線，C錯誤；對于D，由，得或，而，因此，D正確.故選：D4.已知數(shù)列、分別滿足，，則下列說法錯誤的是（）A.數(shù)列是公比為的等比數(shù)列B.數(shù)列是公差為的等差數(shù)列C.數(shù)列的前項和為D.數(shù)列是等比數(shù)列【答案】C【解析】【分析】利用等比數(shù)列的定義可判斷AD選項；利用等差數(shù)列的定義可判斷B選項；利用裂項相消法可判斷C選項.【詳解】對于A選項，，故數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，A對；第2頁/共22頁對于B選項，，故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，B對；對于C選項，因為，所以，，所以，的前項之和為，C錯；對于D選項，因為，故數(shù)列是等比數(shù)列，D對.故選：C.5.已知、兩地的距離是油價是元，以的速度行駛時，汽車的耗油率為，司機每小時的工資是元，那么最經(jīng)濟的車速是（）.A.B.C.D.【答案】C【解析】的最小值，利用等號成立的條件求出的值，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知，行車的總費用為，其中，由基本不等式可得當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，第3頁/共22頁因此，經(jīng)濟的車速是.故選：C.6.已知向量，下列選項正確的為（）A.若，則B.若，則C.的最小值為6D.若與垂直，則【答案】D【解析】【分析】運用向量平行垂直的坐標(biāo)結(jié)論，結(jié)合模長公式計算判斷即可.【詳解】對于A選項，若，已知，有，即，所以，A選項錯誤.對于B選項，若，根據(jù)兩向量垂直的性質(zhì)，.，則.又因為，聯(lián)立方程組，解得，B選項錯誤.對于C選項，先求的坐標(biāo)，.則.展開整理得其最小值為.所以的最小值為，C選項錯誤.對于D選項，若與垂直，則，.因，，則.則，D選項正確.故選：D.7.已知雙曲線的右焦點為為直線上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，為雙曲線的右頂點，若，且，則雙曲線的離心率為（）第4頁/共22頁A.B.C.D.【答案】B【解析】得出的值結(jié)合雙曲線的相關(guān)線段長度關(guān)系來建立關(guān)于離心率的方程，進而求解離心率.【詳解】因為，所以，又，為直線上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，，那么.設(shè)，則，化簡可得，而，所以，則或，不妨設(shè)，.已知，則，.，..根據(jù)向量的夾角公式.因為，得.由于是三角形內(nèi)角，且，在直線上，為右頂點，所以.即，兩邊平方可得，第5頁/共22頁化簡得，即，.又因為，把代入可得.雙曲線的離心率，則，所以.故選：B.8.已知關(guān)于的方程有且僅有兩個不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】將目標(biāo)式合理變形，利用反函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為有兩個不相等的實根的問題，再對參數(shù)范圍分類討論，求解即可.【詳解】因為有且僅有兩個不相等的實根，所以有且僅有兩個不相等的實根，故有且僅有兩個不相等的實根，由反函數(shù)性質(zhì)得與關(guān)于對稱，故和有兩個不同的交點即可，則有兩個不相等的實根即可，令，即與軸有兩個不同的交點即可，由題意得，下面，我們對的范圍進行討論，當(dāng)時，由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得在上單調(diào)遞增，故此時與軸不可能有兩個不同的交點，故排除，當(dāng)時，，此時與軸不可能有兩個不同交點，故排除，當(dāng)時，，而，第6頁/共22頁令，故，故在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，令，，令，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若與軸有兩個不同的交點，則即可，而，令，故，由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)得，即，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍為，故C正確.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)，解題關(guān)鍵是對目標(biāo)式合理變形，然后討論參數(shù)范圍，進而得到所要求的參數(shù)范圍即可．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.對于函數(shù)和，下列選項正確的是（）A.與有相同的最小正周期B.的圖象可由的圖象向右平移個單位得到C.與在上的最大值相等D.與的圖象有相同的對稱軸【答案】ABC【解析】【分析】由余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)依次判斷選項即可．第7頁/共22頁【詳解】對于A項，函數(shù)與的最小正周期都是：，故A項正確；對于B項，函數(shù)的圖象向右平移個單位得，，故B項正確；對于C項，因為，所以，當(dāng)時，即時，取得最大值，為，而，則當(dāng)，即時，取得最大值，為，故C項正確；對于D項，由，得的對稱軸方程為：，由，得的對稱軸方程為：，故D項錯誤．故選：ABC10.已知函數(shù)與的圖象有兩個交點，其中且，則下列選項正確的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】有兩個不同的實數(shù)根，為偶，C結(jié)合基本不等式可判斷，選項D先轉(zhuǎn)化為證成立，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)得到最小值為，可判斷D錯誤.【詳解】因為函數(shù)與的圖象有兩個交點，第8頁/共22頁故方程即有兩個不同的實數(shù)根，，設(shè)，即直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，，則的定義域為，，故為偶函數(shù)，，設(shè)，，當(dāng)時，，，故，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，故，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又為偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，故，且，故A正確，B錯誤；，設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，又，，故，故，即，，當(dāng)時，二次函數(shù)單調(diào)遞增，，故C正確；等價于即，設(shè)，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故，這與矛盾，故D錯誤，故選：AC第9頁/共22頁與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，，進而研究函數(shù)即可；選項D由和轉(zhuǎn)化為，進而轉(zhuǎn)化為求的最值問題.已知棱長為2的正四面體滿足項正確的是（）A.B.當(dāng)時，C.當(dāng)時，的最小值為D.當(dāng)時，的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】選為空間內(nèi)的基底向量，利用向量的線性運算，可得，即可由模長公式，結(jié)合不等式即可判斷A；根據(jù)數(shù)量積的運算即可判斷B；根據(jù)模長可得，即可由不等式以及一元二次不等式判斷C；斷D.【詳解】由正四面體，可知，選為空間內(nèi)基底向量，，因為，第10頁/共22頁故，當(dāng)時，取到等號，故，故A正確；當(dāng)，，所以,故B正確，當(dāng)時，，可得，解得，故當(dāng)且僅當(dāng)時，取最小值為，故C錯誤，，所以，由于當(dāng)，故，因此，由于，故，因此，故D正確，故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是用基底表示，再利用模的計算公式運算求得最值.第11頁/共22頁三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共分．12.設(shè)是等比數(shù)列的前項和，，則__________．【答案】【解析】【分析】先設(shè)出公比，再對公比進行分類討論，利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出首項和公比，最后結(jié)合公式法求和即可.【詳解】設(shè)公比為，當(dāng)時，，此時，與題意不符，故排除，當(dāng)時，因為，所以，因為，所以，故，化簡得，解得，代入得，解得，由等比數(shù)列求和公式得.故答案為：13.已知圓錐的頂點和底面的圓周都在球的底面半徑為體積取得最大值時，__________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用球截面圓性質(zhì)及圓錐的體積公式列出函數(shù)關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)求解.【詳解】設(shè)球的半徑為，則球心到圓錐底面圓心距離，由，得，圓錐的體積，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，第12頁/共22頁當(dāng)時，圓錐的體積取得最大值，此時，所以.故答案為：14.為拋物線上一動點，過作圓的一條切線，為切點，點，則的最小值為__________．【答案】##【解析】式可得，進而利用三點共線求解最值.【詳解】如圖：拋物線的焦點為，圓心為半徑為，設(shè)，則由于時，當(dāng)且僅當(dāng)共線時取到等號，故的最小值為故答案為：拋物線的焦半徑公式可得,即可利用三點共線求解.四、解答題：本大題共5小題，共分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第13頁/共22頁15.在中，在邊上，．（1）當(dāng)時，求的面積；（2）當(dāng)時，求線段的長度．【答案】（1）（2）【解析】1）利用給定條件求出夾角，結(jié)合三角形面積公式求解面積即可.（2）利用余弦定理求解邊長，再結(jié)合給定條件建立方程求解即可【小問1詳解】當(dāng)時，因為，所以，，因為，所以為等邊三角形，，所以，故.【小問2詳解】設(shè)，則，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因為，所以，故，化簡得，解得，因為，所以，故.16.如圖，直線平面，，點為線段的中點，點在線段上，第14頁/共22頁，，．證明：（1）（2）若，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】1.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出關(guān)鍵點坐標(biāo)，和線的方向向量和面的法向量，借助向量夾角余弦值公式計算即可.【小問1詳解】證明：∵，∴四點共面，∵，∴平面，因為，所以，四點共面，又∵，，∴【小問2詳解】由得，且，所以兩兩垂直，如圖所示，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，∵，，，第15頁/共22頁∴∵點為線段的中點，且∴點H為線段AC的中點，∴，且為線段的中點，∴，則設(shè)平面的法向量為，∵，由，∴取，得，即．設(shè)直線與平面所成角為∵∴直線與平面所成角的正弦值為17.法國著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以橢圓的中心為圓心，為橢圓的長半軸長，為蒙日圓．已知橢圓的蒙日圓的面積為，短軸長為，作直線與橢圓交于、兩點，與橢圓的蒙日圓交于、兩點．（1）已知，直線斜率為，若直線、的斜率滿足，求直線的方程；（2）若橢圓的左右焦點分別為、，直線過坐標(biāo)原點．求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】第16頁/共22頁1、的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，結(jié)合求出的值，驗證其滿足，由此可得出直線的方程；（2）設(shè)，其中，則，利用平方差公式可得出關(guān)于的表達式，利用兩點間的距離公式結(jié)合橢圓方程可得出的表達式，即可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】由橢圓的蒙日圓的面積為，短軸長為，由題意可得，解得，所以，橢圓的方程為.設(shè)直線方程為，設(shè)點、，聯(lián)立方程，消去整理得，則，解得，由韋達定理可得，，因為，且，所以，所以，，即，解得，且滿足，所以直線方程為.【小問2詳解】因為直線與橢圓交于、兩點，與橢圓的蒙日圓交于、兩點，設(shè)，其中且，第17頁/共22頁因為，，同理可得，故，因此，，證畢.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.18.已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）若存在，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）若，求證：．第18頁/共22頁【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程即可.（2）將原式合理變形后，對參數(shù)進行分類討論，合理轉(zhuǎn)化求解即可.（3）首先構(gòu)造函數(shù)證明兩個不等式，再相加證明目標(biāo)式即可.【小問1詳解】由題意得，故切點為，設(shè)切線斜率為，而，定義域為，故，則切線方程為，綜上，曲線過點的切線方程為.【小問2詳解】若存在使得恒成立，則恒成立，即恒成立，令，轉(zhuǎn)化為恒成立，而，①當(dāng)時，解得，此時，此時在單調(diào)遞增．因為，所以恒成立，不滿足題意，故排除，②當(dāng)時，解得，令，解得，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，因為，所以在時，，即，所以滿足題意，綜上，實數(shù)的取值范圍為．【小問3詳解】第19頁/共22頁而，令，，令，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故的最小值為，令，且滿足，我們先證明當(dāng)時，，設(shè)，因為，所以，故，即，得到記為①式，再證當(dāng)時，，令，，故證明此時即可，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，而，故，即成立，所以記為②式，由①②式得，得到成立.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)，解題關(guān)鍵是合理構(gòu)造兩個不等式并使用導(dǎo)數(shù)進行證明，然后