2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)講義第03講空間中的平行關(guān)系(線線平行、線面平行、面面平行)(學(xué)生版+解析)

第03講空間中的平行關(guān)系（線線平行、線面平行、面面平行）（11類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新I卷，第17題,15分證明線面平行證明面面垂直由二面角大小求線段長度2023年全國乙卷（理），第19題,12分證明線面平行證明線面垂直證明面面垂直求二面角2022年新Ⅱ卷，第20題,12分證明線面平行面面角的向量求法2022年全國甲卷（文），第19題,12分證明線面平行求組合體的體積2020年全國乙卷（理），第20題,12分證明線面平行求線面角證明面面垂直2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的常考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等，分值為5-15分【備考策略】1.理解、掌握空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系及相關(guān)的圖形和符號(hào)語言2.熟練掌握線面平行的判定定理和性質(zhì)定理及其應(yīng)用3.熟練掌握面面平行的判定定理和性質(zhì)定理及其應(yīng)用【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，一般在解答題中考查線面平行、面面平行的判定及其性質(zhì)，需強(qiáng)化鞏固復(fù)習(xí).知識(shí)講解常見立體幾何的定義、性質(zhì)及其關(guān)系棱柱：棱柱的上下底面是全等的平行圖形，側(cè)面是平行四邊形（即側(cè)棱平行且相等）斜棱柱：側(cè)棱與底面不垂直的棱柱直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體，即：平行六面體的六個(gè)面都是平行四邊形四個(gè)公理與一個(gè)定理公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系點(diǎn)與直線的位置關(guān)系點(diǎn)在直線上點(diǎn)不在直線上點(diǎn)與面的位置關(guān)系點(diǎn)在平面上點(diǎn)不在平面上線與線的位置關(guān)系平行，相交，，異面線與面的位置關(guān)系面與面的位置關(guān)系平行，相交，與重合空間中的平行關(guān)系線線平行①三角形、四邊形的中位線與第三邊平行，②平行四邊形的性質(zhì)（對(duì)邊平行且相等）③內(nèi)錯(cuò)角、同位角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行線面平行的判定定理：平面外一直線與平面內(nèi)一直線平行，則線面平行圖形語言符號(hào)語言線面平行的性質(zhì)定理若線面平行，經(jīng)過直線的平面與該平面相交，則直線與交線平行圖形語言符號(hào)語言面面平行的判定定理判定定理1：一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，則面面平行圖形語言符號(hào)語言判定定理2：一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別于另一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線平行，則面面平行圖形語言符號(hào)語言面面平行的性質(zhì)定理性質(zhì)定理1：兩平面互相平行，一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線平行于另一個(gè)平面性質(zhì)定理2：兩平面互相平行，一平面與兩平面相交，則交線互相平行考點(diǎn)一、空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系1．（2024·全國·高考真題）設(shè)α、β為兩個(gè)平面，為兩條直線，且.下述四個(gè)命題：①若，則或

②若，則或③若且，則

④若與,所成的角相等，則其中所有真命題的編號(hào)是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④2．（2024·天津·高考真題）若為兩條不同的直線，為一個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則與相交1．（2024·河北邢臺(tái)·二模）已知兩條不同的直線a、b和平面，下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（

）（1）若，，則

（2）若，，則（3）若，，則

（4）若，，則A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·浙江紹興·三模）設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（

）A．若，，則m⊥βB．若m⊥β，，，則C．若，，，則D．若，，，則3．（2024·遼寧·二模）設(shè)，是兩個(gè)平面，，，是三條直線，則下列命題為真命題的是（

）A．若，，l⊥m，則B．若l//α，，，則C．若，，，則D．若，，則考點(diǎn)二、空間中線面平行的判定（直接型）1．（2024·全國·高考真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．1．（23-24高三上·遼寧朝陽·階段練習(xí)）如圖所示，在三棱錐中，，直線兩兩垂直，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求平面與平面所成角的余弦值.2．（2024·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若，求點(diǎn)到平面AEC的距離.考點(diǎn)三、空間中線面平行的判定（中位線型）1．（浙江·高考真題）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長為的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分別為PB，PD的中點(diǎn)．(1)證明：MN∥平面ABCD；(2)過點(diǎn)A作AQ⊥PC，垂足為點(diǎn)Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．1．（23-24高二上·廣西·階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，，是的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)若正四棱柱的外接球的表面積是24π，求三棱錐的體積.2．（2024·陜西渭南·三模）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，平面ABCD，，，且M，N分別為PD，AC的中點(diǎn)．(1)求證：平面PBC；(2)求三棱錐的體積．3．（2024·河北·二模）如圖，在四棱錐中，底面是菱形且，是邊長為的等邊三角形，，，分別為，，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．考點(diǎn)四、空間中線面平行的判定（平行四邊形型）1．（2024·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，BC//AD，AB=BC=1，,點(diǎn)在上，且，．(1)若為線段中點(diǎn)，求證：平面．(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值．2．（2024·天津·高考真題）已知四棱柱中，底面為梯形，AB//CD，平面，，其中．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．(1)求證平面；(2)求平面與平面的夾角余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．1．（23-24高二上·廣東深圳·期末）如圖，在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，，.

(1)設(shè)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，證明：平面.(2)求平面與平面的夾角的大小.2．（2024·天津·二模）如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在棱和棱上，且．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．3．（2024·西藏拉薩·二模）如圖，在四棱臺(tái)中，平面，兩底面均為正方形，，點(diǎn)在線段上，且.(1)證明：//平面A1B(2)求點(diǎn)到平面A1B考點(diǎn)五、空間中線面平行的判定（相似型）1．（23-24高一下·廣東茂名·期中）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為矩形．(1)設(shè)為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，求證：PM//平面；(2)若二面角的大小為，且，求直線和平面所成角的正弦值．2．（23-24高三上·江蘇常州·期中）已知三棱柱，，，為線段上的點(diǎn)，且滿足．

(1)求證：平面；(2)求證：；(3)設(shè)平面平面，已知二面角的正弦值為，求的值．3．（2023·山東濰坊·三模）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長為，點(diǎn)在母線上，且，．

(1)求證：平面；(2)求證：平面BED⊥平面(3)若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離．1．（22-23高二上·貴州六盤水·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)在以為直徑的圓上不同于，，垂直于圓所在平面，為的重心，，在線段上，且.

(1)證明：∥平面；(2)在圓上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由.2．（2022高二下·浙江溫州·學(xué)業(yè)考試）已知三棱錐中，平面，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，在上，.二面角的平面角大小為.

(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.考點(diǎn)六、空間中線面平行的判定（向量型）1．（2023·全國·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.

(1)證明：平面；(2)證明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.1．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)為的中點(diǎn)，.

(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面SCD所成角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，說明理由.考點(diǎn)七、空間中線面平行的性質(zhì)1．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）在正四棱柱中，，，E為中點(diǎn)，直線與平面交于點(diǎn)F．(1)證明：F為的中點(diǎn)；(2)求直線AC與平面所成角的余弦值．

2．（2024·河北保定·三模）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，且.E，F(xiàn)分別是PA，PD的中點(diǎn)，平面與PB，PC分別交于M，N兩點(diǎn).(1)證明：；(2)若平面平面，求平面與平面所成銳二面角的正弦值.1．（2024·廣東·三模）如圖，邊長為4的兩個(gè)正三角形，所在平面互相垂直，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，，直線與平面相交于點(diǎn).(1)證明：；(2)求直線與平面的距離.2．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）如圖,在三棱臺(tái)中,和都為等邊三角形,且邊長分別為2和4，G為線段AC的中點(diǎn),H為線段BC上的點(diǎn),平面.(1)求證:點(diǎn)H為線段BC的中點(diǎn);(2)求二面角的余弦值.3．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·三模）如圖，在三棱臺(tái)中，和都為等邊三角形，且邊長分別為2和4，,為線段的中點(diǎn)，為線段上的點(diǎn)，平面.

(1)求證:點(diǎn)H為線段的中點(diǎn);(2)求三棱錐的體積.考點(diǎn)八、空間中面面平行的判定1．（2024·重慶·二模）如圖，直棱柱中，底面為梯形，AB//DC，且分別是棱，的中點(diǎn).

(1)證明：平面平面；(2)已知，求直線與平面所成角的正弦值.2．（2024·江蘇宿遷·三模）如圖所示的幾何體是由等高的直三棱柱和半個(gè)圓柱組合而成，為半個(gè)圓柱上底面的直徑，，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)若是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．1．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）已知正三棱柱中分別為的中點(diǎn)，.(1)證明:平面平面;(2)求與平面所成角的正弦值.2．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為矩形，M，N分別為AC，的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)若二面角的余弦值為，，為正三角形，求直線和平面所成角的正弦值．3．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在圓錐中，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，四邊形是底面的內(nèi)接正方形，分別為的中點(diǎn)，過點(diǎn)的平面為.(1)證明：平面平面；(2)若圓錐的底面圓半徑為2，高為，設(shè)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，求三棱錐的體積.考點(diǎn)九、空間中面面平行的性質(zhì)1．（2020·山東·高考真題）已知點(diǎn)，分別是正方形的邊，的中點(diǎn).現(xiàn)將四邊形沿折起，使二面角為直二面角，如圖所示.（1）若點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面；（2）求直線與平面ABFE所成角的正弦值.2．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，以正方形的邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)120°形成的面圍成一個(gè)幾何體．設(shè)是上的一點(diǎn)，，分別為線段，的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值．1．（23-24高三上·北京東城·期末）如圖，在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.2．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在六棱錐中，平面是邊長為的正六邊形，平面為棱上一點(diǎn)，且.(1)證明：平面PAC；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.3．（2024·山東濰坊·三模）如圖，在直三棱柱中，，是棱的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求二面角的大小．考點(diǎn)十、補(bǔ)全條件證空間中的平行關(guān)系1．（2023·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測(cè)）三棱柱中，四邊形是菱形，，平面平面，是等腰三角形，∠ACB=120°，，與交于點(diǎn)M，，的中點(diǎn)分別為N，O，如圖所示.(1)在平面內(nèi)找一點(diǎn)D，使平面，并加以證明；(2)求二面角的正弦值.2．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，四邊形為直角梯形，且，，，，．為等邊三角形，平面ABE⊥平面．

(1)線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面，若存在，請(qǐng)說明點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由；(2)空間中有一動(dòng)點(diǎn)，滿足，且．求點(diǎn)的軌跡長度．3．（2023·浙江·三模）如圖，三棱臺(tái)中，，，為線段上靠近的三等分點(diǎn).(1)線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，請(qǐng)求出的值；(2)若，，點(diǎn)到平面的距離為，且點(diǎn)在底面的射影落在內(nèi)部，求直線與平面所成角的正弦值.1．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，點(diǎn)在邊上，且滿足，將沿向上翻折，使點(diǎn)到點(diǎn)的位置，構(gòu)成四棱錐.(1)若點(diǎn)在線段上，且平面，試確定點(diǎn)的位置；(2)若，求銳二面角的大小.2．（23-24高一下·陜西咸陽·期中）如圖，在直四棱柱中，底面為正方形，為棱的中點(diǎn)，．(1)求三棱錐的體積．(2)在上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面.如果存在，請(qǐng)說明點(diǎn)位置并證明.如果不存在，請(qǐng)說明理由.3．（2022·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）如圖，多面體中，平面，(1)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面AFC？如果存在，請(qǐng)指出點(diǎn)位置并證明；如果不存在，請(qǐng)說明理由；(2)當(dāng)三棱錐的體積為8時(shí)，求平面與平面AFC夾角的余弦值.考點(diǎn)十一、補(bǔ)全圖形證空間中的平行關(guān)系1．（2024·山東臨沂·一模）如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)分別在棱上，為的中點(diǎn).

(1)在平面內(nèi)，過作一條直線與平面平行，并說明理由；(2)當(dāng)三棱柱的體積最大時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.1．（2024·福建龍巖·一模）如圖，在四棱錐中，是邊長為2的正三角形，，，設(shè)平面平面.(1)作出（不要求寫作法）；(2)線段上是否存在一點(diǎn)，使平面？請(qǐng)說明理由；(3)若，求平面與平面的夾角的余弦值.2．（2024·貴州遵義·三模）如圖，在多面體中，四邊形為正方形，，且，M為中點(diǎn)．(1)過M作平面，使得平面與平面的平行（只需作圖，無需證明）(2)試確定（1）中的平面與線段的交點(diǎn)所在的位置；(3)若平面，在線段是否存在點(diǎn)P，使得二面角的平面角為余弦值為，若存在求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．1．（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在多面體中，四邊形為菱形，，，⊥，且平面⊥平面.(1)在DE上確定一點(diǎn)M，使得平面；(2)若，且，求多面體的體積.2．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知球內(nèi)接正四棱錐的高為，、相交于，球的表面積為，若為中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積.3．（2024·上海普陀·二模）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，，、分別是、的中點(diǎn).(1)求證：平面SAB；(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的大小.4．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱臺(tái)中，平面，為等腰直角三角形，，分別為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離．5．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，平面平面，，分別為的中點(diǎn)．(1)判斷與平面的位置關(guān)系，并給予證明；(2)求平面與平面所成二面角的正弦值．6．（2024·天津紅橋·二模）在如圖所示的幾何體中，平面，，四邊形為平行四邊形，，，，．(1)求證：直線PB//平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面夾角的正弦值．7．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測(cè)）已知等腰梯形，，，取的中點(diǎn)，將等腰梯形沿線段翻折，使得二面角為，連接、得到如圖所示的四棱錐A?BCDE，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求四棱錐A?BCDE的體積．8．（2024·江西景德鎮(zhèn)·三模）已知在正三棱柱中，，.(1)已知，分別為棱，的中點(diǎn)，求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.9．（2024·北京海淀·模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形，，平面，AB//CD，，，，平面與棱交于點(diǎn).再從條件①、條件②、條件③，這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.(1)求證：；(2)求直線與平面夾角的正弦值；(3)求的值.條件①：；條件②：；條件③：.10．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在正四棱柱中，是底面的中心，底面邊長為2，正四棱柱的體積為16(1)求證：直線平行于平面(2)求與平面所成的角的正弦值.1．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，棱柱中，側(cè)棱底面，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)設(shè)，在平面上是否存在點(diǎn)P，使？若存在，指出P點(diǎn)的位置：若不存，請(qǐng)說明理由.2．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，三棱柱中，分別為棱的中點(diǎn)，分別是棱上的點(diǎn)，.(1)求證：直線平面；(2)若三棱柱為正三棱柱，求平面和平面的夾角的大小.3．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四棱錐中，平面平面，，分別為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若側(cè)面為等邊三角形，求四面體的體積．4．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，平面平面．

(1)求證：是的中點(diǎn)；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．5．（2024·貴州六盤水·三模）已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長為和的正方形，平面平面，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．6．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在五邊形中，，，且，將沿折成圖2，使得，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若與平面所成的角為，求二面角的正弦值．7．（2024·山東日照·三模）在五面體中，，.

(1)求證：；(2)若，，，點(diǎn)到平面ABFE的距離為，求二面角的余弦值.8．（2024·湖南長沙·三模）如圖，在四棱錐中，平面，，底面為直角梯形，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在線段與上，且，.(1)若平面平面，求、的值；(2)若平面，求的最小值.9．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，.(1)證明：平面；(2)證明：平面平面；(3)求二面角的大小.10．（2024·貴州·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐中，平面，是上一點(diǎn)，且，連接與，為中點(diǎn).(1)過點(diǎn)的平面平行于平面且與交于點(diǎn)，求；(2)若平面平面，且，求點(diǎn)到平面的距離.1．（2023·天津·高考真題）如圖，在三棱臺(tái)中，平面，為中點(diǎn).，N為AB的中點(diǎn)，

(1)求證：//平面；(2)求平面與平面所成夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．2．（2022·全國·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．

(1)證明：平面PAC；(2)若，，，求二面角的正弦值．3．（2022·全國·高考真題）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．(1)證明：平面；(2)求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）．4．（2022·北京·高考真題）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點(diǎn)．(1)求證：MN∥平面；(2)再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．5．（2020·北京·高考真題）如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．6．（2019·江蘇·高考真題）如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為BC，AC的中點(diǎn)，AB=BC．求證：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．7．（2019·天津·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面PAC⊥平面，，，，（Ⅰ）設(shè)分別為的中點(diǎn)，求證：平面；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）求直線與平面PAC所成角的正弦值.8．（2019·全國·高考真題）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)．（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A-MA1-N的正弦第03講空間中的平行關(guān)系（線線平行、線面平行、面面平行）（11類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新I卷，第17題,15分證明線面平行證明面面垂直由二面角大小求線段長度2023年全國乙卷（理），第19題,12分證明線面平行證明線面垂直證明面面垂直求二面角2022年新Ⅱ卷，第20題,12分證明線面平行面面角的向量求法2022年全國甲卷（文），第19題,12分證明線面平行求組合體的體積2020年全國乙卷（理），第20題,12分證明線面平行求線面角證明面面垂直2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等，分值為5-15分【備考策略】1.理解、掌握空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系及相關(guān)的圖形和符號(hào)語言2.熟練掌握線面平行的判定定理和性質(zhì)定理及其應(yīng)用3.熟練掌握面面平行的判定定理和性質(zhì)定理及其應(yīng)用【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，一般在解答題中考查線面平行、面面平行的判定及其性質(zhì)，需強(qiáng)化鞏固復(fù)習(xí).知識(shí)講解常見立體幾何的定義、性質(zhì)及其關(guān)系棱柱：棱柱的上下底面是全等的平行圖形，側(cè)面是平行四邊形（即側(cè)棱平行且相等）斜棱柱：側(cè)棱與底面不垂直的棱柱直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體，即：平行六面體的六個(gè)面都是平行四邊形四個(gè)公理與一個(gè)定理公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系點(diǎn)與直線的位置關(guān)系點(diǎn)在直線上點(diǎn)不在直線上點(diǎn)與面的位置關(guān)系點(diǎn)在平面上點(diǎn)不在平面上線與線的位置關(guān)系平行，相交，，異面線與面的位置關(guān)系面與面的位置關(guān)系平行，相交，與重合空間中的平行關(guān)系線線平行①三角形、四邊形的中位線與第三邊平行，②平行四邊形的性質(zhì)（對(duì)邊平行且相等）③內(nèi)錯(cuò)角、同位角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行線面平行的判定定理：平面外一直線與平面內(nèi)一直線平行，則線面平行圖形語言符號(hào)語言線面平行的性質(zhì)定理若線面平行，經(jīng)過直線的平面與該平面相交，則直線與交線平行圖形語言符號(hào)語言面面平行的判定定理判定定理1：一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，則面面平行圖形語言符號(hào)語言判定定理2：一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別于另一個(gè)平面內(nèi)兩條相交直線平行，則面面平行圖形語言符號(hào)語言面面平行的性質(zhì)定理性質(zhì)定理1：兩平面互相平行，一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線平行于另一個(gè)平面性質(zhì)定理2：兩平面互相平行，一平面與兩平面相交，則交線互相平行考點(diǎn)一、空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系1．（2024·全國·高考真題）設(shè)α、β為兩個(gè)平面，為兩條直線，且.下述四個(gè)命題：①若，則或

②若，則或③若且，則

④若與,所成的角相等，則其中所有真命題的編號(hào)是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④【答案】A【分析】根據(jù)線面平行的判定定理即可判斷①；舉反例即可判斷②④；根據(jù)線面平行的性質(zhì)即可判斷③.【詳解】對(duì)①，當(dāng)，因?yàn)?，，則，當(dāng)，因?yàn)?，，則，當(dāng)既不在也不在內(nèi)，因?yàn)?，，則且，故①正確；對(duì)②，若，則與不一定垂直，故②錯(cuò)誤；對(duì)③，過直線分別作兩平面與分別相交于直線和直線，因?yàn)?，過直線的平面與平面的交線為直線，則根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知，同理可得，則，因?yàn)槠矫?，平面，則平面，因?yàn)槠矫?，，則，又因?yàn)椋瑒t，故③正確；對(duì)④，若與和所成的角相等，如果，則，故④錯(cuò)誤；綜上只有①③正確，故選：A.2．（2024·天津·高考真題）若為兩條不同的直線，為一個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則與相交【答案】C【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)可判斷AB的正誤，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可判斷CD的正誤.【詳解】對(duì)于A，若，，則平行或異面或相交，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，若，則平行或異面或相交，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，，過作平面，使得，因?yàn)?，故，而，故，故，故C正確.對(duì)于D，若，則與相交或異面，故D錯(cuò)誤.故選：C.1．（2024·河北邢臺(tái)·二模）已知兩條不同的直線a、b和平面，下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（

）（1）若，，則

（2）若，，則（3）若，，則

（4）若，，則A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】利用線面平行的判定與性質(zhì)判斷（1）（2）,利用線面垂直的性質(zhì)判斷（3）（4）.【詳解】由兩條不同直線，及平面，知：對(duì)（1），若，，則與相交、平行或異面，故錯(cuò)誤；對(duì)（2），若，，則或a?α，故錯(cuò)誤；對(duì)（3），若，，則由線面垂直的性質(zhì)得，故正確；對(duì)（4），若，，則或a?α，故錯(cuò)誤．故選：A．2．（2024·浙江紹興·三模）設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（

）A．若，，則m⊥βB．若m⊥β，，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】D【分析】由空間中的線線，線面，面面間的位置關(guān)系逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】若，，則或，所以A錯(cuò)；，，，，或，所以B錯(cuò)；若，，，則，所以C錯(cuò)；若，，，則與兩面的交線平行，即，故D對(duì).故選：D.3．（2024·遼寧·二模）設(shè)，是兩個(gè)平面，，，是三條直線，則下列命題為真命題的是（

）A．若，，l⊥m，則B．若l//α，，，則C．若，，，則D．若，，則【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，若，，l⊥m，則相交或平行，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，若，，由線面平行的性質(zhì)可得，所以B正確；對(duì)于C中，若，，，當(dāng)兩兩相交時(shí)，兩兩相交，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，若，，則或，所以D錯(cuò)誤.故選：B.考點(diǎn)二、空間中線面平行的判定（直接型）1．（2024·全國·高考真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見詳解；(2)【分析】（1）結(jié)合已知易證四邊形為平行四邊形，可證，進(jìn)而得證；（2）作交于，連接，易證三垂直，采用建系法結(jié)合二面角夾角余弦公式即可求解.【詳解】（1）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）如圖所示，作交于，連接，因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，，所以，結(jié)合（1）為平行四邊形，可得，又，所以為等邊三角形，為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪危瑸橹悬c(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，，所以為等腰三角形，與底邊上中點(diǎn)重合，，，因?yàn)?，所以，所以互相垂直，以方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，設(shè)平面的法向量為m=x1平面的法向量為n=x則，即，令，得，即m=3,3,1，則，即，令，得，即，，則，故二面角的正弦值為.1．（23-24高三上·遼寧朝陽·階段練習(xí)）如圖所示，在三棱錐中，，直線兩兩垂直，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求平面與平面所成角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由于點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，應(yīng)用中位線定理可得，從而得到了證明線面平行所需的線線平行；（2）首先以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求平面和平面的法向量，進(jìn)而用空間向量的夾角公式求解即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，所以.又平面，平面，且，所以平面ADE.（2）解：以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則A0,0,0，，，得，.設(shè)平面的法向量為，則取，則，z=?1，即.由平面，得平面的一個(gè)法向量為，所以平面與平面所成角的余弦值為.2．（2024·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方體中，是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若，求點(diǎn)到平面AEC的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)正方體的性質(zhì)得到，即可得證；（2）利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）在正方體中，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）設(shè)正方體的棱長為，則，解得，所以，，所以，設(shè)點(diǎn)到平面AEC的距離為，則，即，即，解得，即點(diǎn)到平面AEC的距離為.考點(diǎn)三、空間中線面平行的判定（中位線型）1．（浙江·高考真題）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長為的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝，M，N分別為PB，PD的中點(diǎn)．(1)證明：MN∥平面ABCD；(2)過點(diǎn)A作AQ⊥PC，垂足為點(diǎn)Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】(1)證明:連接BD,因?yàn)镸、N分別是PB、PD的中點(diǎn),所以MN是△PBD的中位線,所以MN∥BD.又因?yàn)镸N?平面ABCD,BD?平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.(2)解:在菱形ABCD中,∠BAD=120°,得AC=AB=BC=CD=DA,BD=AB.又因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥AD.所以PB=PC=PD.所以△PBC≌△PDC.而M、N分別是PB、PD的中點(diǎn),所以MQ=NQ,且AM=PB=PD=AN.取線段MN的中點(diǎn)E,連接AE,EQ,則AE⊥MN,QE⊥MN,所以∠AEQ為二面角AMNQ的平面角.由AB=2,PA=2,故在△AMN中,AM=AN=3,MN=BD=3,得AE=.在直角△PAC中,AQ⊥PC,得AQ=2,QC=2,PQ=4,在△PBC中,cos∠BPC==,得MQ==.在等腰△MQN中,MQ=NQ=,MN=3,得QE==.在△AEQ中,AE=,QE=,AQ=2,得cos∠AEQ==.所以二面角AMNQ的平面角的余弦值為.1．（23-24高二上·廣西·階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，，是的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)若正四棱柱的外接球的表面積是24π，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接交于，連接，則，利用線面平行的判定定理即可證明；（2）求出正四棱柱的外接球半徑，進(jìn)而可求出，根據(jù)，即可求解.【詳解】（1）連接交于，連接；分別是的中點(diǎn)，平面平面，//平面.

（2）設(shè)，正四棱柱的外接球的半徑為，因?yàn)檎睦庵耐饨忧虻谋砻娣e，解得，由題意為正四棱柱的外接球的直徑，由，得，解得或（舍），即.2．（2024·陜西渭南·三模）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，平面ABCD，，，且M，N分別為PD，AC的中點(diǎn)．(1)求證：平面PBC；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)3【分析】（1）利用三角形的中位線，證明，可證得平面PBC；（2）利用三棱錐的體積公式求解.【詳解】（1）證明：如圖，連接BD，由ABCD是平行四邊形，則有BD交AC于點(diǎn)N．∵M(jìn)，N分別為PD，BD的中點(diǎn)，∴．又平面PBC，平面PBC，故平面PBC．（2）∵，∴，∴平行四邊形ABCD為矩形．∵，∴，，∴．又平面ABCD，M為PD的中點(diǎn)，則M到平面ACD的距離為．∴．3．（2024·河北·二模）如圖，在四棱錐中，底面是菱形且，是邊長為的等邊三角形，，，分別為，，的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．【答案】(1)證明過程見解析(2).【分析】（1）作出，再根據(jù)線面平行的判定定理證明即可.（2）使用建系法，根據(jù)向量的夾角公式求出兩個(gè)法向量的夾角余弦值，即可求出銳二面角的余弦值.【詳解】（1）如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，連接.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，底面是菱形，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面.（2）連接，因?yàn)槭沁呴L為的等邊三角形，為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)榈酌媸橇庑吻?，易知為等邊三角形，所?易知，所以，所以.因?yàn)?，所以，所?所以兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，得，取，則，所以.設(shè)平面的法向量為，則，得，則，取，則，所以.所以，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值.考點(diǎn)四、空間中線面平行的判定（平行四邊形型）1．（2024·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，BC//AD，AB=BC=1，,點(diǎn)在上，且，．(1)若為線段中點(diǎn)，求證：平面．(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)為，接，可證四邊形為平行四邊形，由線面平行的判定定理可得平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量后可求夾角的余弦值.【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，接，則，而，故，故四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)?，故，故，故四邊形為平行四邊形，故，所以平面，而平面，故，而，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則設(shè)平面的法向量為，則由可得，取，設(shè)平面的法向量為，則由可得，取，故，故平面與平面夾角的余弦值為2．（2024·天津·高考真題）已知四棱柱中，底面為梯形，AB//CD，平面，，其中．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．(1)求證平面；(2)求平面與平面的夾角余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，借助中位線的性質(zhì)與平行四邊形性質(zhì)定理可得，結(jié)合線面平行判定定理即可得證；（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算兩平面的空間向量，再利用空間向量夾角公式計(jì)算即可得解；（3）借助空間中點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可得解.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，，由是的中點(diǎn)，故，且，由是的中點(diǎn)，故，且，則有、，故四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，故平面；（2）以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有A0,0,0、、、、C1,1,0、，則有、、，設(shè)平面與平面的法向量分別為、，則有，，分別取，則有、、，，即、，則，故平面與平面的夾角余弦值為；（3）由，平面的法向量為，則有，即點(diǎn)到平面的距離為.1．（23-24高二上·廣東深圳·期末）如圖，在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，，.

(1)設(shè)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，證明：平面.(2)求平面與平面的夾角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）為的中點(diǎn)，通過證明，得證平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法解決兩個(gè)平面夾角問題.【詳解】（1）設(shè)為的中點(diǎn)，連接，

在中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，，.因?yàn)椋?，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所?因?yàn)锽F?平面，平面，所以平面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則A2,0,0，，，，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有令，則，得.，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，令，則，得.設(shè)平面與平面的夾角為，有，所以平面與平面夾角的大小為.2．（2024·天津·二模）如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在棱和棱上，且．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）取的中點(diǎn)，證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，向量法求兩個(gè)平面夾角的余弦值；（3）向量法求點(diǎn)到平面的距離.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，則，且，∴且，則四邊形為平行四邊形，．又平面平面，平面．（2）解：直三棱柱中，．以為原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n=x,y,z，則即令，則，得到平面的一個(gè)法向量．易知平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面與平面的夾角為，則，平面與平面夾角的余弦值為．（3）解：，，點(diǎn)到平面的距離．3．（2024·西藏拉薩·二模）如圖，在四棱臺(tái)中，平面，兩底面均為正方形，，點(diǎn)在線段上，且.(1)證明：//平面A1B(2)求點(diǎn)到平面A1B【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行四邊形可得//.，即可由線面平行的判定求證，（2）利用等體積法即可求解，或者利用線面垂直可得平面A1B【詳解】（1）如圖，連接與交于點(diǎn)，連接.因?yàn)樗倪呅问钦叫?，，所?因?yàn)樗倪呅问钦叫?，，所?因?yàn)?，所以，所?又，所以四邊形為平行四邊形，所以//.因?yàn)槠矫嫫矫鍭1BC1，所以//平面A（2）解法一：因?yàn)樵谒睦馀_(tái)中，兩底面均為正方形，所以，所以，所以，所以.又，設(shè)點(diǎn)到平面A1BC1的距離為，由等體積法，得即，解得，所以點(diǎn)到平面A1BC1解法二：過點(diǎn)作，垂足為.因?yàn)槠矫嫫矫?，所?又四邊形為正方形，所以.又平面BDD1B1，所以平面又平面BDD1B1又平面A1BC1，所以平面,,所以,故，根據(jù)等面積，得.考點(diǎn)五、空間中線面平行的判定（相似型）1．（23-24高一下·廣東茂名·期中）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為矩形．(1)設(shè)為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，求證：PM//平面；(2)若二面角的大小為，且，求直線和平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接交于，連接，由題可得，然后利用線面平行的判定定理即得；（2）在平面中，過點(diǎn)C作射線，可得為二面角的平面角，過點(diǎn)作，可得平面，則即為直線和平面所成的角，利用銳角三角函數(shù)計(jì)算可得.【詳解】（1）連接交于，連接，因?yàn)閭?cè)面為矩形，所以，又為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)椋裕?，又平面，平面，所以PM//平面．（2）在平面中，過點(diǎn)作射線，因?yàn)榈酌鏋榫匦?，所以BC⊥CD，所以為二面角的平面角，且．又，平面，所以平面，在平面中，過點(diǎn)作，垂足為，連接，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，平面，所以平面，則即為直線和平面所成的角，于是為點(diǎn)到平面的距離，且，設(shè)直線和平面所成角為，又，則，所以直線和平面所成角的正弦值為．2．（23-24高三上·江蘇常州·期中）已知三棱柱，，，為線段上的點(diǎn)，且滿足．

(1)求證：平面；(2)求證：；(3)設(shè)平面平面，已知二面角的正弦值為，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)或【分析】（1）作輔助線，先證明四邊形為平行四邊形，得線線平行，再由線面平行判定定理可證；（2）以為一組基底，先利用基底表達(dá)向量，再向量平方利用數(shù)量積求模，求得，由勾股定理計(jì)算可證垂直；（3）先證明兩兩垂直，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量求解二面角余弦值，即可根據(jù)題意建立等量關(guān)系求參數(shù).【詳解】（1）過分別作交于點(diǎn)交于點(diǎn)，，且，，∴四邊形為平行四邊形，，平面．平面．平面．（2），，，，．（3）取中點(diǎn)，連接為等邊三角形且，則．在中，，由，在中，為中點(diǎn)，，，.如圖，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系．

．即，，設(shè)，則，即，故，又，同理可得，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，而平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的的平面角為，則，則，化簡得，解得或.3．（2023·山東濰坊·三模）如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，為底面圓的內(nèi)接正三角形，且邊長為，點(diǎn)在母線上，且，．

(1)求證：平面；(2)求證：平面BED⊥平面(3)若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）設(shè)交于點(diǎn)，連接，利用三角形相似證得，從而證得，進(jìn)而證得直線平面；（2）通過平面，證得平面，所以平面BED⊥平面；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，通過向量和平面的法向量建立直線與平面所成角的正弦值的關(guān)系式，并利用基本不等式，即可求最值.【詳解】（1）如圖，設(shè)交于點(diǎn)，連接，由圓錐的性質(zhì)可知底面，

因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)槭堑酌鎴A的內(nèi)接正三角形，由，可得，，解得，又，，所以，即，AE⊥PC，又因?yàn)椋?，所以，即，又平面PAC，直線平面，平面，所以直線平面．（2）因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面BED，所以平面BED⊥平面；（3）易知，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，，

設(shè)平面的法向量為，則，令，則，設(shè)，可得，設(shè)直線與平面所成的角為，則，即，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，即當(dāng)λ=12時(shí)，sinθ所以，所以點(diǎn)到平面的距離，故當(dāng)直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為.1．（22-23高二上·貴州六盤水·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)在以為直徑的圓上不同于，，垂直于圓所在平面，為的重心，，在線段上，且.

(1)證明：∥平面；(2)在圓上是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，為弧的中點(diǎn)【分析】（1）連接，并延長交于點(diǎn)，連接，由重心的性質(zhì)和平行線的判定，結(jié)合線面平行的判定定理可證得結(jié)論，（2）在圓上假設(shè)存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，根據(jù)題意作出二面角的平面角，解三角形即可判斷.【詳解】（1）證明：連接，并延長交于點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榈闹匦?，所以，因?yàn)?，所以，所以∥，因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面；?）解：在圓上假設(shè)存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，設(shè)，連接，并延長交于，則為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，，過作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)镻O?平面，所以,過作于，連接，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以為二面角的平面角，在中，，在中，，因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐?，所以，所以，所以所以，所以，解得，所以在在圓上存在點(diǎn)，且，即為弧的中點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查線面平面的證明，考查二面角的求法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件結(jié)合二面角的定義利用線面垂直的判定定理作出二面角，考查空間想象能力和計(jì)算能力，屬于較難題.2．（2022高二下·浙江溫州·學(xué)業(yè)考試）已知三棱錐中，平面，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，在上，.二面角的平面角大小為.

(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接并延長，交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)可得，根據(jù)為中點(diǎn)，可得，從而，再由線面平行的判定定理可得答案；（2）分別取的中點(diǎn)，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可得即為二面角的平面角，求出各邊長，再由線面垂直的判定定理可得平面，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的一半，求出可得答案.【詳解】（1）連接并延長，交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，，所以，所以，又為中點(diǎn)，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，可得，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?/p>

（2）分別取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，且，平面，所以平面，平面，所以，所以即為二面角的平面角，所以，因?yàn)?，所以，所以AQ=3，設(shè)，則，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，且，平面，所以平面，所以線段的長即為點(diǎn)到平面的距離，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的一半，因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離為.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問解題的關(guān)鍵點(diǎn)是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離是點(diǎn)到平面的距離的一半，再由線面垂直的判定定理可得平面，考查了學(xué)生的空間想象能力、計(jì)算能力.考點(diǎn)六、空間中線面平行的判定（向量型）1．（2023·全國·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.

(1)證明：平面；(2)證明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.（2）法一：由（1）的信息，結(jié)合勾股定理的逆定理及線面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：過點(diǎn)作軸平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，所以由求出點(diǎn)坐標(biāo)，再求出平面與平面BEF的法向量，由即可證明；（3）法一：由（2）的信息作出并證明二面角的平面角，再結(jié)合三角形重心及余弦定理求解作答.法二：求出平面與平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【詳解】（1）連接，設(shè)，則，，，則，解得，則為的中點(diǎn)，由分別為的中點(diǎn)，

于是，即，則四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.（2）法一：由（1）可知，則，得，因此，則，有，又，平面，則有AO⊥平面，又平面，所以平面平面.法二：因?yàn)椋^點(diǎn)作軸平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，在中，，在中，，設(shè)，所以由可得：，可得：，所以，則，所以，，設(shè)平面的法向量為n1=則，得，令，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，得，令，則，所以，，所以平面平面BEF；

（3）法一：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)，由，得，且，又由（2）知，，則為二面角的平面角，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，因此為的重心，即有，又，即有，，解得，同理得，于是，即有，則，從而，，在中，，于是，，所以二面角的正弦值為.

法二：平面的法向量為，平面的法向量為，所以，因?yàn)椋?，故二面角的正弦值?1．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的對(duì)角線交于點(diǎn)為的中點(diǎn)，.

(1)求證：平面；(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得與平面SCD所成角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）用向量法證明即可；（2）假設(shè)存在，根據(jù)線面角的公式運(yùn)算即可得解.【詳解】（1）以為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，

，，，，，，，設(shè)面的法向量為，，令，則，，平面，，平面；（2）假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，則，設(shè)面SCD法向量，，，，令，則，，，即，，故存在滿足題意的點(diǎn)，此時(shí).考點(diǎn)七、空間中線面平行的性質(zhì)1．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）在正四棱柱中，，，E為中點(diǎn)，直線與平面交于點(diǎn)F．(1)證明：F為的中點(diǎn)；(2)求直線AC與平面所成角的余弦值．

【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理判斷，得出，得出為中位線，從而得證；（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，分別求出直線AC的方向向量，以及平面的法向量，然后用線面角公式求得正弦值，再利用同角基本關(guān)系式求出余弦值.【詳解】（1）如圖，連接，F(xiàn)E，，在正四棱柱中，由AB與平行且相等得是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，平面，平面平面，所以，又E是中點(diǎn)，所以是的中位線，所以F是的中點(diǎn)；

（2）分別以DA，DC，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，C(0,1,0)，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，直線AC與平面所成的角為，則，取，得，，，所以直線AC與平面所成角的余弦值為.

2．（2024·河北保定·三模）如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形，平面，且.E，F(xiàn)分別是PA，PD的中點(diǎn)，平面與PB，PC分別交于M，N兩點(diǎn).(1)證明：；(2)若平面平面，求平面與平面所成銳二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面平面的判斷、性質(zhì)推理即得.（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面、平面的法向量，進(jìn)而求出平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得.【詳解】（1）由E，F(xiàn)分別是PA，PD的中點(diǎn)，得，在正方形中，，則，而平面，平面，于是平面，又平面，平面平面，平面，因此，所以.（2）四棱錐的底面為正方形，平面，則AB,AD,AP兩兩垂直，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線AB,AD,AP分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)平面的法向量，則，由平面平面，得，取，得，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，，所以平面與平面所成銳二面角的正弦值為.1．（2024·廣東·三模）如圖，邊長為4的兩個(gè)正三角形，所在平面互相垂直，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，，直線與平面相交于點(diǎn).(1)證明：；(2)求直線與平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2).【分析】（1）首先證明平面，再由線面平行的性質(zhì)證明即可；（2）連接,，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到平面距離公式求解即得.【詳解】（1）因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，則平面，又平面，平面平面，所以.（2）由（1）知，平面，則點(diǎn)到平面的距離即為與平面的距離，連接,，由均為正三角形，為的中點(diǎn)，得，又平面平面，平面平面平面，于是平面，又平面，則，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，又，，又，可得，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，所以與平面的距離為.2．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）如圖,在三棱臺(tái)中,和都為等邊三角形,且邊長分別為2和4，G為線段AC的中點(diǎn),H為線段BC上的點(diǎn),平面.(1)求證:點(diǎn)H為線段BC的中點(diǎn);(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線面平行性質(zhì)定理得出線線平行即可得證；（2）空間向量法求二面角余弦值.【詳解】（1）連接，設(shè)連接，三棱臺(tái)，則，又∴四邊形為平行四邊形，則

又平面，平面，平面平面∴，∵四邊形是正方形，是的中點(diǎn)，∴點(diǎn)是的中點(diǎn).（2）且都在面，則面，又為等邊三角形，則，又（1）知，則面，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則設(shè)平面的法向量，則，令解得，

設(shè)平面的法向量，則，令，解得，

設(shè)二面角的平面角為，

，

又因?yàn)闉殇J角，所以.3．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·三模）如圖，在三棱臺(tái)中，和都為等邊三角形，且邊長分別為2和4，,為線段的中點(diǎn)，為線段上的點(diǎn)，平面.

(1)求證:點(diǎn)H為線段的中點(diǎn);(2)求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）因?yàn)槠矫?，所以想到用線面平行的性質(zhì)定理證明；（2）利用等體積法將三棱錐轉(zhuǎn)化為三棱錐的體積求解即可.【詳解】（1）連接，設(shè)連接、因?yàn)槿馀_(tái)所以又所以四邊形為平行四邊形所以.又平面，?平面，平面∩平面∴∵四邊形是正方形，O是的中點(diǎn)，∴點(diǎn)H是的中點(diǎn).

（2）因?yàn)閯t又平面ABC∴平面,由（1）知且是邊長為4的等邊三角形，∵H為中點(diǎn)，,

考點(diǎn)八、空間中面面平行的判定1．（2024·重慶·二模）如圖，直棱柱中，底面為梯形，AB//DC，且分別是棱，的中點(diǎn).

(1)證明：平面平面；(2)已知，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由三角形中位線、平行四邊形性質(zhì)，利用線面平行的判定、面面平行的判定推理即得.（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量坐標(biāo)，再利用線面角的向量求法求解即得.【詳解】（1）在中，分別為AB,AD的中點(diǎn)，則，而平面平面，因此平面，又，而，于是且，四邊形為平行四邊形，則，又平面平面，因此平面.而為平面中兩相交直線，所以平面平面.（2）在中，，則，在直棱柱中，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz，如圖，

則，，設(shè)平面的法向量為n=x,y,z，則，取，得，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.2．（2024·江蘇宿遷·三模）如圖所示的幾何體是由等高的直三棱柱和半個(gè)圓柱組合而成，為半個(gè)圓柱上底面的直徑，，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)若是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明，，進(jìn)而證明為平行四邊形，可得，再證明，由面面平行的判定定理得證；（2）方法1，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解；方法2，先證明平面平面，過作交于，則就是直線與平面所成角，利用平面幾何求出最小，得解.【詳解】（1）連接，由點(diǎn)為的中點(diǎn)，為半個(gè)圓柱上底面的直徑知，由，，知，，則，又四點(diǎn)共面，所以，由為直三棱柱的側(cè)面知，即，則，由為的中點(diǎn)得，所以四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，，則平面，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，又平面，，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）（法一）以為一組空間正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，設(shè)，則，由平面平面知直線與平面所成角即為直線與平面所成角，設(shè)平面的法向量為，由，取，得，則平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，又，則時(shí)，sinθ的最大值為．所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為．（法二）在直三棱柱中，底面，因?yàn)榈酌?，所以，由?）知，，所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，過作交于，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，又平面平面，則直線與平面所成角即為直線與平面所成角，因?yàn)椤?，且正方形的邊長為2，所以，則，又，要使值最大，則最小，在中，過作交FC1于，由等面積可求出，此時(shí)．所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為．1．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）已知正三棱柱中分別為的中點(diǎn)，.(1)證明:平面平面;(2)求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）借助線線平行關(guān)系，先證平面，平面，從而可得面面平行；（2）以為原點(diǎn)，為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求線面角.【詳解】（1）分別為的中點(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，所以，而平面平面，所以平面，連接交于，連接OE，顯然是的中點(diǎn)，因?yàn)闉锳B的中點(diǎn)，所以，而平面，OE?平面，所以平面，又平面平面，所以平面平面（2）因?yàn)闉檎切?，所以，因?yàn)槿庵钦庵云矫嫫矫?，而平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槿庵钦庵?，，所以?cè)面是矩形，分別為的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，即，取，解得，設(shè)直線與平面所成角為，所以.2．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為矩形，M，N分別為AC，的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)若二面角的余弦值為，，為正三角形，求直線和平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）只需運(yùn)用兩次線面平行的判定定理分別證明平面，以及平面，最后再結(jié)合面面平行的判定定理即可得證；（2）利用等體積法，找出二面角的平面角，計(jì)算所需高和面積，從而建立方程即可求解.【詳解】（1）因?yàn)镸，N分別為側(cè)面為矩形的邊AC，的中點(diǎn)，所以，即四邊形是平行四邊形，所以,因?yàn)?，所以，即四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)镸，N分別為側(cè)面為矩形的邊AC，的中點(diǎn)，所以，即四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，BM?平面，平面，所以平面平面；（2）由（1）可知四邊形是平行四邊形，又，所以平行四邊形是矩形，從而，因?yàn)闉檎切?，所以為正三角形，又因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面，平面，所以是二面角的平面角，它的余弦值為，那么它的正弦值為，因?yàn)椋瑸檎切?，所以為正三角形，且，于三棱錐而言，若將三角形看作三棱錐的底面，設(shè)為三棱錐的高，則對(duì)應(yīng)三棱錐的高為，而三角形的面積為，而，所以，又，所以，所以三角形的面積為，設(shè)直線和平面所成角的正弦值為sinθ，而，則點(diǎn)到平面的距離為，由等體積法有，即，解得，即直線和平面所成角的正弦值為.3．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在圓錐中，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，四邊形是底面的內(nèi)接正方形，分別為的中點(diǎn)，過點(diǎn)的平面為.(1)證明：平面平面；(2)若圓錐的底面圓半徑為2，高為，設(shè)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析(2).【分析】（1）由線面平行的判定定理可證平面，平面，再由面面平行的判定定理即可證明平面平面；（2）由題意可得，點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，再由三棱錐的體積公式，代入計(jì)算，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，從而，又平面平面，所以平面，連接，則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，即平面平面.（2）由題知，平面.連接，則.因?yàn)橛桑?）的證明可知平面平面，所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，所以，所以三棱錐的體積為.考點(diǎn)九、空間中面面平行的性質(zhì)1．（2020·山東·高考真題）已知點(diǎn)，分別是正方形的邊，的中點(diǎn).現(xiàn)將四邊形沿折起，使二面角為直二面角，如圖所示.（1）若點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面；（2）求直線與平面ABFE所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）要證明線面平行，可轉(zhuǎn)化為證明面面平行；（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可知平面ABFE，再結(jié)合線面角的定義，可得得到直線與平面ABFE所成角的正弦值.【詳解】證明：（1）連接，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，，在中，又因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，所以.同理可證得，又因?yàn)椋謩e為正方形的邊，的中點(diǎn)，故，所以.又因?yàn)?，所以平面平?又因?yàn)槠矫?，所以平?（2）因?yàn)闉檎叫?，，分別是，的中點(diǎn)，所以四邊形為矩形，則.又因?yàn)槎娼菫橹倍娼?，平面平面，平面，所以平面ABFE，則為直線在平面ABFE內(nèi)的射影，因?yàn)闉橹本€與平面ABFE所成的角.不妨設(shè)正方形邊長為，則，在中，，因?yàn)槠矫鍭BFE，平面ABFE，所以，在中，，，即為直線與平面ABFE所成角的正弦值.2．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，以正方形的邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)120°形成的面圍成一個(gè)幾何體．設(shè)是上的一點(diǎn)，，分別為線段，的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證法一：在正方形中，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)，連接，通過證明可得，進(jìn)而利用線面平行的判定定理即可證明；證法二：取的中點(diǎn)，連接，，通過證明四邊形是平行四邊形可得，進(jìn)而利用線面平行的判定定理即可證明；證法三：取的中點(diǎn)，連接，，利用面面平行的判定定理證明平面平面，從而即可得證平面.（2）首先通過線面垂直的判定定理證明BP⊥平面可得，然后建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法可求平面與平面夾角的余弦值.【詳解】（1）證法一：在正方形中，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)，連接．因?yàn)?，分別為線段，中點(diǎn)，所以，所以，所以，所以．又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面．證法二：取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，分別為線段，的中點(diǎn)，所以，，又因?yàn)?，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．證法三：取的中點(diǎn)，連接，．因?yàn)椋謩e為線段，的中點(diǎn)，所以，，又因?yàn)槠矫?，BP?平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．又因?yàn)?，平面，平面，所以平面平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面．?）依題意得，平面，又因?yàn)锽P?平面，所以．又因?yàn)?，AB∩AE=A，，平面，所以BP⊥平面，又平面，所以，所以，，兩兩垂直．以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．不妨設(shè)，，則，，，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，則即，取，得，，所以平面的一個(gè)法向量是，又平面的一個(gè)法向量為n=0,1,0設(shè)平面與平面的夾角為，則．所以平面與平面夾角的余弦值為．1．（23-24高三上·北京東城·期末）如圖，在直三棱柱中，分別為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.【答案】(1)證明見解析(2)1【分析】（1）通過取的中點(diǎn)構(gòu)建平面平面即得；（2）由題設(shè)易于建系，運(yùn)用空間向量的夾角公式表示出直線與平面所成角的正弦值，解方程即得.【詳解】（1）如圖，取線段的中點(diǎn)，連接,因分別為的中點(diǎn),故有,又因?yàn)槠矫?，平?故平面，平面，又,則平面平面,因平面，則平面.（2）如圖，分別以為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則,設(shè)點(diǎn),則，代入坐標(biāo)得：，即，于是,,設(shè)平面的法向量為，則有故可取，依題意得，，解得：λ=12，即線段的長為1.2．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在六棱錐中，平面是邊長為的正六邊形，平面為棱上一點(diǎn)，且.(1)證明：平面PAC；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2).【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，由正六邊形的性質(zhì)可求得，再由，得，則平面PAC，然后由，得平面PAC，則由面面平行的判定定理可得平面平面PAC，再由面面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）由平面，得兩兩垂直，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】（1）證明：如圖，連接交于點(diǎn)，連接.因?yàn)榱呅问沁呴L為的正六邊形，所以,所以，所以.又，所以.因?yàn)槠矫嫫矫鍼AC，所以平面PAC.又平面平面PAC，所以平面PAC.又平面，所以平面平面PAC.又平面，所以平面PAC.（2）解：由平面，得兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則所以，.設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，令，得，則平面的一個(gè)法向量為.由（1）得平面平面PAC，又平面PAC，所以平面，從而為平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.3．（2024·山東濰坊·三模）如圖，在直三棱柱中，，是棱的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求二面角的大小．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，先得出平面平面，由面面平行證明線面平行即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)面面夾角的向量公式計(jì)算即可．【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，由直三棱柱得，，，因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，同理可得四邊形為平行四邊形，所以所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，所以平面平面，又A1C?平面，所以平面．（2）設(shè)，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為n1=由得，，取，的，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由得，，取，的n2=0,1,1，設(shè)平面與平面的夾角為，則，由圖可知二面角為銳角，則二面角的大小為．考點(diǎn)十、補(bǔ)全條件證空間中的平行關(guān)系1．（2023·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測(cè)）三棱柱中，四邊形是菱形，，平面平面，是等腰三角形，∠ACB=120°，，與交于點(diǎn)M，，的中點(diǎn)分別為N，O，如圖所示.(1)在平面內(nèi)找一點(diǎn)D，使平面，并加以證明；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)為的中點(diǎn)，證明見解析；(2).【分析】（1）取的中點(diǎn)，利用線面平行的判定推理作答.（2）以點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解作答.【詳解】（1）連接，取的中點(diǎn)為，連接，則平面.在三棱柱中，四邊形是平行四邊形，即為的中點(diǎn)，而為的中點(diǎn)，于是，平面平面，所以平面.（2）在三棱柱中，是等腰三角形，為的中點(diǎn)，則，而平面平面，平面平面平面，于是平面，連接，而四邊形是菱形，且，，則，，即有兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，顯然平面的一個(gè)法向量為，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，令二面角的平面角為，則，所以二面角的正弦值為.2．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，四邊形為直角梯形，且，，，，．為等邊三角形，平面ABE⊥平面．

(1)線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面，若存在，請(qǐng)說明點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由；(2)空間中有一動(dòng)點(diǎn)，滿足，且．求點(diǎn)的軌跡長度．【答案】(1)線段上存在中點(diǎn)，使得平面，理由見解析(2)3【分析】（1）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，即可證明，，從而得到平面平面，即可得到平面；（2）取的中點(diǎn)，連接、，即可證明平面，從而得到平面，又，則點(diǎn)在以為直徑的球與平面的交線上，即點(diǎn)的軌跡為圓，取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則平面，再求出的軌跡圓的半徑，即可氣求出軌跡長.【詳解】（1）線段上存在中點(diǎn)，使得平面，理由如下：

取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)榍?，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，又，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又平面，所以平面，即為線段的中點(diǎn)時(shí)，平面.（2）取的中點(diǎn)，連接、，又，為等邊三角形，所以，，，平面，所以平面，又，所以平面，又，所以點(diǎn)在以為直徑的球上，所以點(diǎn)在以為直徑的球與平面的交線上，即點(diǎn)的軌跡為圓，取的中點(diǎn)，由平面，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則平面，又，則，設(shè)球的半徑為，的軌跡圓的半徑為，則，，所以點(diǎn)的軌跡長度為.

3．（2023·浙江·三模）如圖，三棱臺(tái)中，，，為線段上靠近的三等分點(diǎn).(1)線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，請(qǐng)求出的值；(2)若，，點(diǎn)到平面的距離為，且點(diǎn)在底面的射影落在內(nèi)部，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)存在，(2)【分析】（1）取的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接、、，證明出平面平面，利用面面平行的性質(zhì)可得出平面，由此可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接，過點(diǎn)在平面A1OB內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，證明出平面，求出的值，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）取的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接、、，則，又因?yàn)?，所以，四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)槠矫?，AA1?平面，所以，平面，因?yàn)椋?，，因?yàn)镈E?平面，平面，所以，平面，因?yàn)?，、平面，所以，平面平面，因?yàn)槠矫?，故平面，因此，線段上是否存在點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，平面.（2）過點(diǎn)在平面內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，連接，由，，，所以，，所以，，所以，，過點(diǎn)在平面A1OB內(nèi)作，垂足為點(diǎn)，因?yàn)?，，，A1O、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫妫瑒t，又因?yàn)?，，、平面，所以，平面，因?yàn)辄c(diǎn)到平面的距離為，即，且，所以，，由圖可知，∠A1OB以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，，，設(shè)平面的法向量，則，取x=3，則，