85-第二型曲面積分省公開(kāi)課一等獎(jiǎng)全國(guó)示范課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

曲面分類:1.雙側(cè)曲面;2.單側(cè)曲面.經(jīng)典雙側(cè)曲面8-5第二型曲面積分1.雙側(cè)曲面動(dòng)點(diǎn)在雙側(cè)曲面上連續(xù)移動(dòng)(不跨越曲面邊界)并返回到起始點(diǎn)時(shí),其法向量指向不變.第1頁(yè)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)?曲面分類

雙側(cè)曲面單側(cè)曲面曲面分左側(cè)和右側(cè)

第2頁(yè)莫比烏斯帶經(jīng)典單側(cè)曲面:第3頁(yè)莫比烏斯帶

第4頁(yè)其方向使用方法向量指向方向余弦>0為前側(cè)<0為后側(cè)封閉曲面>0為右側(cè)<0為左側(cè)

>0為上側(cè)<0為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)?設(shè)

為有向曲面,側(cè)要求

指定了側(cè)曲面叫有向曲面,

表示:其面元在xOy

面上投影記為面積為則要求類似可要求第5頁(yè)實(shí)例:流向曲面一側(cè)流量.2.第二型曲面積分概念第6頁(yè)

S是速度場(chǎng)中一片有向曲面,函數(shù)),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP都在S上連續(xù),

求在單位時(shí)間內(nèi)流向S指定側(cè)流體質(zhì)量F.(2)設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)不可壓縮流體(假定密度為1)速度場(chǎng)由kzyxRjzyxQizyxPzyxvrrrr),,(),,(),,(),,(++=給出.

第7頁(yè)1.分割則該點(diǎn)流速為法向量為.把曲面S分成n小塊(),第i小塊曲面面積同時(shí)也代表在上任取一點(diǎn)第8頁(yè)2.求和經(jīng)過(guò)S流向指定側(cè)流量該點(diǎn)處曲面S單位法向量第9頁(yè)3.取極限.得到流量m準(zhǔn)確值第10頁(yè),則

第11頁(yè)第二型曲面積分定義設(shè)S是一個(gè)分片光滑雙側(cè)曲面,記選定一側(cè)單位法向量為假設(shè)在S上給定了一個(gè)向量函數(shù)將S分割成n個(gè)不相重合小曲面片在上任取一點(diǎn)作和式令是中直徑最大者

在S上選定了一側(cè),第12頁(yè)若和式對(duì)Ｓ任意一個(gè)分割及中間點(diǎn)任意選取，當(dāng)時(shí)總有極限，則稱此極限為向量函數(shù)在Ｓ所指定一側(cè)上第二型曲面積分，也稱為對(duì)坐標(biāo)曲面積分或第13頁(yè)其中與為同一個(gè)曲面兩個(gè)相反定向.(2)若積分與存在,則其中為任意常數(shù)．第二型曲面積分性質(zhì)第14頁(yè)其中由互不重合兩個(gè)曲面組成．3.第二型曲面積分計(jì)算第二型曲面積分可表示成第一型曲面積分形式和坐標(biāo)形式第15頁(yè)為dS在平面上有向投影面積.若單位法向量方向余弦為(上正下負(fù))第16頁(yè)平面上有向投影面積.平面上有向投影面積.(前正后負(fù))(右正左負(fù))第17頁(yè)稱為P在有向曲面S上對(duì)坐標(biāo)y,z曲面積分;稱為Q在有向曲面S上對(duì)坐標(biāo)z,x曲面積分;稱為R在有向曲面S上對(duì)坐標(biāo)x,y曲面積分;若以-S表示曲面S另一側(cè)，則由定義可得注意:對(duì)坐標(biāo)曲面積分,必須注意曲面所取側(cè).第18頁(yè)取上側(cè),是S上連續(xù)函數(shù),則設(shè)光滑曲面注：積分計(jì)算，必須先將曲面表示成：再代公式計(jì)算積分計(jì)算方法：第19頁(yè)說(shuō)明:假如積分曲面S取下側(cè),則若曲面S是母線平行于z軸柱面（垂直于xy坐標(biāo)面）則第20頁(yè)(前正后負(fù))將曲面S表示為若曲面S是母線平行于x軸柱面（垂直于yoz坐標(biāo)面）則積分計(jì)算方法：第21頁(yè)(右正左負(fù))若曲面S是母線平行于y軸柱面（垂直于zox坐標(biāo)面）則積分計(jì)算方法：將曲面S表示為注意:對(duì)坐標(biāo)曲面積分,必須注意曲面所取側(cè).第22頁(yè)概括為：代：將曲面方程表示為二元顯函數(shù)，然后代入被積函數(shù)，將其化成二元函數(shù)投：將積分曲面投影到與有向面積元素（如dxdy）中兩個(gè)變量同名坐標(biāo)面上（如xoy面）定號(hào)：

由曲面方向，即曲面?zhèn)却_定二重積分正負(fù)號(hào)一代、二投、三定號(hào)注意積分曲面方程必須表示為單值顯函數(shù)不然分片計(jì)算，結(jié)果相加②確定正負(fù)號(hào)標(biāo)準(zhǔn)：曲面取上側(cè)、前側(cè)、右側(cè)時(shí)為正曲面取下側(cè)、后側(cè)、左側(cè)時(shí)為負(fù)？第23頁(yè)第二型曲面積分性質(zhì)（坐標(biāo)形式）⑴⑵若曲面S由兩兩無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)曲面

Si

i=1,2,...,n所組成，則第24頁(yè)由第二型曲面積分定義，流體以速度從曲面S負(fù)側(cè)流向正側(cè)總流量第25頁(yè)解第26頁(yè)第27頁(yè)第28頁(yè)第29頁(yè)第30頁(yè)第31頁(yè)第32頁(yè)第33頁(yè)第34頁(yè)第35頁(yè)法向量指向上側(cè)時(shí)取正，指向下側(cè)時(shí)取負(fù)．單位法向