2024-2025學(xué)年山東省青島市高二上冊第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年山東省青島市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是（）A.單位向量都相等B.若，則，的長度相等而方向相同或相反C.若向量，滿足，則D.相等向量其方向必相同2.已知，且，則的值為（）A.5 B. C.3 D.43.已知為空間的一個(gè)基底，則下列各組向量中能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，4.如圖，在四面體中，，，，點(diǎn)M、N分別在線段、上，且，，則等于（）A. B.C. D.5.若數(shù)據(jù)、、…、的平均數(shù)是4，方差是4，數(shù)據(jù)、、…、的平均數(shù)是，標(biāo)準(zhǔn)差是，則下列結(jié)論正確的是（）A， B.，C.， D.，6.在中，已知是邊上一點(diǎn)，若，則（）A.2 B.１C-2 D.－17.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（）A. B.C. D.8.以等腰直角三角形斜邊上高為折痕，把和折成的二面角.若，，則最小值為（）A. B. C. D.二、多選題：本題共4小題，每小題6分，共24分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法中正確的是（

）A.若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大B.若直線的傾斜角為，則直線的斜率為C.若，，則直線傾斜角為D.若直線過點(diǎn)，且它的傾斜角為，則這條直線必過點(diǎn)10.已知向量，，，則（）A. B.C. D.11.設(shè)A，B易兩個(gè)隨機(jī)事件，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.若A，B是互斥事件，則B.若，則C.若A，B是相互獨(dú)立事件，則D.若，則A，B相互獨(dú)立事件12.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚是在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1）把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體．若圖3中每個(gè)正方體的棱長為1，則（）A.B.異面直線與所成角正弦值為C.點(diǎn)到直線的距離是D.為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為3三、填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．13.已知，則與夾角的余弦值為______________________.14.如圖，平行六面體的所有棱長均為兩兩所成夾角均為，點(diǎn)分別在棱上，且，則__________.15.如圖，在長方體中，，以D為原點(diǎn)，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，若為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為______．16.已知，若點(diǎn)在線段上，則的最小值為______．四、解答題：本題共3小題，共36分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.如圖，在四棱錐中，，，平面，，、分別是棱、的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的正弦值．18.某高校的入學(xué)面試中有3道難度相當(dāng)?shù)念}目，李明答對每道題目的概率都是0.6．若每位面試者共有三次機(jī)會(huì)，一旦某次答對抽到的題目，則面試通過，否則就一直抽題到第3次為止．用Y表示答對題目，用N表示沒有答對題目，假設(shè)對抽到的不同題目能否答對是獨(dú)立的，那么（1）在樹狀圖中填寫樣本點(diǎn)，并寫出樣本空間；（2）求李明第二次答題通過面試的概率；（3）求李明最終通過面試的概率．19.在中，，，，分別是上點(diǎn)，滿足且經(jīng)過的重心，將沿折起到的位置，使，是的中點(diǎn)，如圖所示.（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的大??；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為？若存在，求出的長度；若不存在，請說明理由.2024-2025學(xué)年山東省青島市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是（）A.單位向量都相等B.若，則，的長度相等而方向相同或相反C.若向量，滿足，則D.相等向量其方向必相同【正確答案】D【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念及向量的性質(zhì)，即可判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A，單位向量長度相等，方向不確定，故A錯(cuò)誤；對于B，只能說明，的長度相等而方向不確定，故B錯(cuò)誤；對于C，向量作為矢量不能比較大小，故C錯(cuò)誤；對于D，相等向量方向相同大小相等，故D正確.故選：D.2.已知，且，則的值為（）A.5 B. C.3 D.4【正確答案】D【分析】由題意可得，代入坐標(biāo)計(jì)算可得答案．【詳解】由題意可得，則，解之可得.故選：D．3.已知為空間的一個(gè)基底，則下列各組向量中能構(gòu)成空間的一個(gè)基底的是（）A.，， B.，，C，， D.，，【正確答案】B【分析】根據(jù)空間向量基底的概念，空間的一組基底，必須是不共面的三個(gè)向量求解判斷.【詳解】對于A，設(shè)，即，解得，所以，，共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故A錯(cuò)誤；對于B，設(shè)，無解，所以不共面，能構(gòu)成空間的一組基底，故B正確；對于C，設(shè)，解得，所以共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)，解得，所以共面，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故D錯(cuò)誤.故選：B.4.如圖，在四面體中，，，，點(diǎn)M、N分別在線段、上，且，，則等于（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】由空間向量基本定理結(jié)合線段比例關(guān)系分解向量即可.【詳解】由題意.故選：A.5.若數(shù)據(jù)、、…、的平均數(shù)是4，方差是4，數(shù)據(jù)、、…、的平均數(shù)是，標(biāo)準(zhǔn)差是，則下列結(jié)論正確的是（）A.， B.，C.， D.，【正確答案】D【分析】由數(shù)據(jù)、、…、的平均數(shù)是4，方差是4，數(shù)據(jù)、、…、的平均數(shù)是，方差，代入計(jì)算可得平均數(shù)，方差的值，開方求出標(biāo)準(zhǔn)差，可得答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)據(jù)、、…、的平均數(shù)是4，方差是4，即，，數(shù)據(jù)、、…、的平均數(shù)，數(shù)據(jù)、、…、方差，所以標(biāo)準(zhǔn)差是.故選：D.6.在中，已知是邊上一點(diǎn)，若，則（）A.2 B.１C.-2 D.－1【正確答案】C【分析】由可得為線段的三等分點(diǎn)中靠近的點(diǎn)，由向量的加(減)法及數(shù)乘運(yùn)算可得，即可求得.【詳解】解：如圖所示：因?yàn)椋詾榫€段的三等分點(diǎn)中靠近的點(diǎn)，所以=,所以，所以.故選：C.7.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（）A. B.C D.【正確答案】C【分析】本題運(yùn)用投影向量的定義即可解題.【詳解】因?yàn)?，則故向量在向量上的投影向量是故選：C.8.以等腰直角三角形斜邊上高為折痕，把和折成的二面角.若，，則最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)二面角的平面角的定義得是和折成120°的二面角的平面角，解三角形求得，，由已知得點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，則的最小值為點(diǎn)D到平面ABC的距離，設(shè)點(diǎn)D到平面ABC的距離為h，運(yùn)用等體積法可求得答案.【詳解】由已知得，所以是和折成的二面角的平面角，所以，又，所以，，所以，因?yàn)椋渲?，所以點(diǎn)在平面內(nèi)，則的最小值為點(diǎn)到平面的距離，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)?，，平面，所以平面，所以是點(diǎn)到平面的距離，所以，又中，，所以，而為三角形內(nèi)角，所以，則，所以，解得，所以的最小值為，故選：C.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：空間向量中的線段長度的最值問題，可根據(jù)向量代數(shù)式的幾何意義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距的問題來處理.二、多選題：本題共4小題，每小題6分，共24分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法中正確的是（

）A.若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大B.若直線的傾斜角為，則直線的斜率為C.若，，則直線的傾斜角為D.若直線過點(diǎn)，且它的傾斜角為，則這條直線必過點(diǎn)【正確答案】CD【分析】根據(jù)傾斜角與斜率關(guān)系，點(diǎn)斜式及斜截式判斷各項(xiàng)正誤即可.【詳解】A：傾斜角為銳角，斜率為正；傾斜角為鈍角時(shí)，斜率為負(fù)，錯(cuò)；B：直線的傾斜角為時(shí)，直線的斜率不存在，錯(cuò)；C：由題設(shè)，知兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，直線方程為，直線的傾斜角為，對；D：過，兩點(diǎn)的斜率為：，對.故選：CD.10.已知向量，，，則（）A. B.C. D.【正確答案】BD【分析】利用空間向量的運(yùn)算公式逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對于A，，故，故A錯(cuò)誤；對于B，，，故B正確；對于C，，故，故C錯(cuò)誤；對于D，，故，故D正確.故選：BD11.設(shè)A，B易兩個(gè)隨機(jī)事件，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.若A，B是互斥事件，則B.若，則C.若A，B是相互獨(dú)立事件，則D.若，則A，B是相互獨(dú)立事件【正確答案】CD【分析】A由互斥事件概念可知；B由事件的包含關(guān)系得；C由概率性質(zhì)與概率乘法公式可得；D由概率加法公式與相互獨(dú)立事件的定義可得.【詳解】A項(xiàng)，若互斥事件，不可能同時(shí)發(fā)生，，故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，若，則，則，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，若相互獨(dú)立，則，所以，故C正確；D項(xiàng)，由，且事件互斥，則,若，則，又，，故相互獨(dú)立，故D正確.故選：CD.12.布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚是在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1）把三片這樣的達(dá)·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個(gè)組合再轉(zhuǎn)換成圖3所示的幾何體．若圖3中每個(gè)正方體的棱長為1，則（）A.B.異面直線與所成角正弦值為C.點(diǎn)到直線的距離是D.為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為3【正確答案】BD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)坐標(biāo)運(yùn)算可判斷A；利用向量夾角公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解，可判斷B；根據(jù)點(diǎn)到直線的向量公式可判斷C；利用坐標(biāo)表示出，即可判斷D；【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，故，，對于A，所以，A錯(cuò)誤；對于B，記異面直線與所成角為，則，所以，故B正確.對于C，記同向的單位向量為，則點(diǎn)P到直線的距離，故C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)點(diǎn)，使，，則，故，則，因，則時(shí)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最大值3，故D項(xiàng)正確；故選：BD.方法點(diǎn)睛：解決此類問題的主要方法有：（1）定義法：運(yùn)用空間向量的加減數(shù)乘和數(shù)量積的定義進(jìn)行計(jì)算分析；（2）基底表示法：將相關(guān)向量用空間的一組基底表示再進(jìn)行相關(guān)計(jì)算；（3）建系法：通過建立空間直角坐標(biāo)系，引入相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)線距離公式、空間向量的夾角公式等公式計(jì)算即得.三、填空題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．13.已知，則與夾角的余弦值為______________________.【正確答案】##【分析】由空間向量的數(shù)量積公式求解即可．【詳解】，.故14.如圖，平行六面體的所有棱長均為兩兩所成夾角均為，點(diǎn)分別在棱上，且，則__________.【正確答案】##【分析】先由幾何圖形結(jié)合向量加減運(yùn)算求出，接著由已知條件結(jié)合向量的運(yùn)算律計(jì)算求出即可求解.【詳解】連接，則由題得，所以，故.故答案為.15.如圖，在長方體中，，以D為原點(diǎn)，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，若為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為______．【正確答案】【分析】根據(jù)已知得出點(diǎn)的坐標(biāo)，應(yīng)用向量法求點(diǎn)到平面距離即可.【詳解】如圖可得,設(shè)平面法向量為,所以,令x=1,所以,所以,所以到平面的距離為.故答案為.16.已知，若點(diǎn)在線段上，則的最小值為______．【正確答案】【分析】表示線段上點(diǎn)Px,y和點(diǎn)連線的斜率，進(jìn)而由數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】表示線段上點(diǎn)Px,y和點(diǎn)連線的斜率，如圖:由圖形可知，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)的斜率最小，又，所以，故的最小值為.故答案為.四、解答題：本題共3小題，共36分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.如圖，在四棱錐中，，，平面，，、分別是棱、的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的正弦值．【正確答案】（1）證明見解析（2）．【分析】（1）由中位線易證明四邊形是平行四邊形，進(jìn)而得到，進(jìn)而得到平面；（2）由題易知，，兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，通過平面與平面的夾角計(jì)算公式計(jì)算余弦值，再用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算正弦值；【小問1詳解】如圖所示，連接．因?yàn)?，分別是棱，的中點(diǎn)，所以，因，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，則．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．【小?詳解】因?yàn)槠矫妫矫?所以，又因?yàn)椋?，，兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由題中數(shù)據(jù)可得，，，．設(shè)平面的法向量為，則令，得．因?yàn)?，，平面，所以平面平面的一個(gè)法向量為．設(shè)平面與平面的夾角為，則．故，即平面與平面的夾角的正弦值為．18.某高校的入學(xué)面試中有3道難度相當(dāng)?shù)念}目，李明答對每道題目的概率都是0.6．若每位面試者共有三次機(jī)會(huì)，一旦某次答對抽到的題目，則面試通過，否則就一直抽題到第3次為止．用Y表示答對題目，用N表示沒有答對題目，假設(shè)對抽到的不同題目能否答對是獨(dú)立的，那么（1）在樹狀圖中填寫樣本點(diǎn)，并寫出樣本空間；（2）求李明第二次答題通過面試的概率；（3）求李明最終通過面試的概率．【正確答案】（1）樹狀圖見解析，樣本空間為（2）（3）【分析】（1）根據(jù)題意，列出樹狀圖，并寫出樣本空間即可；（2）由第二次通過面試，即第一次沒有通過，第二次通過，結(jié)合相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，即可求解；（3）先求出未通過面試的概率，結(jié)合對立事件的概率求法，即可求解.【小問1詳解】解：根據(jù)題意，可得樹狀圖及樣本點(diǎn)，如圖所示，其樣本空間為.【小問2詳解】解：由題意知，，所以第二次答題通過面試的概率.【小問3詳解】