2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)平面解析幾何

2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)

平面解析幾何目錄01高考?xì)w納02解題技巧03題型練習(xí)01高考?xì)w納ABABDABD

02解題技巧1.與圓有關(guān)的軌跡方程問(wèn)題的求解方法（1）直接法：當(dāng)題目條件中含有與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的等式時(shí)，可設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示等式，直接求解軌跡方程.（2）定義法：當(dāng)題目條件符合圓的定義時(shí)，可直接利用定義確定其圓心和半徑，寫(xiě)出圓的方程.（3）代入法：當(dāng)題目條件中已知某動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，而要求的點(diǎn)與該動(dòng)點(diǎn)有關(guān)時(shí)，常找出要求的點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系，代入動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的關(guān)系式求軌跡方程.2.過(guò)一點(diǎn)的圓的切線(xiàn)問(wèn)題的求解方法（1）若點(diǎn)在圓上，斜率存在時(shí)，先求點(diǎn)與圓心連線(xiàn)的斜率，由切線(xiàn)與過(guò)切點(diǎn)、圓心的直線(xiàn)垂直的關(guān)系知切線(xiàn)的斜率為-1，由點(diǎn)斜式方程可求出切線(xiàn)方程；斜率不存在時(shí)，則根據(jù)圖形可直接寫(xiě)出切線(xiàn)方程.（2）若點(diǎn)在圓外，可采用幾何法和代數(shù)法兩種方法來(lái)求.幾何法：當(dāng)斜率存在時(shí)，由圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑求出斜率，即可得出切線(xiàn)方程.代數(shù)法：當(dāng)斜率存在時(shí)，將直線(xiàn)方程代入圓的方程，得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，根據(jù)判別式?=0求出斜率，即可得出切線(xiàn)方程.4.與橢圓性質(zhì)有關(guān)的最值或取值范圍的求解方法（1）利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì)，求最值或取值范圍.（2）利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)求最值或取值范圍.（3）利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范圍.（4）利用一元二次方程的根的判別式求最值或取值范圍.6.求解與雙曲線(xiàn)性質(zhì)有關(guān)的范圍（或最值）問(wèn)題的方法（1）幾何法：如果題中給出的條件有明顯的幾何特征，那么可以考慮用圖形的性質(zhì)來(lái)求解，特別是用雙曲線(xiàn)的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求解.（2）代數(shù)法：若題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，將雙曲線(xiàn)的范圍（或最值）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)等函數(shù)的范圍（或最值）問(wèn)題，然后利用配方法、判別式法、基本不等式法、函數(shù)的單調(diào)性及三角函數(shù)的有界性等求解.（3）不等式法：借助題目給出的不等信息列出不等關(guān)系式求解.7.利用拋物線(xiàn)的定義可解決的常見(jiàn)問(wèn)題（1）軌跡問(wèn)題：用拋物線(xiàn)的定義可以確定動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、定直線(xiàn)距離有關(guān)的軌跡是否為拋物線(xiàn)；（2）距離問(wèn)題：涉及拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離、到準(zhǔn)線(xiàn)的距離問(wèn)題時(shí)，注意利用兩者之間的轉(zhuǎn)化在解題中的應(yīng)用.8.直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略：（1）求線(xiàn)段長(zhǎng)度和線(xiàn)段之積（和）的最值.可依據(jù)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交，利用弦長(zhǎng)公式，求出弦長(zhǎng)或弦長(zhǎng)關(guān)于某個(gè)量的函數(shù)，然后利用基本不等式或利用函數(shù)的知識(shí)，求函數(shù)的最值；也可利用拋物線(xiàn)的定義轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離或點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.（2）求直線(xiàn)方程.先尋找確定直線(xiàn)的兩個(gè)條件，若缺少一個(gè)可設(shè)出此量，利用題設(shè)條件尋找關(guān)于該量的方程，解方程即可.（3）求定值.可借助于已知條件，將直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，尋找待定式子的表達(dá)式，化簡(jiǎn)即可得到.9.圓錐曲線(xiàn)中的最值問(wèn)題的求解方法（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：將常見(jiàn)的幾何圖形所涉及的結(jié)論轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題求解，常見(jiàn)的幾何圖形所涉及的結(jié)論有：①兩圓相切時(shí)半徑的關(guān)系；②三角形三邊的關(guān)系式；③動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)構(gòu)成線(xiàn)段的和或差的最小值，經(jīng)常在兩點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取到，注意同側(cè)與異側(cè)；④幾何法轉(zhuǎn)化所求目標(biāo)，常用勾股定理、對(duì)稱(chēng)、圓錐曲線(xiàn)的定義等.（2）函數(shù)最值法：題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則考慮先建立目標(biāo)函數(shù)（通常為二次函數(shù)），再求這個(gè)函數(shù)的最值，求函數(shù)的最值常見(jiàn)的方法有配方法、基本不等式法、判別式法、單調(diào)性法、三角換元法.10.圓錐曲線(xiàn)中的取值范圍問(wèn)題的求解方法（1）函數(shù)法：用其他變量表示參數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系，利用求函數(shù)值域的方法求解.（2）不等式法：根據(jù)題意建立含參數(shù)的不等式，通過(guò)解不等式求參數(shù)的取值范圍.（3）判別式法：建立關(guān)于某變量的一元二次方程，利用判別式?求參數(shù)的取值范圍.（4）數(shù)形結(jié)合法：研究參數(shù)所表示的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.11.圓錐曲線(xiàn)中定點(diǎn)問(wèn)題求解步驟一選（設(shè)參）：選擇變量，定點(diǎn)問(wèn)題中的定點(diǎn)，隨某一個(gè)量的變化而固定，可選擇這個(gè)量為變量（有時(shí)可選擇兩個(gè)變量，如點(diǎn)的坐標(biāo)、斜率、截距等，然后利用其他輔助條件消去其中之一）.二求（用參）：求出定點(diǎn)所滿(mǎn)足的方程，即把需要證明為定點(diǎn)的問(wèn)題表示成關(guān)于上述變量的方程.三定點(diǎn)（消參）：對(duì)上述方程進(jìn)行必要的化簡(jiǎn)，即可得到定點(diǎn)坐標(biāo).12.求解定值問(wèn)題的方法（1）證明代數(shù)式為定值：依題意設(shè)條件，得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式，代入代數(shù)式、化簡(jiǎn)即可得出定值.（2）證明點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為定值：利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得出距離的關(guān)系式，再利用題設(shè)條件化簡(jiǎn)、變形得出定值.（3）證明某線(xiàn)段長(zhǎng)度為定值：利用兩點(diǎn)間距離公式求得關(guān)系式，再依據(jù)條件對(duì)關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)、變形即可得出定值.（4）證明某幾何圖形的面積為定值：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩個(gè)，一是計(jì)算面積，二是恒等變形，通常是規(guī)則圖形的面積，一般是三角形或四邊形.對(duì)于其他凸多邊形，一般需要分割成三角形求解，利用面積求解方法，求得關(guān)系式，再將由已知得到的變量之間的等量關(guān)系式代入面積關(guān)系式中，進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求得定值.13.幾何證明問(wèn)題的解題策略（l）圓錐曲線(xiàn)中的證明問(wèn)題，主要有兩類(lèi)：一是證明點(diǎn)、直線(xiàn)、曲線(xiàn)等幾何元素中的位置關(guān)系，如某點(diǎn)在某直線(xiàn)上、某直線(xiàn)經(jīng)過(guò)某個(gè)點(diǎn)、某兩條直線(xiàn)平行或垂直等；二是證明直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)