期末復(fù)習(xí)綜合測試題(4)-【新教材】人教A版(2019)高中數(shù)學(xué)必修第一冊

必修第一冊綜合測試題四一．選擇題（共12小題）1．函數(shù)定義域為A． B． C．， D．，2．已知全集為實數(shù)集，，，則A． B． C． D．3．關(guān)于的方程有實數(shù)解的充要條件是A． B． C． D．4．已知命題：“，”，若為真命題，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C．， D．，5．不等式的解集是，，則等于A． B．14 C． D．106．已知實數(shù)，，且，則的最小值為A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有3個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為A． B．， C． D．，8．劉徽（約公元225年年），魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家，中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一．他在割圓術(shù)中提出的“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳作．割圓術(shù)的核心思想是將一個圓的內(nèi)接正邊形等分成個等腰三角形（如圖所示），當(dāng)變得很大時，這個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運用割圓術(shù)的思想得到的近似值為A． B． C． D．二．多選題（共4小題）9．已知集合，，若對于任意，，存在，，使得成立，則稱集合是“完美對點集”．給出下列四個集合：①；②；③；④．其中是“完美對點集”的序號為A．① B．② C．③ D．④10．已知，為正實數(shù)，且，則A．的最大值為 B．的最小值為 C．的最小值為4 D．的最大值為11．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則可作為方程實根的有A． B． C． D．12．已知函數(shù)，的部分圖象如圖所示，則A． B． C．若，則 D．若，則三．填空題（共4小題）13．已知，則．14．已知，則的最小值為．15．已知關(guān)于的方程在區(qū)間，上有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為．16．已知函數(shù)若函數(shù)恰有8個零點，則的范圍為．四．解答題（共6小題）17．已知函數(shù)．（1）求的值及函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）若，，不等式恒成立，求實數(shù)的取值集合．18．已知函數(shù)為常數(shù)）是奇函數(shù)．（1）求的值；（2）函數(shù)，若函數(shù)有零點，求參數(shù)的取值范圍．19．某公園欲將如圖所示的一塊矩形空地進行重新規(guī)劃，擬在邊長為的正方形內(nèi)種植紅色郁金香，正方形的剩余部分（即四個直角三角形內(nèi)）種植黃色郁金香．現(xiàn)要將以為一邊長的矩形改造為綠色草坪，要求綠色草坪的面積等于黃色郁金香的面積，設(shè)，．（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求的最大值．20．已知函數(shù)．（1）證明：函數(shù)在，上單調(diào)遞減；（2）解關(guān)于的不等式；（3）求函數(shù)的值域．21．已知奇函數(shù)．（1）求的值，并求函數(shù)的值域；（2）若函數(shù)在區(qū)間，上有兩個不同的零點，求的取值范圍．22．已知命題：關(guān)于的方程有兩個大于1的實數(shù)根．（1）若命題為真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）命題，是否存在實數(shù)使得是的必要不充分條件，若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由．

必修第一冊綜合測試題四參考答案與試題解析一．選擇題（共12小題）1．函數(shù)定義域為A． B． C．， D．，【分析】根據(jù)二次根式以及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的定義域即可．【解答】解：由題意得：，解得：，故選：．2．已知全集為實數(shù)集，，，則A． B． C． D．【分析】可求出集合，然后進行補集和交集的運算即可．【解答】解：，，，．故選：．3．關(guān)于的方程有實數(shù)解的充要條件是A． B． C． D．【分析】由，得的取值范圍，逐項判斷即可求得答案．【解答】解：因為，所以關(guān)于的方程有實根的充要條件是．故選：．4．已知命題：“，”，若為真命題，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C．， D．，【分析】直接利用存在性問題和真值表的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：命題：“，”，若為真命題，所以，即．故選：．5．不等式的解集是，，則等于A． B．14 C． D．10【分析】由不等式的解集，可求對應(yīng)方程的根，求出、，然后求出．【解答】解：因為所以是方程的根，所以，所以故選：．6．已知實數(shù)，，且，則的最小值為A． B． C． D．【分析】利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：，，且，，則．當(dāng)且僅當(dāng)且，即時取等號．的最小值為．故選：．7．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有3個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為A． B．， C． D．，【分析】先根據(jù)函數(shù)的解析式作出函數(shù)的圖象，然后利用換元法將關(guān)于的方程恰有3個不同的實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為有兩個不同的實數(shù)根，且，，，然后再利用二次方程根的分布列出不等式組，求解即可得到答案．【解答】解：因為函數(shù)，作出函數(shù)圖象如圖所示，因為關(guān)于的方程恰有3個不同的實數(shù)根，所以令，根據(jù)圖象可得，有兩個不同的實數(shù)根，且，，，記，則有，解得，所以實數(shù)的取值范圍為．故選：．8．劉徽（約公元225年年），魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家，中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一．他在割圓術(shù)中提出的“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳作．割圓術(shù)的核心思想是將一個圓的內(nèi)接正邊形等分成個等腰三角形（如圖所示），當(dāng)變得很大時，這個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運用割圓術(shù)的思想得到的近似值為A． B． C． D．【分析】取正60邊形，設(shè)半徑為1，利用等腰三角形的面積計算公式、圓的面積計算公式得出方程，即可得出的近似值．【解答】解：取正60邊形，設(shè)半徑為1，則，解得．故選：．二．多選題（共4小題）9．已知集合，，若對于任意，，存在，，使得成立，則稱集合是“完美對點集”．給出下列四個集合：①；②；③；④．其中是“完美對點集”的序號為A．① B．② C．③ D．④【分析】利用數(shù)形結(jié)合的方法解決，根據(jù)題意，若集合，是“完美對點集”，就是在函數(shù)圖象上任取一點，得直線，過原點與垂直的直線，若總與函數(shù)圖象相交即可．【解答】解：對于①，是以，軸為漸近線的雙曲線，漸近線的夾角是，所以在同一支上，任意，，不存在，，滿足“完美對點集”的定義；在另一支上對任意，，不存在，，使得成立，所以不滿足“完美對點集”的定義，不是“完美對點集”．對于②，，對于任意，，存在，，使得成立，例如、，，滿足“完美對點集”的定義，所以是“完美對點集”；對于③，，取點，曲線上不存在另外的點，使得兩點與原點的連線互相垂直，所以集合不是“完美對點集”．對于④，，如下圖紅線的直角始終存在，對于任意，，存在，，使得成立，例如取，則，滿足“完美對點集”的定義，所以是“完美對點集”；正確．故答案為：②④．故選：．10．已知，為正實數(shù)，且，則A．的最大值為 B．的最小值為 C．的最小值為4 D．的最大值為【分析】由不等式可分析選項，由不等式可分析選項，由已知得出，通過恒等變形以及基本不等式可分析，．【解答】解：對于選項，，即，又，為正實數(shù)，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，不等式可取等號，故正確；對于選項，，即，又，為正實數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，不等式可取等號，故正確；對于選項，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，不等式可取等號，故錯誤；對于選項，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，不等式可取等號，故正確；故選：．11．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則可作為方程實根的有A． B． C． D．【分析】由已知求得函數(shù)解析式，得到，進一步寫出分段函數(shù)，求解方程得答案．【解答】解：，為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，設(shè)，則，得，即．，則，令，當(dāng)時，解得或或．故選：．12．已知函數(shù)，的部分圖象如圖所示，則A． B． C．若，則 D．若，則【分析】由周期求出，由五點法作圖求出的值，可得函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)函數(shù)，的部分圖象，，，，故正確．為其圖象的一條對稱軸，故有，，，故錯誤．為其圖象的一條對稱軸，故若，則有，故正確，錯誤，故選：．三．填空題（共4小題）13．已知，則．【分析】利用兩角和的正切公式即可得解．【解答】解：因為，所以．故答案為：．14．已知，則的最小值為8．【分析】由已知結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)及二倍角公式進行化簡可求，然后結(jié)合基本不等式即可求解．【解答】解：因為，所以，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，的最小值8．故答案為：8．15．已知關(guān)于的方程在區(qū)間，上有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為．【分析】觀察方程的結(jié)構(gòu)特征，將它進行變形為，然后構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而將問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，有兩個不相等的實數(shù)根，利用根的分布列出不等式組，求解即可得到答案．【解答】解：因為方程，所以變形為，令，則有，因為在上單調(diào)遞增，所以即為，故當(dāng)時，有兩個不相等的實數(shù)根，在中，則有，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍為．故答案為：．16．已知函數(shù)若函數(shù)恰有8個零點，則的范圍為．【分析】利用分段函數(shù)的解析式，先作出函數(shù)的圖象，然后利用換元法將函數(shù)恰有8個零點轉(zhuǎn)化為方程在，必有兩個不等的實數(shù)根，再結(jié)合圖象分析即可得到答案．【解答】解：畫出函數(shù)的圖象如圖所示，設(shè)，由，得，因為有8個零點，所以方程有4個不同的實根，結(jié)合的圖象可得在，內(nèi)有4個不同的實根，所以方程必有兩個不等的實數(shù)根，即在，內(nèi)有2個不同的實根，結(jié)合圖象可知，則有，解得，所以的范圍為．故答案為：．四．解答題（共6小題）17．已知函數(shù)．（1）求的值及函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；（2）若，，不等式恒成立，求實數(shù)的取值集合．【分析】（1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式，代入計算可求的值，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性列出不等式解出單調(diào)區(qū)間；（2）求出在，上的值域，根據(jù)題意列出不等式組即可解出的范圍．【解答】解：（1），，令，解得，．的單調(diào)遞增區(qū)間是，，．（2），，可得，，當(dāng)時，取得最大值1，當(dāng)時，取得最小值．恒成立，，解得．實數(shù)的取值范圍是，．18．已知函數(shù)為常數(shù)）是奇函數(shù)．（1）求的值；（2）函數(shù)，若函數(shù)有零點，求參數(shù)的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)題意，求出函數(shù)的定義域，由奇函數(shù)的定義域可得，即，變形分析可得答案，（2）若函數(shù)有零點，則直線與曲線有交點，分析的值域，即可得，，，解可得的取值范圍，即可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，函數(shù)，則有，解可得，即函數(shù)的定義域為，，，根據(jù)奇函數(shù)的定義，對于，，，則有，即，化簡得：即；（2）若函數(shù)有零點，則直線與曲線有交點，又由，那么，則的值域為，，；故由，，，解得：，即的取值范圍為：，，．19．某公園欲將如圖所示的一塊矩形空地進行重新規(guī)劃，擬在邊長為的正方形內(nèi)種植紅色郁金香，正方形的剩余部分（即四個直角三角形內(nèi)）種植黃色郁金香．現(xiàn)要將以為一邊長的矩形改造為綠色草坪，要求綠色草坪的面積等于黃色郁金香的面積，設(shè)，．（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求的最大值．【分析】（1）通過求解三角形推出，，，結(jié)合面積關(guān)系，推出的不等式即可．（2）令，則，化簡函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)最值即可．【解答】解：（1）在中，，則，同理在中，，則，，，綠色草坪的面積等于黃色郁金香的面積，則，，，．（2）令，則，，，，易知在上單調(diào)遞增，，答：的最大值為．20．已知函數(shù)．（1）證明：函數(shù)在，上單調(diào)遞減；（2）解關(guān)于的不等式；（3）求函數(shù)的值域．【分析】（1）解法一：直接利用導(dǎo)數(shù)，證明函數(shù)在，上單調(diào)遞減；解法二：利用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)在，上單調(diào)遞減；（2）首先判斷為奇函數(shù)，再利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，得到，由此求得的范圍．（3）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，再利用基本不等式，求出的值域．【解答】解：（1）解法一：函數(shù)，，故在，上，，當(dāng)且僅當(dāng)時，，故函數(shù)在，上單調(diào)遞減．解法二：設(shè)，則，由題設(shè)可得，，，，即，故函數(shù)在，上單調(diào)遞減．（2）由于滿足，故為奇函數(shù)，不等式，即不等式．，，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，，求得，故原不等式的解集為．（3）當(dāng)時，；當(dāng)時，，即，．根據(jù)為奇函數(shù)，可得當(dāng)時，，．綜上可得，的值域為，．21．已知奇函數(shù)．（1）求的值，并求函數(shù)的值域；（2）若函數(shù)在區(qū)間，上有兩個不同的零點，求的取值范圍．【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)知，求得的值；利用分離常數(shù)法，將變形為，即可求得值域；（2）令，，原問題可轉(zhuǎn)化為在，上有兩個不同的零點，再根據(jù)二次函數(shù)根的分布，即可得解．【解答】解：（1）為奇函數(shù)，且定義域為，，解得，，，，，故函數(shù)的值域為．（2），令，則，，，，，原問題等價于在，上