2025年春北師版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)電子教案 第5章 2 簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形 第3課時(shí) 角平分線的性質(zhì)及畫法

第3課時(shí)角平分線的性質(zhì)及畫法教師備課素材示例●復(fù)習(xí)導(dǎo)入生活中有許多圖形是軸對(duì)稱圖形，驗(yàn)證一個(gè)圖形是不是軸對(duì)稱圖形可以通過對(duì)折的方式．角是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？你是怎么驗(yàn)證的？交流你的想法．【教學(xué)與建議】教學(xué)：體驗(yàn)角平分線的簡(jiǎn)易作法，讓學(xué)生親自動(dòng)手折疊一個(gè)角，為整節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．建議：通過折紙及作圖過程，由學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)結(jié)論．●置疑導(dǎo)入不利用工具，請(qǐng)你將一張用紙片做的角分成兩個(gè)相等的角．你有什么辦法？將角對(duì)折再打開紙片，看看折痕與這個(gè)角有何關(guān)系？【教學(xué)與建議】教學(xué)：讓學(xué)生體驗(yàn)操作將一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，為新課作鋪墊．建議：讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論，發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)作用．·命題角度1角平分線的尺規(guī)作圖尺規(guī)作圖就是只用沒有刻度的直尺和圓規(guī)畫圖．【例1】如圖，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，則∠DCE的度數(shù)為(B)A．60°B．65°C．70°D．75°eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例1題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例2題圖）))【例2】如圖，AB∥CD，以點(diǎn)A為圓心，小于AC的長(zhǎng)為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，再分別以E，F(xiàn)為圓心，大于eq\f(1,2)EF的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP，交CD于點(diǎn)M；以點(diǎn)C為圓心，小于AC的長(zhǎng)為半徑作圓弧，分別交AC，CD于G，H兩點(diǎn)，再分別以G，H為圓心，大于eq\f(1,2)GH的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)Q，作射線CQ，交AD于點(diǎn)N.則∠ANC的度數(shù)為90°Ｗ．·命題角度2利用角平分線的性質(zhì)計(jì)算角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．【例3】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于點(diǎn)D.如果AC＝3cm，那么AE＋DE等于(B)A．2cmB．3cmC．4cmD．5cmeq\o(\s\up7(),\s\do5(（例3題圖）))eq\o(\s\up7(),\s\do5(（例4題圖）))【例4】如圖，AB∥CD，BE和CE分別平分∠ABC和∠DCB，AD過點(diǎn)E，且與AB垂直，垂足為A，交CD于點(diǎn)D.若AD＝4，則點(diǎn)E到BC的距離是2．·命題角度3線段垂直平分線、角平分線性質(zhì)的綜合應(yīng)用線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等，綜合運(yùn)用這兩條性質(zhì)，選擇合適條件和表示方法來解決問題．【例5】如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高線，BE平分∠ABC，交CD于點(diǎn)E，BC＝5，DE＝2，則△BCE的面積等于(C)A．10B．7C．5D．4【例6】如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分線，DE是BC的垂直平分線，試說明：BC＝2AB.解：因?yàn)镈E是BC的垂直平分線，所以BE＝EC＝eq\f(1,2)BC，DE⊥BC，所以∠DEB＝90°.因?yàn)椤螦＝90°，所以∠A＝∠DEB.又因?yàn)锽D是∠ABC的平分線，所以∠ABD＝∠EBD.在△ABD和△EBD中，因?yàn)椤螦BD＝∠EBD，∠A＝∠BED，BD＝BD，根據(jù)三角形全等的判定條件“AAS”，所以△ABD≌△EBD，所以AB＝BE，所以AB＝eq\f(1,2)BC，即BC＝2AB.高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．經(jīng)歷探索角的軸對(duì)稱性質(zhì)的過程，理解角平分線的有關(guān)性質(zhì)．2．利用折疊的方法說明角平分線的性質(zhì)，并能夠利用其解決相應(yīng)的問題．▲重點(diǎn)探索并理解角平分線的有關(guān)性質(zhì)．▲難點(diǎn)運(yùn)用角平分線的性質(zhì)解決問題．◆活動(dòng)1創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課（課件）如圖，在S區(qū)有一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)P，它建在公路與鐵路所成角的平分線上，要從點(diǎn)P建兩條路，一條到公路，一條到鐵路．問題1：怎樣修建道路最短？問題2：往哪條路走更近呢？這節(jié)課我們來利用角平分線的性質(zhì)解決這類問題．◆活動(dòng)2實(shí)踐探究交流新知【探究1】角的軸對(duì)稱性操作：在一張紙上任意畫一個(gè)角∠AOB，如圖，沿角的兩邊將角剪下，并將這個(gè)角對(duì)折，使角的兩邊重合，再打開紙片，看看折痕與這個(gè)角有什么關(guān)系？【歸納】角是軸對(duì)稱圖形，角平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸．強(qiáng)調(diào)：角平分線是一條射線，而角的對(duì)稱軸是角平分線所在的直線．【探究2】角平分線的性質(zhì)請(qǐng)同學(xué)們按下列步驟完成折疊過程：(1)在一張紙上任意畫∠AOB，沿角的兩邊將角剪下，將這個(gè)角對(duì)折，使角的兩邊重合，折痕就是∠AOB的平分線；(2)在∠AOB的平分線上任意取一點(diǎn)C，分別折出過點(diǎn)C且與∠AOB兩邊垂直的直線，垂足分別為D，E，將∠AOB再次對(duì)折，線段CD與CE重合嗎？(3)改變點(diǎn)C的位置，線段CD和CE還相等嗎？你能說明理由嗎？【歸納】角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等．【探究3】尺規(guī)作角的平分線下面我們探究用尺規(guī)作角的平分線．已知：∠AOB.求作：射線OC，使∠AOC＝∠BOC.作法：(1)在OA和OB上分別截取OD，OE，使OD＝OE；(2)分別以D，E為圓心，以大于eq\f(1,2)DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)C；(3)作射線OC.OC就是∠AOB的平分線（如圖）.你能說明這樣作的道理嗎？理由如下：連接CE，CD.在△COD和△COE中，因?yàn)镺D＝OE，CD＝CE，OC＝OC，根據(jù)三角形全等的判定條件“SSS”，所以△COD≌△COE.所以∠COD＝∠COE，即OC是∠AOB的平分線．◆活動(dòng)3開放訓(xùn)練應(yīng)用舉例【例1】如圖，在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足為E，DE與DC相等嗎？為什么？【方法指導(dǎo)】角平分線性質(zhì)的運(yùn)用．解：相等．理由如下：因?yàn)锽D平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等，可知DE＝DC.【例2】如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長(zhǎng)是（）A．6B．5C．4D．3【方法指導(dǎo)】過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F.因?yàn)锳D是△ABC的角平分線，DE⊥AB，所以DF＝DE＝2，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×4×2＋eq\f(1,2)AC×2＝7，解得AC＝3.答案：D【例3】如圖，AB∥CD，以點(diǎn)A為圓心，小于AC的長(zhǎng)為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，再分別以E，F(xiàn)為圓心，大于eq\f(1,2)EF的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線AP，交CD于點(diǎn)M.若∠ACD＝120°，求∠MAB的度數(shù)．【方法指導(dǎo)】根據(jù)AB∥CD，∠ACD＝120°，得出∠CAB＝60°.再根據(jù)尺規(guī)作圖得出AM是∠CAB的平分線，即可得出∠MAB的度數(shù)．解：因?yàn)锳B∥CD，所以∠ACD＋∠CAB＝180°.又因?yàn)椤螦CD＝120°，所以∠CAB＝60°.由尺規(guī)作圖，得AM是∠CAB的平分線，所以∠MAB＝eq\f(1,2)∠CAB＝30°.◆活動(dòng)4隨堂練習(xí)1．用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角的平分線如圖所示，則能說明∠AOC＝∠BOC的依據(jù)是(A)A.SSSB．ASAC．AASD．角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等2．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D.若AB＝10，S△ABD＝15，求CD的長(zhǎng)．解：CD＝3.3．課本P133隨堂練習(xí)T1、T2.◆活動(dòng)5課堂小結(jié)與作業(yè)【學(xué)生活動(dòng)】1.本節(jié)課你知道了哪些新知識(shí)？2．你還有哪些困惑？【教學(xué)說明】梳理本節(jié)課的重要方法和知識(shí)，