2024-2025學年高中數(shù)學第一章統(tǒng)計1.8最玄乘估計學案北師大版必修3

PAGE1-1.8最小二乘估計[航向標·學習目標]1．在探究多種方法確定線性回來直線的過程中，體會最小二乘的思想方法．2．能依據(jù)給出的線性回來方程系數(shù)公式建立線性回來方程．[讀教材·自主學習]1．最小二乘法：假如有n個點：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，可以用下面的表達式來刻畫這些點與直線y＝a＋bx的接近程度：eq\o(□,\s\up3(01))[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2.使得上式達到最小值的直線y＝a＋bx就是我們所要求的直線，這種方法稱為eq\o(□,\s\up3(02))最小二乘法．2．線性回來方程：假如用eq\o(x,\s\up6(－))表示eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)，用eq\o(y,\s\up6(－))表示eq\f(y1＋y2＋…＋yn,n)，則可以求得b＝eq\f(x1－\o(x,\s\up6(－))y1－\o(y,\s\up6(－))＋x2－\o(x,\s\up6(－))y2－\o(y,\s\up6(－))＋…＋xn－\o(x,\s\up6(－))yn－\o(y,\s\up6(－)),x1－\o(x,\s\up6(－))2＋x2－\o(x,\s\up6(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\o(□,\s\up3(03))eq\f(x1y1＋x2y2＋…＋xnyn－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2)＋…＋x\o\al(2,n)－n\o(x,\s\up6(－))2).a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－)).這樣得到的直線方程稱為線性回來方程，a，b是線性回來方程的系數(shù)．[看名師·疑難剖析]1．求線性回來方程的步驟(1)列表xi，yi，xiyi.(2)計算eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))，eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi.(3)代入公式b＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))求出b，a.(4)寫出直線方程：eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a.2．線性回來方程系數(shù)公式的推導過程首先將[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2化成關(guān)于未知數(shù)a的一元二次多項式形式：na2＋2n(beq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(y,\s\up6(－)))a＋[(y1－bx1)2＋(y2－bx2)2＋…＋(yn－bxn)2]＝n[a＋(beq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(y,\s\up6(－)))]2－n(beq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(y,\s\up6(－)))2＋[(y1－bx1)2＋(y2－bx2)2＋…＋(yn－bxn)2]因此當a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))時，上式取得最小值，將這個關(guān)系代入上式，整理成關(guān)于未知數(shù)b的一元二次多項式的形式：[y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2＝[(y1－eq\o(y,\s\up6(－)))－b(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))]2＋[(y2－eq\o(y,\s\up6(－)))－b(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))]2＋…＋[(yn－eq\o(y,\s\up6(－)))－b(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))]2＝b2[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]－2b[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))(y1－eq\o(y,\s\up6(－)))＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))(y2－eq\o(y,\s\up6(－)))＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))(yn－eq\o(y,\s\up6(－)))]＋[(y1－eq\o(y,\s\up6(－)))2＋(y2－eq\o(y,\s\up6(－)))2＋…＋(yn－eq\o(y,\s\up6(－)))2]，因此，當b＝eq\f(x1－\o(x,\s\up6(－))y1－\o(y,\s\up6(－))＋x2－\o(x,\s\up6(－))y2－\o(y,\s\up6(－))＋…＋xn－\o(x,\s\up6(－))yn－\o(y,\s\up6(－)),x1－\o(x,\s\up6(－))2＋x2－\o(x,\s\up6(－))2＋…＋xn－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(x1y1＋x2y2＋…＋xnyn－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),x\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2)＋…＋x\o\al(2,n)－n\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)時點(x1，y1)(x2，y2)…(xn，yn)與直線y＝a＋bx最接近(留意并不是點到直線距離之和最小)．a(chǎn)，b的意義是：以a為基數(shù)，x每增加一個單位，y相應的平均增加b個單位．考點一線性回來方程的概念例1設有一個線性回來方程為y＝4－2x，則變量x增加2個單位時()A．y平均增加1.5個單位 B．y平均削減1.5個單位C．y平均增加4個單位 D．y平均削減4個單位[解析]該題考查線性回來方程的兩個變量之間的線性關(guān)系問題．由回來直線方程y＝4－2x，知斜率為－2，所以變量x每增加1個單位，y平均削減2個單位，故當變量x增加2個單位時，y平均削減4個單位，所以選D.[答案]D類題通法依據(jù)線性回來方程可獲得對兩個變量之間整體關(guān)系的了解，對于已知的變量x，可以相應估計出變量y的值.eq\a\vs4\al()eq\a\vs4\al([變式訓練1])工人月工資(元)依勞動生產(chǎn)率(千元)改變的線性回來方程為y＝50＋80x，下列推斷正確的是()A．勞動生產(chǎn)率為1000元時，工資為130元B．勞動生產(chǎn)率提高1000元時，工資平均提高80元C．勞動生產(chǎn)率提高1000元時，工資平均提高130元D．當月工資為210元時，勞動生產(chǎn)率為2000元答案B解析線性回來方程y＝a＋bx中b的意義是當x增加一個單位時，y的值平均改變b個單位，這是一個平均改變率．線性回來方程只能用于預料變量的值.考點二求線性回來方程例2每立方米混凝土的水泥用量x(單位：kg)與28天后混凝土的抗壓強度y(單位：kg/cm2)之間的關(guān)系有如下數(shù)據(jù)：x150160170180190200210220230240250260y56.958.361.664.668.171.374.177.480.282.686.489.7求兩變量間的回來直線方程．[分析]由題目可獲得以下主要信息：①兩變量具有線性相關(guān)關(guān)系；②由兩變量的對應數(shù)據(jù)求回來直線方程．解答本題要先列出相應的表格，有了表格中的那些相關(guān)數(shù)據(jù)，回來方程中的系數(shù)就都簡單求出了．[解]列表如下：i123456xi150160170180190200yi56.958.361.664.668.171.3xiyi8535932810472116281293914260i789101112xi210220230240250260yi74.177.480.282.686.489.7xiyi155611702818446198242160023322eq\o(x,\s\up6(－))＝205，eq\o(y,\s\up6(－))＝72.6，eq\i\su(i＝1,12,x)eq\o\al(2,i)＝518600，eq\i\su(i＝1,12,y)eq\o\al(2,i)＝64572.94，eq\i\su(i＝1,12,x)iyi＝182943∴b＝eq\f(182943－12×205×72.6,518600－12×2052)＝eq\f(4347,14300)≈0.304，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))＝72.6－0.304×205＝10.28.于是所求的回來方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝0.304x＋10.28.類題通法用公式求回來方程的一般步驟是：①列表xi，yi，xiyi.②計算eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))，eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)，eq\i\su(i＝1,n,y)eq\o\al(2,i)，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi.③代入公式計算b、a的值．④寫出回來直線方程．eq\a\vs4\al([變式訓練2])為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機抽取5對父子的身高數(shù)據(jù)如下：父親身高x(cm)174176176176178兒子身高y(cm)175175176177177則y對x的線性回來方程為()A．y＝x－1 B．y＝x＋1C．y＝88＋eq\f(1,2)x D．y＝176答案C解析本題考查線性回來方程的求法．設y對x的線性回來方程為y＝bx＋a，因為b＝eq\f(－2×－1＋0×－1＋0×0＋0×1＋2×1,－22＋22)＝eq\f(1,2)，a＝176－eq\f(1,2)×176＝88，所以y對x的線性回來方程為y＝eq\f(1,2)x＋88.選C.規(guī)范答題線性相關(guān)關(guān)系的推斷及線性回來方程的求解[例](12分)假設關(guān)于某設備運用年限x(年)和所支出的修理費用y(萬元)有如下統(tǒng)計資料：x23456y2.23.85.56.57.0(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖，推斷它們是否具有線性相關(guān)關(guān)系；若線性相關(guān)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回來方程；(2)試依據(jù)(1)求出的線性回來方程，預料運用年限為10年時，修理費用是多少？(一)精妙思路點撥(二)分層規(guī)范細解(1)eq\a\vs4\al(散點圖)①如圖所示：················2分由散點圖可知，兩變量之間具有相關(guān)關(guān)系，且為線性相關(guān)關(guān)系.4分下面用最小二乘法求線性回來方程：列表，計算i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.0xeq\o\al(2,i)49162536eq\o(x,\s\up6(－))＝4，eq\o(y,\s\up6(－))＝5，eq\a\vs4\al(\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)＝90，\i\su(i＝1,5,x)iyi＝112.3)②設所求回來方程為：y＝bx＋a，則由上表可得eq\a\vs4\al(b＝\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝\f(112.3－5×4×5,90－5×42)＝\f(12.3,10)＝1.23)②，8分eq\a\vs4\al(a＝\o(y,\s\up6(－))－b\o(x,\s\up6(－))＝5－1.23×4＝0.08.)②∴線性回來方程為y＝1.23x＋0.08.10分(2)把x＝10代入(1)中所求得的線性回來方程得：y＝1.23×10＋0.08＝12.38，11分即運用年限為10年時，修理費用eq\a\vs4\al(約是12.38萬元)③.12分(三)來自一線的報告通過閱卷后分析，對解答本題的失分警示和解題啟示總結(jié)如下：(注：此處的①②③見分層規(guī)范細解過程)(四)類題練筆駕馭以下是某地搜集到的新居屋的銷售價格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù)：房屋面積x(m2)80105110115135銷售價格y(萬元)18.42221.624.829.2(1)畫出數(shù)據(jù)對應的散點圖；(2)求線性回來方程，并在散點圖中加上回來直線；(3)試預料90m2解(1)依據(jù)表中所列數(shù)據(jù)可得散點圖如下：由圖可見兩者之間是線性相關(guān)的．(2)列表，計算：i12345xi80105110115135yi18.42221.624.829.2xiyi14722310237628523942xeq\o\al(2,i)640011025121001322518225eq\o(x,\s\up6(－))＝109，eq\o(y,\s\up6(－))＝23.2，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝60975，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝12952故可求得：b＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(12952－5×109×23.2,60975－5×1092)≈0.1962，a＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))＝23.2－0.1962×109＝1.8142，所以，線性回來方程為y＝0.1962x＋1.8142，回來直線如(1)中圖．(3)把x＝90代入上述回來方程y＝0.1962x＋1.8142，即y＝0.1962×90＋1.8142≈19.47，即這種90m2(五)解題設問畫出散點圖的作用是什么？________.答案推斷數(shù)據(jù)是否線性相關(guān)1．設有一個回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝2－1.5x，則變量x增加一個單位時()A．y平均增加1.5個單位 B．y平均增加2個單位C．y平均減小1.5個單位 D．y平均削減2個單位答案C解析由相關(guān)系數(shù)的意義可知C正確．2．線性回來方程表示的直線y＝a＋bx必定