專題05以拋物線為情境的面積問題-雙拋物線必會十大基本題型講與練（解析版）-高考數(shù)學(xué)圓錐曲線部分必會十大基本題型

拋物線必會十大基本題型講與練05以拋物線為情景的面積問題典例分析類型一、以拋物線為情景的四邊形面積問題1．過拋物線上一點(diǎn)P作圓的切線，切點(diǎn)為，則當(dāng)四邊形的面積最小時，P點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用點(diǎn)在拋物線上設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，求出點(diǎn)P到圓心的距離，對函數(shù)求導(dǎo)得出最小值，即四邊形的面積最小值，進(jìn)而可得此時的P點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】由題意可設(shè)，當(dāng)四邊形的面積最小時，點(diǎn)P到圓心的距離最小，即，可令，則，則時，，此時取得最小值，四邊形的面積為，所以.2．已知拋物線，點(diǎn)為拋物線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)分別為，則四邊形面積的最小值為__________.【答案】【解析】求得圓心與半徑，求得，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式，求得，根據(jù)二次函數(shù)的最值即可求得的最小值，即可求得，即可求得四邊形面積的最小值．【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，則圓心為，半徑為，設(shè)，，，所以，，所以四邊形面積的最小值，故四邊形面積的最小值，【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程，兩點(diǎn)之間的距離公式及二次函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．3．如圖，已知點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)是，A，B是拋物線上兩點(diǎn)，四邊形是矩形．（1）求拋物線的方程；（2）求矩形的面積．【答案】（1）（2）8【分析】（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)是，由求解；（2）設(shè)，，根據(jù)四邊形是矩形，可得，且，進(jìn)而得到，然后結(jié)合拋物線的定義，求解.【解析】（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)是，所以，解得，所以拋物線的方程為；（2）設(shè)，，因?yàn)樗倪呅蜦APB是矩形，所以，且，即，，且．所以，，且．所以．解得，，由拋物線的定義得：，所以矩形的面積為：，．所以矩形的面積為8．類型二、以拋物線為情景的三角形面積問題1．已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，過其焦點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，且直線OM的斜率為.(1)求實(shí)數(shù)p的值；(2)求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意得到關(guān)于的方程，解方程可得的值；（2）設(shè)直線的方程為，，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理得到關(guān)于的方程，解方程即可確定直線方程，再利用弦長公式求出，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出原點(diǎn)到直線的距離，最后利用面積公式計算可得．【解析】(1)由準(zhǔn)線方程為知，，故.(2)由（1）知，拋物線方程為，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立拋物線方程，化簡得.則，由線段的中點(diǎn)為，知，，代入韋達(dá)定理知，，解得，故直線的方程為.所以，因此的面積.2．已知拋物線C：（p>0），過C的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)⊥x軸時，|AB|=4.(1)求拋物線C的方程；(2)如圖，過點(diǎn)F的另一條直線與C交于M、N兩點(diǎn)，設(shè)，的斜率分別為，，若（），且，求直線的方程.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)條件先得到直線軸時的直線方程，進(jìn)而結(jié)合拋物線的方程并根據(jù)|AB|=4求得答案；（2）根據(jù)題意可以判斷出以A與N關(guān)于x軸對稱，M與B關(guān)于x軸對稱，進(jìn)而將條件化簡為，由此可知2|AF|=|BF|，然后通過拋物線的定義并結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得到答案.【解析】(1)根據(jù)題意可得，當(dāng)軸時，直線的方程為，聯(lián)立，解得，所以|AB|=2p=4，解得p=2，則拋物線的方程為.(2)由（1），拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，因?yàn)椋訟與N關(guān)于x軸對稱，M與B關(guān)于x軸對稱，則由可以得到，那么2|AF|=|BF|，由拋物線定義可得，于是…①.設(shè)，代入拋物線方程化簡得，，，由①③得（負(fù)值舍去），代入②得，而，則.于是直線的方程為.【點(diǎn)睛】本題在解析幾何中非常典型，破解點(diǎn)在于根據(jù)斜率關(guān)系得到點(diǎn)的對稱性，進(jìn)而結(jié)合條件得到，于是有2|AF|=|BF|，馬上會想到根據(jù)拋物線的定義有，由此便會想到應(yīng)該將直線方程代入拋物線方程然后通過根與系數(shù)的關(guān)系解決.3．已知點(diǎn)是拋物線：的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線與，兩點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）求的值；（3）如圖，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)（點(diǎn)，在軸的同側(cè)，），且，直線與直線的交點(diǎn)為，記，的面積分別為，，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)題意得到，從而得到拋物線：.（2）首先設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立得，再利用韋達(dá)定理求解.（3）設(shè)，，，，再利用韋達(dá)定理和求解即可.【解析】（1）因?yàn)閽佄锞€：，焦點(diǎn)，所以，解得，所以拋物線：.（2）設(shè)直線的方程為，與拋物線聯(lián)立得：，由韋達(dá)定理得，，所以，所以（3）設(shè)，，，，因?yàn)?，所以直線：，即。同理：直線：。聯(lián)立，解得。設(shè)直線的方程為：，，，聯(lián)立。因?yàn)?，解得，，，因?yàn)椋?，化簡得：。所以。因?yàn)椋?，所以。類型三、拋物線與橢圓交匯的面積問題1．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，P為橢圓上的一點(diǎn)，的周長為6，過焦點(diǎn)的弦中最短的弦長為3；橢圓的右焦點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)．（1）求橢圓與拋物線的方程；（2）過橢圓的右頂點(diǎn)Q的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)O為原點(diǎn)，射線、分別交橢圓于C、D兩點(diǎn)，的面積為，以A、C、D、B為頂點(diǎn)的四邊形的面積為，問是否存在直線l使得？若存在，求出直線/的方程；若不存在，請說明理由．【答案】（1）橢圓的方程，拋物線的方程為（2）存在直線l，方程為或者．【分析】（1）由焦點(diǎn)三角形周長，通徑和橢圓的關(guān)系式可求，進(jìn)而求解，；（2）設(shè)l的方程為，設(shè)、、、，聯(lián)立直線與拋物線方程，得出關(guān)于的韋達(dá)定理，再通過直線方程聯(lián)立橢圓方程求出，結(jié)合正弦面積公式進(jìn)一步化簡即可求解.【解析】（1）由題意得，解得，，所以橢圓的方程，拋物線的方程為；（2）由題意得直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l的方程為，設(shè)、、、，由，得，∵，∴，∵，∴直線的斜率為，即直線的方程為，由，得，同理可得，，∴，得，所以存在直線l，方程為或者．2．已知橢圓方程為，若拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個焦點(diǎn)．(1)求該拋物線的方程；(2)過拋物線焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，分別在點(diǎn)A，B處作拋物線的切線，兩條切線交于P點(diǎn)，則的面積是否存在最小值？若存在，求出這個最小值及此時對應(yīng)的直線l的方程；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在；最小值為64，此時直線l的方程為【分析】（1）先求出橢圓的焦點(diǎn)，從而可求得的值，求出，進(jìn)而可得拋物線的方程，（2）由題意可得直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為，設(shè)，，將直線方程代入拋物線方程中消去，利用根與系數(shù)的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的方程，聯(lián)立求出點(diǎn)的坐標(biāo)，則利用點(diǎn)到直線的距離公式求出到直線的距離，再利用弦長公式求出，從而可表示出的面積，進(jìn)而可求出其最小值【解析】(1)由橢圓，知．又拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個焦點(diǎn)．所以，則．所以拋物線的方程為．(2)由拋物線方程知，焦點(diǎn)．易知直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為．由消去y并整理，得．．設(shè)，，則，．對求導(dǎo)，得，∴直線AP的斜率，則直線AP的方程為，即．同理得直線BP的方程為．設(shè)點(diǎn)，聯(lián)立直線AP與BP的方程，即．，點(diǎn)P到直線AB的距離，所以的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．所以面積的最小值為64，此時直線l的方程為．類型四、拋物線與圓交匯的面積問題1．已知焦點(diǎn)為的拋物線：，圓：，直線與拋物線相切于點(diǎn)，與圓相切于點(diǎn)．（1）當(dāng)直線的方程為時，求拋物線C1的方程；（2）記分別為的面積，求的最小值．【答案】（1）（2）【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，代入直線得一方程，再根據(jù)拋物線再點(diǎn)出切線的斜率又得一方程，解方程組即可求解；（2）先求出，，則可表示為關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用基本不等式即可求解【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，由得，，則，因?yàn)橹本€的斜率為1，所以且，解得，所以拋物線C1的方程為；（2）因?yàn)辄c(diǎn)處的切線方程為：，即，根據(jù)切線與圓相切，得，即，化簡得，由，解得，所以，點(diǎn)到切線的距離是，所以，，而由知，，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，此時，所以的最小值為。2．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）經(jīng)過點(diǎn)，P是圓M：（x+1）2+y2＝1上一點(diǎn)，PA，PB都是C的切線．(1)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；(2)求△PAB的面積得最大值．【答案】(1)y2＝4x，x(2)8【分析】（1）將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程，求出的值，可求出拋物線C的方程，可求出拋物線C的準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)P（x0，y0），切線方程為x﹣x0＝m（y﹣y0），PA，PB的斜率分別為，，聯(lián)立切線方程和拋物線方程，得到直線AB的方程，聯(lián)立直線AB與拋物線方程，求出|AB|以及點(diǎn)P到直線AB的距離，利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可得△PAB的面積的最大值；【解析】(1)因?yàn)閽佄锞€C經(jīng)過點(diǎn)，所以，即p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x，所以準(zhǔn)線方程為x；(2)設(shè)P（x0，y0），切線方程為x﹣x0＝m（y﹣y0），PA，PB的斜率分別為，，由，得y2﹣4my+4my0﹣4x0＝0，令Δ＝0，得m2﹣y0m+x0＝0，由韋達(dá)定理可得m1+m2＝y(tǒng)0，m1m2＝x0，且yA＝2m1，yB＝2m2，所以A（m12，2m1），B（m22，2m2），于是kAB，所以直線AB的方程為（x﹣m12）＝y(tǒng)﹣2m1，即2x﹣（m1+m2）y+2m1m2＝0，所以點(diǎn)P到直線AB的距離為d，|AB||m1﹣m2|，所以S△PAB|AB|?d|m1﹣m2||2x0﹣（m1+m2）y0+2m1m2||2x0﹣y02+2x0||4x0﹣y02|8（﹣2≤x0≤0）．所以△PAB的面積得最大值為8．類型五、拋物線與雙曲線交匯的面積問題1．已知雙曲線C1：，拋物線C2：（），F(xiàn)為C2的焦點(diǎn)，過F垂直于x軸的直線l被拋物線C2截得的弦長等于雙曲線C1的實(shí)軸長．(1)求拋物線C2的方程；(2)過焦點(diǎn)F作互相垂直的兩條直線，與拋物線C2分別相交于點(diǎn)A、B和C、D，點(diǎn)P、Q分別為AB、CD的中點(diǎn)，求△FPQ面積的最小值．【答案】(1)；(2)16.【分析】（1）由題設(shè)有直線l為，聯(lián)立拋物線求相交弦長有，即可寫出拋物線方程.（2）由題意，可設(shè)直線AB為且，聯(lián)立拋物線應(yīng)用韋達(dá)定理求、坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)距離公式求、，進(jìn)而得到關(guān)于k的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式求最小值，注意等號成立條件.【解析】(1)由題意，雙曲線實(shí)軸長，直線l方程為，由，得，則過F垂直于x軸的直線l被拋物線C2的弦長為2p，所以，故拋物線的方程為.(2)因?yàn)?，若直線AB、CD分別與兩坐標(biāo)軸垂直，則其中有一條與拋物線只有一個交點(diǎn)，不合題意；所以，直線AB，CD的斜率均存在且不為0，設(shè)直線AB的斜率為，則直線AB的方程為聯(lián)立，得，則，設(shè)，則．設(shè)，則，則即，同理得，故，，又，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故△FPQ面積的最小值為16．鞏固練習(xí)1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一條拋物線，其焦點(diǎn)為F，在上任取一點(diǎn)P，滿足.當(dāng)△POF的面積取得最大值時，相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

）A． B．或 C． D．或【答案】D【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，由拋物線的定義可得，由題意可得當(dāng)m=2時滿足三角形的面積最大，從而確定點(diǎn)P的坐標(biāo).【詳解】由拋物線定義，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線的距離.該拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則，可得到，當(dāng)△POF面積取得最大值時，相應(yīng)的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m=2，故相應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.2．已知F是拋物線C：的焦點(diǎn)，A，B是拋物線C上不同的兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，垂足為M，則面積的最大值為（

）A．6 B．3 C． D．【答案】D【解析】【分析】設(shè)直線OA的方程為，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線AB的方程和經(jīng)過的定點(diǎn)，求出點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)D為直徑的圓（不包含點(diǎn)O，D），即得解.【詳解】由題意知直線OA的斜率存在且不為0，設(shè)直線OA的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，得，因?yàn)椋灾本€OB的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，得，當(dāng)時，易知軸，不符合題意；當(dāng)時，，所以直線AB的方程為，所以直線AB過定點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)D為直徑的圓（不包含點(diǎn)O，D），所以點(diǎn)M到x軸距離的最大值為3，此時的面積最大，又，則面積的最大值為.3．設(shè)點(diǎn)為拋物線上的動點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的切線，分別交拋物線C于點(diǎn)，當(dāng)時，求面積的最小值（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，設(shè)切線方程為，由圓心到切線距離等于半徑得關(guān)于的方程，利用韋達(dá)定理得，，設(shè)，由坐標(biāo)寫出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，消元后可解得，同理，這樣有，，由兩點(diǎn)坐標(biāo)得出直線方程，然后由弦長公式求，由點(diǎn)到直線距離公式求出到直線的距離，從而可求得并表示為的函數(shù)，令換元后可得最小值．【詳解】由題意，因?yàn)樵趻佄锞€上，故設(shè)，設(shè)過的圓的切線方程為，則，得，是此方程的兩根，則，，設(shè)，因?yàn)橹本€與拋物線交于點(diǎn)，由，得，，所以，同理，直線方程是，即，則，點(diǎn)到的距離為，又，，所以＝，令，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，即時，取得最小值．【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線相交，直線與圓的位置關(guān)系，解題方法是設(shè)而不求的思想方法，設(shè)，設(shè)，為了建立與的關(guān)系，設(shè)過的切線方程為，由圓心到切線距離等于半徑得出（用表示），然后利用直線與拋物線相交，兩方程聯(lián)立方程組的解得出與的關(guān)系，之后求弦長，求距離得三角形面積，把面積表示為的函數(shù)，再由函數(shù)的知識得出最小值．4．（多選題）如圖，已知橢圓，過拋物線焦點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，連、并延長分別交于、兩點(diǎn)，連接，與的面積分別記為、．則下列說法正確的是（

）A．若記直線、的斜率分別為、，則的大小是定值B．的面積是定值C．線段、長度的平方和是定值D．設(shè)，則【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理結(jié)合斜率公式可判斷A選項(xiàng)；利用三角形的面積公式可判斷B選項(xiàng)；利用弦長公式可判斷C選項(xiàng)；利用三角形的面積公式結(jié)合基本不等式可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，拋物線的焦點(diǎn)為，若直線與軸重合，則該直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，則，，A對；對于B選項(xiàng)，設(shè)，則，聯(lián)立可得，解得，不妨設(shè)點(diǎn)在第三象限，則，設(shè)點(diǎn)在第四象限，同理可得，點(diǎn)到直線的距離為，，所以，，B對；對于C選項(xiàng)，，C錯；對于D選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，D對.【點(diǎn)睛】求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．5．已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)，為拋物線上任意一點(diǎn)，的最小值為3，則拋物線方程為____________，若線段的垂直平分線交拋物線于兩點(diǎn)，則四邊形的面積為__________.【答案】

【解析】【分析】用拋物線的定義轉(zhuǎn)換，再求出線段垂直平分線與拋物線相交的弦長，進(jìn)而求出四邊形的面積.【詳解】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，其方程為，當(dāng)點(diǎn)在拋物線內(nèi)部時，如圖，過做于，則，作于H，，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時，等號成立，，中點(diǎn)為，的斜率為1，垂直平分線方程為，聯(lián)立，消去，得，，設(shè)，，，四邊形的面積為.當(dāng)點(diǎn)在拋物線外部時，如圖此時，，又點(diǎn)A在拋物線的內(nèi)部，矛盾舍去.6．拋物線上一動點(diǎn)為，焦點(diǎn)，以為直徑的圓設(shè)為圓，當(dāng)圓面積取最小時，圓的方程是______.【答案】【解析】【分析】利用拋物線的定義，求出時圓的面積最小，再根據(jù)圓心和半徑寫出圓的方程即可.【詳解】由題意，拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，由拋物線的定義知，，所以圓的面積，當(dāng)時，圓的面積最小，此時點(diǎn)，，所以圓心，半徑，所以圓：，即.7．如圖，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn)，當(dāng)為拋物線上位于線段下方（含）的動點(diǎn)時，則面積的最大值為______.【答案】30【解析】【分析】把直線方程拋物線方程聯(lián)立求得交點(diǎn)，的坐標(biāo)，則中點(diǎn)的坐標(biāo)可得，利用的斜率推斷出垂直平分線的斜率，進(jìn)而求得垂直平分線的方程，把代入求得的坐標(biāo)；設(shè)出的坐標(biāo)，利用到直線的距離求得三角形的高，利用兩點(diǎn)間的距離公式求得的長，最后利用三角形面積公式表示出三角形，利用的范圍和二次函數(shù)的單調(diào)性求得三角形面積的最大值．【詳解】直線與拋物線聯(lián)立，得到，，從而的中點(diǎn)為，由，直線的垂直平分線方程．令，得，．直線的方程為，設(shè)．點(diǎn)到直線的距離，，，為拋物線上位于線段下方的點(diǎn)，且不在直線上，或．函數(shù)在區(qū)間，上單調(diào)遞增，當(dāng)時，的面積取到最大值30．8．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A（點(diǎn)A在第一象限），B兩點(diǎn)，且，則（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積是______．【答案】##【分析】計算出，聯(lián)立直線和拋物線得到與，結(jié)合求出，進(jìn)而求出的面積.【詳解】由題意可得，則，解得：，故直線的方程為．聯(lián)立整理．設(shè)，，則，．因?yàn)椋?，所以，則，解得:，從而，故的面積是9．設(shè)F為拋物線C:的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為______.【答案】##2.25##【解析】【分析】求出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立后得到兩根之和，結(jié)合焦點(diǎn)弦弦長公式求出，用點(diǎn)到直線距離公式求高，進(jìn)而求出三角形面積.【詳解】易知拋物線中，焦點(diǎn)，直線的斜率，故直線的方程為，代人拋物線方程，整理得.設(shè)，則，由拋物線的定義可得弦長，原點(diǎn)到直線的距離，所以的面積.10．如圖，點(diǎn)A是拋物線y2＝2px（p＞0）上的動點(diǎn)，過點(diǎn)M（2，1）的直線AM與拋物線交于另一點(diǎn)B．(1)當(dāng)A的坐標(biāo)為（1，2）時，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)已知點(diǎn)P（2，0），若M為線段AB的中點(diǎn)，求△PAB面積的最大值．【答案】(1)B(9，﹣6)(2)2【分析】（1）由A點(diǎn)坐標(biāo)求得拋物線方程和直線AM的方程，然后由直線方程和拋物線方程聯(lián)立可得；（2）設(shè)直線方程，由弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式表示出面積，再由韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到參數(shù)關(guān)系代入面積公式，利用二次函數(shù)性質(zhì)可得.【解析】(1)當(dāng)A的坐標(biāo)為（1，2）時，則22＝2p?1，所以2p＝4，所以拋物線的方程為：y2＝4x，由題意可得直線AM的方程為：y﹣2（x﹣1），即x＝﹣y+3，代入拋物線的方程可得y2+4y﹣12＝0，解得y＝﹣6或2，代入拋物線的方程可得或，所以B（9，﹣6）；(2)易知直線AB的斜率存在且不等于0，設(shè)直線AB的方程：x＝my+n，因?yàn)镸在直線AB上，所以m+n＝2，P到直線AB的距離d，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由M（2，1）是AB的中點(diǎn)可得，y1+y2＝2×1＝2，聯(lián)立，整理可得：y2﹣2pmy﹣2pn＝0，所以y1+y2＝2pm＝2，即pm＝1，y1y2＝﹣2pn，|AB||y1﹣y1|?，所以S△PAB|AB|?d???，將pm＝1，代入，S△PAB2，所以當(dāng)m＝2時，取等號，所以△PAB面積的最大值為2．11．已知拋物線T：（）和橢圓C：，過拋物線T的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，線段的中垂線交橢圓C于M，N兩點(diǎn).（1）若F恰是橢圓C的焦點(diǎn)，求p的值；（2）若恰好被平分，求面積的最大值【答案】（1）4（2）．【分析】（1）求出橢圓焦點(diǎn)，得拋物線焦點(diǎn)，從而得的值；（2）設(shè)直線方程為，代入拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理得中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)橢圓的弦中點(diǎn)性質(zhì)得出一個參數(shù)值，由中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部得出另一個參數(shù)的范圍，然后求出三角形面積，得出最大值．【解析】（1）在橢圓中，，所以，；（2）設(shè)直線方程為，代入拋物線方程得，設(shè)，中點(diǎn)為，則，，，，設(shè)，則，兩式相減得，所以，，，所以，解得，點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以，得，因?yàn)?，所以或，，時，，時，，所以面積的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查求拋物線的方程，考查直線民橢圓、拋物線相交問題，考查圓錐曲線中的面積問題．解題方法采用設(shè)而不求的思想方法，即設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線方程，代入曲線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理，求得弦中點(diǎn)坐標(biāo)，弦長等，把這個結(jié)論代入其他條件可求得參數(shù)關(guān)系，參數(shù)值，參數(shù)范圍等．即設(shè)參數(shù)，利用韋達(dá)定理把目標(biāo)用參數(shù)表示，進(jìn)而求最值，證明一些結(jié)論．本題考查學(xué)生的邏輯推理能力，運(yùn)算求解能力，對學(xué)生的要求較高，屬于難題．12．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn).(1)證明：以為直徑的圓與直線相切；(2)設(shè)(1)中的切點(diǎn)為，且點(diǎn)位于軸上方，若的面積為，求直線的方程.【答案】(1)證明見解析；(2)﹒【分析】(1)只需證明AB中點(diǎn)到的距離為即可；(2)設(shè)直線的方程為，結(jié)合(1)中AB長度和△ABP面積，求出m即可.【解析】(1)由題意得拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為.設(shè)，弦的中點(diǎn)，則到準(zhǔn)線的距離為，∴以為直徑的圓與直線相切.(2)由題可知直線的斜率不能為0，設(shè)直線的方程為，由得,，設(shè)，則，∴.點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)到直線的距離為，故，解得，即，又點(diǎn)位于軸上方，∴，∴直線的方程為.13．已知拋物線，點(diǎn)為其焦點(diǎn)，點(diǎn)、在拋物線上，且直線過點(diǎn)，.(1)求拋物線的方程；(2)過焦點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，與拋物線分別相交于點(diǎn)、和、，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，求面積的最小值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）過點(diǎn)、分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為、，分析出為的中點(diǎn)，連接，分析出在線段的垂直平分線上，可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用拋物線的定義可求得的值，即可得出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分析可知直線、的斜率均存在且不為，設(shè)直線的斜率為，聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，求出、，利用三角形的面積公式結(jié)合基本不等式可求得結(jié)果.【解析】(1)過點(diǎn)、分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為、，易知，，因?yàn)椋瑒t，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，則為的中位線，所以，，則，所以，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，解得，所以，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)因?yàn)椋糁本€、分別與兩坐標(biāo)軸垂直，則直線、中有一條與拋物線只有一個交點(diǎn)，不合乎題意.所以，直線、的斜率均存在且不為，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立，得，則，設(shè)、，則，設(shè)，則，則，所以，同理可得，故，，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故面積的最小值為.【點(diǎn)睛】圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．14．已知直線與拋物線相交于點(diǎn)A，B，與x軸相交于點(diǎn)D，線段AB的中點(diǎn)為．(1)求p的值；(2)若拋物線上存在一點(diǎn)N不同于點(diǎn)A，B，滿足，求的面積．【答案】(1)2(2)8【分析】【解析】（1）設(shè)，，，，利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出的值；（2）根據(jù)求出直線的斜率，求出直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)面積公式即可求出．(1)設(shè)，，聯(lián)立，聯(lián)立可得，所以，所以AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為：，由題意可得，解得，所以p的值為2；(2)由（1）可知拋物線方關(guān)于x軸對稱，若拋物線上存在一點(diǎn)N不同于點(diǎn)A，B，滿足，∴點(diǎn)B與點(diǎn)N關(guān)于x軸對稱，設(shè)點(diǎn)，此時直線AB與直線DN的斜率互為相反數(shù)，∴，設(shè)直線AN的方程為，聯(lián)立，消x可得，根據(jù)題意，∴，，∵直線經(jīng)過點(diǎn)，解得，可知直線l與x軸交點(diǎn)D的坐標(biāo)為，聯(lián)立，消x可得，∴，，∴，則直線AN與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，∵拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為∴．15．已知拋物線C：，直線l過拋物線焦點(diǎn)F，l與C有兩個交點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為1.(1)求直線l的方程；(2)求（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)出直線方程，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)中點(diǎn)縱坐標(biāo)即可建立關(guān)系求解；（2）利用弦長公式求出，再求出點(diǎn)到直線距離，即可求出面積.【解析】(1)由題可得，易知直線斜率不為0，可設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，可得，設(shè)，則，則，解得，所以直線方程為，即；(2)因?yàn)?，點(diǎn)到直線的距離為，所以.16．如圖，已知拋物線和點(diǎn)，點(diǎn)P到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為6．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點(diǎn)P作直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，M為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為拋物線C上的一點(diǎn)且始終滿足，過點(diǎn)Q作直線交拋物線C于另一點(diǎn)D，N為線段的中點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C的焦點(diǎn)，記的面積為，的面積為，求的最小值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）利用點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離公式和的幾何意義進(jìn)行求解