北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊勾股定理《一定是直角三角形嗎》示范公開課教學(xué)課件

1.2一定是直角三角形嗎？第一章勾股定理八年級數(shù)學(xué)上冊?北師大版據(jù)說，古埃及人曾用如圖所示的方法畫直角.用13個等距的結(jié)把一根繩子分成等長的12段，一個工匠同時握住繩子的第1個結(jié)和第13個結(jié)，兩個助手分別握住第4個結(jié)和第8個結(jié)，拉緊繩子就得到一個直角三角形，其直角在第1個結(jié)處.情景導(dǎo)入問題：同學(xué)們你們知道古埃及人用什么方法得到直角的嗎?同學(xué)們：小紅沒有量角的工具，只有一把能測量長度的尺，你能不能幫小紅判斷一個三角形的形狀？帶著這個問題開始今天的學(xué)習之旅吧!情景導(dǎo)入下面有三組數(shù)分別是一個三角形的三邊長a,b,c:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.回答下列問題:1.這三組數(shù)都滿足a2+b2=c2嗎？2.分別以每組數(shù)為三邊長作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？1.勾股定理的逆定理思考探究新知探究實驗結(jié)果：

①5,12,13滿足a2+b2=c2,可以構(gòu)成直角三角形;②7,24,25滿足a2+b2=c2,可以構(gòu)成直角三角形;③8,15,17滿足a2+b2=c2,可以構(gòu)成直角三角形.思考：從上述問題中，能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論嗎？

如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.有同學(xué)認為測量結(jié)果可能有誤差,不同意這個發(fā)現(xiàn).你覺得這個發(fā)現(xiàn)正確嗎?你能給出一個更有說服力的理由嗎?△ABC≌△A′B′C′

？

∠C是直角△ABC是直角三角形A

B

C

abc已知：如圖，△ABC的三邊長a,b,c，滿足a2+b2=c2．求證：△ABC是直角三角形．構(gòu)造兩直角邊分別為a,b的Rt△A′B′C′簡要說明：作一個直角∠MC1N，在C1M上截取C1B1=a=CB,在C1N上截取C1A1=b=CA,連接A1B1.在Rt△A1C1B1中，由勾股定理,得A1B12=a2+b2=AB2.∴A1B1=AB，∴△ABC≌△A1B1C1.（SSS）∴∠C=∠C1=90°，∴△ABC是直角三角形.acbACBbaC1MNB1A1如果三角形的三邊長a，b，c滿足

a2

＋

b2

＝

c2，那么這個三角形是直角三角形．符號語言：如圖，在△ABC中，a2

＋

b2

＝

c2，則△ABC是直角三角形．注意：勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，最長邊所對的角為直角．概念歸納勾股定理與其逆定理的關(guān)系：勾股定理是已知直角三角形，得到三邊長的關(guān)系，它是直角三角形的重要性質(zhì)之一；而勾股定理的逆定理是由三角形三邊長的關(guān)系判斷該三角形是不是直角三角形，這是直角三角形的判定，也是判斷兩直線是否垂直的方法之一．二者的條件和結(jié)論剛好相反．4351312ABCD例1.一個零件如圖所示，按規(guī)定這個零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角，這個零件符合要求嗎？典例剖析解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，

所以△ABD是直角三角形，∠A是直角.

同理，△BCD是直角三角形，∠DBC是直角.

因此，這個零件符合要求.例2.下面以a,b,c為邊長的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一個角是直角？(1)a=15，

b=8，c=17;解：因為152+82=289，172=289，所以152+82=172，根據(jù)勾股定理的逆定理，這個三角形是直角三角形，且∠C是直角.(2)a=13，

b=14，

c=15;解：因為132+142=365，152=225，所以132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，所以這個三角形不是直角三角形.典例剖析(3)a:b:c=3:4:5;解：設(shè)a=3k,b=4k,c=5k,因為(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根據(jù)勾股定理的逆定理，這個三角形是直角三角形，∠C是直角.

根據(jù)勾股定理及其逆定理，判斷一個三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最大邊長的平方.歸納變式1：

已知△ABC，AB=n2-1，BC=2n，AC=n2+1(n為大于1的正整數(shù)).試問△ABC是直角三角形嗎？若是，哪一條邊所對的角是直角？請說明理由解：∵AB2+BC2=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2=AC2，∴△ABC直角三角形，邊AC所對的角是直角.先確定AB、BC、AC、的大小變式2：

若三角形ABC的三邊a,b,c

滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c.試判斷△ABC的形狀.解：∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c∴a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0.即(a－3)2+(b－4)2+(c－5)2=0.∴a=3,b=4,c=5即a2+b2+c2.∴△ABC直角三角形.例3.在正方形ABCD中，F(xiàn)是CD的中點，E為BC上一點，且CE＝CB，試判斷AF與EF的位置關(guān)系，并說明理由．解：AF⊥EF.設(shè)正方形的邊長為4a,則EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，∴△AEF為直角三角形，且AE為斜邊．∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.典例剖析2.勾股數(shù)概念新知探究滿足a2＋b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．常見勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26……勾股數(shù)拓展性質(zhì)：一組勾股數(shù)，都擴大相同倍數(shù)k(k為正整數(shù))，得到一組新數(shù)，這組數(shù)同樣是勾股數(shù)．例4.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是(

)

A.6，8，10B.7，8，9C.0.3，0.4，0.5D.52，122，132A方法點撥：根據(jù)勾股數(shù)的定義，勾股數(shù)必須為正整數(shù)，先排除小數(shù)，再計算最長邊的平方是否等于其他兩邊的平方和即可.典例剖析1.下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是()

A.3，4，7B.5，12，13C.1.5，2，2.5D.1，3，52.將直角三角形的三邊長擴大同樣的倍數(shù),則得到的三角形()A.是直角三角形B.可能是銳角三角形C.可能是鈍角三角形D.不可能是直角三角形BA練一練1.如果線段a,b,c能組成直角三角形,則它們的比可以是()A.3:4:7B.5:12:13C.1:2:4D.1:3:5將直角三角形的三邊長擴大同樣的倍數(shù),則得到的三角形()A.是直角三角形B.可能是銳角三角形C.可能是鈍角三角形D.不可能是直角三角形BA練一練4.如果三條線段a，b，c滿足a2=c2-b2,這三條線段組成的三角形是直角三角形嗎?為什么?解：是直角三角形.因為a2+b2=c2滿足勾股定理的逆定理.3.以△ABC的三條邊為邊長向外作正方形,依次得到的面積是25,144,169,則這個三角形是______三角形.直角練一練隨堂練習1.下面幾組數(shù)能否作為直角三角形的三邊長？說說你的理由。（1）9，12，15；（2）12，18，22；（3）12，35，36；（4）15，36，39.解：（1）、（4）可作為直角三角形的三邊長,因為這兩組數(shù)據(jù)都滿足a2＋b2＝c2．2.如圖，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，圖中有幾個直角三角形？你是如何判斷的？與同伴交流.ABCDFE隨堂練習解:圖中四個三角形都是直角三角形：△BAE，△EDF，△BCF

分別有一個角為正方形的內(nèi)角，是直角；在△BEF

中，可以計算出BE2＝20，EF2＝5，BF2＝25，從而可得∠BEF＝90°，△BEF

也是直角三角形．解：因為92+402=1681=412，所以斜邊長為41.1.如果直角三角形的兩直角邊長是9，40，那么斜邊長為多少？解：由a2=c2－b2，得a2+b2=c2，所以這三條線段組成的三角形是直角三角形.2.如果三條線段長a，b，c滿足a2=c2－b2，這三條線段組成的三角形是不是直角三角形？為什么？習題1.3知識技能解：還是直角三角形.3.（1）如果將直角三角形的三條邊長同時擴大一個相同的倍數(shù)，那么得到的三家形還是直角三角形嗎？（2）下表中第一列每組數(shù)都是勾股數(shù)，補全下表，這些勾股數(shù)的2倍、3倍、4倍、10倍還是勾股數(shù)嗎？任意倍呢？說說你的理由.2倍3倍4倍10倍3,4,56,8,105,12,1315,36,398,15,1732,60,687,24,2570,240,2509,12,1512,16,2030,40,5010,24,2620,48,5250,120,13016,30,3424,45,5180,150,17014,48,5021,72,7528,96,100數(shù)學(xué)理解3.（2）下表中第一列每組數(shù)都是勾股數(shù)，補全下表，這些勾股數(shù)的2倍、3倍、4倍、10倍還是勾股數(shù)嗎？任意倍呢？說說你的理由.解：這些勾股數(shù)的任意倍還是勾股數(shù).理由：不妨設(shè)勾股數(shù)a,b,c的k倍為ak,bk,ck.（a,b,c,k為正整數(shù)）因為a2+b2=c2，所以（ak）2+（bk）2=a2k2+b2k2=（a2+b2）k2=c2k2=（ck）2.所以ak,bk,ck是勾股數(shù).數(shù)學(xué)理解解：由勾股定理逆定理可得三角形④⑤是直角三角形，三角形①②③⑥不是直角三角形.4.如圖，哪些三角形是直角