2024年泰國IMO代表隊選拔考試試題

題1.設(shè)a?,…..,an,b?,...,bn為2n個正整數(shù)，使得下列n+1個乘積a?a?a?…an,b?a?a?…an,b?b?a?…an按此順序形成嚴格遞增的等差數(shù)列.求最小的正整數(shù)，使得這個正整數(shù)可以為該數(shù)列的公差.題2.設(shè)ABC為一個銳角三角形，其外接圓為w.一個圓T內(nèi)切于w于點A,并且也切BC于點D.設(shè)AB和AC分別與T交于點P和Q.設(shè)M和N為直線BC上的點，使得B為DM的中點，C為DN的中點.直線MP和NQ在點K相交，并分別再次與F交于點I和J.射線KA與三角形IJK的外接圓再次交于點X≠K.證明∠BXP=∠CXQ.題3.設(shè)N為一個正整數(shù)，考慮一個N×N的網(wǎng)格.一個右下路徑是網(wǎng)格單元的一個序列，其中每個單元要么是序列中前一個單元右側(cè)的一個單元，要么是下方的一個單元.一個右上路徑是網(wǎng)格單元的一個序列，其中每個單元要么是序列中前一個單元右側(cè)的一個單元，要么是上方的一個單元.證明N×N網(wǎng)格的單元不能被劃分成少于N條右下或右上路徑.例如，下面的5×5網(wǎng)格的劃分使用了5條路徑題4.設(shè)m和n為大于1的正整數(shù).在一個m×n網(wǎng)格的每個單位平方內(nèi)都有一枚硬幣，所有硬幣的背面朝上.一次操作包括以下步驟：選擇網(wǎng)格中的一個2×2方塊；翻轉(zhuǎn)左上角和右下角單位平方內(nèi)的硬幣；翻轉(zhuǎn)右上角或左下角單位平方內(nèi)的硬幣.確定所有可能的(m,n)對，使得在有限次操作后每枚硬幣都顯示正面.題5.已知a?<a?<a?<...為正整數(shù)，使得對于每個k≥1,ak+1整除2(a?+a?+…+ak).假設(shè)對于無限多個質(zhì)數(shù)p,存在k使得p整除ak.證明對于每個正整數(shù)n,存在k使得n整題6.設(shè)N為一個正整數(shù).證明存在三個1,...,N的排列a?,...,an,b?,...,bn和C?,...,CN,使得對于每個k=1,2,...,N,都有第三天題7.對于正整數(shù)n和k≥2,定義E.(n)為最大的指數(shù)r,使得k"整除n!.證明多個n使得E1o(n)>E?(n),并且題9.設(shè)ABC為一個銳角、不等邊三角形，其垂心為H.設(shè)la為通過點B關(guān)于CH的對稱點和點C關(guān)于BH的對稱點的直線.類似地定義直線Cb和C.假設(shè)直線la、b和e確定一個三角形T.證明T的垂心、外心以及H共線.題10.求將n×n網(wǎng)格的n2個方格劃分成n個大小分別為1、3、5、...、2n-1的連通塊的方法數(shù)，使得每個塊關(guān)于連接網(wǎng)格右下角和左上角的對角線對稱.一個連通塊是指一組方格，其中任意兩個方格可以通過該組內(nèi)的相鄰方格序列相連.兩個方格相鄰當且僅當它們共享一條邊.題11.設(shè)ABC為一個三角形，其內(nèi)心為I.設(shè)AI與BC交于D.點P,Q位于三角形ABC內(nèi)部，使得∠BPA+∠CQA=180°并且B,Q,I,P,C按此順序共圓.BP與CQ交于X.證明◎(ABC)和⊙(APQ)的交點位于直線XD上.題12.設(shè)a,b,c,d為滿足下列條件的正整數(shù)：求a+b+c+d的所有可能值.題13.求所有整系數(shù)多項式P,滿足對于這些多項式，存在一個整數(shù)an,使得P(an)=n"對所有正整數(shù)n成立.題14.設(shè)a?,a?,...,a?023為正整數(shù)，滿足a?,a?,...,a?023是1,2,..,2023的一個排列，并且|a?-a?|,|a?-a?|,...,|a?022-a?023|是1,2,...,2022的一個排列.證明max(a?,a?023)≥507.題15.艾麗莎有2023個寶箱，最初所有寶箱都是未上鎖且空的.每天，艾麗莎會選擇一個未上鎖的寶箱放入一顆新的寶石，之后，一個仙女會根據(jù)以下規(guī)則行動：如果有多于一個寶箱未上鎖，它會上鎖其中一個，或者如果只有一個寶箱未上鎖，它會打開所有寶箱.已知這個過程會永遠進行下去，證明存在一個常數(shù)C,具有以下性質(zhì)：無論仙女選擇上鎖哪些寶箱，艾麗莎可以確保任意兩個寶箱中寶石數(shù)量的差值永遠不會超過C題16.設(shè)ABCD為一個圓內(nèi)接四邊形，滿足∠BAD<∠ADC.設(shè)M為不包含A的弧CD的中點.假設(shè)存在一個點P在ABCD內(nèi)部，使得∠ADB=∠CPD和∠ADP=∠PCB.證題17.設(shè)n≥2為一個正整數(shù).保羅有一個1×n2的矩形條，由n2個單位正方形組成，且對于所有1≤i≤n2,其中第i個正方形標記為i.他希望將矩形條切割成若干塊，每塊由連續(xù)的單位正方形組成，然后通過平移(不旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn))這些塊來得到一個n×n的正方形，滿足以下性質(zhì)：如果第i行第j列的單位正方形標記為aij,那