第41屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽決賽理論試題

第41屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽決賽理論考試試題2024年10月26日9:00-12:00電子的相對(duì)數(shù)目電子的相對(duì)數(shù)目0是普朗克常量)。設(shè)微觀粒子1的角動(dòng)量為L(zhǎng)?(它在任意給定方向上的最大投影為)、微觀粒子2的角動(dòng)二、(50分) 的珠子之間(包括1號(hào)和2N號(hào))都由相同的、勁度系數(shù)為k的輕彈簧相連，并達(dá)到靜力平衡狀態(tài)。波(行波)的形式(相鄰珠子振動(dòng)的相位差為α)求解。第2頁(yè)共5頁(yè)(4)假設(shè)1號(hào)珠子被鎖定不動(dòng)，但其余所有珠子仍可無(wú)摩擦滑動(dòng)。試求出這種情況下S的所有微振動(dòng)的本征頻率w;并對(duì)頻率為w的本征模式，導(dǎo)出其xi=xi(t)(i=1,2,…,2N)的表達(dá)式(結(jié)果中均不能出現(xiàn)B)。(5)如1號(hào)珠子的鎖定被解除，且其質(zhì)量變?yōu)棣?。即使在這種情況下，該系統(tǒng)也有一些本征頻率W完全不依xi=xi(t)(i=1,2,…,2N)的表達(dá)式(結(jié)果中均不能出現(xiàn)B)。三、(50分)本題中的一些物理量用復(fù)數(shù)表示。例如，電場(chǎng)強(qiáng)度的某分量隨傳播距離L和時(shí)間t變化的關(guān)系式(1)(1.1)馬赫-曾德爾(Mach-Zenhder,簡(jiǎn)稱MZ)干涉儀示意圖如圖3a所示。入射光經(jīng)過(guò)半透半反分束器，再經(jīng)過(guò)上下兩處全反鏡(全反射鏡),分為上路(射向M1)和下路(射向M2);再經(jīng)過(guò)第二個(gè)相同的半透下方的探測(cè)器探測(cè)的光強(qiáng)為零。這時(shí)入射光的能量去了哪里?作圖并簡(jiǎn)明描述。(1.2)利用圖3a所示的裝置可研究分束器的透分束器分束器分束器圖3a:馬赫-曾德爾干涉儀示意圖(部分)50/50半透半反(對(duì)所有偏振)分光器件，即反射系數(shù)r和透射系數(shù)的大小滿足(2)圖3b給出了光的P、S偏振正方向的定義：在圖3b(a)中，k為光的傳播方向，P-S-k它們可由一個(gè)矩陣表示prkrprkrPtPtkt上式中的2×2矩陣稱為分束器的反射量的反射系數(shù)分別為p=rpeirp和R和透射矩陣T的具體形式(用本問(wèn)中(3)圖3c(a)為全反鏡示意圖，試寫出(4)對(duì)于1/4波片，偏振沿其快軸的光經(jīng)過(guò)波片后會(huì)比偏振沿其慢軸的光的相位領(lǐng)先圖3c(b)為快軸沿第3頁(yè)共5頁(yè)(5)線偏振片的透光方向沿水平(H)、垂直(V)和+45°方向的示意圖如圖3c(c)所示，分別寫出它們的矩干涉儀是通過(guò)光強(qiáng)的變化測(cè)量相位變化的一種儀器。一般的干涉儀(如邁克爾遜干涉儀)僅測(cè)象限干涉儀的示意圖，它可以通過(guò)僅測(cè)量A、B處探測(cè)器的干涉光強(qiáng)，便可得到△φ的確定值(-π<激光經(jīng)過(guò)一個(gè)垂直透光方向(垂直于紙面)的線偏振片(V)被全反鏡1反射后射入半透半反分束器1,分成光路1和光路2。光路1的光被全反鏡5線偏振片(V)探測(cè)器A全反鏡4光路1全分束器2,再次被分成兩路后分別通過(guò)線偏振片(V)到達(dá)探測(cè)器A和線偏振片(H)到達(dá)探測(cè)器B。光路2的光被全反鏡2、3和4反射后，通過(guò)一個(gè)透光方向沿+45°的線偏振片，再由分束器2分成兩路，分別射向探測(cè)(6)已知激光器發(fā)出的激光到達(dá)分束器1前的振幅為E?,l?、l?、k分別表示光從分束器1沿光路1、2到達(dá)分束器2的光程和激光的真空波矢的大小，分別寫出探測(cè)器A的光強(qiáng)和探測(cè)器B的光強(qiáng)中的干涉項(xiàng)圖4a所示。該模型包含兩個(gè)相同的剛性圓形車輪(厚度忽略不計(jì)),每個(gè)車輪的半徑為r,質(zhì)量為m且均勻分布在車輪邊緣；兩車輪的圓心用長(zhǎng)度為d、質(zhì)量可忽略的細(xì)直剛性輪軸相連，兩車輪各自所在平面軸以外的其它車體部分和車上站立的人簡(jiǎn)化為質(zhì)量為M、長(zhǎng)度為L(zhǎng)的勻質(zhì)剛性細(xì)桿，細(xì)桿底端和輪軸中心位置C相連，細(xì)桿可繞C做無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)；此外，細(xì)桿與輪軸之間可以有沿輪軸方向的力偶矩(即扭矩，由桿上的發(fā)動(dòng)機(jī)提供)。假設(shè)車輪在地面上始終做純滾動(dòng)。忽略平衡車系統(tǒng)內(nèi)部所量損失。取z軸正向?yàn)樨Q直向上，x軸與輪軸平行，y軸與車行進(jìn)的方向平行。已知重力加速度大小為g。(1)本問(wèn)中發(fā)動(dòng)機(jī)不輸出扭矩，細(xì)桿與輪軸之間的接觸可視為點(diǎn)接觸；設(shè)兩個(gè)車輪與輪軸不是剛性連接(可以各自獨(dú)立轉(zhuǎn)動(dòng)),且車輪質(zhì)量可以忽略?？紤]平衡車的轉(zhuǎn)彎過(guò)程，C點(diǎn)在水平面上做角速度為2的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。細(xì)桿始終保持在輪軸所在的豎直平面內(nèi)，且向內(nèi)側(cè)的傾角φ保持不變，其后視圖如圖4b所示。求(1.1)C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑R(φ);第4頁(yè)共5頁(yè)在下面第(2)(3)問(wèn)中，細(xì)桿在垂直于輪軸的平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)；兩個(gè)車輪與輪軸剛性連接，車輪質(zhì)量不可忽略。(2)考慮平衡車沿直線向前加速的過(guò)程，平衡車的側(cè)視圖如圖4c所示。設(shè)細(xì)桿處在向前傾角為θ的位置，為使θ保持不變，發(fā)動(dòng)機(jī)需要對(duì)輪軸施加合適的扭矩t(0)。求t(θ)和平衡車質(zhì)心的加速度a(θ)。設(shè)y軸正向指向平衡車前進(jìn)的方向，扭矩的正向?yàn)閳D4c中的逆時(shí)針?lè)较颉?3)考慮平衡車的小振動(dòng)。假設(shè)發(fā)動(dòng)機(jī)輸出的扭矩r(θ)滿足第(2)問(wèn)求出的函數(shù)關(guān)系式，關(guān)系式中的各參量仍為第(2)問(wèn)中的值。但是，本問(wèn)中細(xì)桿的質(zhì)量變?yōu)镸'。對(duì)于合適的M'值，細(xì)桿傾角θ(在θ=0附近)和C可以做頻率相同的小振動(dòng)。求M'需滿足的條件，以及此小振動(dòng)的角頻率の。五、(50分)考慮一個(gè)球?qū)ΨQ的恒星，其物質(zhì)分布在半徑為R的球體中，總質(zhì)量為M,球心為0.假設(shè)恒星物質(zhì)只含有兩種成分：一是中性或電離的原子，稱為原子物質(zhì)；二是輻射，稱為光子氣體。已知萬(wàn)有引力常量為G.假設(shè)恒星的總能量主要來(lái)自原子物質(zhì)，在以下第(1)(2)(3)(4)問(wèn)中可忽略輻射。(1)首先研究恒星的靜力平衡，此時(shí)可將恒星物質(zhì)視為流體。設(shè)r為恒星內(nèi)的任一點(diǎn)到其中心O的距離，該點(diǎn)處流體的壓強(qiáng)為p(r),質(zhì)量密度為p(r),半徑為r的球體內(nèi)的總質(zhì)量為m(r)。試寫出平衡狀態(tài)下m(r)與p(r)滿足的微分方程。(2)利用第(1)問(wèn)的結(jié)果，證明m(r)與p(r)滿足不等式并據(jù)此估算恒星中心O處壓強(qiáng)的下界，結(jié)果用M、R、G表示。(3)試計(jì)算恒星自身的引力勢(shì)能，用p(r)的積分式表示。設(shè)所有恒星物質(zhì)被球?qū)ΨQ地拉到無(wú)窮遠(yuǎn)處為勢(shì)能的零點(diǎn)。(4)考慮恒星物質(zhì)的熱力學(xué)。假設(shè)恒星物質(zhì)的內(nèi)能密度u(r)與壓強(qiáng)p(r)滿足關(guān)系其中γ為絕熱指數(shù)。只考慮γ>1且γ不依賴于r的情形。如果恒星不會(huì)解體，γ應(yīng)滿足什么條件?以下各問(wèn)考慮輻射的效應(yīng)。假設(shè)恒星內(nèi)部的光子仍然以真空中的光速c傳播。(5)假設(shè)恒星內(nèi)光子氣體處處達(dá)到局域熱平衡，光子氣體的內(nèi)能來(lái)自光子的能量，壓強(qiáng)來(lái)自光子的光壓。試計(jì)算這種光子氣體的絕熱指數(shù)γ.(6)原子物質(zhì)能吸收光子。當(dāng)輻射通過(guò)厚度為dr、密度為p的物質(zhì)薄層時(shí)，有部分光子被吸收。被吸收的光子所占的比例為k(r)p(r)dr,其余光子穿過(guò)該物質(zhì)薄層，其中k(r)稱為不透明度。假設(shè)k(r)不依賴光的頻率。原子物質(zhì)吸收光子而受到光壓，由此導(dǎo)致了光子氣體的壓強(qiáng)差。設(shè)恒星在以O(shè)為中心、半徑為r的整個(gè)球面向外輻射的功率(光度)為L(zhǎng)(r),試給出溫度T(r)滿足的微分方程，結(jié)果可包含L(r)、m(r)、k(r)、r及相關(guān)常量和常數(shù)。(7)假設(shè)恒星內(nèi)原子物質(zhì)的分壓隨半徑r的增大而減小。試估算恒星表面處光度L(R)的上界，結(jié)果用M、k(R)與相關(guān)常量和常數(shù)表示。提示：可利用Planck黑體輻射能譜為和積分公式第5頁(yè)共5頁(yè)六.(50分)根據(jù)量子力學(xué)不確定性關(guān)系(這里，△x、△p分別是粒子的位移x、動(dòng)量p的不確定度，是約化普朗克常量，h是普朗克常量),一個(gè)簡(jiǎn)諧振子的位移x和動(dòng)量p不可能都為零，因此其基態(tài)能量不可能為零?；陬愃频睦碛?，真空中的量子電磁場(chǎng)最低態(tài)(即沒(méi)有光子的態(tài))的能量也不能為零。這導(dǎo)致了一個(gè)有趣的現(xiàn)象：將兩塊相距一定距離的不帶電的導(dǎo)體板平行放置在真空中，它們之間存在非零的電磁相互作用力。現(xiàn)用一個(gè)簡(jiǎn)單模型來(lái)考察這個(gè)力的起源，該模型只考慮一維空間中電磁波的傳播，并假設(shè)電磁波只有一種偏振模式。將三塊相同的不帶電的理想導(dǎo)體薄板A、B、C相互平行放置，A、B之間距離為a,A、C之間距離為L(zhǎng)(L》a),如圖6a所示。已知真空中的光速為c。(1)真空電磁波在A、B之間形成駐波，導(dǎo)體板表面的位置為波節(jié)。試求出A、B之間所允許的電磁波的角頻率。類似地，求出B、C之間所允許的電磁波的角頻率。(2)由于量子效應(yīng)，一個(gè)振動(dòng)角頻率為w的簡(jiǎn)諧振子的基態(tài)能量為類似的，真空中角頻率為w的電磁波的一個(gè)模式所貢獻(xiàn)的真空電磁場(chǎng)能量(零點(diǎn)能)o試寫出A、C之間真空電磁場(chǎng)總能量的表達(dá)式。(提示：表達(dá)式可能是發(fā)散的，即不是有限的。)(3)推導(dǎo)出導(dǎo)體板B所受到的電磁相互作用力的表達(dá)式。(4)自然界真實(shí)力的大小總是有限的。我們導(dǎo)出的結(jié)果之所以發(fā)散，是因?yàn)椴捎昧诉^(guò)于簡(jiǎn)化的假設(shè)。例如，實(shí)際的導(dǎo)體板不是理想導(dǎo)體，頻率足夠高的電磁波總能夠穿過(guò)導(dǎo)體薄板，因而不受駐波條件的約束。所以這些高頻電磁波模式幾乎不受導(dǎo)體板位置的影響，也不會(huì)對(duì)我們想要計(jì)算的電磁力產(chǎn)生貢獻(xiàn)。為了將這一效應(yīng)考慮在內(nèi)，可以采取如下方法：我們?nèi)匀槐Ａ舻?1)問(wèn)中求得的駐波條件，但假設(shè)每一個(gè)電磁波模式對(duì)電磁場(chǎng)總能量的有效貢獻(xiàn)。這里A與w的量綱相同，且滿。試計(jì)算在L→0、A→○的極限下導(dǎo)體板B受到的電磁力。(5)第(4)問(wèn)中，用一個(gè)特定的指