新人教版高中數(shù)學(xué)必修二第一章檢測

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選擇題（共13小題）

1.（2014?陜西）將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得兒何體的側(cè)面積是（）

A.4nB.3nC.2nD.n

2.（2014?福建）以邊長為1的正方形的一邊所在所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)?周所得圓柱的側(cè)面積等于

（）

A.2nB.nC.2D.1

3.（2014?湖北）在如圖所示的空間直角坐標系O-xyz中，一個四面體的頂點坐標分別為（0,0,2）,（2,2,0）,

（1,2,1）,（2,2,2）,給出的編號為①，②，③，④的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（）

④和②

4.（2014?江西）一幾何體的直觀圖如圖所示，下列給出的四個俯視圖中正確的是（）

5.（2014?河南）如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是（）

A.三棱錐B.三棱柱C.四棱錐D.四棱柱

6.（2014?福建）要制作,個容積為4m3,高為1m的無蓋長方體容器，已知該容器的底面造價是每平方米20元,

側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是（）

A.80元B.120元C.160元D.240元

7.（2014?福建）某空間兒何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是（）

A.圓柱B.圓錐C.四面體D.三棱柱

8.（2014?廣西模擬）將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得BD=a,則三棱錐D-ABC的體積為（）

A.B.C.3D.3

Ka

6-----------------------------12------------------------------12------------------------------12

9.（2014?上海二模）已知正四棱錐S-ABCD中，SA=2j§,那么當(dāng)該棱錐的體積最大時，它的高為（）

A.1B.73C.2D.3

10.（2014?湖北）《算數(shù)書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)

學(xué)典籍，其中記載有求"困蓋"的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的

底面周長L與高h,計算其體積V的近似公式VJl?h,它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率n近似取為3,那

36

么，近似公式V=AL2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的n近似取為（）

75

A.22B.25c.157D.355

TT-BO-113

11.（2014?陜西）已知底面邊長為1,側(cè)棱長為形的正四棱柱的各頂點均在同一球面上，則該球的體積為（）

A.32兀B.4nC.2nD.4

F

12.（2014?撫州一模）沿一個正方體三個面的對角線截得的幾何體如圖所示，則該幾何體的左視圖為（）

13.（2014?崇明縣二模）（文）將圖所示的一個直角三角形ABC（ZC=90°）繞斜邊AB旋轉(zhuǎn)一周，所得到的幾何體

的正視圖是下面四個圖形中的（）

—.填空題（共4小題）

14.（2015?赤峰模擬）已知四棱錐P-ABCD的頂點都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD,底面ABCD,

△PAD為正三角形，AB=2AD=4,則球O的表面積為.

15.（2014?上海）若圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，則其母線與軸所成角的大小為（結(jié)果用反三角

函數(shù)值表示）

16.（2014?上海）若圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，則其母線與底面角的大小為（結(jié)果用反三角函

數(shù)值表示）.

17.（2014?福建）要制作一個容器為4m3,高為1m的無蓋長方形容器，已知該容器的底面造價是每平方米20元,

側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是（單位：元）

三.解答題（共13小題）

TT

18.（2015?惠州模擬）如圖所示的多面體中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，ED±?ABCD,/BAD=—?

3

（1）求證：平面BCF〃面AED；

（2）若BF=BD=a,求四棱錐A-BDEF的體積.

19.（2015?南充一模）已知某幾何體的直觀圖和三視圖如如所示，其正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯

視圖為直角梯形.

（I）證明：BNJ_平面CiBiN；

（II）求三棱錐Ci-CNBi的體積.

20.（2015?赤峰模擬）如圖，在三棱柱ABC-A1B1J中，四邊形A|ABB］為菱形，ZA|AB=45°,四邊形BCC|B1

為矩形，若AC=5,AB=4,BC=3.

（1）求證：ABi_L平面A,BC；

（2）求三棱錐C-A1B1C）的體積.

21.(2014?上海)底面邊長為2的正三棱錐P-ABC,其表面展開圖是三角形PiP2P3，如圖，求aPiP2P3的各邊長

及此三棱錐的體積V.

22.(2014?重慶)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面是以O(shè)為中心的菱形，POL底面ABCD,AB=2,/BAD*,

3

M為BC上一點，且BM」.

2

(I)證明:BCL平面POM；

(II)若MP_LAP,求四棱錐P-ABMO的體積.

23.(2014?遼寧)如圖，ZXABC和4BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2.ZABC=ZDBC=120%E、F、G

分別為AC、DC、AD的中點.

(I)求證：EF_L平面BCG；

(II)求三棱錐D-BCG的體積.

附：錐體的體積公式V」Sh,其中S為底面面積，h為高.

24.(2014?昆明一模)如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，ACABD=O,PO_L平面ABCD,E、F、G分別

是PO、AD、AB的中點.

(I)求證：PC_L平面EFG；

(II)若AB=1,求三棱錐O-EFG的高.

25.（2014?松江區(qū)二模）如圖，ZXABC中，ZACB=90\NABC=30。，BC=A/3，在三角形內(nèi)挖去一個半圓（圓心

O在邊BC上，半圓與AC、AB分別相切于點C、M,與BC交于點N）,將AABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋

轉(zhuǎn)體.

（1）求該幾何體中間一個空心球的表面積的大?。?/p>

（2）求圖中陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

26.（2014?浦東新區(qū)三模）已知一個圓柱和?個圓錐等底等高，如圖，點O為底面的圓心，點P為圓錐的頂點.若

圓柱的高等于它的底面直徑.

（1）求證：圓柱的任意一條母線和圓錐的任意一條母線所成的角都相等；

（2）求圓柱的全面積和圓錐的全面積的比值.

27.（2014?蚌埠二模）在圓柱OOi中，ABCD是其軸截面，EFLCD于0］（如圖所示），若AB=2,BC=&.

（I）設(shè)平面BEF與。O所在平面的交線為1,平面ABE與。Oi所在平面的交線為m,證明：Um；

（II）將4AEC繞直線AD旋轉(zhuǎn)一周，求所得幾何體的體積.

28.（2014?宿遷模擬）如圖，某工廠生產(chǎn)的一種無蓋冰淇淋紙筒為圓錐形，現(xiàn)一客戶訂制該圓錐紙筒，并要求該圓

錐紙筒的容積為上設(shè)圓錐紙筒底面半徑為r,高為h.

（1）求出r與h滿足的關(guān)系式；

（2）工廠要求制作該紙筒的材料最省，求最省時名的值.

29.(2014?安徽三模)如圖，己知ABCD是圓錐SO底面圓O的內(nèi)接矩形.

①當(dāng)AB=AD時，判斷直線SA與直線BD的位置關(guān)系(不要證明)；

②設(shè)E為SA的中點，G為AAOD的重心，求證：EG〃平面SDC；

③若圓錐SO側(cè)面展開圖示半徑長為3,面積為3n的扇形，求圓錐SO的體積.

30.(2014?南海區(qū)模擬)如圖，已知四邊形ABCD和BCEG均為直角梯形,AD〃BC,CE〃BG,且NBCD=NBCEJ,

2

平面ABCD_L平面BCEG,BC=CD=CE=2AD=2BG=2.求證：

(I)EC1CD；

(II)求證:AG〃平面BDE；

(III)求：幾何體EG-ABCD的體積.

新人教版高中數(shù)學(xué)必修二第一章檢測

參考答案與試題解析

—.選擇題（共13小題）

1.（2014?陜西）將邊長為1的正方形以其?邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積是（）

A.4nB.3nC.2nD.R

考點：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）.

專題：計算題；空間位置關(guān)系與距離.

分析：邊長為1的正方形，繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體為圓柱，從而可求圓柱的側(cè)面積.

解答：解：邊長為1的正方形，繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體為圓柱，

則所得幾何體的側(cè)面積為：1X2HX1=2H,

故選：C.

點評：本題是基礎(chǔ)題，考查旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積的求法，考查計算能力.

2.（2014?福建）以邊長為1的正方形的?邊所在所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于

（）

A.2nB.兀C.2D.1

考點：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）；棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積.

專題：計算題；空間位置關(guān)系與距離.

分析：邊長為1的正方形，繞其邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的兒何體為圓柱，從而可求圓柱的側(cè)面積.

解答：解：邊長為1的正方形，繞其一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體為圓柱，

則所得幾何體的側(cè)面積為：lx2nxl=2n,

故選：A.

點評：本題是基礎(chǔ)題，考查旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積的求法，考查計算能力.

3.（2014?湖北）在如圖所示的空間直角坐標系O-xyz中，一個四面體的頂點坐標分別為（0,0,2）,（2,2,0）,

（1,2,1）,（2,2,2）,給出的編號為①，②，③，④的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為（）

A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②

考點：簡單空間圖形的三視圖.

專題：計算題；空間位置關(guān)系與距離.

分析：在坐標系中，標出已知的四個點，根據(jù)三視圖的畫圖規(guī)則，可得結(jié)論.

解答：解：在坐標系中，標出已知的四個點，根據(jù)三視圖的畫圖規(guī)則，可得三棱錐的正視圖和俯視圖分別為④②,

故選：D.

點評：本題考查三視圖的畫法，做到心中有圖形，考查空間想象能力，是基礎(chǔ)題.

4.（2014?江西）一幾何體的直觀圖如圖所示，下列給出的四個俯視圖中正確的是（）

考點：簡單空間圖形的三視圖.

專題：空間位置關(guān)系與距離.

分析：通過幾何體結(jié)合三視圖的畫圖方法，判斷選項即可.

解答：解：兒何體的俯視圖，輪廓是矩形，兒何體的上部的棱都是可見線段，所以C、D不正確：兒何體的上部

的棱與正視圖方向垂直，所以A不正確，

故選：B.

點評：本題考查三視圖的畫法，幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵.

5.（2014?河南）如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個兒何體是（）

C.四棱錐D.四棱柱

考點：簡單空間圖形的三視圖.

專題：空間位置關(guān)系與距離.

分析：由題意畫出幾何體的圖形即可得到選項.

解答：解：根據(jù)網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖,

可知幾何體如圖：幾何體是三棱柱.

故選：B.

點評：本題考查三視圖復(fù)原幾何體的直觀圖的判斷方法，考查空間想象能力.

6.（2014?福建）要制作一個容積為4m3,高為1m的無蓋長方體容器，己知該容器的底面造價是每平方米20元,

側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是（）

A.80元B.120元C.160元D.240元

考點：棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積.

專題：綜合題；不等式的解法及應(yīng)用.

分析：設(shè)池底長和寬分別為a,b,成本為y,建立函數(shù)關(guān)系式，然后利用基本不等式求出最值即可求出所求.

解答：解：設(shè)池底長和寬分別為a,b,成本為y,則

???長方形容器的容器為4m3,高為1m,

...底面面積S=ab=4,y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80,

a+b22yab=4,

當(dāng)a=b=2時，y取最小值160,

即該容器的最低總造價是160元，

故選：C.

點評：本題以棱柱的體積為載體，考查了基本不等式，難度不大，屬于基礎(chǔ)題，山實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化是關(guān)

鍵.

7.（2014?福建）某空間幾何體的正視圖是三角形，則該幾何體不可能是（）

A.圓柱B.圓錐C.四面體D.三棱柱

考點：由三視圖還原實物圖.

專題：計算題；空間位置關(guān)系與距離.

分析：直接從幾何體的三視圖：正視圖和側(cè)視圖或俯視圖判斷幾何體的形狀，即可.

解答：解：圓柱的正視圖為矩形，

故選：A

點評：本題考查簡單幾何體的三視圖，考查邏輯推理能力和空間想象力，是基礎(chǔ)題.

8.（2014?廣西模擬）將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得BD=a,則三棱錐D-ABC的體積為（）

33

A.aB.aC.a3D.近3

Aa

6-----------------------------12------------------------------12------------------------------12

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積.

專題：計算題.

分析：取AC的中點O,連接DO,BO,求出三角形DOB的面積，求出AC的長，即可求三棱錐D-ABC的體積.

解答：解：O是AC中點，連接DO,BO,如圖，

△ADC,Z\ABC都是等腰直角三角形，

DO=B（）AC&a,BD=a,

22

△BDO也是等腰直角三角形，DOLAC,DO1BO,DOJ_平面ABC,

DO就是三棱錐D-ABC的高,

23

Sz\ABC二a2三棱錐D-ABC的體積：-^X-XaX^=^a

232212

故選D.

點評：本題考查棱錐的體枳，是基礎(chǔ)題.

9.（2014?上海二模）已知正四棱錐S-ABCD中，SA=2?,那么當(dāng)該棱錐的體積最大時，它的高為（）

A.1B.73C.2D.3

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積.

專題：計算題；壓軸題.

分析：設(shè)出底面邊長，求出正四棱錐的高，寫出體積表達式，利用求導(dǎo)求得最大值時，高的值.

解答：

h'sA?-（年）］12-亭所以體積丫寺尚⑵，-.，

解：設(shè)底面邊長為a,則高

設(shè)y=12a"-*6,則y，=48a3-3a5,當(dāng)y取最值時，y'=48a3-3a5=0,解得a=0或a=4時，當(dāng)a=4時，體

積最大，

此時h=故選C.

點評：本試題主要考查椎體的體積，考查高次函數(shù)的最值問題的求法.是中檔題.

10.（2014?湖北）《算數(shù)書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)

學(xué)典籍，其中記載有求"困蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的

底面周長L與高h,計算其體積V的近似公式vdl？h,它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率n近似取為3,那

36

么，近似公式v/j7h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的n近似取為（）

75

A.22B.25C.157D.355

TT-5CF113

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積.

專題：計算題；空間位置關(guān)系與距離.

分析：根據(jù)近似公式VJNL?%建立方程，即可求得結(jié)論.

75

解答：解：設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,高為h,則L=2nr,

(2nr)2h,

._25

??JL---------?

8

故選：B.

點評：本題考查圓錐體積公式，考查學(xué)生的閱讀理解能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.（2014?陜西）已知底面邊長為1,側(cè)棱長為我的正四棱柱的各頂點均在同一球面上，則該球的體積為（）

A.32兀B.4nC.2nD.4

丁針

考點：球的體積和表面積.

專題：計算題；空間位置關(guān)系與距離.

分析：由長方體的對角線公式，算出正四棱柱體對角線的長，從而得到球直徑長，得球半徑R=l,最后根據(jù)球的

體積公式，可算出此球的體積._

解答：解：二?正四棱柱的底面邊長1，側(cè)棱長為&，

.??正四棱柱體對角線的長為屈耘=2

又???正四棱柱的頂點在同一球面上，

.??正四棱柱體對角線恰好是球的一條直徑，得球半徑R=1

根據(jù)球的體積公式，得此球的體積為V&RZSI.

33

故選：D.

點評：本題給出球內(nèi)接正四棱柱的底面邊長和側(cè)棱長，求該球的體積，考查了正四棱柱的性質(zhì)、長方體對角線公

式和球的體積公式等知識，屬于基礎(chǔ)題.

12.（2014?撫州一模）沿一個正方體三個面的對角線截得的幾何體如圖所示，則該幾何體的左視圖為（）

考點：簡單空間圖形的三視圖.

專題：計算題.

分析：沿一個正方體三個面的對角線截得的幾何體，它的左視圖首先應(yīng)該是一個正方形，中間的棱在左視圖中表

現(xiàn)為一條對角線，分析對角線的方向，并逐一對照四個答案中的視圖形狀，即可得到答案.

解答：解：由已知中幾何體的直觀圖，

我們可得左視圖首先應(yīng)該是一個正方形，故D不正確；

中間的棱在左視圖中表現(xiàn)為一條對角線，故C不正確；

而對角線的方向應(yīng)該從左上到右下，故A不正確

故B選項正確.

故選B

點評：本題考查的知識點是簡單空間圖象的三視圖，其中熟練掌握簡單幾何體的三視圖的形狀是解答此類問題的

關(guān)鍵.

13.（2014?崇明縣二模）（文）將圖所示的一個直角三角形ABC（NC=90。）繞斜邊AB旋轉(zhuǎn)一周，所得到的幾何體

的正視圖是下面四個圖形中的（）

考點：構(gòu)成空間幾何體的基本元素；由三視圖求面積、體積.

專題：計算題.

分析：應(yīng)先得到旋轉(zhuǎn)后得到的幾何體，它是一個是兩個圓錐的組合體，找到從正面看所得到的圖形即可得到得到

的幾何體的正視圖.

解答：解：繞斜邊AB旋轉(zhuǎn)一周，所得到的幾何體是兩個圓錐的組合體，它的正視圖是兩個等腰三角形，三角形

之間有一條虛線段，故選B.

點評：本題考查了構(gòu)成空間幾何體的基本元素、三視圖的知識，正視圖是從物體的正面看得到的視圖.

二.填空題（共4小題）

14.（2015?赤峰模擬）已知四棱錐P-ABCD的頂點都在球。的球面上，底面ABCD是矩形，平面PADJ_底面ABCD,

△PAD為正三角形，AB=2AD=4,則球。的表面積為_31工_.

考點：球的體積和表面積.

專題：計算題；空間位置關(guān)系與距離.

分析：求出4PAD所在圓的半徑，利用勾股定理求出球O的半徑R,即可求出球O的表面積.

解答：解：令4PAD所在圓的圓心為Oi，則圓Oi的半徑r=2上，

因為平面PAD1.底面ABCD,

所以O(shè)O］」AB=2,

所以球O的半徑R=.

所以球O的表面積=47IR2=112L

3

故答案為：112L.

3

點評：本題考查球O的表面積，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ).

15.（2014?上海）若圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，則其母線與軸所成角的大小為arcsin。（結(jié)果用反三角函數(shù)

值表示）

考點：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）.

專題：空間位置關(guān)系與距離.

分析：由已知中圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，可得圓錐的母線是圓錐底面半徑的3倍，在軸截面中，求出母線

與軸所成角的正弦值，進而可得母線與軸所成角.

解答：解：設(shè)圓錐母線與軸所成角為8

???圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，

?兀rl_l_3

??_J,

Jtr2r

即圓錐的母線是圓錐底面半徑的3倍,

故圓錐的軸截面如下圖所示：

貝|JsinO』A,

13

?.a?0—drc.sin1—,

3

故答案為：arcsin—

3

點評：本題考查的知識點是旋轉(zhuǎn)體，其中根據(jù)已知得到圓錐的母線是圓錐底面半徑的3倍，是解答的關(guān)鍵.

16.（2014?上海）若圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，則其母線與底面角的大小為arccod（結(jié)果用反三角函數(shù)值

廠

表示）.

考點：旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）.

專題：空間位置關(guān)系與距離.

分析：由已知中圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，可得圓錐的母線是圓錐底面半徑的3倍，在軸截面中，求出母線

與底面所成角的余弦值，進而可得母線與軸所成角.

解答：解：設(shè)圓錐母線與軸所成角為。，

圓錐的側(cè)面積是底面積的3倍，

?兀

TCr2r

即圓錐的母線是圓錐底面半徑的3倍，

故圓錐的軸截面如下圖所示：

貝IIcos9=jl,

13

故答案為：arccoJ

3

點評：本題考查的知識點是旋轉(zhuǎn)體，其中根據(jù)已知得到圓錐的母線是圓錐底面半徑的3倍，是解答的關(guān)鍵.

17.（2014?福建）要制作一個容器為4m3,高為1m的無蓋長方形容器，已知該容器的底面造價是每平方米20元,

側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是（單位：元）

考點：棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積.

專題：不等式的解法及應(yīng)用.

分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，設(shè)池底長和寬分別為a,b,成本為y,建立函數(shù)關(guān)系式，然后

利用基本不等式求出最值即可求出所求.

解答：解：設(shè)池底長和寬分別為a,b,成本為y,

則..?長方形容器的容器為4m3,高為1m,

故底面面積S=ab=4,y=20S+10[2（a+b）]=20（a+b）+80,

a+b>2"\/ab=4,

故當(dāng)a=b=2時，y取最小值160,

即該容器的最低總造價是160元，

故答案為：160

點評：本題以棱柱的體積為載體，考查了基本不等式，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

三.解答題（共13小題）

18.（2015?惠州模擬）如圖所示的多面體中，ABCD是菱形，BDEF是矩形，EDJ_面ABCD,NBAD=1-

（1）求證：平面BCF〃面AED；

（2）若BF=BD=a,求四棱錐A-BDEF的體積.

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積；平面與平面平行的性質(zhì).

專題：綜合題；空間位置關(guān)系與距離.

分析：（1）證明FB〃平面AED,BC〃平面AED,利用面面平行的判定定理可得結(jié)論；

（2）連接AC,ACCBD=O,證明AOJ_面BDEF,即可求出四棱錐A-BDEF的體枳.

解答：（1）證明：：ABCD是菱形，

；.BC〃AD,

VBC<tjS|ADE,ADu面ADE,

，BC〃面ADE...（3分）

：BDEF是矩形，；.BF〃DE,

；BFC面ADE,DEc?ADE,

；.BF〃面ADE,

TBCu面BCF,BFu面BCF,BCCBF=B,

.,.面BCF〃面ADE...（6分）

（2）解：連接AC,ACCBD=O

：ABCD是菱形，/.AC±BD

VEDlffiABCD,ACu面ABCD,

AEDIAC,

VED,BDu面BDEF,EDCBD=D,

，AO_L面BDEF,...（10分）

AAO為四棱錐A-BDEF的高

由ABCD是菱形，/BAD=g，則4ABD為等邊三角形,

由BF=BD=a,則AD=a,A0=^y

,%)EF二a%

a?…(14分)

點評：本題考查線面平行、面面平行，考查四棱錐的體積，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確運用線面平行、

面面平行是關(guān)鍵.

19.(2015?南充一模)d知某幾何體的直觀圖和三視圖如如所示，其正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯

B

視圖為直角梯形.俯視圖

(I)證明:BNJ_平面CiBiN；

(H)求三棱錐Ci-CNBi的體積.

考點:棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定.

專題:空間位置關(guān)系與距離.

分析:(1)先由題意判斷出該幾何體的直觀圖，再利用線面垂直的判定定理即可；

(2)先利用等體積法可求G到面CB|N的距離.

解答:解：(1)證明：山題意：該幾何體的正視圖其正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯

形.

則BC_L面ABBiN,且在面ABBiN內(nèi)，易證NBNBi為直角.

VBiC|±[UABB|N,且BNu面ABBiN,

ABiCilBN,又BBN_LBiN,且B|NCBiCi=B1，

.?.BN±fKiB|NC|...6^

⑵由等體積法，Vyc叫％-CvgvN-CBBG-X守8X4X4)啜」2分

點評:本題考查的知識點線面垂直的判定定理；棱錐的體積.基本知識的考查.

20.(2015?赤峰模擬)如圖，在三棱柱ABC-A]BiG中，四邊形AiABBi為菱形，NA|AB=45。，四邊形BCJBj

為矩形，若AC=5,AB=4,BC=3.

(1)求證：ABi_L平面A(BC；

(2)求三棱錐C-A|B|C)的體積.

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定.

專題：空間位置關(guān)系與距離.

分析：(1)由已知得BC_LAB,CBlBBi，從而CB_1_平面AA】B|B,進而CB_LABi，又AB]_LAiB,由此能證

明AB〕_L平面AiBC.

(2)過B作BDLAiBi于D,由已知得BD,平面AiBQi，由此能求出三棱錐C-A1BQ1的體積.

解答：(1)證明：在aABC中，AC=5,AB=4,BC=3,

滿足AC2=AB2+BC2,

AZABC=90°,ABC1AB,

又?四邊形BCGBi為矩形，，CB_LBB[,

又BBiU平面AABB,ABu平面AABB,BBiAAB=B,

.?.CB_L平面AAiBiB,

又YABiU平面AA1B1B,；.CB_LABi，

又四邊形AiABBi為菱形，，ABiJ_AiB,

又CBu平面AA1B1B,A|Bu平面AiBC,CBCA|B=B,

.?.ABil.平面AtBC.

(2)解：過B作BDJ_AB于D,

由(1)得CBJ_平面AAiBiB,

.?.CiBiL平面AA1B1B,.".CiBilBD,

.?.BD_L平面A]B]Ci，

由題設(shè)知BD=2&,

VX

C-ABC44A1B1-B1C1-BD4X^X4X3X272=472'

111Ooz

，三棱錐c-A,B,C1的體積為472.

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng).

21.(2014?上海)底面邊長為2的正三棱錐P-ABC,其表面展開圖是三角形P〕P2P3，如圖，求APiP2P3的各邊長

及此三棱錐的體積V.

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積.

專題：空間位置關(guān)系與距離.

分析：利用側(cè)面展開圖三點共線，判斷aPlP2P3是等邊三角形，然后求出邊長，利用正四面體的體積求出幾何體

的體積.

解答：解：根據(jù)題意可得：Pi，B,P2共線，：NABP|=/BAPI=/CBP2，ZABC=60°,

ZABP1=ZBAP1=ZCBP2=6O",

.,.ZPi=60",同理/P2=NP3=60°,

...△P1P2P3是等邊三角形，p-ABC是正四面體，

.?.△P|P2P3的邊長為4,

3

VP-ABC=^|XAB^^

JL乙O

點評：本題考查空間想象能力以及邏輯推理能力，幾何體的側(cè)面展開圖和體積的求法.

22.(2014?重慶)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面是以O(shè)為中心的菱形，POL底面ABCD,AB=2,ZBAD=--,

3

M為BC上一點，且BM」.

2

(I)證明:BC_L平面POM；

(H)若MP_LAP,求四棱錐P-ABMO的體積.

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定.

專題：空間位置關(guān)系與距離.

分析：(I)連接OB,根據(jù)底面是以O(shè)為中心的菱形，POL底面ABCD,AB=2,ZBAD=2L,M為BC上一點,

3

且BM」，結(jié)合菱形的性質(zhì)，余弦定理，勾股定理，可得OMLBC及POLBC,進而由線面垂直的判定定

2

理得到BCJ_平面POM；

(II)設(shè)PO=a,利用勾股定理和余弦定理解三角形求出PO的值，及四棱錐P-ABMO的底面積S,代入

棱錐體積公式，可得答案.

解答：證明：(I)：底面是以O(shè)為中心的菱形，POL底面ABCD,

故O為底面ABCD的中心，連接OB,則AOLOB,

VAB=2,ZBAD^--,

3

OB=AB?sinZBAO=2sin(-----)=1,

23

1TT

又方乂*/OBMW

23

在△OBM中，OM2=OB2+BM2-2OB?BM?cosZOBM=^,

4

即OB2=OM2+BM2,即OM_LBM,

AOMIBC,

XVPO±Jig[S|ABCD,BCu底面ABCD,

APO1BC,

XVOMnPO=O,OM,POu平面POM,

，BCJ_平面POM：

(II)由(I)可得：OA=AB?cosNBAO=2cos(--—)=?,

23

設(shè)PO=a,由POJ_底面ABCD可得：APOA為直角三角形,

故PA2=PO2+OA2=a2+3,

由△POM也為直角三角形得：

PM2=PO2+OM2=a2+-^,

4

連接AM,

在aABM中，AM2=AB2+BM2-2AB?BM?COSZABM=22+(-)2-2?2?

2234

由MPJ_AP可知：Z^APM為直角三角形，

貝IjAM2=PA2+PM2,即a2+3+a2+A^l,

44

解得即PO△反，

22_

此時四棱錐P-ABMO的底面積S=SAAOB+SABOM=^*AO?OB+A.BM?OM=^^,

228

二四棱錐P-ABMO的體枳V'S?PO第

316

點評:本題考查的知識點是棱錐的體積，直線與平面垂直的判定，難度中檔.

23.(2014?遼寧)如圖，Z\ABC和4BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2./ABC=/DBC=120。，E、F、G

分別為AC、DC、AD的中點.

(I)求證：EF_L平面BCG；

(II)求三棱錐D-BCG的體積.

附：錐體的體積公式V二Sh,其中S為底面面積，h為高.

3

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體枳；直線與平面垂直的判定.

專題：綜合題；空間位置關(guān)系與距離.

分析：(I)先證明AD_L平面BGC,利用EF〃AD,可得EFL平面BCG：

(II)在平面ABC內(nèi)，作AOLCB,交CB的延長線于O,G到平面BCD的距離h是AO長度的一半,

利用VD-BCG-VGBCD—S△jjQgh,即可求三棱錐D-BCG的體積.

3

解答：(I)證明：VAB=BC=BD=2.ZABC=ZDBC=120",

.?.△ABC絲△DBC,

，AC=DC,

：G為AD的中點，

ACGIAD.

同理BG_LAD,

VCGABG=G,

.?.AD，平面BGC,

,.?EF〃AD,

，EF_L平面BCG；

(II)解：在平面ABC內(nèi)，作AO_LCB,交CB的延長線于O,

???△ABC和4BCD所在平面互相垂直，

；40_1_平面BCD,

為AD的中點，

.?.G到平面BCD的距離h是AO長度的一半.

在AAOB中，AO=ABsin60°=V3-

?■^*BD*BCpsinl200弓。

點評：本題考查線面垂直，考查三棱錐體積的計算，正確轉(zhuǎn)換底面是關(guān)鍵.

24.(2014?昆明一模)如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，ACCBD=O,POJ_平面ABCD,E、F、G分別

是PO、AD、AB的中點.

(I)求證：PC_L平面EFG；

(II)若AB=1,求三棱錐O-EFG的高.

考點棱錐的結(jié)構(gòu)特征；直線與平面垂直的判定.

專題綜合題；空間位置關(guān)系與距離.

分析(I)設(shè)FGAAC=H,連結(jié)EH,由已知條件推導(dǎo)出AP_LPC,EH±PC,FG_LPC,由此能證明PC_L平面

EFG.

(II)由Vo一EFG=VE-FOG得二棱錐。-EFG的局.

解答:(I)證明：設(shè)FGAAC=H,連結(jié)EH,

在RSBC中，AB=BC,1.AB2+BC2=AC2,

在△PAC中，PA=PC=AB,

PA2+PC2=AC2,AAPIPC,

E、F、G分別是PO、AD、AB的中點，

FG〃BD,

，H為AO中點，

，EH〃PA,故EH_LPC,

?.?四邊形ABCD是正方形，...BDLAC,

.?.FGJLAC,

PO_L平面ABCD,PO±FG

POAAC=O,二FG1平面PAC,

，F(xiàn)G_LPC,

?.?FGCEH=H,

，PC_L平面EFG；

(II)解：設(shè)三棱錐O-EFG的高為h,則

由V°-EFG=VE-FOG得［X-^X坐X-^h=4><4X坐X坐

322232243

4

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查三棱錐體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng).

25.（2014