新人教版高中數(shù)學教材例題課后習題必修二92用樣本估計總體

9.2用樣本估計總體

9.2.1總體取值規(guī)律的估計

練習

1.從某小區(qū)抽取100戶居民用戶進行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)他們的用電量都在50?

350kW-h之間，進行適當分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出頻率分布直方圖如

（2）在被調(diào)查的用戶中，用電量落在區(qū)間［100,250）內(nèi)的戶數(shù)為

2.如圖，胡曉統(tǒng)計了他爸爸9月的手機通話明細清單，發(fā)現(xiàn)他爸爸該月共通話60

次.胡曉按每次通話時間長短進行分組（每組為左閉右開的區(qū)間），畫出了頻率分布

直方圖.

（1）通話時長在區(qū)間［15,20）,［20,30）內(nèi)的次數(shù)分別為多少？

（2）區(qū)間［20,30）上的小長方形高度低于［15,20）上的小長方形的高度，說明什么？

3.請班上每位同學估計一下自己平均每天的課外學習時間（單位：min）,然后統(tǒng)計

數(shù)據(jù)，作出全班同學課外學習時間的頻率分布直方圖，能否由這個頻率分布直方圖

估計出你們學校全體學生課外學習時間的分布情況？可以用它來估計你所在地區(qū)

(城市、鄉(xiāng)鎮(zhèn)或村莊)全體學生課外學習時間的分布情況嗎？為什么？

練習

1.某市2016年6月30天的空氣質(zhì)量指數(shù)如下：

3554808672855812511153

10664636182523406089

885479141640596711162

你覺得這個月的空氣質(zhì)量如何？請設(shè)計適當?shù)念l率分布直方圖展示這組數(shù)據(jù)，并結(jié)

合空氣質(zhì)量分級標準分析數(shù)據(jù).

2.統(tǒng)計你們班所有同學的鞋號，選擇合適的統(tǒng)計圖進行描述，并分析鞋號的分布有

什么特點.能用你們班同學鞋號的分布估計你所在學校全體高中學生鞋號的分布

嗎？估計全國高中學生的鞋號分布呢？

例1已知某市2015年全年空氣質(zhì)量等級如表所示.

表

空氣質(zhì)量等級(空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)頻數(shù)頻率

優(yōu)(AQL,50)8322.8%

良(50<AQL100)12133.2%

輕度污染(100<AQL150)6818.6%

中度污染(150<AQL200)4913.4%

重度污染(200<AQL,300)308.2%

嚴重污染(AQI>300)143.8%

合計365100%

2016年5月和6月的空氣質(zhì)量指數(shù)如下:

5月2408056539212645875660

19162555856538990125124

1038189443453798162116

88

6月63921101221021168116315876

3310265533855527699127

12080108333573829014695

選擇合適的統(tǒng)計圖描述數(shù)據(jù)，并回答下列問題：

（1）分析該市2016年6月的空氣質(zhì)量情況

（2）比較該市2016年5月和6月的空氣質(zhì)量，哪個月的空氣質(zhì)量較好？

（3）比較該市2016年6月與該市2015年全年的空氣質(zhì)量，2016年6月的空氣質(zhì)

量是否好于去年？

解：（1）根據(jù)該市2016年6月的空氣質(zhì)量指數(shù)和空氣質(zhì)量等級分級標準，可以畫出

該市這個月的不同空氣質(zhì)量等級的頻數(shù)與頻率分布表（表）.

表

空氣質(zhì)量等級

合計

良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染

天數(shù)415920030

比例13.33%50%30%6.67%00100%

從表中可以看出，"優(yōu)''"良”的天數(shù)達19天，占了整月的63.33%,沒有出現(xiàn)“重度污

染，，和“嚴重污染，，.

我們可以用條形圖和扇形圖對數(shù)據(jù)作出直觀的描述，如圖和圖9.2-4.從條形圖中可以

看出，在前三個等級的占絕大多數(shù)，空氣質(zhì)量等級為“良”的天數(shù)最多，后三個等級

的天數(shù)很少.從扇形圖中可以看出，空氣質(zhì)量為“良”的天數(shù)占了總天數(shù)的一半，大約

有三分之二為“優(yōu)”“良”，大多數(shù)是“良''和"輕度污染因此，整體上6月的空氣質(zhì)量

不錯.

天數(shù)

15

10

輕

中

產(chǎn)

也

度

度

也

度空氣質(zhì)量等級

污

污

污

污

染

染

染

染

圖9.2-3圖9.2-4

我們還可以用折線圖展示空氣質(zhì)量指數(shù)隨時間的變化情況，如圖9.2-5.容易發(fā)現(xiàn)，6

月的空氣質(zhì)量指數(shù)在100附近波動.

圖9.2-5

（2）根據(jù)該市2016年5月的空氣質(zhì)量指數(shù)和空氣質(zhì)量分級標準，可以畫出該市這

個月的不同空氣質(zhì)量等級的頻數(shù)和頻率分布表（表）.

表

空氣質(zhì)量等級

合計

優(yōu)，良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染

天數(shù)321511031

比例10%68%16%3%3%0100%

為了便于比較，我們選用復(fù)合條形圖，將兩組數(shù)據(jù)同時反映到一個條形圖上.通過條

形圖中柱的高低，可以更直觀地進行兩個月的空氣質(zhì)量的比較（圖）.

天數(shù)

25

□5月

□6月

空氣質(zhì)越等級

圖9.2-6

由表和圖可以發(fā)現(xiàn)，5月空氣質(zhì)量為“優(yōu)”和“良”的總天數(shù)比6月多.所以，從整體上

看，5月的空氣質(zhì)量略好于6月，但5月有重度污染，而6月沒有.

(3)把2016年6月和2015年全年的空氣質(zhì)量進行比較，由于一個月和一年的天數(shù)

差別很大，所以直接通過頻數(shù)比較沒有意義，應(yīng)該轉(zhuǎn)化成頻率分布進行比較.可以通

過二者的空氣質(zhì)量指數(shù)的頻率分布直方圖或空氣質(zhì)量等級的頻率分布條形圖進行比

較(圖).

□2016年6月

□2015年全年

田

中nm

度

輕

產(chǎn)

僮

收

*:度

污

污

污

污

染

柒

染

染

圖9.2-7

通過圖可以看出，雖然2016年6月的空氣質(zhì)量為“優(yōu)”的頻率略低于2015年，但“良”

的頻率明顯高于2015年，而且2016年6月中度以上的污染天氣頻率明顯小于2015

年，所以從整體上看，2016年6月的空氣質(zhì)量要好于2015年全年的空氣質(zhì)量.

總體百分位數(shù)的估計

例2根據(jù)節(jié)問題3中女生的樣本數(shù)據(jù)，估計樹人中學高一年級女生的第25,50,75

百分位數(shù).

解：把27名女生的樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序，可得

由25%x27=6.75,50%x27=13.5,75%x27=20.25,可矢口樣本數(shù)據(jù)的第25,50,

75百分位數(shù)為第7,14,21項數(shù)據(jù)，分別為，161,164.據(jù)此可以估計樹人中學高一

年級女生的第25,50,75百分位數(shù)分別約為，161和164.

例3根據(jù)表或圖，估計月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的80%和95%分位數(shù).

表

分組頻數(shù)累計頻數(shù)頻率

[1.2,4.2)正正正正下23

[4.2,7.2)正正正正正正!'32

[7.2,10.2)正正下13

[10.2,13.2)正F9

[13.2,16.2)正『9

[16.2,19.2)正5

[19.2,22.2)T3

[22.2,25.2)iF4

[25.2,28.2]2

合計100

分析：在某些情況下，我們只能獲得整理好的統(tǒng)計表或統(tǒng)計圖，與原始數(shù)據(jù)相比，

它們損失了一些信息例如由表，我們知道在［16.2,19.2）內(nèi)有5個數(shù)據(jù)，但不知道這

5個數(shù)據(jù)具體是多少.此時，我們通常把它們看成均勻地分布在此區(qū)間上.

解：由表可知，月均用水量在以下的居民用戶所占比例為

23%+32%+13%+9%=77%.

在以下的居民用戶所占的比例為77%+9%=86%.

AQA_A77

因此，80%分位數(shù)一定位于03.2,16.2）內(nèi).由13.2+3*蘭沾9=14.2,

0.86—0.77

可以估計月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為14.2.

095-094

類似地，由22.2+3X繇焉=22.95,

可以估計月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的95%分位數(shù)約為22.95.

練習

1.在居民用戶月均用水量標準制定的問題中，根據(jù)教科書中的調(diào)查數(shù)據(jù)，如果要讓

60%的居民不超出標準，居民用戶月均用水量標準定為多少合適？

2.根據(jù)節(jié)問題3中男生的樣本數(shù)據(jù)，請你估計樹人中學高一年級男生的第25,50,

75百分位數(shù).如果要減少估計的誤差，你覺得應(yīng)該怎么做？

3.分別根據(jù)圖一2(1)(2)中的數(shù)據(jù)，估計這組數(shù)據(jù)的月均用水量的第80和95

百分位數(shù).與根據(jù)圖一1估計的結(jié)果比較，它們一樣嗎？你認為根據(jù)哪個圖得到的

估計更好？為什么？

總體集中趨勢的估計

例4利用節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量的調(diào)查數(shù)據(jù)，計算樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和

中位數(shù)，并據(jù)此估計全市居民用戶月均用水量的平均數(shù)和中位數(shù).

解：根據(jù)節(jié)中100戶居民用戶月均用水量的數(shù)據(jù)，由樣本平均數(shù)的定義，可得

歹=乂+乃+…+弘。。=8.79,

’100

即100戶居民的月均用水量的平均數(shù)為8.79t.

將樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序，得第50個數(shù)和第51個數(shù)分別為，，由中位數(shù)的定義,

__.?6.4+6.8

可r得-------=6.6，

2

即100戶居民的月均用水量的中位數(shù)是6.6t.

因為數(shù)據(jù)是抽自全市居民戶的簡單隨機樣本，所以我們可以據(jù)此估計全市居民用戶

的月均用水量約為，其中位數(shù)約為6.6t.

例5某學校要定制高一年級的校服，學生根據(jù)廠家提供的參考身高選擇校服規(guī)格.

據(jù)統(tǒng)計，高一年級女生需要不同規(guī)格校服的頻數(shù)如表所示.

表

校服規(guī)格155160165170175合計

頻數(shù)39641679026386

如果用一個量來代表該校高一年級女生所需校服的規(guī)格，那么在中位數(shù)、平均數(shù)和

眾數(shù)中，哪個量比較合適？試討論用表中的數(shù)據(jù)估計全國高一年級女生校服規(guī)格的

合理性.

分析：雖然校服規(guī)格是用數(shù)字表示的，但它們事實上是幾種不同的類別.對于這樣的

分類數(shù)據(jù)，用眾數(shù)作為這組數(shù)據(jù)的代表比較合適.

解：為了更直觀地觀察數(shù)據(jù)的特征，我們用條形圖來表示表中的數(shù)據(jù)(圖)，可以發(fā)

現(xiàn)，選擇校服規(guī)格為“165”的女生的頻數(shù)最高，所以用眾數(shù)165作為該校高一年級女

生校服的規(guī)格比較合適.

由于全國各地的高一年級女生的身高存在一定的差異，所以用一個學校的數(shù)據(jù)估計

全國高一年級女生的校服規(guī)格不合理.

練習

1.根據(jù)表一2中的數(shù)據(jù)，估計該市2015年全年空氣質(zhì)量指數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和

第80百分位數(shù).（注：已知該市屬于“嚴重污染”等級的空氣質(zhì)量指數(shù)不超過400）

2.假設(shè)你是某市一名交通部門的工作人員，你打算向市長報告國家對本市26個公

路項目投資的平均資金數(shù)額.已知國家對本市一條新公路的建設(shè)投資為2000萬元人

民幣，對另外25個公路項目的投資是20?100萬元，這26個投資金額的中位數(shù)是

25萬元，平均數(shù)是100萬元，眾數(shù)是20萬元.請你根據(jù)上面的信息給市長寫一份

簡要的報告.

3.某校舉行演講比賽，10位評委對兩位選手的評分如下：

甲

乙

選手的最終得分為去掉一個最低分和一個最高分之后，剩下8個評分的平均數(shù)，那

么，這兩個選手的最后得分是多少？若直接用10位評委評分的平均數(shù)作為選手的得

分，兩位選手的排名有變化嗎？你認為哪種評分辦法更好？為什么？

9.2.4總體離散程度的估計

例6在對樹人中學高一年級學生身高的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機抽

樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生23人，其平均數(shù)和方差分別為和，抽

取了女生27人，其平均數(shù)和方差分別為和38.62.你能由這些數(shù)據(jù)計算出總樣本的方

差，并對高一年級全體學生的身高方差作出估計嗎？

解：把男生樣本記為A，N，…，々3,其平均數(shù)記為亍，方差記為V；把女生樣

本記為乂，y2,y27,其平均數(shù)記為歹，方差記為把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)

記為彳,方差記為方.

根據(jù)方差的定義，總樣本方差為

23232323

由Z（X,一h）=￡苔-23亍=0,可得Z2（王一亍）（H_彳）=2（%-刃工（七一?。?0.

/=!/=!/=!/=1

27

同理可得苫2（［-歹）（歹一刃=0.

j=l

?|23232727

因此，$2=5可'￡叵-刃2+￡仇_力+之（歹田2

3U1z=i,=1;=17=1

='{23區(qū)+叵一刃2卜27國+（歹—力2》.①

由于=170.6,7=160.6,根據(jù)按比例分配分層隨機抽樣總樣本平均數(shù)與各層樣本平

均數(shù)的關(guān)系，可得總樣本平均數(shù)為

_23_27_

z----------x4---------------y

23+2723+27-

23x170.6+27x160.6

50

165.2.

把已知的男生、女生樣本平均數(shù)和方差的取值代入①，可得

$2=景23x[12.59+（170.6-165.2）2]+27x138.62+（160.6-165.2）2]）

=51.4862.

我們可以計算出總樣本的方差為，并據(jù)此估計高一年級學生身高的總體方差為

51.4862.

練習

1.不經(jīng)過計算，你能給下列各組數(shù)的方差排序嗎？

（1）5,5,5,5,5,5,5,5,5；

(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；

(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7；

(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.

2.數(shù)據(jù)王,》2,…，%的方差為d，數(shù)據(jù)%,內(nèi)，…/“的方差為sj,a,6為常數(shù).證明:

(1)如果必=芯+6,y2=x2+h,yn=xn+b,那么s；=s：；

2

(2)如果必=〃X|,y2=ax2....yn=axn,那么s；=as^.

3.農(nóng)場種植的甲、乙兩種水稻，在面積相等的兩塊稻田中連續(xù)6年的產(chǎn)量如下：

品種第1年第2年第3年第4年第5年第6年

甲/kg900920900850910920

乙例890960950850860890

哪種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定？

4.一個小商店從一家有限公司購進21袋白糖，每袋白糖的標準質(zhì)量是500g,為了

了解這些白糖的質(zhì)量情況，稱出各袋白糖的質(zhì)量(單位：g)如下：

486495496498499493493

498484497504489495503

499503509498487500508

(1)21袋白糖的平均質(zhì)量是多少？標準差s是多少？

(2)質(zhì)量位于工-s與1+s之間有多少袋白糖？所占的百分比是多少？

5.某學校有高中學生500人，其中男生320人，女姓180人.有人為了獲得該校全

體高中學生的身高信息，采用分層抽樣的方法抽取樣本，并觀測樣本的指標值(單

位：cm),計算得男生樣本的均值為，方差為17,女生樣本的均值為，方差為.

(1)根據(jù)以上信息，能夠計算出總樣本的均值和方差嗎？為什么？

(2)如果已知男、女樣本量按比例分配，你能計算出總樣本的均值和方差各為多少

嗎？

(3)如果已知男、女的樣本量都是25,你能計算出總樣本的均值和方差各為多少

嗎？它們分別作為總體均值和方差的估計合適嗎？為什么？

習題

復(fù)習鞏固

1.棉花的纖維長度是棉花質(zhì)量的重要指標，在一批棉花中隨機抽測了60根棉花的

纖維長度（單位：〃的），按從小到大排序結(jié)果如下：

25283350525859606162

8286113115140143146170175195

202206233236238255260263264265

293293294296301302303305305306

321323325326328340343346348350

352355357357358360370380383385

（1）請你選擇合適的組距，作出這個樣本的頻率分布直方圖，分析這批棉花纖維長

度分布的特征；

（2）請你估計這批棉花的第5,95百分位數(shù).

【答案】（1）直方圖見解析，有一部分棉花的纖維長度比較短，這批棉花中混進了

一些次品;（2）41.5,375.

【解析】

【分析】

（1）可以每60如〃為一組，即直方圖中第小上矩形寬度為60,分組后計算頻率，

畫出直方圖，從圖中可看出纖維較短的不少，有次品混入.

（2）計算5%x60=3,95%x60=57,因此取第3項與第4項，第57項與第58項

數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為相應(yīng)百分位估計值，

【詳解】（1）頻率分布直方圖如圖，由圖分析發(fā)現(xiàn)這批棉花的纖維長度不是特別均

勻，有一部分棉花的纖維長度比較短，所以，這批棉花中混進了一些次品；

n率期卻

0.006-------

0.005-

0.004-

0.003-

0.002----------------

0.001-

O60120|?0240300360420纖維長度E

(2)由5%x60=3,95%x60=57,可知樣本數(shù)據(jù)的第5,95百分位數(shù)為第3項與

第4項，第57項與第58項數(shù)據(jù)的平均數(shù)，分別為41.5,375.據(jù)此可估計這批棉花

的第5,95百分位數(shù)分別約為41.5,375.

【點睛】本題考查頻率分布直方圖，考查百分位數(shù).掌握直方圖的畫法是解題關(guān)鍵.

2.甲、乙兩臺機床同時生產(chǎn)一種零件，在10天中，兩臺機床每天生產(chǎn)的次品數(shù)分

別為：

甲0102203124

乙2311021101

分別計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標準差，從計算結(jié)果看，哪臺機床的性能更好？

【答案】甲機床的平均數(shù)而=L5,標準差s甲BL28；乙機床的平均數(shù)鬼=1.2,標

準差也?0.87,乙機床的性能較好.

【解析】

【分析】

按均值和方差的計算公式計算，均值小的性能好.

【詳解】甲機床的平均數(shù)元甲=巴士益一^=1.5,

標準差s甲=相[O—1.5)2+(1—1.5)2+…+(4—1.5)2?1.28；

乙機床的平均數(shù)比=2+3；+1=1.2,

標準差$乙=J-S-[(2-0.87)2+(3-0.87)2+???+(!-0.87)2a0.87.

比較發(fā)現(xiàn)乙機床的平均數(shù)較小而且標準差也較小，說明乙機床生產(chǎn)的次品數(shù)比甲機

床生產(chǎn)的次品數(shù)少，而且更為穩(wěn)定，所以乙機床的性能較好.

【點睛】本題考查均值和方差的計算及應(yīng)用.均值反映性能，方差反映數(shù)據(jù)波動大

小.

3.在去年的足球聯(lián)賽上，一隊每場比賽平均失球數(shù)是1.5.全年比賽失球個數(shù)的標準

差為1.1；二隊每場比賽平均失球數(shù)是2.1.全年失球個數(shù)的標準差是0.4.你認為下列

說法中哪一種是正確的，為什么？

（1）平均說來一隊比二隊防守技術(shù)好；

（2）二隊比一隊技術(shù)水平更穩(wěn)定；

（3）一隊有時表現(xiàn)很差，有時表現(xiàn)又非常好；

（4）二隊很少不失球.

【答案】（1）對，理由見解析；（2）對，理由見解析；（3）對，理由見解析；（4）

對，理由見解析.

【解析】

【分析】

從均值大小說明防守技術(shù)的好壞，從方差的大小說明穩(wěn)定性好差.

【詳解】（1）對，從平均數(shù)的角度考慮；

（2）對，從標準差的角度考慮.

（3）對，從平均數(shù)和標準差的角度考慮.

（4）對，從平均數(shù)和標準差的角度考慮.

【點睛】本題考查均值和方差的應(yīng)用.均值小反映防守技術(shù)好，方差反映數(shù)據(jù)波動

大小.

4.數(shù)據(jù)看,馬，…，%的方差和標準差分別為《巴?數(shù)據(jù)乂,為，…，笫的方差和標準差分

別為若乂=%+。,72=“2+6,…，力=or"+b成立，a,6為常數(shù)，證明

sj.=|a|s*.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

由均值和方差的公式直接證明.

【詳解】證明：設(shè)數(shù)據(jù)王,4，…，4的平均數(shù)1數(shù)據(jù)弘〃2,…，兒的平均數(shù)為歹，則

y=ax-^-b.

222

d=-[(%!-x)+(X2-X)+--+(X?-X)1,

nL」

S；=：[(，一歹)2+(歹2一歹)2+…+(北—?)2

2

二工[(。陽-ax)+(ax2—dxy-\----卜(ax“-ax

22222

=a--r(x,-x)+(x2-x)+--+(x?-x)]=a^

?1-s,,=1。IS,.

【點睛】本題考查方差和標準差公式性質(zhì).由計算公式直接計算驗證即可.

5.數(shù)據(jù)如和…,7的方差Y=0,證明：所有的七。=1,2,…,〃)都相同.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

根據(jù)方差公式證明.

【詳解】證明：設(shè)舊,馬，…，%的平均數(shù)為無，

則52=J](X]一]J+(馬-X)2+---+(X?-X)2.

v?=0,.-.-r(x,-x)2+(x,-x)2+---+(x?-x)2"|=0,

222

(X]-X)+(x2-X)+--l-(xn-X)=0,

X]=x,x2=x,---,xn=X,.'.xt=x2=■??=xn,

...所有的x,(i=l,2,…,〃)都相同.

【點睛】本題考查方差的概念，這個結(jié)論說明方差越小，數(shù)據(jù)越集中.

綜合運用

6.以往的招生統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，某所大學錄取的新生高考總分的中位數(shù)基本上穩(wěn)定在

550分，你的一位高中校友在今年的高考中得了520分，你是立即勸阻他報考這所

大學，還是先進一步查閱一下這所大學以往招生的其他統(tǒng)計信息？解釋一下你的選

擇.

【答案】應(yīng)該查閱一下這所大學的其他招生信息，理由見解析.

【解析】

【分析】

中位數(shù)不能提供多少錄取信息，如可查閱平均分數(shù)，最低錄取分數(shù)等.盡管該校友

的分數(shù)位于中位數(shù)之下，但也可能被錄取.

【詳解】應(yīng)該查閱一下這所大學的其他招生信息，例如平均數(shù)信息、最低錄取分數(shù)

線信息等，盡管該校友的分數(shù)位于中位數(shù)之下，但中位數(shù)本身并不能提供更多的錄

取分數(shù)的信息.

【點睛】本題考查中位數(shù)，掌握中位數(shù)只是一個統(tǒng)計數(shù)據(jù)，本身并不能提供更多的

信息作為參考.

7.甲、乙兩個班級，一次數(shù)學考試的分數(shù)排序如下：

甲班51545960646868687071

72727476777879798080

82858586868787878889

9090919697989898100100

乙班61636366707171737575

76797980808081818282

83838384848485858585

85858687878890919498

請你就這次考試成績，對兩個班級的數(shù)學學習情況進行評價

【答案】甲班優(yōu)秀生較多

【解析】

【分析】

計算均分，均分相等，中位數(shù)相當，但90分以上人數(shù)甲班占比遠遠多于乙班，甲班

優(yōu)秀生多.

【詳解】甲班平均分為x甲二I?！?0.5,

-1-?L,At—61+63+…98

乙T班l(xiāng)r平均分為x乙=----------?80.5,

平均水平相當，

80+8182+83

甲班的中位數(shù)為=82.5,大致相當，但甲班90及以上10人，占25%,

22

乙班90及以上4人，占10%,因而甲班優(yōu)秀生較多.

【點睛】本題考查樣本數(shù)據(jù)特征的應(yīng)用，均值、方差，中位數(shù)等等，如果用統(tǒng)計圖

表示可能更能給出評價.

勿m（即百萬分之一）的魚被人食用后，就會對人體產(chǎn)生危害.在30條魚的樣本中發(fā)

現(xiàn)的汞含量（單位：ppm）如下:

（1）請用合適的統(tǒng)計圖描述上述數(shù)據(jù)，并分析這30條魚的汞含量的分布特點；

（2）求出上述樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標準差；

ppm大嗎？

（4）在上述樣本中，有多少條魚的汞含量在以平均數(shù)為中心、2倍標準差的范圍內(nèi)？

【答案】（1）73%在［0.50,1.50）內(nèi)；（2）平均數(shù)%?1.07ppm，樣本標準差s?047ppm；

（3）不一定；（4）28.

【解析】

【分析】

（1）列出頻率分布表，作出頻率分布直方圖；

（2）由頻率分布直方圖計算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標準差的估計值；

（3）不一定能，題中數(shù)據(jù)僅僅是這一批的數(shù)據(jù)，其他批次的數(shù)據(jù)不知，這僅僅是估

計值.

（4）直接確認數(shù)據(jù)在不在區(qū)間（0.13,2.01）內(nèi)即可.

【詳解】（1）用頻率分布表如下：

分組頻數(shù)頻率

[0,0.50)3

[0.50,1.00)100.33

[1.00,1.50)12

[1.50,2.00)40.13

[2.00,2.50]10.03

合計30

作出統(tǒng)計圖，這30條魚的汞含量有約73%在?50,1.50）內(nèi).

(2)樣本平均數(shù)

x=0.25x0.1+0.75x0.33+1.25x0.4+1.75x0.13+2.25x0.03*1.07ppm,

樣本方差

52?(0.25-1.07)2X0.1+(0.75-1.07)2x0.33+(1.25-1.07)2x0.4

+(1.75-1.07)2x0.13+(2.25-1.07)2x0.03=0.22,

標準差s?Jo.22=0.47..

（4）有28條魚的汞含量在以平均數(shù)為中心、2倍標準差的范圍內(nèi).

【點睛】本題考查頻率分布表，頻率分布直方圖，考查用樣本數(shù)據(jù)估計總體數(shù)據(jù).要

注意估計值只能是估計結(jié)論，不能確定就是這個結(jié)論.本題考查數(shù)據(jù)處理能力.

9.在一次人才招聘會上，有一家公司的招聘員告訴你，“我們公司的收入水平很

高”“去年，在50名員工中，最高年收入達到了200萬，員工年收入的平均數(shù)是10

萬"，而你的預(yù)期是獲得9萬元年薪.

（1）你是否能夠判斷年薪為9萬元的員工在這家公司算高收入者？

（2）如果招聘員繼續(xù)告訴你，“員工年收入的變化范圍是從3萬到200萬”，這個信

息是否足以使你作出自己是否受聘的決定？為什么？

（3）如果招聘員繼續(xù)給你提供了如下信息，員工收入的第一四分位數(shù)為4.5萬，第

三四分位數(shù)為9.5萬，你又該如何使用這條信息來作出是否受聘的決定？

（4）根據(jù)（3）中招聘員提供的信息，你能估計出這家公司員工收入的中位數(shù)是多

少嗎？為什么平均數(shù)比估計出的中位數(shù)高很多？

【答案】（1）不能；（2）不能，要看中位數(shù)是多少；（3）能；（4）7萬元，理由見解

析.

【解析】

【分析】

（1）不能，平均收入和最高收入相差太大，說明高收入的員工占極少數(shù)，除一個高

收入200萬外，其他平均最多約有6.12萬，再有一個高收入的話，平均值瘵更低，

新員工會更低；

（2）范圍用處不大，最好看下中位數(shù)；

（3）這說明75%以上的人工資高于4.5萬，可以接受；

（4）取4.5與9.5的平均值為中位數(shù)估計值.

【詳解】（1）不能，因為平均收入和最高收入相差太大，說明高收入的員工占極少

數(shù)，現(xiàn)在已經(jīng)知道至少有一個人的年收入為200萬元，那么其他員工的年收入之和

49

為￡巧=10x50-200=300（萬元），每人平均收入約6.12萬元.

/=1

如果再有幾個收入特別高的，那么初進公司的員工的收入將會更低.

（2）不能，要看中位數(shù)是多少

（3）能，可以確定有75%的員工年收入在4.5萬元以上，其中25%的員工年收入在

9.5萬元以上.

（4）收入的中位數(shù)大約是7萬元，因為受年收入200萬元這個極端值的影響，所以

平均數(shù)比中位數(shù)高很多.

【點睛】本題考查極值、均值、中位數(shù)、百分位數(shù)的應(yīng)用.在決策時，已知數(shù)據(jù)的

平均值會受到異常數(shù)據(jù)的影響，有時參考性不大，中位數(shù)有一定的參考性.但不管

怎么說，這此數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征只是一個估計值，不是確定值.

10.有20種不同的零食，每100g可食部分包含的能量(單位：kJ)如下：

110120123165432190174235428318

249280162146210120123120150140

(1)以上述20個數(shù)據(jù)組成總體，求總體平均數(shù)與總體標準差.

(2)設(shè)計恰當?shù)碾S機抽樣方法，從總體中抽取一個容量為7的樣本，求樣本的平均

數(shù)與標準差.

(3)利用上面的抽樣方法，再抽取容量為7的樣本，計算樣本的平均數(shù)和標準差.這

個樣本的平均數(shù)和標準差與(2)中的結(jié)果一樣嗎？為什么？

(4)利用(2)中的隨機抽樣方法，分別從總體中抽取一個容量為10,13,16,19的

樣本，求樣本的平均數(shù)與標準差.分析樣本容量與樣本的平均數(shù)和標準差對總體的

估計效果之間有什么關(guān)系.

【答案】(1)199.75；

(2)抓閹法(3)見解析

(4)見解析

【解析】

【分析】(1)由平均數(shù)和方差公式計算；

(2)用抓閹法進行抽樣；

(3)由于抽樣的隨機性，兩種結(jié)果相同的概率很小，不同概率很大；

(4)由于樣本容量增大，估計總體的精確程度會提高，效果更好(也有個別現(xiàn)象效果不

好).

【小問1詳解】

*1

總體平均數(shù)為》=癡。10+120+…+140卜199.75.

2

總體標準差為s=[(110-199.75>+(120-199.75)2+…+(140_199,75)?95.26.

【小問2詳解】

可以使用抓閹法進行抽樣.

【小問3詳解】

由樣本的隨機性，知（2）和（3）的計算結(jié)果不相同的概率相當大，而相同的概率很小.

【小問4詳解】

隨著樣本容量的增加，分別用樣本平均數(shù)和樣本標準差估計總體平均數(shù)和總體標準

差的效果會越來越好（即精度會越來越高）.但是由于樣本的隨機性，也有極個別（小

概率）的例外情況.

拓廣探索

11.已知總體劃分為3層，通過分層隨機抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和

樣本方差分別為：/，只S；；用，憶S；;〃，再S；.記總的樣本平均數(shù)為刃，樣本方差為一.證

明：

I—m_n_

（1）w-------------XH--------------yH--------------z;

I+m+nI+m+nI+m+n

（2）s2=^^^{/卜：+（亍一訪）2]+加卜；+（歹一切2]+〃國+3—羽2]}.

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

【分析】

（1）均值根據(jù)定義直接變形即證，

（2）根據(jù)方差的定義，總體方差為

?

=l+-t（七—記）2+之（為一訪）"+t（4一列）2

/+加+〃j=lj=\*=1

I/=I,y=i.4=i9

改寫為$2=^-----------------S（xz-x+x-iv）"+X（yj-y+y-wY+Y（zk-z^z-wY.

/+加+〃|_/m、Jfn_

IIII

由Z（七一亍）=2菁_反=0可得￡2（菁_?。ㄘ∫蝗眨?2（亍一訪）?。?0.

/=1/=1/=!/=1

同理工2（%一區(qū)）（災(zāi)一刃）=022卜廣可②-刃）=0.這樣變形后可證明.

j=lk=l

【詳解】證明：（1）訪=反+府+〃z=J—X+-——歹+1/一

/+加+〃/+加+〃/+加+〃/+加+〃

⑵S=1次/（七一同+'"I（匕一動9+力"⑵一沔r

/+〃2+〃[『=]y=i々=1

7T一三+亍一司-+§（%.7+?一訪y+g（z「彳+彳一訪）-

由ZU：-可=-沅=o可得

/=|/=1

//

^2(x,.-x)(x-w)=2(x-iv)^(x,-x)=0.

i=\i=]

尸_，i

同理工2回一歹）（歹一而）=0，Z2（z*—可（三一動=0.

7=1左=1

因此

1=1/=1c六1/、2>=,ek=lok=\.

不肅書（*引-9+千一彳+汕一夕）+衿一斤+率—>斗二獷

工一{心：+（亍-訪）2+心1；+（7一江）2]+"國+（彳—江）2]}

/+"2+〃I」

【點睛】本題考查均值與方差的運算.掌握均值、方差的運算公式是解題基礎(chǔ)，解

題關(guān)鍵是代數(shù)式變形能力，數(shù)據(jù)處理能力.

12.調(diào)查本班每名同學的家庭在同一周的用電量，從中你能發(fā)現(xiàn)什么信息？寫一份

簡短的統(tǒng)計報告，說明你發(fā)現(xiàn)的信息.

【答案】

變式練習題

13.為考查某校高二男生的體重，隨機抽取44名高二男生，實測體重數(shù)據(jù)（單位：kg）

如下：

57,61,57,57,58,57,61,54,68,51,49,64,50,48,65,52,56,46,

54,49,51,47,55,55,54,42,51,56,55,51,54,51,60,62,43,55,

56,61,52,69,64,46,54,48

將數(shù)據(jù)進行適當?shù)姆纸M，并畫出相應(yīng)的頻率分布直方圖和頻率分布折線圖.

【答案】見解析

【解析】

【分析】分析數(shù)據(jù)的極差，選擇合適的組局，讓組數(shù)在5—8組左右為宜，作出頻率

分布表，根據(jù)頻率分布表作出頻率分布直方圖.

【詳解】數(shù)據(jù)的極差為：69-42=27,所以可以4為組距，將數(shù)據(jù)分為8組，列表如

下：

分組頻率累計頻數(shù)頻率

,45.5)T20.0455

,49.5)正T70.1591

，53.5)正T80.1818

,57.5)正正正一160.3636

,61.5)正50.1136

,65.5)TF40.0909

,69.5)T20.0455

以此作出頻率分布直方圖和頻率分布折線圖，如圖所示:

o.s10

s09

08

o.07

o.06

o.05

o.04

o.03

02

o.dF

01

555557561.565569.5樣本數(shù)據(jù)

4549.53

14.為了了解高一年級學生的體能情況，某校抽取部分學生進行一分鐘跳繩次數(shù)測

試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖（如圖所示），圖中從左到右各小長方

形面積之比為2：4：17：15：9：3,第二小組的頻數(shù)為12.

0.040

0.036

0.032

0.028

0.024

0.020

0.016

0.012

0.008

0.004

090100110120130140150次數(shù)

（1）第二小組的頻率是多少？樣本量是多少？

（2）若次數(shù)在110以上（含110次）為達標，則該校全體高一年級學生的達標率是多

少？

（3）樣本中不達標的學生人數(shù)是多少？

（4）第三組的頻數(shù)是多少？

【答案】(1)0.08,150；(2)88%；(3)18；(4)51.

【解析】

【分析】頻率分布直方圖以面積的形式反映數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小，所以計

算面積之比即為所求小組的頻率.可用此方法計算（1）,（2）,由公式直接計算可得

（1）中樣本容量；根據(jù)（2）問中的達標率，可計算不達標率，從而求出不達標人

數(shù)，可得（3）；單獨計算第三組的頻率，由公式計算頻數(shù)，可求出（4）.

【小問1詳解】

頻率分布直方圖以面積的形式反映數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小，因此第二小組的

4

頻率為------------------=.

2+4+17+15+9+3

12

所以樣本容量===150.

0.08

【小問2詳解】

由直方圖可估計該校高一年級學生的達標率為號黑磊"。。％=88%.

【小問3詳解】

由（1）（2）知達標率為88%,樣本量為150,不達標的學生頻率為1一=.

所以樣本中不達標的學生人數(shù)為=18（人）.

【小問4詳解】

________17________

第三小組的頻率為

2+4+17+15+9+3

又因為樣本量為150,

所以第三組的頻數(shù)為=51.

15.為了豐富校園文化生活，某校計劃在午間校園廣播臺播放“百家講壇”的部分內(nèi)

容.為了了解學生的喜好，抽取若干名學生進行問卷調(diào)查（每人只選一項內(nèi)容），整

理調(diào)查結(jié)果，繪制統(tǒng)計圖如圖所示.

男女

學生數(shù)I―I

《莊子》博物院》《論語》《品三國》《紅樓夢》

請根據(jù)統(tǒng)計圖提供的信息回答以下問題：

(1)求抽取的學生數(shù)；

(2)若該校有3000名學生，估計喜歡收聽易中天《品三國》的學生人數(shù)；

(3)估計該校喜歡收聽劉心武評《紅樓夢》的女學生人數(shù)約占全校學生人數(shù)的百分

比.

【答案】(1)300(2)1060

(3)15%

【解析】

【分析】(1)統(tǒng)計圖中小矩形上方標的為學生人數(shù)，將所有人數(shù)相加即可；

(2)統(tǒng)計樣本中喜歡收聽易中天《品三國》的人數(shù)，算出占樣本總數(shù)的比值，用該比

值乘以3000；

(3)統(tǒng)計樣本中喜歡收聽劉心武評《紅樓夢》的女學生人數(shù)，用該數(shù)據(jù)除以300即可

【小問1詳解】

從統(tǒng)計圖上可以看出，

喜歡收聽于丹析《莊子》的男生有20人，女生有10人；

喜歡收聽《故宮博物院》的男生有30人，女生有15人；

喜歡收聽于丹析《論語》的男生有30人，女生有38人；

喜歡收聽易中天《品三國》的男生有64人，女生有4