理學高等數(shù)學課件71amp72定積分的概念性質(zhì)

7.1&.7.2定積分的概念和性質(zhì)第一部分定積分的概念實例1（求曲邊梯形的面積）一、問題的提出abxyoy=f(x)如圖：設(shè)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上非負、連續(xù),由直線x=a,x=b,y=0,及曲線y=f(x)所圍成的圖形,稱為曲邊梯形,其中曲線弧稱為曲邊.baxyobaxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積．（四個小矩形）（九個小矩形）觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．(1)

已知矩形面積＝高×底將[a,b]分成n個小區(qū)間,稱為子區(qū)間.過每個分點作平行于y軸的直線段,把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形,0xyaby=f(x)記分點為(2)在每個小區(qū)[xi-1,xi]上任取一點

i小曲邊梯形面積長度(3)

曲邊梯形面積將[a,b]分得越細,近似公式越精確.于是:

思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值．實例2.變速直線運動的路程.設(shè)某物體作變速直線運動.已知速度V=V(t)是時間間隔[T1,T2]上t的連續(xù)函數(shù).計算在這段時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S.(1)區(qū)間分劃在[T1,T2]內(nèi)任意插入若干個分點將[T1,T2]分成n個小段[t0,t1],[t1,t2],…,[tn-1,tn](2)求近似:在每個子區(qū)間[ti-1,

ti]上任取一點

i由時刻ti-1到時刻ti走過的路程為

Si

(3)作和:總路程將時間間隔[ti-1,

ti]分得越細,近似公式越精確.于是:上述兩個問題,盡管背景不同,意義不同,但其實質(zhì)都是計算一種和式的極限,事實上,就是求給定函數(shù)的定積分.總之:二、定積分定義1.定義:設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上有界,將[a,b]任意分成n個子區(qū)間,分點為在每個子區(qū)間[xi-1,

xi]上任取一點

i,

i

[xi-1,

xi],函數(shù)

f(x)在[a,b]上的定積分.記成則稱函數(shù)f(x)在[a,b]上可積,這個極限值就稱為被積函數(shù)被積表達式積分變量積分上限積分下限積分和(1)定積分是積分和式的極限，是一個數(shù)值，注意：(2)注意在定積分的定義中的兩個任意性，函數(shù)可積即意味著極限值與對區(qū)間的分割方式及在區(qū)間

上點的取法無關(guān)；定積分值只與被積函數(shù)f(x)及積分區(qū)間[a,b]有關(guān)，而與積分變量的記法無關(guān).即有定理1定理2定理3問題:三、積分存在定理（可積的充分條件）boxya(1)若當x

[a,b]時,

Ay=f(x)連續(xù)函數(shù)f(x)0四、定積分的幾何意義(2)若當x

[a,b]時,連續(xù)函數(shù)oxyaby=f(x)Af(x)0,

oxy

一般，曲邊梯形的面積；而

的幾何意義則是曲邊梯形面積的代數(shù)和。abA1A2A3A4++(3)若當x

[a,b]時,連續(xù)函數(shù)f(x)既取得正值,又取得負值時其中Ai表示第部分圖形

的面積.例1由定積分的幾何意義可得：

xyOaxyO例1由定積分的幾何意義，指出下列積分的值。

a-axyO例1由定積分的幾何意義可得：

－xOy例1由定積分的幾何意義可得：

0xy=x2y解:

因為y=x2在[0,1]上連續(xù),定積分存在,將區(qū)間[0,1]等分成n等份,

分點為例2于是例3.用定積分表示下列極限:解:例4

將和式極限表示成定積分.解：原式第二部分定積分的性質(zhì)對定積分的補充規(guī)定:（3）定積分與積分區(qū)間和被積函數(shù)有關(guān)，而與積分變量無關(guān)。即性質(zhì)1:設(shè)f(x)、g(x)在[a,b]上可積,則f(x)

g(x)在[a,b]可積,且證:推論

有限個函數(shù)的代數(shù)和的定積分等于各函數(shù)的積定分的代數(shù)和，即性質(zhì)1可以推廣到有限多個函數(shù)的情形性質(zhì)2:

設(shè)f(x)在[a,b]上可積,則k

f(x)在[a,b]可積,且證:性質(zhì)3:

設(shè)f(x)在[a,b]上可積,a<c<b,則f(x)分別此時,c稱為內(nèi)分點.在[a,c],[c,b]上可積,且xyObac性質(zhì)3表明定積分對積分區(qū)間具有可加性，這個性質(zhì)可用于求分段函數(shù)的定積分。推論:

設(shè)f(x)在[a,c]上可積,a<b<c,

則:此時,c稱為[a,b]的外分點.或f(x)在[c,b]上可積,c<a<b,

總之：不論的相對位置如何,性質(zhì)3總成立.性質(zhì)4:設(shè)在[a,b]上,f(x)1.則性質(zhì)5:設(shè)f(x)在[a,b]上可積,且f(x)0.則推論1:如果在[a,b]上可積,且f(x)

g(x).

則例5

在下列兩個定積分之間添加適當?shù)牟坏忍?/p>

（2）（1）例6．比較積分的大小：

解：設(shè)

表明，單調(diào)增加，且

從而

即

證得解：顯然于是練習推論2:

證:即:性質(zhì)6:

設(shè)M和m分別是f(x)在[a,b]上的最大值證:即:及最小值,則（此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍）例如:

解例7解例8例9證明證設(shè)令得駐點x=0，又最小值為即性質(zhì)7:

(定積分中值定理)設(shè)

f(x)在[a,b]上連續(xù),則證:

由于

f(x)在[a,b]上連續(xù),所以f(x)在[a,b]上存在最大值M,最小值m,得由介值定理

[a,b].使

即:在[a,b]上至少存在一個點

,使得性質(zhì)7的幾何意義：

.

)(的矩形的面積為xf],[],[為底邊，以曲線，使得以上至少有一在xbaba)(的面積等于同一底邊而高為曲邊的曲邊梯形xfy=解由積分中值定理知有使例10

如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，我們稱為函數(shù)f(x)在[a,b]上的平均值.

如已知某地某時自0至24時天氣溫度曲線為f(t),t為時間，則表示該地、該日的平均氣溫.

如已知某河流在某處截面上各點的水深為h(x),(a為河流在該截面處水面之寬度)，則該河流在該截面處的平均水深為.小結(jié)１．定積分的實質(zhì)：特殊和式的極限．２．定積分的思想和方法：分割化整為零求和積零為整取極限精確值——定積分求近似以直（不變）代曲（變）取極限3．定積分的性質(zhì)（注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應用）4．典型問題（１）估計積分值；（２）不計算定積分比較積分大?。毩?/p>

求連續(xù)函數(shù),使它滿足解：等式兩邊在[0，1]上積分得常數(shù)0xy0xy1觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．觀察下列演示過程，注意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系．贈送精美圖標1、字體安裝與設(shè)置如果您對PPT模板中的字體風格不滿意，可進行批量替換，一次性更改各頁面字體。在“開始”選項卡中，點擊“替換”按鈕右側(cè)箭頭，選擇“替換字體”。（如下圖）在圖“替換”下拉列表中選擇要更改字體。（如下圖）在“替換為”下拉列表中選擇替換字體。點擊“替換”按鈕，完成。852、替換模板中的圖片模板中的圖片展示頁面，您可以根據(jù)需要替換這些圖片，下面介紹兩種替換方法。方法一：更改圖片選中模版中的圖片（有些圖片與其他對象進行了組合，選擇時一定要選中圖片本身，而不是組合）。單擊鼠標右鍵，選擇“更改圖片”，選擇要替換的圖片。（如下圖）注意：為防止替換圖片發(fā)生變形，請使用與原圖長寬比例相同的圖片。85PPT放映設(shè)置PPT放映場合不同，放映的要求也不同，下面將例舉幾種常用的放映設(shè)置方式。讓PPT停止自動播放1.單擊”