2021屆廣東省肇慶市高三上學(xué)期第一次(11月)統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)試題(教師版含解析)

肇慶市2021屆高中畢業(yè)班第一次統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷共5頁，22題．全卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上．3．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)交集運(yùn)算的法則，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，故選：C2.已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可求解.【詳解】，故選：A3.設(shè)，則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】直接利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】若，則，故充分；若，則或，故不必要；所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A4.已知函數(shù)，則()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)分別求出和的值，即可求解.【詳解】因?yàn)樗?，，所以，故選：B5.已知函數(shù)，則()A.0 B.1 C.e D.2【答案】D【解析】分析】對求導(dǎo)后，將代入即可求解【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故選：D6.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)排除A、C，再計(jì)算，排除排除選項(xiàng)D，可得到正確答案.【詳解】的定義域?yàn)椋宏P(guān)于原點(diǎn)對稱，因?yàn)?，所以是奇函?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，排除AC，由，排除選項(xiàng)D，所以選項(xiàng)B正確，故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.7.正方形ABCD的邊長為1，E為BC的中點(diǎn)，．若，則()A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】分析】建平面直角坐標(biāo)系，分別求得的坐標(biāo)，再由求解.【詳解】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：則，所以，因?yàn)椋?，所以，解得，故選：A8.某公園有一個(gè)邊長為的等邊三角形花圃，現(xiàn)要在花圃中修一條籬笆，將花圃分成面積相等的兩部分，則籬笆的最短長度為()A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)等邊三角形花圃為，籬笆的長度為，的長為，先求出的面積，再利用面積公式求出的面積讓其等于的面積的一半，即可求出，在中，由余弦定理可得：，再利用基本不等式即可求的最值，進(jìn)而可得籬笆長的最小值.【詳解】設(shè)等邊三角形花圃為，因?yàn)檫呴L為，所以，設(shè)籬笆的長度為，的長為，則，因?yàn)?所以，即，所以，在中，由余弦定理可得：，即由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，籬笆長取得最小值為，故答案為：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是設(shè)籬笆的長度為，的長為，先利用面積等于的面積的一半，即可求出，在中，由余弦定理可得：，即可利用基本不等式求最值.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對得5分，部分選對得3分，有選錯(cuò)的得0分．9.設(shè)a，b是兩條不重合的直線，，是兩個(gè)不同的平面．下列四個(gè)命題中，正確的是()A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)空間中線面的關(guān)系，逐一分析選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】對于A：若，，則可平行，可相交，也可異面，故A錯(cuò)誤；對于B：若，，則，故B正確；對于C：若，，則，故C正確；對于D：，，則，故D正確.故選：BCD10.等差數(shù)列中，，，是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則()A. B.是中的最大項(xiàng)C.是中的最小項(xiàng) D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再逐項(xiàng)判斷.【詳解】在等差數(shù)列中，，，所以，，A.因?yàn)?，故正確；B.因?yàn)?，所以不是中的最大?xiàng)，故錯(cuò)誤；C.因?yàn)?，所以不是中的最小?xiàng)，故錯(cuò)誤；D.因?yàn)?，所以，故錯(cuò)誤；故選：A11.如圖是函數(shù)的部分圖象，下列選項(xiàng)正確的是()A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】先由可求得，再，可得，解得，再利用，可得，所以，，即可知A正確，B不正確，計(jì)算即可判斷C、D，進(jìn)而可得正確答案.【詳解】由圖知，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，解得：，因?yàn)椋?，所以時(shí)，可得，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B不正確，，故選項(xiàng)C正確；，故選項(xiàng)D不正確，故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是求的值，先利用，而且是下降零點(diǎn)可得，解得，再結(jié)合圖象可知得，求得，問題即可迎刃而解，屬于?？碱}型.12.下列大小關(guān)系正確的有()A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】結(jié)合指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)A、B，利用作差法可判斷選項(xiàng)C，利用作商法可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確答案.【詳解】由指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)可知，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，選項(xiàng)A不正確；因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)?，所以，即所以，所以，故選項(xiàng)C不正確；因?yàn)?，，所以，所以，故選項(xiàng)D正確，故選：BD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是熟悉指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)，記住同一直角坐標(biāo)系中它們的圖象，當(dāng)時(shí)，另外代數(shù)式比較大小可以用作差法與0比較大小，同號的可以利用作商法與1比較大小，變形的過程很靈活，屬于常考題型.三．填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系，可得的值，即可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故答案為?4.已知是定義在R上的奇函數(shù)，且．若，則________．【答案】-2【解析】【分析】根據(jù)，令，可得，利用奇函數(shù)的定義，即可求得答案.【詳解】由，令，可得，又是定義在R上的奇函數(shù)，所以，所以，故答案為：-215.已知等比數(shù)列中，，，則________．【答案】21【解析】【分析】設(shè)公比為，根據(jù)條件，可解得的值，代入等比數(shù)列求和公式，即可求得答案.【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，設(shè)公比為，所以①，又②得，所以，所以，故答案為：2116.鱉臑(biēnào)出自《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩重堵．斜解壍堵，其一為陽馬，一為鱉臑．”鱉臑是我國對四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐的古稱．如圖，三棱錐是一個(gè)鱉臑，其中，，，且，過點(diǎn)B向AC引垂線，垂足為E，過E作CD的平行線，交AD于點(diǎn)F，連接BF．設(shè)三棱錐的外接球的表面積為，三棱錐的外接球的表面積為，則________．【答案】．【解析】【分析】證明后可得為四面體的外接球直徑，在中證得兩兩垂直后可得的直徑的平方等于的平方和，從而可得球的表面積，從而可得結(jié)論．【詳解】，，，則平面，平面，∴，又，，∴平面，平面，∴，．又，∴，，又，∴三棱錐可補(bǔ)形成以為棱的一個(gè)長方體，其外接球的直徑的平方等于的平方和，而由，則是三棱錐外接球的直徑．∵，∴，，，，，，∴，，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求三棱錐外接球的表面積，解題關(guān)鍵是外接球球心，求出球的直徑．三棱錐外接球球心在過各面外心且與此面垂直的直線上．有時(shí)可利用直角三角形去尋找外接球球心．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明．證明過程或演算步驟．17.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中．若問題中的三角形存在，求出a的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，_________？注：如果選擇多個(gè)條件分別解簽．按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】問題中的三角形都存在，選①；選②；選③【解析】【分析】先求得，選①：由三角形的面積公式可得，再由余弦定理即可求得的值，選②：由正弦定理可得，再利用余弦定理可求的值，選③：由求得，，再利用正弦定理得即可求得的值.【詳解】由得，因?yàn)?，所以，選①:由題意得：，解得：，由余弦定理可得：,所以，所以問題中的三角形存在，且，選②：因?yàn)?，由正弦定理可得，由余弦定理得：，即，解得：?舍)所以存在問題中的三角形，且選③：由得：，故，由正弦定理得：即，所以，因?yàn)椋?，所以問題中的三角形存在，且.18.已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；(2)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求零點(diǎn)之間距離最小時(shí)a的值．【答案】(1)；(2)【解析】【分析】(1)當(dāng)時(shí)，，求出切點(diǎn)，求導(dǎo)得，，點(diǎn)斜式即可寫出切線方程；(2)，有兩個(gè)零點(diǎn)，分別設(shè)為，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得，，代入即可求解.【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，可得，所以切點(diǎn)為，因?yàn)椋?，所以在處的切線方程為：，即，(2)，因?yàn)?，所以函?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，分別設(shè)為，則，，所以，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)之間距離最小為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求曲線切線方程的一般步驟是：(1)求出在處的導(dǎo)數(shù)，即在點(diǎn)出的切線斜率(當(dāng)曲線在處的切線與軸平行時(shí)，在處導(dǎo)數(shù)不存在，切線方程為)；(2)由點(diǎn)斜式求得切線方程.19.如圖，棱長為2的正四面體ABCD(所有棱長均相等的三棱錐)中，E，F(xiàn)為AB和DC的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析；(2)．【解析】【分析】(1)證明平面后可得線線垂直；(2)利用體積公式可得，再求出正四面體的體積即可得．【詳解】(1)連接，∵是中點(diǎn)，∴，又，∴平面，又平面，∴．(2)∵正四面體棱長為2，由(1)可得，是中點(diǎn)，∴，∴，，∴，由E，F(xiàn)為AB和DC的中點(diǎn)，可得．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查線面垂直證線線垂直，考查求棱錐的體積．在求棱錐體積是用換底法及體積公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換，，這樣只要求得正四面體體積即可得．20.已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域．【答案】(1)；(2)．【解析】【分析】(1)利用兩角和與差的正弦公式，二倍角公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后由正弦函數(shù)性質(zhì)求得最小正周期；(2)用整體思想結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可得值域．【詳解】(1)，所以最小正周期為；(2)時(shí)，，所以，所以的值域?yàn)椋军c(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求三角函數(shù)的周期與值域，解題關(guān)鍵是利用二倍角公式，兩角和與差的正弦(或余弦)公式化函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解．21.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．(1)求；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)由，遞推化簡得到，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得，再利用等比數(shù)列的求和公式，即可求解；(2)由(1)求得，結(jié)合“乘公比錯(cuò)位相減法”和“等差數(shù)列的求和公式”，即可求解.【詳解】(1)由題意，數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，可得，兩式相減，可得，整理得，即，當(dāng)時(shí)，可得，解得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以.(2)由(1)知，則設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，則，兩式相減得，所以，又由，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.【點(diǎn)睛】錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的前項(xiàng)和的分法：(1)適用條件：若數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，求解數(shù)列的前項(xiàng)和；(2)主要事項(xiàng)：①在寫出和的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)注意將兩式“錯(cuò)位對齊”，以便下一步準(zhǔn)確寫出；②作差后，應(yīng)注意減式中所剩各項(xiàng)的符號要變號；③作差后，作差部分應(yīng)用為的等比數(shù)列求和.22.已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求證：函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn)，且．(參考數(shù)據(jù)：，)【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，時(shí)，在上遞增，在是遞減；(2)證明見解析．【解析】【分析】(1)求出導(dǎo)函數(shù)，然后分類討論確定的正負(fù)，得單調(diào)區(qū)間；(2)求出，由求得，再設(shè)，求出，由確定出的單調(diào)性，極值，得存在兩個(gè)零點(diǎn)1和，其中是極大值點(diǎn)．1是極小值點(diǎn)．并確定，利用可化為，從而可得證．【