2024-2025學年高中數(shù)學課時分層作業(yè)9事件的獨立性含解析蘇教版選修2-3

PAGE1-課時分層作業(yè)(九)事務的獨立性(建議用時：60分鐘)[基礎達標練]一、選擇題1．有以下三個問題：①擲一枚骰子一次，事務M：“出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)”，事務N：“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)”；②袋中有3白、2黑，5個大小相同的小球，依次不放回地摸兩球，事務M：“第1次摸到白球”，事務N：“第2次摸到白球”；③分別拋擲2枚相同的硬幣，事務M：“第1枚為正面”，事務N：“兩枚結果相同”．這三個問題中，M，N是相互獨立事務的有()A．3個 B．2個C．1個 D．0個C[①中，M，N是互斥事務；②中，P(M)＝eq\f(3,5)，P(N)＝eq\f(1,2).即事務M的結果對事務N的結果有影響，所以M，N不是相互獨立事務；③中，P(M)＝eq\f(1,2)，P(N)＝eq\f(1,2)，P(M∩N)＝eq\f(1,4)，P(M∩N)＝P(M)·P(N)，因此M，N是相互獨立事務．]2．如圖所示，在兩個圓盤中，指針落在本圓盤每個數(shù)所在區(qū)域的機會均等，那么兩個指針同時落在奇數(shù)所在區(qū)域的概率是()A.eq\f(4,9) B.eq\f(2,9)C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,3)A[“左邊圓盤指針落在奇數(shù)區(qū)域”記為事務A，則P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，“右邊圓盤指針落在奇數(shù)區(qū)域”記為事務B，則P(B)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)，事務A、B相互獨立，所以兩個指針同時落在奇數(shù)區(qū)域的概率為eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9)，故選A.]3．甲、乙兩隊進行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊只要再贏一局就獲冠軍，乙隊須要再贏兩局才能得冠軍．若兩隊勝每局的概率相同，則甲隊獲得冠軍的概率為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,5) D.eq\f(1,2)A[問題等價為兩類：第一類，第一局甲贏，其概率P1＝eq\f(1,2)；其次類，需競賽2局，第一局甲負，其次局甲贏，其概率P2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).故甲隊獲得冠軍的概率為P1＋P2＝eq\f(3,4).]4．甲、乙二人各進行1次射擊，假如兩人擊中目標的概率都是0.7，兩個人射中與否相互之間沒有影響，那么其中恰有1人擊中目標的概率是()A．0.49 B．0.42C．0.7 D．0.91B[由題意可知，兩人恰有1人擊中目標有兩種狀況：甲擊中乙沒擊中或甲沒擊中乙擊中，設“恰有1人擊中目標”為事務A，則P(A)＝0.7×(1－0.7)＋(1－0.7)×0.7＝0.42.]5．如圖，已知電路中4個開關閉合的概率都是eq\f(1,2)，且是相互獨立的，則燈亮的概率為()A.eq\f(3,16) B.eq\f(3,4)C.eq\f(13,16) D.eq\f(1,4)C[記A，B，C，D這4個開關閉合分別為事務A，B，C，D，又記A與B至少有一個不閉合為事務eq\x\to(E)，則P(eq\x\to(E))＝P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＋P(eq\x\to(AB))＝eq\f(3,4)，則燈亮的概率為P＝1－P(eq\x\to(E)eq\x\to(C)eq\x\to(D))＝1－P(eq\x\to(E))P(eq\x\to(C))P(eq\x\to(D))＝1－eq\f(3,16)＝eq\f(13,16).]二、填空題6．如圖，用K，A1，A2三類不同的元件連接成一個系統(tǒng)．當K正常工作且A1，A2至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作．已知K，A1，A2正常工作的概率依次為0.9,0.8，0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為________．0．864[可知K，A1，A2三類元件是否正常工作相互獨立，所以A1，A2至少有一個正常工作的概率為1－(1－0.8)2＝0.96，所以系統(tǒng)正常工作的概率為0.9×0.96＝0.864.]7．甲袋中有8個白球，4個紅球，乙袋中有6個白球，6個紅球，從每袋中任取一球，則取到相同顏色的球的概率是________．eq\f(1,2)[從甲袋中任取一球是白球的概率為eq\f(8,12)＝eq\f(2,3)，是紅球的概率為eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)；從乙袋中任取一球是白球的概率為eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，是紅球的概率為eq\f(6,12)＝eq\f(1,2)，故所求事務的概率為eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).]8．臺風在危害人類的同時，也在愛護人類．臺風給人類送來了淡水資源，大大緩解了全球水荒，另外還使世界各地冷熱保持相對均衡．甲、乙、丙三顆衛(wèi)星同時監(jiān)測臺風，在同一時刻，甲、乙、丙三顆衛(wèi)星精確預報臺風的概率分別為0.8,0.7,0.9，各衛(wèi)星間相互獨立，則在同一時刻至少有兩顆預報精確的是________．0．902[設甲、乙、丙預報精確依次記為事務A，B，C，不精確記為eq\x\to(A)，eq\x\to(B)，eq\x\to(C)，則P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，P(eq\x\to(A))＝0.2，P(eq\x\to(B))＝0.3，P(eq\x\to(C))＝0.1，至少兩顆預報精確的事務有ABeq\x\to(C)，Aeq\x\to(B)C，eq\x\to(A)BC，ABC，這四個事務兩兩互斥且獨立．∴至少兩顆預報精確的概率為P＝P(ABeq\x\to(C))＋P(Aeq\x\to(B)C)＋P(eq\x\to(A)BC)＋P(ABC)＝0.8×0.7×0.1＋0.8×0.3×0.9＋0.2×0.7×0.9＋0.8×0.7×0.9＝0.056＋0.216＋0.126＋0.504＝0.902.]三、解答題9．依據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險的概率為0.3.設各車主購買保險相互獨立．(1)求該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1種的概率；(2)求該地的3位車主中恰有1位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率．[解]記A表示事務：該地的1位車主購買甲種保險；B表示事務：該地的1位車主購買乙種保險；C表示事務：該地的1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的一種；D表示事務：該地的1位車主甲、乙兩種保險都不購買；E表示事務：該地的3位車主中恰有1位車主甲、乙兩種保險都不購買．(1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.(2)D＝eq\x\to(C)，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，P(E)＝0.8×0.2×0.8＋0.8×0.8×0.2＋0.2×0.8×0.8＝0.384.10．某城市有甲、乙、丙3個旅游景點，一位游客巡游這3個景點的概率分別是0.4,0.5,0.6，且游客是否巡游哪個景點互不影響，用ξ表示該游客離開該城市時巡游的景點數(shù)與沒有巡游的景點數(shù)之差的肯定值，求ξ的分布列．[解]設游客巡游甲、乙、丙景點分別記為事務A1，A2，A3，已知A1，A2，A3相互獨立，且P(A1)＝0.4，P(A2)＝0.5，P(A3)＝0.6，游客巡游的景點數(shù)可能取值為0,1,2,3，相應的游客沒有巡游的景點數(shù)可能取值為3,2,1,0，所以ξ的可能取值為1,3.則P(ξ＝3)＝P(A1·A2·A3)＋P(eq\x\to(A)1·eq\x\to(A)2·eq\x\to(A)3)＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＋P(eq\x\to(A)1)·P(eq\x\to(A)2)·P(eq\x\to(A)3)＝2×0.4×0.5×0.6＝0.24.P(ξ＝1)＝1－0.24＝0.76.所以分布列為：ξ13P0.760.24[實力提升練]1．設兩個獨立事務A和B都不發(fā)生的概率為eq\f(1,9)，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，則事務A發(fā)生的概率P(A)是()A.eq\f(2,9) B.eq\f(1,18)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)D[由P(A∩eq\x\to(B))＝P(B∩eq\x\to(A))，得P(A)P(eq\x\to(B))＝P(B)·P(eq\x\to(A))，即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，∴P(A)＝P(B)．又P(eq\x\to(A)∩eq\x\to(B))＝eq\f(1,9)，∴P(eq\x\to(A))＝P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)，∴P(A)＝eq\f(2,3).]2．從某地區(qū)的兒童中選擇體操學員，已知兒童體型合格的概率為eq\f(1,5)，身體關節(jié)構造合格的概率為eq\f(1,4).從中任挑一兒童，這兩項至少有一項合格的概率是(假定體型與身體關節(jié)構造合格與否相互之間沒有影響)()A.eq\f(13,20) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,4) D.eq\f(2,5)D[設體型合格為事務A，身體關節(jié)構造合格為事務B，A與B為獨立事務，且P(A)＝eq\f(1,5)，P(B)＝eq\f(1,4)，所以兩項中至少一項合格的概率為P＝1－P(eq\x\to(AB))＝1－P(eq\x\to(A))·P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(4,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(2,5).]3.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷葉上跳來跳去(每次跳動時，均從一片荷葉跳到另一片荷葉)，而且逆時針方向跳的概率是順時針方向跳的概率的兩倍，如圖所示．假設現(xiàn)在青蛙在A荷葉上，則跳三次之后停在A荷葉上的概率是________．eq\f(1,3)[由已知逆時針跳一次的概率為eq\f(2,3)，順時針跳一次的概率為eq\f(1,3).則逆時針跳三次停在A上的概率為P1＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，順時針跳三次停在A上的概率為P2＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,27).通過分析跳三次停在A荷葉上只有這兩種狀況，所以跳三次之后停在A上的概率為P＝P1＋P2＝eq\f(8,27)＋eq\f(1,27)＝eq\f(1,3).]4．(2024·全國卷Ⅰ)甲、乙兩隊進行籃球決賽，實行七場四勝制(當一隊贏得四場成功時，該隊獲勝，決賽結束)．依據(jù)前期競賽成果，甲隊的主客場支配依次為“主主客客主客主”．設甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場競賽結果相互獨立，則甲隊以4∶1獲勝的概率是________．0．18[記事務M為甲隊以4∶1獲勝，則甲隊共競賽五場，且第五場甲隊獲勝，前四場甲隊勝三場負一場，所以P(M)＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.]5．在一個選拔項目中，每個選手都要進行四輪考核，每輪設有一個問題，能正確回答者進入下一輪考核，否則被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三、四輪問題的概率分別為eq\f(5,6)，eq\f(4,5)，eq\f(3,4)，eq\f(1,3)，且各輪問題能否正確回答互不影響．(1)求該選手進入第三輪才被淘汰的概率；(2)求該選手至多進入第三輪考核的概率；(3)該選手在選拔過程中回答過的問題的個數(shù)記為X，求隨機變量X的概率分布．[解]設事務Ai(i＝1,2,3,4)表示“該選手能正確回答第i輪問題”，由已知P(A1)＝eq\f(5,6)，P(A2)＝eq\f(4,5)，P(A3)＝eq\f(3,4)，P(A4)＝eq\f(1,3).(1)設事務B表示“該選手進入第三輪才被淘汰”，則P(B)＝P(A1A2eq\x\to(A3))＝P(A1)P(A2)P(eq\x\to(A3))＝eq\f(5,6)×eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＝eq\f(1,6).(2)設事務C表示“該選手至多進入第三輪考核”，則P(C)＝P(eq\x\to(A1)＋A1eq\x\to(A2)＋A1A2eq\x\to(A3))＝P(eq\x\to(A1))＋P(A1eq\x\to(A2))＋P(A1A2eq\x\to(A3))＝eq\f(1,6)＋eq\f(5,6)×eq\f(1,5)＋eq\f(5,6)×eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＝eq\f(1,2).(3)X的可能取值為1,2,3,4.P(X＝1)＝P(eq\x\to(A1))＝eq\f(1,6)，P(X＝2)＝P(A1eq\x\to(A2)