2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章統(tǒng)計2.1.3分層抽樣2.1.4數(shù)據(jù)的收集學(xué)案新人教B版必修3

PAGE1-2.1.3分層抽樣2.1.4數(shù)據(jù)的收集學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解并駕馭分層抽樣，會用分層抽樣從總體中抽取樣本．(重點)2．了解三種抽樣方法的聯(lián)系和區(qū)分．(易混點)3．駕馭收集數(shù)據(jù)的方法．(重點)4．利用分層抽樣的方法解決實際問題．(難點)1.通過分層抽樣的學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．2．借助三種抽樣方法的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).1．分層抽樣當(dāng)總體由有明顯差別的幾部分組成時，為了使抽取的樣本更好地反映總體的狀況，常將總體中各個個體按某種特征分成若干個互不重疊的幾部分，每一部分叫做層，在各層中按層在總體中所占比例進(jìn)行簡潔隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣，這種抽樣方法叫做分層抽樣．思索：適合分層抽樣的總體具備什么特征？[提示]總體由差異明顯的幾部分組成．2．?dāng)?shù)據(jù)收集的常用方式1．某校高三年級有男生500人，女生400人．為了解該年級學(xué)生的健康狀況，從男生中隨意抽取25人，從女生中隨意抽取20人進(jìn)行調(diào)查，這種抽樣方法是()A．簡潔隨機抽樣法 B．抽簽法C．隨機數(shù)表法 D．分層抽樣法D[從男生、女生各抽取eq\f(1,20)入樣，符合分層抽樣的特點．]2．某社區(qū)有500戶家庭，其中高收入家庭125戶，中等收入家庭280戶，低收入家庭95戶．為了調(diào)查社會購買力的某項指標(biāo)，要從中抽取一個容量為100的樣本，記作①；某學(xué)校高一年級有18名女排運動員，要從中選出4人調(diào)查學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)狀況，記作②.那么完成上述兩項調(diào)查應(yīng)采納的抽樣方法是()A．①用簡潔隨機抽樣法，②用系統(tǒng)抽樣法B．①用分層抽樣法，②用簡潔隨機抽樣法C．①用系統(tǒng)抽樣法，②用分層抽樣法D．①用分層抽樣法，②用系統(tǒng)抽樣法B[①因家庭收入不同其社會購買力也不同，宜用分層抽樣的方法．②因總體個數(shù)較小，宜用簡潔隨機抽樣法．]3．下列問題符合調(diào)查問卷要求的是()A．你所購買的名牌產(chǎn)品，您認(rèn)為該產(chǎn)品的知名度□很好□一般□很低B．你認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)□較簡潔□較困難C．你們班有幾位大個子同學(xué)？________D．你對我們廠生產(chǎn)的電視機□滿足□不滿足B[問卷調(diào)查的題目要避開一般性或不詳細(xì)的問題，標(biāo)準(zhǔn)要明確，故A、C、D不符合．]4．某個年級有男生560人，女生420人，用分層抽樣的方法從該年級全體學(xué)生中抽取一個容量為280的樣本，則此樣本中男生人數(shù)為________．160[男生人數(shù)為560×eq\f(280,560＋420)＝160.]分層抽樣的概念【例1】(1)下列各項中屬于分層抽樣的特點的是()A．從總體中逐個抽取B．將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取C．將總體分成幾部分，按事先確定的規(guī)則在各部分中抽取D．將總體隨意分成幾部分，然后進(jìn)行隨機抽取(2)下列問題中，最適合用分層抽樣抽取樣本的是()A．從10名同學(xué)中抽取3人參與座談會B．一次數(shù)學(xué)競賽中，某班有10人在110分以上，40人在90～100分，12人低于90分，現(xiàn)從中抽取12人了解有關(guān)狀況C．從1000名工人中，抽取100名調(diào)查上班途中所用時間D．從生產(chǎn)流水線上，抽取樣本檢查產(chǎn)品質(zhì)量[思路探究]依據(jù)三種抽樣方法的特點依次進(jìn)行推斷．(1)B(2)B[(1)A屬于簡潔隨機抽樣的特點，B屬于分層抽樣的特點，C屬于系統(tǒng)抽樣的特點，D不屬于三種抽樣方法，所以應(yīng)選B.(2)A中總體個體無明顯差異且個數(shù)較少，適合用簡潔隨機抽樣；C和D中總體個體無明顯差異且個數(shù)較多，適合用系統(tǒng)抽樣；B中總體個體差異明顯，適合用分層抽樣．]1．運用分層抽樣的前提分層抽樣的適用前提條件是總體可以分層、層與層之間有明顯區(qū)分，而層內(nèi)個體間差異較?。?．運用分層抽樣應(yīng)遵循的原則(1)將相像的個體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則；(2)分層抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中進(jìn)行簡潔隨機抽樣，每層樣本數(shù)量與每層個體數(shù)量的比等于抽樣比．1．某班有30名男生，20名女生，現(xiàn)調(diào)查平均身高，準(zhǔn)備從總?cè)藬?shù)中抽取eq\f(1,10)做為調(diào)查對象，已知男女身高有明顯不同，應(yīng)如何抽取樣本？[解]由分層抽樣的概念可知本題應(yīng)選用分層抽樣，因為30×eq\f(1,10)＝3(名)，20×eq\f(1,10)＝2(名)，所以應(yīng)采納抽簽法分別抽出3名男生和2名女生．分層抽樣的方案設(shè)計[探究問題]1．分層抽樣的特點有哪些？[提示](1)分層抽樣適用于已知總體是由差異明顯的幾部分組成的；(2)分成的各層互不交叉；(3)各層抽取的比例都等于樣本容量在總體中的比例，即eq\f(n,N)，其中n為樣本容量，N為總體容量．2．計算各層所抽取個體的個數(shù)時，若Ni·eq\f(n,N)的值不是整數(shù)怎么辦？[提示]為獲得各層的入樣數(shù)目，需先正確計算出抽樣比eq\f(n,N)，若Ni·eq\f(n,N)的值不是整數(shù)，可四舍五入取整，也可先將該層等可能地剔除多余的個體．3．分層抽樣公允嗎？[提示]分層抽樣中，每個個體被抽到的可能性是相同的，與層數(shù)、分層無關(guān)．假如總體的個數(shù)為N，樣本容量為n，Ni為第i層的個體數(shù)，則第i層抽取的個體數(shù)ni＝n·eq\f(Ni,N)，每個個體被抽到的可能性是eq\f(ni,Ni)＝eq\f(1,Ni)·n·eq\f(Ni,N)＝eq\f(n,N).【例2】一個單位有職工500人，其中不到35歲的有125人，35歲至49歲的有280人，50歲及50歲以上的有95人，為了了解這個單位職工與身體狀態(tài)有關(guān)的某項指標(biāo)，要從中抽取100名職工作為樣本，職工年齡與這項指標(biāo)有關(guān)，應(yīng)當(dāng)怎樣抽?。縖思路探究]eq\x(視察特征，確定抽樣方法)→eq\x(分層求比例，確定各層樣本數(shù))→eq\x(從各層中抽取樣本)[解]因為職工年齡與這項指標(biāo)有關(guān)，故采納分層抽樣．步驟如下：(1)分層．按年齡將職工分成三層：不到35歲的職工；35歲至49歲的職工；50歲及50歲以上的職工．(2)確定每層抽取個體的個數(shù)．抽樣比為eq\f(100,500)＝eq\f(1,5)，則在不到35歲的職工中抽125×eq\f(1,5)＝25(人)；在35歲至49歲的職工中抽280×eq\f(1,5)＝56(人)；在50歲及50歲以上的職工中抽95×eq\f(1,5)＝19(人)．(3)在各層分別按抽簽法或隨機數(shù)表法抽取樣本．(4)綜合每層抽樣，組成樣本．1．(變條件)本例把50歲及50歲以上的人數(shù)改為96人，其他條件不變，問應(yīng)當(dāng)怎樣抽取？[解]因為職工年齡與這項指標(biāo)有關(guān)，故采納分層抽樣，步驟如下：(1)分層：按年齡將職工分成三層：不到35歲職工；35歲至49歲的職工；50歲及50歲以上的職工．(2)確定每層抽取個體的個數(shù)．抽樣比為eq\f(100,500)＝eq\f(1,5)，則在不到35歲職工中抽125×eq\f(1,5)＝25(人)，在35歲至49歲職工中抽280×eq\f(1,5)＝56(人)，在50歲及50歲以上職工中先隨機剔除1人，再在剩余職工中抽95×eq\f(1,5)＝19(人)．(3)在各層分別運用簡潔隨機抽樣法抽取樣本．(4)綜合每層抽樣，組成樣本．2．(變結(jié)論)本例條件不變，若要從中抽取200名職工作為樣本，則各年齡段依次抽取多少人？[解]按eq\f(200,500)＝eq\f(2,5)的比例抽樣，所以依次抽取125×eq\f(2,5)＝50人，280×eq\f(2,5)＝112人，95×eq\f(2,5)＝38人．1．在分層抽樣的過程中，為了保證每個個體被抽到的可能性是相同的，這就要求各層所抽取的個體數(shù)與該層所包含的個體數(shù)之比等于樣本容量與總體的個體數(shù)之比，即ni∶Ni＝n∶N.2．分層后，各層的個體較多時，可采納系統(tǒng)抽樣或簡潔隨機抽樣取出各層中的個體，肯定要留意按比例抽取．當(dāng)抽樣比不是整數(shù)時，可在該層隨機剔除部分個體．?dāng)?shù)據(jù)的收集【例3】請設(shè)計一個測量某單位職工身高的試驗．[思路探究](1)做好試驗前準(zhǔn)備工作；(2)組織好測量；(3)整理數(shù)據(jù)．[解]試驗前準(zhǔn)備工作：①準(zhǔn)備好試驗器材，如：測量儀、記錄數(shù)據(jù)的表格(附表)．②測量人員支配，為了使試驗數(shù)據(jù)較精確，需多次測量求其平均值，比如支配三個小組測量．③組織好觀測對象——某單位全體職工，可先分成幾個小組(如3個小組)，每組支配一個組長負(fù)責(zé)詳細(xì)組織協(xié)調(diào)．試驗操作步驟如下：S1布置身高測量儀三架；S2支配負(fù)責(zé)儀器的人兩個，一個測量，一個記錄；S3組織職工按預(yù)先分成的小組排隊依次測量，在一個機器前測量完后，換另一架機器，每人測量三次，將所測數(shù)據(jù)填入附表；S4整理數(shù)據(jù)，用求平均值的方法算出每位職工身高．附表：職工姓名測得數(shù)據(jù)身高的平均值儀器1儀器2儀器31．收集數(shù)據(jù)時的留意點：(1)必需清晰地知道要收集的數(shù)據(jù)是什么；(2)抽樣的目的是為了了解總體的狀況；(3)高質(zhì)量的樣本數(shù)據(jù)來自“攪拌勻稱”的總體．2．收集數(shù)據(jù)的方式有：做試驗、查閱資料、設(shè)計調(diào)查問卷等．2．請設(shè)計一份問卷(包括閱讀時間，書的類型、來源和閱讀課外書和學(xué)習(xí)的關(guān)系)調(diào)查你們班同學(xué)閱讀課外書的狀況．[解]調(diào)查問卷設(shè)計如下：姓名：________，所在班級：________.請回答下列問題：1．你一般在什么時間閱讀課外書？()A．每天課間B．每天放學(xué)回家后C．周末或假期D．老師支配的閱讀課上2．你喜愛讀的課外書有()A．散文B．報告文學(xué)C．小說D．所學(xué)功課的輔導(dǎo)資料E．其他3．你的課外書的來源是()A．同學(xué)介紹的B．老師舉薦的C．在書店中偶然發(fā)覺的D．家長舉薦的E．在宣揚資料上看到的4．你認(rèn)為課外閱讀和學(xué)習(xí)的關(guān)系是()A．能促進(jìn)學(xué)習(xí)B．與學(xué)習(xí)沒多大關(guān)系C．阻礙學(xué)習(xí)抽樣方法的綜合應(yīng)用【例4】選擇合適的抽樣方法抽樣，寫出抽樣過程．(1)有甲廠生產(chǎn)的30個籃球，其中一箱21個，另一箱9個，抽取3個；(2)有30個籃球，其中甲廠生產(chǎn)的有21個，乙廠生產(chǎn)的有9個，抽取10個；(3)有甲廠生產(chǎn)的300個籃球，抽取10個；(4)有甲廠生產(chǎn)的300個籃球，抽取30個．[思路探究]應(yīng)結(jié)合三種抽樣方法的運用范圍和實際狀況，敏捷運用各種抽樣方法解決問題．[解](1)總體容量較小，用抽簽法．①將30個籃球編號，編號為00,01，…，29；②將以上30個編號分別寫在完全一樣的小紙條上，揉成小球，制成號簽；③把號簽放入一個不透亮的袋子中，充分?jǐn)嚢?；④從袋子中逐個抽取3個號簽，并記錄上面的號碼；⑤找出和所得號碼對應(yīng)的籃球即可得到樣本．(2)總體由差異明顯的兩個層次組成，需選用分層抽樣．①確定抽取個數(shù)．因為eq\f(30,10)＝3，所以甲廠生產(chǎn)的應(yīng)抽取eq\f(21,3)＝7(個)，乙廠生產(chǎn)的應(yīng)抽取eq\f(9,3)＝3(個)；②用抽簽法分別抽取甲廠生產(chǎn)的籃球7個，乙廠生產(chǎn)的籃球3個，這些籃球便組成了我們要抽取的樣本．(3)總體容量較大，樣本容量較小，宜用隨機數(shù)表法．①將300個籃球用隨機方式編號，編號為001,002，…，300；②在隨機數(shù)表中隨機地確定一個數(shù)作為起先，如第8行第29列的數(shù)“9”起先．任選一個方向作為讀數(shù)方向，比如向右讀；③從數(shù)“9”起先向右讀，每次讀三位，凡不在001～300中的數(shù)跳過去不讀，遇到已經(jīng)讀過的數(shù)也跳過去不讀，依次得到10個號碼，這就是所要抽取的10個樣本個體的號碼．(4)總體容量較大，樣本容量也較大，宜用系統(tǒng)抽樣．①將300個籃球用隨機方式編號，編號為000,001,002，…，299，并分成30段，其中每一段包含eq\f(300,30)＝10(個)個體；②在第一段000,001,002，…，009這十個編號中用簡潔隨機抽樣抽出一個(如002)作為起始號碼；③將編號為002,012,022，…，292的個體抽出，即可組成所要求的樣本．抽樣方法的選?。?若總體由差異明顯的幾個層次組成，則選用分層抽樣；2若總體沒有差異明顯的層次，則考慮采納簡潔隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣.當(dāng)總體容量較小時宜用抽簽法；當(dāng)總體容量較大，樣本容量較小時宜用隨機數(shù)表法；當(dāng)總體容量較大，樣本容量也較大時宜用系統(tǒng)抽樣；3采納系統(tǒng)抽樣時，當(dāng)總體容量N能被樣本容量n整除時，抽樣間隔為k＝eq\f(N,n)；當(dāng)總體容量不能被樣本容量整除時，先用簡潔隨機抽樣剔除多余個體，抽樣間隔為k＝[eq\f(N,n)].3．下列問題中，采納怎樣的抽樣方法較為合理？(1)從10臺電冰箱中抽取3臺進(jìn)行質(zhì)量檢查；(2)某學(xué)校有160名教職工，其中老師120名，行政人員16名，后勤人員24名，為了了解教職工對學(xué)校在校務(wù)公開方面的看法，擬抽取一個容量為20的樣本；(3)體育彩票000001～100000編號中，凡彩票號碼最終三位數(shù)為345的中一等獎．[解]題號推斷緣由分析(1)抽簽法總體容量較小，宜用抽簽法(2)分層抽樣由于學(xué)校各類人員對這一問題的看法可能差異較大，用分層抽樣(3)系統(tǒng)抽樣總體容量大，樣本容量較大，等距抽取，用系統(tǒng)抽樣1．本節(jié)課的重點是記住分層抽樣的特點和步驟，難點是會用分層抽樣從總體中抽取樣本．2．本節(jié)課要牢記分層抽樣中的兩個比例關(guān)系：(1)eq\f(樣本容量n,總體的個數(shù)N)＝eq\f(各層抽取的個體數(shù),該層的個體數(shù))；(2)總體中某兩層的個體數(shù)之比＝樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比．3．要駕馭分層抽樣的兩類問題：(1)依據(jù)分層抽樣的特征推斷分層抽樣．(2)依據(jù)分層抽樣的步驟設(shè)計分層抽樣，特殊是當(dāng)總體容量不能被樣本容量整除時留意剔除個體．4．本節(jié)課的易錯點有：(1)概念理解錯誤致錯；(2)忽視每個個體被抽到的機會相等而致誤．1．思索辨析(1)分層抽樣事實上是按比例抽樣．()(2)分層抽樣中每個個體被抽到的可能性不一樣．()(3)調(diào)查問卷可以設(shè)計你想知道的任何問題．()[答案](1)√(2)×(3)×2．分層抽樣又稱類型抽樣，即將相像的個體歸入一類(層)，然后每類抽取若干個個體構(gòu)成