北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試試卷及答案 (一)

北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)期末考試試題

一、單選題

1.下面所列圖形中是中心對(duì)稱(chēng)圖形的為（）

A.3a(a+b)=3a2+3abB.a2-2a+3b+b2=a(a-2)4-Z>(3+b)

C.a2-2(i+\=a(ci-2)+1D.a2-b2=(a+b)(a-b)

3.若分式會(huì)的值是零，則，的值是（）

A.x=0B.x=±3C.x=—3D.x=3

4.已知等腰三角形的一邊長(zhǎng)為2,周長(zhǎng)為8,那么它的腰長(zhǎng)為（）

A.2B.3C.2或3D.不能確定

5.七邊形A8coMG的內(nèi)角和的度數(shù)為（）

A.900°B.720°C.360。D.180°

6.如圖，在QABCO中，OE平分/APC,交BC于點(diǎn)E,At>=8,BE=3,則的

周長(zhǎng)是（）

A.11B.13C.22D.26

7.如圖，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，AD=AC,AE±CD,垂足為點(diǎn)E,F是BC的中

點(diǎn)，若BD=16,則EF的長(zhǎng)為（

A.32B.16C.8D.4

8.如圖，在《AA/C'中，Z^=9U°,NAC8=3（T,AC=10,將&繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)得到出△ABV,使點(diǎn)*落在AC邊上，連接CC,則CC的長(zhǎng)度是（）

A.10B.20C.10x/3D.20G

9.若順次連接四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)所得四邊形是菱形.則四邊形ABCD一定是（）

A.菱形B.對(duì)角線互相垂直的四邊形C.矩形D.對(duì)角線相等的四邊形

10.如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,下列條件不能判定這個(gè)四邊形

是平行四邊形的是（）

A.ZABC=ZADC,ZBAD=ZDCBB.AB〃DC,AB=DC

C.AB〃DC,AD/7BCD.AC=BDC

二、填空題

II.分解因式：X2-16X=.

2

12.若式子一有意義，則x的取值范圍是____.

x-4

13.若“若3,y）與N（x,y-1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則/的值為_(kāi)___.

14.如圖，在RsABC中，NC=90。，NB=30。，AD平分NBAC,BD=6,則CD的長(zhǎng)

為.

15.若一次函數(shù)y=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1,2）,則不等式T+"后2的解集為

16.如圖，在心“IBC中,ZC=90°,AC=BC,A3=8,點(diǎn)。為A8的中點(diǎn)，若直角EDF

繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，分別交AC于點(diǎn)E,交5c于點(diǎn)/，則下列說(shuō)法:

2

?AE=CF；

@EC+CF=>/2AD;

③DE=DF；

④若△￡：▼的面積為一個(gè)定值，則EF的長(zhǎng)也是一個(gè)定值.

其中正確的有.

三、解答題

17.分解因式

(1)/一4

（2）-2/+12/-18。

18.解分式方程:

⑴展+2二x

x-2

/C、8410

x+4x3x+12

5x-1<3(x+1)

19.解不等式組2x-l5v+l,并把它們的解集表示在數(shù)軸上.

32

八八人/IZrA-月—8x+16(c1211,

20.先化簡(jiǎn)，再求值：—;-+x-2---------------------,其中x=l.

x+2x\x+2Jx+4

21.如圖，在平行四邊形A8C。中，點(diǎn)石是邊的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)C石交0A的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)尸，連接AC,BF.

(1)求證：四邊形AF8C是平行四邊形

(2)當(dāng)乙4七C'的度數(shù)為度時(shí)，四邊形A&yC'是菱形;

3

(3)若NO=52。，則當(dāng)乙4EC的度數(shù)為度時(shí)，四邊形AF8c是矩形.

22.某商家預(yù)測(cè)?種應(yīng)季兒童運(yùn)動(dòng)鞋能暢銷(xiāo)市場(chǎng)，就用7920元購(gòu)進(jìn)了?批這種兒童運(yùn)動(dòng)鞋，

面世后果然供不應(yīng)求，商家又用17040元購(gòu)進(jìn)了第二批這種兒童運(yùn)動(dòng)鞋，所購(gòu)數(shù)量是第一批

購(gòu)進(jìn)數(shù)品的2倍，但單價(jià)貴了20元，求該商家第一批購(gòu)進(jìn)兒童運(yùn)動(dòng)鞋多少雙？

4

23.某企業(yè)選購(gòu)甲、乙兩種物品，已知乙種物品單價(jià)是甲種物品單價(jià)的,，購(gòu)買(mǎi)4500元甲

種物品的數(shù)量比購(gòu)買(mǎi)240€'元乙種物品的數(shù)量多5件.

(1)直接寫(xiě)出甲、乙兩種物品的單價(jià)

(2)如果該企業(yè)購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種物品共150件，總費(fèi)用不超過(guò)3.9萬(wàn)元，則購(gòu)買(mǎi)甲種物品

最多為多少件？

24.已知：如圖，△A8C是等邊三角形，點(diǎn)。是平面內(nèi)一點(diǎn)，連接BD,將線段繞點(diǎn)8順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AE,連接CE,A。，并延長(zhǎng)A。交CE于點(diǎn)尸，連接8尸，DE.

圖1

(1)當(dāng)點(diǎn)。在圖1所在的位置時(shí).

①求證：MDB^ACEB；

②求乙4“C的度數(shù);

③求證：DF+EF=BF；

(2)如圖2,當(dāng)“18。的邊長(zhǎng)為6,AO=3時(shí)，直接寫(xiě)出線段BE的最大值.

25.某市從今年1月起調(diào)整居民用水價(jià)格，每立方米消光上漲20%,小明家去年12月的水

費(fèi)是40元，而今年4月的水費(fèi)是60元，已知小明家今年4月的用水量比去年12月用水最

4

多4立方米，求該市今年居民用水的價(jià)格.

26.如圖，在菱形A8CO中，NZMB=60。，E是對(duì)角線8。上一點(diǎn)，尸是線段人A延長(zhǎng)線上

一點(diǎn)且BF=DE,連接AE.

（1）如圖，若E是線段8。的中點(diǎn)，連接后戶，其他條件不變，直接寫(xiě)出線段AE與七"的

數(shù)量關(guān)系；

（2）如圖，若石是線段8。上任意一點(diǎn)，連接防，其他條件不變，猜想線段4E與斯的

數(shù)量關(guān)系是什么？并訐明你的猜想：

（3）如圖，若E是線段。B延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其他條件不變，且/E48=30。，菱形A8CO的

周長(zhǎng)為4方，直接寫(xiě)出OF的長(zhǎng)度.

5

參考答案

1.C

【詳解】

解：A、是軸對(duì)稱(chēng)圖形；

B、有五個(gè)角，但有旋轉(zhuǎn)，所以既不是軸對(duì)稱(chēng)圖形也不是中心對(duì)稱(chēng)圖形；

C、即是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形；

D、是軸對(duì)稱(chēng)圖形.

故選C.

2.D

【詳解】

解：A、該變形是整式乘法，不是因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意：

B、該變形沒(méi)把?個(gè)多項(xiàng)式化成兒個(gè)整式的枳的形式，不是因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意;

C、該變形沒(méi)把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，不是因式分解，故本選項(xiàng)不符合題意;

。、符合因式分解的概念，故本選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

3.C

【詳解】

｛尤2-9=0

解得：x=-3.

故選：C.

4.B

【詳解】

已知三角形一邊長(zhǎng)為2,

(1)當(dāng)這?邊是等腰三角形的腰時(shí),它的腰長(zhǎng)就為2,則底邊是4

根據(jù)三角形三邊關(guān)系，這種情況不符合條件；

(2)當(dāng)這一邊是等腰三角形的底邊時(shí)

???周長(zhǎng)為8,底邊為2

二腰長(zhǎng)為:三=3(等腰三角形兩腰相等)

6

根據(jù)三角形三邊關(guān)系，這種情況符合條件；

綜上所述,這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)為3.

故答案選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的三邊關(guān)系與等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握三角形的三邊

關(guān)系與等腰三角形的性質(zhì).

5.A

【解析】

【分析】

利用多邊形的內(nèi)角和公式計(jì)算得結(jié)論.

【詳解】

解：(7-2)x180°

=900°.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了多邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是掌握多邊形的內(nèi)角和公式.

6.D

【解析】

【分析】

先由口ABCD中，AD=8,BE=3,求得CE的長(zhǎng)，然后由DE平分NADC,證得△CED是

等腰三角形，繼而求得CD的長(zhǎng)，則可求得答案.

【詳解】

二?在oABCD中，AD=8,

???BC=AD=8,AD〃BC,

/.CE=BC-BE=8-3=5,ZADE=ZCED,

VDE平分NADC,

AZADE=ZCDE,

.,.ZCDE=ZCED,

ACD=CE=5,

,□ABCD的周長(zhǎng)是：2(AD+CD)=2(8十5)=26.

7

故選：D.

【點(diǎn)睛】

此題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及等腰三角形的判定與性質(zhì).注意證得^CED是等腰三角

形是解此題的關(guān)鍵.

7.C

【解析】

【分析】

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和中位線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

VAD=AC,

???八46是等腰三角形，

VAE1CD.

：?CE=DE,

???E是CD的中點(diǎn)，

???F是BC的中點(diǎn)，

???EF是△BCD的中位線，

EF=-^D=-xl6=8,

22

故答案為：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的線段長(zhǎng)問(wèn)題，掌握等腰三角形的性質(zhì)和中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.A

【解析】

【分析】

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AC=4C,NBAC=N￡AC,得出AACC是等邊三角形，由等邊三角

形的性質(zhì)可得出答案.

【詳解】

解：?.?將RSABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到Rt△AB'C,

:.AC=AC,ZBAC=ZB,AC,

?"=90。，ZACT=30°,AC=10,

8

.-.Za4C=ZB,AC=60°.

.?.&4CC'是等邊三角形，

:.CC=AC=\O,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，等邊三角形的判定與性質(zhì).由旋轉(zhuǎn)

的性質(zhì)得出AACC是等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

9.D

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形的中位線定理得到EH〃FG,EF=FG,EF=；BD,要是四邊形為菱形，得出EF=EH,

即可得到答案.

【詳解】

解：???E,F,G,H分別是邊AD,AB,CB,DC的中點(diǎn)，

AEH=-AC,EH〃AC,FG=-AC,FG〃AC,EF=-BD,

222

AEH/7FG,EF=FG,

???四邊形EFGH是平行四邊形，

假設(shè)AC=BD,

VEH=-AC,EF=-BD,

22

則EF=EH,

???平行四邊形EFGH是菱形，

即只有具備AC=BD即可推出四邊形是菱形，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

9

題目主要考查中位線的性質(zhì)及菱形的判定和性質(zhì)，理解題意，熟練掌握運(yùn)用三角形中位線的

性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

10.D

【解析】

【詳解】

分析：本題根據(jù)平行四邊形的判定定理即可得出答案.

詳解：A根據(jù)兩組對(duì)角相等可以得出平行四邊形；B根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等可以得出平行

四邊形；C根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行可以得出平行四邊形；D無(wú)法判定，故選D.

點(diǎn)睛：本題主要考查的是平行四邊形的判定定理，屬于基礎(chǔ)題型.明確判定定理是解決這個(gè)

問(wèn)題的關(guān)鍵.

11.工(工一16)

【解析】

【分析】

直接提取公因式x，進(jìn)而分解因式得出答案.

【詳解】

解:原式=16).

故答案為：Mx-16).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了提取公因式法分解因式，解題的關(guān)鍵是王確找出公因式.

12.xw±2

【解析】

【分析】

根據(jù)分式有意義的條件可得12—4。0,再解即可.

【詳解】

解：由題意得：V—4工0,

解得：XH±2,

故答案為：x=±2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了分式有意義的條件的條件，解題的關(guān)鍵是掌握分式有意義的條件是分母不等

于零.

10

【解析】

【分析】

兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，據(jù)此可得3的值.

【詳解】

解：；M（-3,>>，）與N（x、y-\）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

：.x=3,y-l=-y,

解得匯=3,）'=g，

??.）產(chǎn)的值1

O

故答案為：;.

O

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握點(diǎn)P（x,y）關(guān)于原點(diǎn)。的

對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是尸（一乂-丁）.

14.3

【解析】

【分析】

根據(jù)直角三角形的兩銳角互余、角平分線的定義、等角對(duì)等邊、直角三角形中3（『角所對(duì)的

直角邊等于斜邊的一半進(jìn)行推導(dǎo)即可得解.

【詳解】

解：???在心△A8C中，ZC=90°,ZB=30°

???"AC=90。-4=60。

A。平分NBAC

ABAD=ACAD=-ABAC=30°

2

/.NBAD=NB

80=6

:.AD=BD=6

，在R/zMC。中，CO=1AD=3.

故答案是：3

11

【點(diǎn)睛】

本題考查了直角三角形的兩銳角互余、角平分線的定義、等角對(duì)等邊、直角三角形中3伊角

所對(duì)的直角邊等于斜邊的?半等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

15.x<-\

【解析】

【分析】

先把(-1,2)代入)』-X+，〃中求出機(jī),然后解不等式即可.

【詳解】

解：把(一1⑵代入y=-x-〃?得1+，〃=2,解得〃7=1,

所以一次函數(shù)解析式為)，=-X+l，

解不等式-X+L.2,

解得：工、-1.

故答案是：X,-1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是掌握從函數(shù)的角度看，就是尋求使一

次函數(shù))，=心+。的值大于(或小于)。的自變量上的取值范圍.

16.①?③④

【解析】

【分析】

①如果連接8,可證&4DE二ACOFGASA),得出AE=b；

②由①知，EC+CF=EC-^AE=AC,而AC為等腰直角AABC的直角邊，由于斜邊46=8,

由勾股定理可求出AC=BC=4近；

③由①知OE=QF：

④AEB的面積=恭3(?。如果這是一個(gè)定值，則是一個(gè)定值，又EC+B=4應(yīng)，

根據(jù)EF2=EC2+CF2=(EC+CF)2-2CECF,從而可唯一確定EF的長(zhǎng)也是一個(gè)定值.

【詳解】

解：①連接CD.

12

在中，ZACB=90°,AC=3C,點(diǎn)。為A4的中點(diǎn)，

J.CDLAB,CD=AD=DB,

在AADE與△(=)尸中，NA=NDC戶=45。，AD=CD,ZADE=/CDF,

AADE三△COF(ASA),

-AE=CF.說(shuō)法正確；

②在mAABC中，ZACT=90°,AC=BC,AB=St

:.AC=BC=4y/2.

由①知=

/.EC+CF=EC+AE=AC=4>/2.說(shuō)法正確：

③由①知AA。七*AC。/，

:,DE=DF.說(shuō)法正確；

④〈AEC尸的面積=^工。6b,如果這是一個(gè)定值，則CEC"是一個(gè)定值，

又???EC+CF=4五,

EF2=EC2+CF2=(EC+CT7)?—2CECF,

??.△Eb的面積為一個(gè)定值，則EF的長(zhǎng)也是一個(gè)定值，故說(shuō)法正確.

故答案為①②③④.

【點(diǎn)睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，解

題的關(guān)鍵是證明MDE=ACDF.

17.(1)(X+2XA2)；(2)-24(4-3)2

【解析】

【分析】

(1)直接用平方差公式分解；

(2)先提公因式，再用完全平方公式.

13

【詳解】

解：(1)X2-4,

=(x+2)(x-2)；

(2)-2?+]2/-184,

=-2a(a2-6?+9),

=-2a(a-3)2.

【點(diǎn)睛】

本題考杳了多項(xiàng)式的因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握整式的平方差公式和完全平方公式.

18.(1)x=-2；(2)x=24

【解析】

【分析】

(1)先去分母，然后去后號(hào)，再移項(xiàng)合并，系數(shù)化為1，即可得到答案；

(2)先去分母，然后去括號(hào)，再移項(xiàng)合并，系數(shù)化為1,即可得到答案.

【詳解】

6+2(x-2)=%,

6+2.x—4=x,

x=—2；

經(jīng)檢驗(yàn)，工=-2是原分式方程的解;

…8410

(2)-------=-+-----------,

x+4x3x+12

/.24x=12(x+4)+10x,

24x-12x-10x=48,

.?.2x=48,

Ax=24；

經(jīng)檢驗(yàn)，x=24是原分式方程的解.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程的方程和步驟.

19.-l<x<2,數(shù)軸見(jiàn)解析

14

【解析】

【分析】

分別求出兩個(gè)不等式的解集，然后求出兩個(gè)解集的公共部分即可得解.

【詳解】

5x-l<3(x+l)①

解：’23-15A+1G，

--?②

解不等式①得，x<2,

解不等式②得，

在數(shù)軸上表示如下：

~~6123^

所以不等式組的解集為：-Lx<2.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了一元一次不等式組解集的求法，解題的關(guān)鍵是掌握其簡(jiǎn)便求法就是用口訣求

解.求不等式組解集的口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到(無(wú)

解).

“44

20.——-------,—

x+4x5

【解析】

【分析】

直接將括號(hào)里面通分運(yùn)算，再利用分式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，把已知數(shù)據(jù)代入得出答窠.

【詳解】

(X-4尸/-4-121

M解：原式—

=(x-4)2X+2______1_

-x(x+2)(A+4)(A-4)-x+4'

=--x---4------1-

x(x+4)x+4'

x-4-x

"x(x+4)'

4

-x(x+4)'

當(dāng)X=1時(shí)，

15

44

原式=-]x("4)="，

【點(diǎn)睛】

本題主要考杳了分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握正確化簡(jiǎn)分式的能力.

21.(1)見(jiàn)解析：(2)90；(3)104

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意，可以先證明AAEb和全等，然后即可得到=然后對(duì)角線互

相平分的四邊形是平行四邊形可以證明結(jié)論成立；

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)，可以得到4EC的度數(shù)；

(3)根據(jù)矩形的性質(zhì)，可以得到乙4EC的度數(shù).

【詳解】

(1)證明：???四邊形ABCZ＞是平行四邊形，

..DA//CB,

/EAF=/EBC,

???點(diǎn)E是邊A8的中點(diǎn)，

AE=BE，

在和中，

ZEAF=/ECB

AE=BE,

ZAEF=ZBEC

MEF^ABEC(ASA),

:.EF=EC,

又AE=BE,

二.四邊形AFBC是平行四邊形；

(2)當(dāng)NAEC的度數(shù)為90。時(shí)，四邊形AF8C是菱形，

理由：???四邊形A尸8c是菱形，

/.AB±CF,

/.ZA￡C=90°,

故答案為：90；

(3)當(dāng)4EC的度數(shù)為104度時(shí)，四邊形是矩形,

16

理由：???四邊形A￡8C是矩形，

/.AB=CF,

EC=EB,

:"ECB=/EBC,

???四邊形A8CD是平行四邊形，ZD=52°,

:./D=/EBC=52。,

AECB=52°t

ZAEC=^ECB+4EBC=520+52°=104。，

故答案為：104.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，

解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思根解答.

22.30雙

【解析】

【分析】

設(shè)該商家第一批購(gòu)進(jìn)兒童運(yùn)動(dòng)鞋x雙，則第二批購(gòu)進(jìn)兒童運(yùn)動(dòng)鞋2K雙，根據(jù)單價(jià)=總價(jià)+數(shù)

量結(jié)合第二批購(gòu)進(jìn)的單價(jià)比第一批購(gòu)進(jìn)的單價(jià)貴了10元，即可得出關(guān)于x的分式方程，解

之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：設(shè)該商家第一批購(gòu)進(jìn)兒童.運(yùn)動(dòng)鞋x雙，則第二批購(gòu)進(jìn)兒童運(yùn)動(dòng)鞋2x雙，

解得：x=30,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=30是原方程的解，且符合題意.

答：該商家第一批購(gòu)進(jìn)兒童運(yùn)動(dòng)鞋30雙.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等審關(guān)系，正確列出分式方程.

23.(1)甲種物品單價(jià)為300元，乙種物品單價(jià)為240元；(2)50件

【解析】

【分析】

17

4

（1）設(shè)甲種物品的單價(jià)為x元，則乙種物品的單價(jià)為三萬(wàn)元，根據(jù)購(gòu)買(mǎi)9000元甲種物品的

數(shù)量比購(gòu)買(mǎi)4800元，乙種物品的數(shù)量多5件，列分式方程求解即可；

（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種物品，"件，則購(gòu)買(mǎi)乙種物品（150-〃?）件，根據(jù)總費(fèi)用不超過(guò)3.9萬(wàn)元列不

等式，求出〃［的范圍，從而確定加的最大值.

【詳解】

4

解：（1）設(shè)甲種物品的單價(jià)為X元，則乙種物品的單價(jià)為元，

45002400

根據(jù)題意，得丁一匚，

-X

5

解得，x=300,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=300是原分式方程的解，且符合題意，

乙種物品的單價(jià)為：2400x300=240（元），

答：甲種物品的單價(jià)為300元，乙種物品的單價(jià)為240元；

（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)甲種物品加件，則購(gòu)買(mǎi)乙種物品（150-〃?）件，

根據(jù)題意得，300，〃+240（1507嘰39000,

解得，山50,

為非負(fù)整數(shù)，

:?m的最大值為50,

答：購(gòu)買(mǎi)甲種物品最多為50件.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了分式方程和一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，列出方程

式解題的關(guān)鍵.

24.（1）①見(jiàn)解析；②60。；③見(jiàn)解析；（2）9

【解析】

【分析】

（1）①由“SAS”可證AAOB三△（7"；

②由全等三角形的性質(zhì)可得/BAD=ZBCE,由外角的性質(zhì)可求解：

③在尸C上截取心連接由“SAS”可"證三川⑦〃，可得BF=EH,即可求

解；

（2）由三角形的三邊關(guān)系可得A8+AO>8O,則當(dāng)點(diǎn)D在班的延長(zhǎng)線上時(shí)，有最大

18

值為四+4)=9,即可求解.

【詳解】

證明：(I)①???將線段47)繞點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段BE,

;.BD=BE,ZDBE=6O°,

???AA8C是等邊三角形，

:.AB=BC,ZABC=NDBE=OT,

ZABD=/CBE,

在AAD3和△CEB中，

AB=BC

ZABD=/CBE,

BD=BE

故DBMACEB(SAS)；

②YMDB"CER,

NBAD=NBCE,

-ZAFE=ZCAF+ZACF=ZCAF+ZACB+^BCF=ZCAF+ZBAF+60P,

NA在：=NfiAC+60°=120°,

ZAFC=60°；

③如圖I,在尸C上截取尸”=。/，連接。”，

圖1

vZAFC=6（r,DF=FH,

「.AD/H是等邊三角形，

:.DH=DF=FH,NFDH=60。,

???將線段?。├@點(diǎn)8順時(shí)車(chē)?旋轉(zhuǎn)60。得到線段BE,

;.BD=BE,NDBE=6O0,

.??A5Z把是等邊三角形，

19

:.BD=DE，&DE=B=/FDH,

:"DF=/EDH,

又；BD=DE,DH=DF,

:.\BDF^^EDH(SAS),

;.BF=EH,

:.BF=EF+DF.

(2)將線段BD繞點(diǎn)、B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段BE,

BD—EB,

在AABQ中，AB+AD>BD,

當(dāng)點(diǎn)。在朋的延長(zhǎng)線上時(shí)，BD有最大值為AB+AD=9,

」.BE的最大值為9.

【點(diǎn)睛】

本題是了幾何變換的綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的

判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加恰當(dāng)輔助線.

25.該市今年居民用水價(jià)格為3元/立方米.

【解析】

【詳解】

分析：首先設(shè)該市去年居民用水價(jià)格為義元/立方米，則今年居民用水價(jià)格為。十20%)支元/

立方米，根據(jù)用水量列出分式方程，從而得出答案.

詳解：解：設(shè)該市去年居民用水價(jià)格為4元/立方米，則今年居民用水價(jià)格為(1+20%)工元/

60404

--

立方米，依題意得：(I+20%)A-T'

解這個(gè)方程得：x=2.5,經(jīng)檢驗(yàn)：x=2.5是原方程的解，

???(l+20%)x=12x2.5=3,???該市今年居民用水價(jià)格為3元/立方米.

點(diǎn)睛：本題主要考查的是分式方程的應(yīng)用，屬于中等難度題型.根據(jù)題意列出等量關(guān)系是解

決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵.

26.(1)AE=EF；(2)AE=EF,證明見(jiàn)解析；(3)7

【解析】

【分析】

20

(1)由菱形的性質(zhì)和已知條件得出S3是等邊三角形，得出乙鉆。=60。，由等邊三角形

的性質(zhì)和已知條件得出4￡=A/，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)得出

ZBAE=/F,即可得出結(jié)論.

(2)過(guò)點(diǎn)E作EG//A8交4。于點(diǎn)G,先證明A7%8是等邊三角形，得出4)=陰)，

2408=60。，再證明ADGE是等邊三角形，得出DG=OF=G￡,ZZX7E=6O°,然后由SAS證

得即可得出結(jié)論.

(3)過(guò)點(diǎn)E作EG//AB交D4延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,證明同(2),得出A￡=EF,證明

ZDAE=ADAB+AEAB=9()°,ZAED=30°,則OE=24Z)=25，AE=^-AD=y/2\=EF,得出

ZEAB=ZEM=30°,=120。，則ZDE”=乙正2-ZA￡D=90。，由勾股定理即可得出結(jié)果.

【詳解】

解：(I)AE=EF；理由如下：

???四邊形A8C。是菱形，

：.AD=AB,

?.?N/^4A=60°,

.?.AZM8是等邊三角形，

:.ZABD=(^,

???￡是線段8。的中點(diǎn)，

:.^BAE=ZDAE=30°,BE=DE,

?：BF=DE,

；.BE=BF,

ZF=Z.BEF=-ZABD=30°,

2

.-.Za4E=ZF=3(F,

：