《保角變換法在求解電勢(shì)中的應(yīng)用研究》7500字（論文）

第1章緒論 1 1 11.3研究意義 3第2章保角變換法 52.1保角變換法定義 52.2常用的保角變換 52.2.1線性變換 52.2.2冪函數(shù)和根式 52.2.3指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù) 62.2.4分式線性變換 6 6 83.1金屬導(dǎo)體柱二面角 83.2兩平板電容器 3.3兩導(dǎo)體平面組成的直角角域 3.4帶電圓柱與接地導(dǎo)體 第4章研究總結(jié)與不足 4.1總結(jié) 4.2不足 11.1研究的緣起在大學(xué)期間我們學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)物理方法，在第十四章介紹了一個(gè)十分有用的數(shù)理方法一保角變換法。保變換可以用來(lái)解決流體力學(xué)2、彈性理論3,熱學(xué)?以及光學(xué)5-6等方面的許多問(wèn)題。保角變換法是處理二維邊值問(wèn)題的有效的方法，在涉及穩(wěn)定平面場(chǎng)中的部分題目使用分離變數(shù)法、積分變換法等直接解法過(guò)程過(guò)于復(fù)雜冗長(zhǎng)，此時(shí)可以利用其題目特點(diǎn)，若涉及穩(wěn)定平面場(chǎng)，則可以使用保角變換的方法，將那些邊界形狀復(fù)雜的場(chǎng)化為邊界形狀較為簡(jiǎn)單的標(biāo)量場(chǎng)，即將復(fù)雜邊界形狀通過(guò)一解析函數(shù)的變換到另一個(gè)復(fù)平面上，在這個(gè)復(fù)平面上是較為容易求得問(wèn)題的解，將解求出后，再借由逆變換回到原平面上的到原問(wèn)題的解。由于保角變換法的優(yōu)勢(shì)特點(diǎn)明顯，又是求解二維邊值問(wèn)題的有力方法，所以其在求解電勢(shì)問(wèn)題中也有其發(fā)揮的余地。部分求解電勢(shì)的題型中存在邊界條件復(fù)雜的狀況，此時(shí)就可利用保角變換法進(jìn)行求解。目前發(fā)表的此方面的研究Magnetism、梁錕淼先生《數(shù)學(xué)物理法》中對(duì)保角變換法的講解等?？稍诖嘶A(chǔ)上，整合各家之言，匯總保角變換法的應(yīng)用信息，凝練成一篇講解保角變換法及其在電勢(shì)求解問(wèn)題中的應(yīng)用的文章。1.2研究現(xiàn)狀保角變換作為一個(gè)功能強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具，多年來(lái)對(duì)它的研究不在少數(shù)，除了數(shù)學(xué)領(lǐng)域有其廣泛應(yīng)用外，物理學(xué)領(lǐng)域也對(duì)他研究甚廣。筆者將“保角變換”、“保角映射”、“共形映射”作為關(guān)鍵詞在中國(guó)知網(wǎng)上進(jìn)行檢索，找到了5265條結(jié)果。其中期刊，其中外文文獻(xiàn)共有4409篇相關(guān)文獻(xiàn)，利用中國(guó)知網(wǎng)可視化分析功能對(duì)其總體研究趨勢(shì)以及學(xué)科分布進(jìn)行了研究。(如圖1.1所示)2炭文西偏炭文西偏從圖1.1可知，對(duì)保角變換的研究數(shù)量從1983起逐年攀升，2005年至今雖有起伏但仍處于較高位置?！駭?shù)學(xué)●金屈學(xué)及金屬工藝●機(jī)械工業(yè)●天文學(xué)●化學(xué)從圖1.2看，除數(shù)學(xué)學(xué)科外，物理學(xué)科關(guān)于保角變換的研究數(shù)量最多，涉及文獻(xiàn)數(shù)量1460篇，占比20.51%?？梢?jiàn)保角變換在物理學(xué)中的應(yīng)用基礎(chǔ)較為廣泛，2018-2022年保角變換在物理學(xué)領(lǐng)域的研究數(shù)量也有130篇。中文文獻(xiàn)有1069條結(jié)果，優(yōu)秀博士論文41篇，優(yōu)秀碩士論文163篇，以及各類學(xué)術(shù)期刊855條結(jié)果，通過(guò)可視化分析對(duì)其研究趨勢(shì)及其學(xué)科分布。(如圖1.3,圖1.4所示)3●物理學(xué)●電力工業(yè)●無(wú)錢電電子學(xué)●公路與水路運(yùn)輸●自然地理學(xué)和測(cè)繪學(xué)●航空航天科學(xué)與工程●津筑科學(xué)與工程●水利水電工程●材料科學(xué)●機(jī)械工業(yè)●地球物理學(xué)從圖1.3可知，對(duì)保角變換的研究數(shù)量也是從1983起逐年攀升，2005年至今雖有起伏但仍處于較高位置，對(duì)它的研究也仍在繼續(xù)。從以上數(shù)據(jù)來(lái)看，保角變換法在物理學(xué)中的應(yīng)用也不在少數(shù)，對(duì)它的研究是很有意義的。至于保角變換在靜電場(chǎng)的應(yīng)用，已有許多優(yōu)秀的學(xué)者對(duì)其展開(kāi)研究，例如，文獻(xiàn)[7]主要介紹了基于曲線坐標(biāo)的保角變換法；文獻(xiàn)[8]利用保角變換中常用的對(duì)數(shù)變換和分式變換，分別計(jì)算了不同平行軸間距的柱形電容討論；文獻(xiàn)[9]介紹了使用保角變換法對(duì)無(wú)限大平面上圓柱凸起空間中的線電荷產(chǎn)生的電勢(shì)分布的求解，對(duì)比電像法，更為適用；文獻(xiàn)[10]將多極理論保角變換組合法用來(lái)計(jì)算未屏蔽平板線特性阻抗的問(wèn)題，并舉出了例子闡釋；文獻(xiàn)[11]介紹了在保角變換的基礎(chǔ)上，給出由C-R條件及靜電場(chǎng)的復(fù)勢(shì)求解二維復(fù)雜靜電場(chǎng)的電場(chǎng)線方程的方法；文獻(xiàn)[12]闡述了通過(guò)用保角變換求解無(wú)限長(zhǎng)圓柱的二維平面靜電場(chǎng)的邊值問(wèn)題，得出電場(chǎng)分布規(guī)律，對(duì)于本文的寫作提供了豐富的理論基礎(chǔ)；文獻(xiàn)[13]主要闡述了保角變換法在電磁場(chǎng)邊值問(wèn)題內(nèi)的應(yīng)用，部分例子涉及保角變換法對(duì)于電勢(shì)求解的應(yīng)用。綜合以上已獲得的文獻(xiàn)，已有的文獻(xiàn)對(duì)保角變換的應(yīng)用已有了很深入的研究，主要是針對(duì)某一具體問(wèn)題，使用多種方法對(duì)電勢(shì)或電場(chǎng)強(qiáng)度進(jìn)行求解，但未有對(duì)于保角變換法在求解電勢(shì)問(wèn)題的系統(tǒng)論述。本文以電勢(shì)求解的保角變換應(yīng)用問(wèn)題為研究，對(duì)文獻(xiàn)進(jìn)行分類和研究，歸納保角變換關(guān)于求解電勢(shì)問(wèn)題的具體應(yīng)用方法，為保角變換在電勢(shì)求解問(wèn)題中的應(yīng)用提供參考。1.3研究意義保角變換法作為一個(gè)用來(lái)解決復(fù)雜邊界形狀的二維平面標(biāo)量場(chǎng)問(wèn)題行之有效的數(shù)學(xué)工具，它解決了邊界形狀復(fù)雜難解的的這一棘手問(wèn)題，通過(guò)變換之后曲線交角不變這一特性，構(gòu)建一個(gè)新的平面，得到一個(gè)易于求解的邊界形狀更為簡(jiǎn)單的平面標(biāo)量場(chǎng)。在解決靜電場(chǎng)中求解電勢(shì)的問(wèn)題時(shí)，我們遇到各種各樣復(fù)雜棘手的問(wèn)題，4在解決諸多問(wèn)題的過(guò)程當(dāng)中不免會(huì)使用大量的時(shí)間，有沒(méi)有什么辦法能優(yōu)化我們的解法，使得解題的步驟能得到簡(jiǎn)化，化繁為簡(jiǎn)，此時(shí)保角變換法就提供了一條解題的思路，他在解決二維問(wèn)題中有著顯著的作用，相較于分離變數(shù)法或積分公式等等，操作起來(lái)要更為簡(jiǎn)便，且國(guó)內(nèi)外已有許多關(guān)于這方面的理論研5保角變換法簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)即為：以原平面為基礎(chǔ)，若將原平面用Z表示，該平面上每個(gè)點(diǎn)表示為(x,y),在原平面邊界復(fù)雜的難解的情況下，建立另一平面ζ,取z=w(ξ),使得原Z平面上的每一個(gè)點(diǎn)都有平面(的點(diǎn)(u,v)與其對(duì)應(yīng)，若在z平面上去一條曲線C,且令某一點(diǎn)在C曲線上移動(dòng)，相應(yīng)的在平面ζ上也會(huì)有一條曲線。如果w(S)是解析的并且它的導(dǎo)數(shù)不為零，那么在Z平面上的兩條夾角為θ的曲線，經(jīng)過(guò)上述的變換，在平面s上劃出的兩條曲線夾角不變?nèi)詾棣?(如圖2.1,圖2.2所示)。這種變換即z=w(S)為保角變換。形狀不變(此類一般不單獨(dú)使用)。此變換就是將在原點(diǎn)的交角放大為n倍。在原點(diǎn)以外任一有限遠(yuǎn)點(diǎn)，其交為式2.2的逆變換，可看成在原點(diǎn)的交角縮小倍。常用于使2π的角域變?yōu)樯习肫矫?第3章第1節(jié)有相應(yīng)例子)。6z平面上的平行于實(shí)軸的直線y=C變成了s平面上的過(guò)原點(diǎn)的射線，而平行于虛軸的直線x=C變成s平面上以原點(diǎn)為圓心，I3l=C為半徑的圓。常用分式變換不僅將圓保持為圓，而且對(duì)于圓的對(duì)稱點(diǎn)保持為對(duì)稱點(diǎn)(相對(duì)圓的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)相當(dāng)于電像法中的一對(duì)原、像電荷，平面視為圓的半徑r→0的此變換對(duì)多角形邊界求變換關(guān)系的一種方法，通過(guò)它可以推導(dǎo)得出將多邊形邊界變換成圓周或無(wú)限長(zhǎng)直線的變換式。(如圖2.3與圖2.4)7除此之外還有儒闊夫斯基變換，有助于求解橢圓或雙曲線邊值問(wèn)題，由于在求解時(shí)使用不多故不多贅述。8第3章求解復(fù)雜電勢(shì)中的應(yīng)用上一個(gè)章節(jié)，我們討論了并介紹了保角變換的理論及常用的幾種保角變換方法，并對(duì)各個(gè)常用保角變換法的使用范圍做出了一個(gè)介紹。下面，在本章節(jié)中，將通過(guò)無(wú)盡長(zhǎng)金屬導(dǎo)體柱二面角電勢(shì)求解、平板電容器之間電場(chǎng)的電勢(shì)穩(wěn)定分布、直角角域內(nèi)靜電場(chǎng)電勢(shì)分布以及帶電圓柱位于接地導(dǎo)軌附近的電勢(shì)求在一個(gè)無(wú)盡長(zhǎng)的金屬圓柱導(dǎo)體柱身上挖去一個(gè)扇形柱體，剩下一有一個(gè)二面角的長(zhǎng)金屬導(dǎo)體(如圖3.1),角的大小為30°,在二面角的二等分面上有一帶電細(xì)導(dǎo)線，平行于二面角的頂角線，相距為a,導(dǎo)線每單位長(zhǎng)度帶電量為Q。由對(duì)稱性可知，每一個(gè)垂直于柱軸的橫截面內(nèi)電場(chǎng)和電勢(shì)的分布相同，所以作垂直于柱軸的Z平面(如圖3.2)。(1)先做冪變換31=z?讓頂角放大六倍成π,導(dǎo)線則位于正虛軸處，此時(shí)平面(如圖3.3所示),在S?平面下半平面是導(dǎo)體，上半平面是空間。(2)步作分式線性變換9將31平面的實(shí)軸變成ζ平面的圓引=R,而31平面的點(diǎn)S?=ia?變成ζ平面的圓心。(如圖3.4所示)(3)確定α、β由S?=ia?變換成ζ=0,可得α=ia?,根據(jù)分式線性變換保對(duì)稱點(diǎn)的特性，31=ia?相對(duì)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)，即ξ?=-ia?應(yīng)該變成ζ=0相對(duì)于圓|3=R的對(duì)稱點(diǎn)，即ζ=0,此時(shí)可得β=-ia?。于是(4)計(jì)算半徑圓S|=R是由S?平面實(shí)軸η1=0變換而來(lái)，則將η1=0帶入ζ并計(jì)算其模于是，S?平面的實(shí)軸變換成了ζ平面的單位圓3=1。表示一個(gè)半徑等于1的空心圓柱，其軸線上有一均勻帶電的導(dǎo)線。柱內(nèi)電就此題而言，因?yàn)闊o(wú)盡長(zhǎng)圓柱平面靜電場(chǎng)沿柱身方向電場(chǎng)強(qiáng)度分布是均勻的，故可轉(zhuǎn)將其化為垂直于柱軸的二維平面場(chǎng)問(wèn)題2。解決此類問(wèn)題，一般步驟就是先通過(guò)解析函數(shù)的變換，將復(fù)雜的邊界形狀問(wèn)題變換為簡(jiǎn)單形狀且易于求解的邊值問(wèn)題，再通過(guò)逆變換求得原問(wèn)題的解。下面所舉的例子也均是運(yùn)用設(shè)兩平板電容器底部的電勢(shì)為uo板的兩側(cè)電勢(shì)保持為0°,求平板之間電(1)確定定解問(wèn)題本題從圖(a)可知該情況屬于多角形區(qū)域情況，可作施瓦茲-克里斯多菲保角變換：把帶形區(qū)域?qū)嵼S上方區(qū)域，且0<x<a的帶形區(qū)域，作為具有頂點(diǎn)A(即原點(diǎn))、C、B(即z=a)的三角形(如圖3.5所示),且C沿y軸方向趨于無(wú)限遠(yuǎn)處的極限情況，由于本題多角形為三角，故對(duì)于本例施瓦茲一克里式中，若指定三個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)：b?=-1對(duì)于點(diǎn)A=0,b?=1對(duì)應(yīng)于點(diǎn)B=a,b?±○對(duì)應(yīng)于C=○,偏轉(zhuǎn)角θ?=0/2,θ?=8/2,θ3=δ在此對(duì)應(yīng)關(guān)系下。兩個(gè)區(qū)域的繞向相同，根據(jù)式(3.11)和上述對(duì)應(yīng)關(guān)系，所求的變換式為利用對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)確定式(3.12)中常數(shù)zo和A?,即已知故解出zo=a,,代入式(3.12)可得即式(3.12)作變換后即把已給的區(qū)域變換成w平面上的上半平面14,其邊持電勢(shì)u=0,其解在w平面上為(5)通過(guò)兩平面之間的關(guān)系，求出原平面的電勢(shì)u利用(3.15)求得原平面的電勢(shì)應(yīng)為設(shè)由兩個(gè)平面組成的夾角為直角的角域，有一電荷線密度為λ的無(wú)限長(zhǎng)直線置于二面角導(dǎo)體角域內(nèi)，該無(wú)限長(zhǎng)直線的電荷線密度為λ,導(dǎo)體上的電位為零(如圖3.6所示)。求解該靜電場(chǎng)的電勢(shì)分布。上述問(wèn)題實(shí)際上是平面場(chǎng)問(wèn)題(如圖3.7所示)。創(chuàng)建Z平面坐標(biāo)系，λ位(2)作冪變換如圖3.7所示，將原角域作保角變換即通過(guò)冪變換就可把二面角導(dǎo)體角域變成W平面的上半平面，在此過(guò)程中無(wú)盡長(zhǎng)線電荷密度A不變，但它的位置變到(uo,vo)處(3)在W平面上求得電勢(shì)φ(u,v)因?yàn)?4)作逆變換求得原平面電勢(shì)由(3.21)可將W平面上半平面的電勢(shì)返回到Z平面，有對(duì)式(3.19)進(jìn)行整理，得到如此一來(lái)，便可很容易的直接得到最終想要的求解結(jié)果。保角變換法除了可以解像直角這類特殊角外的角域問(wèn)題，對(duì)于一般角度的角域問(wèn)題也可以解得16。分析使用保角變換法變數(shù)法對(duì)于帶電圓柱位于接地導(dǎo)體附近時(shí)的電勢(shì)的求解在這個(gè)題型中，雖然是三維空間，保角變換無(wú)法適用，但是由于垂直于圓柱橫截面電場(chǎng)分布相同，所以我們可以只取其中一個(gè)橫截面進(jìn)行討論。將圓柱的剖面設(shè)為圓C,平板的剖面為直線并設(shè)為實(shí)軸，從而建立Z平面。(如圖3.8所示)做變換，將圓C和實(shí)軸變?yōu)橥膱A，先找A和B兩點(diǎn)，它們既對(duì)于C是對(duì)稱點(diǎn)，也對(duì)于實(shí)軸是對(duì)稱點(diǎn)。設(shè)A和B在Z平面上的坐標(biāo)分別為y?i和-y?i(y?>0,y?>0),由對(duì)稱點(diǎn)的定義可得作分式線性變換式(2.6)變?yōu)榻?jīng)過(guò)這個(gè)變換，Z平面的A點(diǎn)與ζ平面點(diǎn)對(duì)應(yīng).圓C則變成s平面上的圓C?,由于A和B對(duì)于圓C是對(duì)稱點(diǎn)，故s平面上的原點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)對(duì)于圓C?也為對(duì)稱點(diǎn)。即圓C?是以ζ=0為圓心，半徑為R?的圓.同理可得實(shí)軸變?yōu)閟平面上的圓C?,并且圓C?也是以ζ=0為圓心半徑為R?的圓.圓C?和圓C?是同心圓。(如圖3.9所示)在Z平面的圓C上取一點(diǎn)z=(b-a)i,代入式(3.23)得同理，在Z平面的實(shí)軸上取一點(diǎn)z=0,代入式(3.21)得s平面的同心圓表示同軸空心圓柱體，求解區(qū)域即為C?、C?所圍區(qū)域接下來(lái)的求解步驟就可根據(jù)其對(duì)稱的性質(zhì)求解于是得k=0,帶入式(3.27)得將u(S)變回平面，可得其電勢(shì)分布為在使用保角變換求解時(shí)還需注意其前提條件，需得在平面場(chǎng)中。如若在三維空間內(nèi)，就尋找一個(gè)在空間某方向是均勻的垂直截面亦可。第4章研究總結(jié)與不足由上文的分析可知，保角變換法是一種具有長(zhǎng)久歷史積累沉淀，慢慢完善發(fā)展的數(shù)學(xué)方法，是將簡(jiǎn)化復(fù)雜平面場(chǎng)問(wèn)題變換為簡(jiǎn)單平面場(chǎng)的問(wèn)題的方法，它應(yīng)用范圍非常的廣泛，數(shù)學(xué)更不必說(shuō)，在其他的領(lǐng)域也有它的發(fā)展、貢獻(xiàn)，在物理學(xué)領(lǐng)域，保角變換對(duì)于求解復(fù)雜邊界問(wèn)題中有它的妙用。在部分求解電勢(shì)的題型內(nèi)，有一部分題型的解題過(guò)程中，有時(shí)會(huì)遇到邊界形狀比較復(fù)雜的平面標(biāo)量場(chǎng)，而使用保角變換法可簡(jiǎn)化，其基本思路就是利用解析函數(shù)所代表的幾何性質(zhì)，使得原邊值問(wèn)題中區(qū)域的邊界變得更為簡(jiǎn)單，然后再求出簡(jiǎn)單的邊本文通過(guò)文獻(xiàn)研究介紹了保角變換法的基本原理，及其在求解電勢(shì)上的應(yīng)用，通過(guò)第三章中列舉的保角變換法在求解電勢(shì)中的應(yīng)用的分析，可以總結(jié)出，保角變換法在電勢(shì)求解問(wèn)題中的優(yōu)勢(shì)所在，例如在求解角域內(nèi)電勢(shì)，可以通過(guò)冪式變換及分式變換來(lái)進(jìn)行求解，使得整個(gè)求解過(guò)程得以解得更容易。在求解帶電圓柱位于接地導(dǎo)體附近時(shí)的電勢(shì)時(shí)，可是用保角變換中的分式變換將接地由于筆者文字功底不足，使得本文的語(yǔ)言運(yùn)用上也有一定的表述缺陷，由于本文篇幅較小，未能過(guò)多的豐富完整的闡釋保角變換法的性質(zhì)，也未對(duì)常用的保角變換法提供相應(yīng)的應(yīng)用題型供大家參考。對(duì)于第三章的的保角變換在電勢(shì)求解當(dāng)中的應(yīng)用中，很遺憾，電勢(shì)求解的解析解法的研究甚多，且涉及到內(nèi)容廣泛，其中關(guān)于使用保角變換法來(lái)求解部分題目有其值得研究的地方，但由于自身學(xué)習(xí)的深度與維度不夠全面，能舉出的例子有限，分析的過(guò)程也不夠透參考文獻(xiàn)[1]梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法[M].北京：高等教育出版社，2010.[6]YaoHuang,YoumingZhang,JingjingZhang,DongjueLiu,QijieWang,BaileZhanAconformal