2025年高考數(shù)學第一輪復習考點鞏固考點鞏固卷20拋物線方程及其性質(zhì)(六大考點)(原卷版+解析)

考點鞏固卷20拋物線方程及其性質(zhì)(六大考點)考點01：拋物線的定義與方程1．設拋物線的焦點為F，直線l與C交于A，B兩點，，，則l的斜率是（

）A．±1 B． C． D．±22．設拋物線：的焦點為，過點的直線與拋物線相交于，兩點，，，則（

）A．1 B．2 C．4 D．223．若拋物線上一點到焦點的距離是該點到軸距離的2倍．則（

）A． B．1 C． D．24．已知拋物線的焦點為是拋物線上的一點，為坐標原點，，則（

）A．4 B．6 C．8 D．105．已知點為平面內(nèi)一動點，設甲：的運動軌跡為拋物線，乙：到平面內(nèi)一定點的距離與到平面內(nèi)一定直線的距離相等，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件6．已知點在焦點為的拋物線上，若，則（

）A．3 B．6 C．9 D．127．已知拋物線的焦點為F，過F且斜率為的直線與直線交于點A，點M在拋物線上，且滿足MA=MF，則（

）A．1 B． C．2 D．8．點F拋物線的焦點，A，B，C為拋物線上三點，若，則（

）A．2 B． C．3 D．9．已知拋物線上一點到準線的距離為，到直線的距離為，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．410．已知點為拋物線上一點，且點到拋物線的焦點的距離為3，則（

）A． B．1 C．2 D．4考點02：與拋物線有關距離的最值問題11．已知拋物線方程為:，焦點為.圓的方程為，設為拋物線上的點，為圓上的一點，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．912．已知過拋物線的焦點且傾斜角為的直線交于兩點，是的中點，點是上一點，若點的縱坐標為1，直線，則到的準線的距離與到的距離之和的最小值為（

）A． B． C． D．13．已知拋物線的焦點到準線的距離為2，圓，點，若點分別在上運動，則的最小值為（

）A． B． C． D．14．已知拋物線的焦點為，點，若點為拋物線上任意一點，當取最小值時，點的坐標為（

）A． B． C． D．15．已知點，點是拋物線上任一點，為拋物線的焦點，則的最小值為（

）A． B． C． D．16．在直角坐標系xOy中，已知點，，，動點P滿足線段PE的中點在曲線上，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．517．已知點分別是拋物線和直線上的動點，若拋物線的焦點為，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．418．設為拋物線C：上的動點，關于的對稱點為，記到直線、的距離分別、，則的最小值為（

）A． B． C． D．19．已知點，拋物線的焦點為為拋物線上一動點，當運動到時，，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．320．已知拋物線的焦點為，，點是拋物線上一動點，則的最小值是（

）A．3 B．5 C．7 D．8考點03：拋物線的焦點弦問題21．已知拋物線C：的焦點為F，在拋物線C上存在四個點P，M，Q，N，若弦與弦的交點恰好為F，且，則（

）A． B．1 C． D．222．設O為坐標原點，直線過拋物線（）的焦點，且與交于兩點，為的準線，則（

）A． B．C．的面積為 D．以為直徑的圓與l有兩個交點23．已知拋物線的焦點為，為坐標原點，傾斜角為的直線過點且與交于，兩點，若的面積為，則（

）A．B．C．以為直徑的圓與軸僅有1個交點D．或24．已知拋物線，過動點作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線相切于點，則面積的最小值是（

）A．6 B．9 C．12 D．1825．已知拋物線的焦點為，準線為，過且斜率為的直線與交于兩點，為的中點，且于點的垂直平分線交軸于點，四邊形的面積為，（

）A． B． C． D．26．已知拋物線的焦點為，準線與軸交于點，直線過其焦點且與交于兩點，若直線的斜率為，則（

）A． B． C． D．27．在平面直角坐標系中，已知過點的拋物線的焦點為，過點作兩條相互垂直的直線，，直線與相交于，兩點，直線與相交于，兩點，則的最小值為（

）A．32 B．20 C．16 D．1228．雙曲線和拋物線（）的公共焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點，若中點的橫坐標為6，則（

）A．16 B．12 C．10 D．829．設拋物線的焦點為，過焦點的直線與拋物線相交于，兩點，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．30．設拋物線的焦點為，過的直線與拋物線在第一象限交于點，與軸交于點，若，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．考點04：拋物線的簡單幾何性質(zhì)31．點在拋物線上，若點到點的距離為6，則點到軸的距離為（

）A．4 B．5 C．6 D．732．是拋物線的焦點，以為端點的射線與拋物線相交于，與拋物線的準線相交于，若，則A． B．32 C． D．33．已知雙曲線的右焦點是拋物線C2:y2=2px(p>0)的焦點，且它們的公共弦過點，則雙曲線的離心率為（

A． B． C． D．34．過拋物線C：的焦點F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A，B兩點，過線段AB的中點N且垂直于l的直線與C的準線交于點M，若，則l的斜率為（

）A．2 B． C．1 D．35．已知拋物線的焦點為，準線為，為上一點，，垂足為，與軸交點為，若，且的面積為，則的方程為（

）A． B． C． D．36．已知點是拋物線的焦點，過點作兩條互相垂直的直線分別與拋物線交于點和，且，則四邊形面積的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．3237．過拋物線的焦點作直線交拋物線于，兩點（點在第一象限）．若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．538．已知拋物線C：，圓C′：，若C與C′交于MN兩點，圓C′與x軸的負半軸交于點P．現(xiàn)有如下說法：①若△PMN為直角三角形，則圓C′的面積為；②；③直線PM與拋物線C相切．則上述說法正確的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．339．已知雙曲線的離心率為2，拋物線的焦點為，過過直線交拋物線于兩點，若與雙曲線的一條漸近線平行，則（

）A．16 B． C．8 D．40．已知點在拋物線的準線上，過的焦點且斜率為的直線與交于兩點.若，則（

）A．1 B． C． D．3考點05：拋物線的中點弦問題41．過拋物線焦點的直線交拋物線于兩點，已知，線段的垂直平分線交軸于點，則（

）A．2 B．4 C．6 D．842．已知拋物線C：的焦點為F，動直線l與拋物線C交于異于原點O的A，B兩點，以線段OA，OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，若點（），則當取最大值時，（

）A．2 B． C．3 D．43．已知拋物線，過點的直線與相交于A，B兩點，且為弦AB的中點，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．?244．已知直線交拋物線于兩點，且的中點為，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．45．已知直線恒過拋物線C：的焦點F，且與C交于點A，B，過線段AB的中點D作直線的垂線，垂足為E，記直線EA，EB，EF的斜率分別為，，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．46．若拋物線上兩點，關于直線對稱，且，則中點坐標為（

）A． B． C． D．47．已知拋物線C：，過點的直線l與拋物線C交于A，B兩點，若，則直線l的斜率是（

）A． B．4 C． D．48．已知拋物線的焦點為，過點的直線交于、兩點，線段的中點為，則直線的斜率的最大值為（

）A． B． C． D．49．如圖，已知拋物線E：的焦點為F，過F且斜率為1的直線交E于A，B兩點，線段AB的中點為M，其垂直平分線交x軸于點C，軸于點N.若四邊形的面積等于8，則E的方程為（

）A． B． C． D．50．若斜率為（）的直線l與拋物線和圓M：分別交于A，B和C，D．且，則當面積最大時k的值為（

）A． B． C． D．考點06：直線與拋物線的綜合問題51．拋物線的圖象經(jīng)過點，焦點為，過點且傾斜角為的直線與拋物線交于點，，如圖．

(1)求拋物線的標準方程；(2)當時，求弦AB的長；(3)已知點，直線，分別與拋物線交于點，．證明：直線過定點．52．設，為曲線上兩點，與的橫坐標之和為4.(1)若與的縱坐標之和為4，求直線的方程.(2)證明：線段的垂直平分線過定點.53．已知拋物線C：（）的焦點為F，過點且斜率為1的直線經(jīng)過點F．(1)求拋物線C的方程；(2)若A，B是拋物線C上兩個動點，在x軸上是否存在定點M（異于坐標原點O），使得當直線AB經(jīng)過點M時，滿足？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．54．已知拋物線的焦點為F，過F且斜率為2的直線與E交于A，B兩點，.(1)求E的方程；(2)直線，過l上一點P作E的兩條切線，切點分別為M，N.求證：直線過定點，并求出該定點坐標.55．已知動圓過點0,1，且與直線相切于點，設動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過點作曲線的兩條切線分別與曲線相切于點，與軸分別交于兩點.記，，的面積分別為、、．（i）證明：四邊形為平行四邊形；（ii）證明：成等比數(shù)列.56．在平面直角坐標系中，頂點在原點的拋物線經(jīng)過點.(1)求拋物線的方程；(2)若拋物線不經(jīng)過第二象限，且經(jīng)過點的直線交拋物線于，，兩點（），過作軸的垂線交線段于點.①當經(jīng)過拋物線的焦點時，求直線的方程；②求點A到直線的距離的最大值.57．如圖所示，拋物線的準線過點，(1)求拋物線的標準方程;(2)若角為銳角，以角為傾斜角的直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線交于A、B兩點，作線段的垂直平分線交軸于點，證明:為定值，并求此定值.58．已知拋物線E的準線方程為：，過焦點F的直線與拋物線E交于A、B兩點，分別過A、B兩點作拋物線E的切線，兩條切線分別與y軸交于C、D兩點，直線CF與拋物線E交于M、N兩點，直線DF與拋物線E交于P、Q兩點.(1)求拋物線E的標準方程；(2)證明：為定值.59．已知平面內(nèi)一動圓過點，且在軸上截得弦長為2，動圓圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)設點是圓上的動點，曲線上有四個點，其中是的中點，是的中點，記的中點為.①求直線的斜率：②求面積的最大值.60．已知拋物線，其焦點為，點在拋物線C上，且．(1)求拋物線的方程；(2)為坐標原點，為拋物線上不同的兩點，且，（i）求證直線過定點；（ii）求與面積之和的最小值考點鞏固卷20拋物線方程及其性質(zhì)(六大考點)考點01：拋物線的定義與方程結(jié)論1：，結(jié)論2：1．設拋物線的焦點為F，直線l與C交于A，B兩點，，，則l的斜率是（

）A．±1 B． C． D．±2【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的定義得到如圖的拋物線，得到，可求得，做在直角三角形中，可求得，結(jié)合斜率的定義進行求解即可【詳解】下圖所示為l的斜率大于0的情況．如圖，設點A，B在C的準線上的射影分別為，，，垂足為H．設，，則．而，所以，l的斜率為．同理，l的斜率小于0時，其斜率為．另一種可能的情形是l經(jīng)過坐標原點O，可知一交點為，則，可求得，可求得l斜率為，同理，l的斜率小于0時，其斜率為．故選：D2．設拋物線：的焦點為，過點的直線與拋物線相交于，兩點，，，則（

）A．1 B．2 C．4 D．22【答案】B【分析】設直線的方程為，Ax1,y1，B【詳解】設拋物線：的焦點為，過點的直線與拋物線相交于，兩點，設直線的方程為，Ax1,y1聯(lián)立，可得，所以，，則．因為，，所以，，則，解得或．因為，所以．故選：B3．若拋物線上一點到焦點的距離是該點到軸距離的2倍．則（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的方程，結(jié)合拋物線的標準方程，得到拋物線的焦點和準線，利用拋物線的定義，得到拋物線上的點到焦點的距離，根據(jù)題意得到關于的方程，求解即可．【詳解】已知拋物線的方程為，可得．所以焦點為，準線為：．拋物線上一點Ax0,即，又∵A到x軸的距離為，由已知得，解得．故選：D．4．已知拋物線的焦點為是拋物線上的一點，為坐標原點，，則（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】求出拋物線焦點和準線方程，設，結(jié)合與拋物線方程，得到，由焦半徑公式得到答案.【詳解】拋物線的焦點為，準線方程為，設，則，解得或（舍去），則．故選：B．5．已知點為平面內(nèi)一動點，設甲：的運動軌跡為拋物線，乙：到平面內(nèi)一定點的距離與到平面內(nèi)一定直線的距離相等，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合充分條件、必要條件的定義，即可求解．【詳解】解：當直線經(jīng)過定點時，點的軌跡是過定點且垂直于該直線的另一條直線，當直線不經(jīng)過該定點時，點的軌跡為拋物線，故甲是乙的充分條件但不是必要條件．故選：A．6．已知點在焦點為的拋物線上，若，則（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】A【分析】由拋物線的定義列方程可得.【詳解】拋物線，準線，,由拋物線的定義可知，解得.故選：A.7．已知拋物線的焦點為F，過F且斜率為的直線與直線交于點A，點M在拋物線上，且滿足MA=MF，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】由題意先求出過F且斜率為的直線方程，進而可求出點，接著結(jié)合點M在拋物線上且MA=MF可求出，從而根據(jù)焦半徑公式MF=x【詳解】由題意可得F1,0，故過F且斜率為的直線方程為y=?x?1令x=?1?y=2，則由題A?1,2因為MA=MF，所以垂直于直線，故yM又M在拋物線上，所以由22所以MF=故選：C.8．點F拋物線的焦點，A，B，C為拋物線上三點，若，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】C【分析】設，根據(jù)拋物線方程求出焦點坐標和準線方程，再由可得為的重心，從而可求出，再根據(jù)拋物線的定義可求得結(jié)果.【詳解】設，由，得，所以，準線方程為，因為，所以為的重心，所以，所以，所以，故選：C9．已知拋物線上一點到準線的距離為，到直線的距離為，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】點到直線的距離為，到準線的距離為，利用拋物線的定義得，當，和共線時，點到直線和準線的距離之和的最小，由點到直線的距離公式求得答案.【詳解】由拋物線知，焦點，準線方程為，根據(jù)題意作圖如下；

點到直線的距離為，到準線的距離為，由拋物線的定義知：，所以點到直線和準線的距離之和為，且點到直線的距離為，所以的最小值為.故選：D10．已知點為拋物線上一點，且點到拋物線的焦點的距離為3，則（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】由題意,根據(jù)拋物線的性質(zhì),拋物線,則拋物線焦點為，若為拋物線上一點,有,可得,解得.【詳解】因為拋物線為,則其焦點在軸正半軸上,焦點坐標為,由于點為拋物線為上一點,且點到拋物線的焦點F的距離為3,所以點A到拋物線的焦點F的距離為解得,故選：C.考點02：與拋物線有關距離的最值問題結(jié)論：拋物線最值問題關鍵①內(nèi)連準線，外連焦點②三點共線Ⅰ當為拋物線內(nèi)任意一點，為準線上一點，當三點共線時，則的最小，（內(nèi)部連準線）Ⅱ當為拋物線外任意一點，為準線上一點，當三點共線時，則的最小，即最小，（外部連焦點）11．已知拋物線方程為:，焦點為.圓的方程為，設為拋物線上的點，為圓上的一點，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根據(jù)拋物線定義將點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為點到直線的距離，即，從而得到，三點共線時和最??；再由在圓上，得到最小值.【詳解】

由拋物線方程為，得到焦點，準線方程為，過點做準線的垂線，垂足為，因為點在拋物線上，所以，所以，當點固定不動時，三點共線，即垂直于準線時和最小，又因為在圓上運動，由圓的方程為得圓心，半徑，所以，故選：C.12．已知過拋物線的焦點且傾斜角為的直線交于兩點，是的中點，點是上一點，若點的縱坐標為1，直線，則到的準線的距離與到的距離之和的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先聯(lián)立與拋物線方程，結(jié)合已知、韋達定理求得，進一步通過拋物線定義、三角形三邊關系即可求解，注意檢驗等號成立的條件.【詳解】由題得的焦點為，設傾斜角為的直線的方程為，與的方程聯(lián)立得，設Ax1,y1,Bx

由拋物線定義可知點到準線的距離等于點到焦點的距離，聯(lián)立拋物線與直線，化簡得，由得與相離.分別是過點向準線、直線以及過點向直線引垂線的垂足，連接，所以點到的準線的距離與點到直線的距離之和,等號成立當且僅當點為線段與拋物線的交點，所以到的準線的距離與到的距離之和的最小值為點到直線0的距離，即.故選：D.13．已知拋物線的焦點到準線的距離為2，圓，點，若點分別在上運動，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)可得，則，設，得，，進而，結(jié)合換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為焦點到準線的距離為2，所以，所以拋物線，所以圓的圓心恰好在焦點處，所以，設，則，所以，令，則，所以，當，即時，取得最小值，最小值為.故選：D.

14．已知拋物線的焦點為，點，若點為拋物線上任意一點，當取最小值時，點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設點在準線上的射影為，則根據(jù)拋物線的定義把問題轉(zhuǎn)化為求取得最小值，數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】拋物線的焦點為，準線為，設點在準線上的射影為，如圖，

則根據(jù)拋物線的定義可知，求的最小值，即求的最小值，顯然當，，三點共線時取得最小值，此時點的橫坐標為，則，解得，即.故選：D.15．已知點，點是拋物線上任一點，為拋物線的焦點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設，由拋物線焦半徑公式及兩點間距離公式，轉(zhuǎn)化為關于的函數(shù)關系，利用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值即可.【詳解】由題意得，拋物線的準線方程為，設，則，，故．令，則，由，得，所以，令，則，所以，故當，即時，取得最小值．故選：A．16．在直角坐標系xOy中，已知點，，，動點P滿足線段PE的中點在曲線上，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】設Px,y，由題意求出P的軌跡方程，繼而結(jié)合拋物線定義將的最小值轉(zhuǎn)化為M到直線l的距離，即可求得答案.【詳解】設Px,y，則PE的中點坐標為，代入，可得，故動點P的軌跡是以F為焦點，直線l：為準線的拋物線，由于，故在拋物線內(nèi)部，過點P作，垂足為Q，則，（拋物線的定義），故當且僅當M，P，Q三點共線時，最小，即最小，最小值為點M到直線l的距離，所以，故選：B．17．已知點分別是拋物線和直線上的動點，若拋物線的焦點為，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．4【答案】C【分析】按點在直線上及右側(cè)、左側(cè)分類，借助對稱的思想及兩點間線段最短列式求出并判斷得解.【詳解】設的坐標為，則，拋物線的焦點，準線方程為，當點在直線上及右側(cè)，即時，，當且僅當是與直線的交點時取等號，此時，當且僅時取等號，當點在直線左側(cè)，即時，點關于的對稱點是，則，，當且僅當是與直線的交點，且時取等號，而，所以的最小值為.故選：C18．設為拋物線C：上的動點，關于的對稱點為，記到直線、的距離分別、，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得到，再利用拋物線的定義結(jié)合三角不等式求解.【詳解】拋物線C：的焦點為F1,0，準線方程為，如圖，因為，且關于的對稱點為，所以，所以.當在線段與拋物線的交點時，取得最小值，且最小值為.故選：D19．已知點，拋物線的焦點為為拋物線上一動點，當運動到時，，則的最小值為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【分析】利用拋物線的定義結(jié)合三點共線即可解決.【詳解】由拋物線的定義可知，，所以，所以拋物線的方程為，過點作垂直拋物線的準線，垂足為，則，當且僅當和三點共線時等號成立.故選：A.

20．已知拋物線的焦點為，，點是拋物線上一動點，則的最小值是（

）A．3 B．5 C．7 D．8【答案】A【分析】根據(jù)拋物線焦半徑公式得到，數(shù)形結(jié)合得到最小值.【詳解】由題意得，由拋物線焦半徑公式可知，，故，顯然連接，與拋物線交點為，此時取得最小值，即當三點共線時，最小，最小值為，故的最小值為3.故選：A考點03：拋物線的焦點弦問題結(jié)論1： 如圖所示：證明：根據(jù)定義，根據(jù)定義,結(jié)論2：證明：根據(jù)焦比公式得，其中，結(jié)論3：證明：設到的距離為，則，則結(jié)論4：若交準線于點,則如圖所示：證明：,，則,，則結(jié)論5：設,則，證明：，21．已知拋物線C：的焦點為F，在拋物線C上存在四個點P，M，Q，N，若弦與弦的交點恰好為F，且，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】由拋物線的方程可得焦點F的坐標，應用拋物線焦點弦性質(zhì)，，，，結(jié)合三角的恒等變換的化簡可得，即可求解.【詳解】由拋物線得，則，，不妨設PQ的傾斜角為，則由，得，，所以，，得，，所以.故選：B.22．設O為坐標原點，直線過拋物線（）的焦點，且與交于兩點，為的準線，則（

）A． B．C．的面積為 D．以為直徑的圓與l有兩個交點【答案】C【分析】對于A，求出直線與軸的交點，可得拋物線的焦點，從而可求出，對于B，將直線方程代入拋物線方程化簡，利用根與系數(shù)的關系，結(jié)合弦長公式可求得MN，對于C，先求出點到直線的距離，然后結(jié)合MN可求出的面積，對于D，設線段的中點為，求出點到直線的距離進行判斷.【詳解】對于A，當時，，所以拋物線的焦點為，所以，得，所以A錯誤，對于B，由選項A可知，設，由，得，所以，所以，所以B錯誤，對于C，點到直線的距離為，由選項B可知，所以的面積為，所以C正確，對于D，拋物線的準線為，設線段的中點為，則，則點到準線的距離為，所以以為直徑的圓與準線相切，所以以為直徑的圓與準線只有一個交點，所以D錯誤，故選：C23．已知拋物線的焦點為，為坐標原點，傾斜角為的直線過點且與交于，兩點，若的面積為，則（

）A．B．C．以為直徑的圓與軸僅有1個交點D．或【答案】C【分析】設直線，Mx1,y1，Nx2,y2，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，由求出，即可判斷，再由弦長公式求出MN即可判斷，利用拋物線的幾何意義判斷，求出，，由即可判斷.【詳解】依題意，設直線，Mx1,y1由，整理得，則，所以，，所以，解得，所以，又，解得，所以，又，所以，故錯誤；因為，故錯誤；因為，又線段的中點到軸的距離為，所以以為直徑的圓與軸相切，即僅有個交點，故正確；因為，若，則，解得或；若，則，解得或；即、或、，所以或，故錯誤.故選：.24．已知拋物線，過動點作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線相切于點，則面積的最小值是（

）A．6 B．9 C．12 D．18【答案】B【分析】設直線與拋物線聯(lián)立方程，建立等式化簡計算可得，，同理可得，，有，設直線與拋物線聯(lián)立方程，建立等式計算可得，而Px0,y0在直線,上，建立等式計算可得，根據(jù)三角形面積公式計算即可.【詳解】設，因為點作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線相切于點，所以直線,斜率均存在，故設直線，則，所以，因為，代入化簡得，得，所以直線，整理得，設直線，同理可得，所以，即，設直線，，所以，，得，因為拋物線的焦點為，所以設直線恒過拋物線焦點，而Px0,y0所以，即是方程是方程的兩實數(shù)根，所以，解得，即所以，設到直線的距離為，則，所以，當時，面積的最小為.故選：B25．已知拋物線的焦點為，準線為，過且斜率為的直線與交于兩點，為的中點，且于點的垂直平分線交軸于點，四邊形的面積為，（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】寫出直線的方程，與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理求出點坐標，然后通過計算得到四邊形為平行四邊形，進而根據(jù)面積公式計算即可.【詳解】由題意可知，，直線的方程為．設，由．得．所以，所以．由，得．如圖所示，作軸于點，則．因為，故，，又，故．又，得四邊形為平行四邊形．所以其面積為，解得．故答案為：．26．已知拋物線的焦點為，準線與軸交于點，直線過其焦點且與交于兩點，若直線的斜率為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用斜率已知，即角的正切值已知，結(jié)合拋物線的幾何性質(zhì)，來解直角三角形求一條焦半徑，再利用拋物線的兩焦半徑的倒數(shù)和為定值，從而去求另一條焦半徑，最后求得弦長.【詳解】

如圖作垂直于準線，垂足為，可知設，直線的斜率為得，，則，由勾股定理得：，即，化簡得：，解得，再設過焦點的直線為y=kx?1與拋物線聯(lián)立消元得：，設交點Ax1則，而，當時，解得，此時，當時，解得，此時，故選：D.27．在平面直角坐標系中，已知過點的拋物線的焦點為，過點作兩條相互垂直的直線，，直線與相交于，兩點，直線與相交于，兩點，則的最小值為（

）A．32 B．20 C．16 D．12【答案】A【分析】由點在拋物線上求出的值，即可求出拋物線方程，設直線方程為，則方程為，，，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，表示出MN、PQ，再由基本不等式計算可得.【詳解】因為點在拋物線上，所以，解得或（舍去），所以拋物線，則，依題意直線的斜率存在且不為，設直線方程為，則方程為，Mx1,y1，Nx2,y2聯(lián)立直線方程與拋物線方程得，則，，，同理，，所以，，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為；故選：A28．雙曲線和拋物線（）的公共焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點，若中點的橫坐標為6，則（

）A．16 B．12 C．10 D．8【答案】A【分析】求出雙曲線的焦點坐標，進而求出值，再結(jié)合中點坐標公式和拋物線的焦點弦公式計算可得.【詳解】由題意可得雙曲線的交點為，所以，即，設的橫坐標分別為，中點的橫坐標為6，即由拋物線的焦點弦公式可得，故選：A.29．設拋物線的焦點為，過焦點的直線與拋物線相交于，兩點，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】聯(lián)立方程得韋達定理，即可根據(jù)焦點弦公式求解.【詳解】由得，，由題意可知直線的斜率存在，故設其方程為，聯(lián)立與可得，設Ax1,y1因此，當且僅當時取等號，故選：C30．設拋物線的焦點為，過的直線與拋物線在第一象限交于點，與軸交于點，若，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可求得的坐標為，進而可求的的斜率.【詳解】為的中點，過點作垂直于軸于點為的中位線，則的坐標為，而，則直線的斜率為.故選：C．考點04：拋物線的簡單幾何性質(zhì)拋物線標準方程的幾何性質(zhì)范圍：，，拋物線（）在y軸的右側(cè)，開口向右，這條拋物線上的任意一點M的坐標的橫坐標滿足不等式；當x的值增大時，也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸．拋物線是無界曲線．對稱性：關于x軸對稱拋物線（）關于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸．拋物線只有一條對稱軸．頂點：坐標原點拋物線（）和它的軸的交點叫做拋物線的頂點．拋物線的頂點坐標是．離心率：．拋物線（）上的點M到焦點的距離和它到準線的距離的比，叫做拋物線的離心率．用e表示，．拋物線的通徑通過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的直線被拋物線所截得的線段叫做拋物線的通徑．因為通過拋物線（）的焦點而垂直于x軸的直線與拋物線兩交點的坐標分別為，，所以拋物線的通徑長為．這就是拋物線標準方程中的一種幾何意義．另一方面，由通徑的定義我們還可以看出，刻畫了拋物線開口的大小，值越大，開口越寬；值越小，開口越窄．31．點在拋物線上，若點到點的距離為6，則點到軸的距離為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】由拋物線的定義知，點到焦點的距離等于點到準線的距離，結(jié)合點和準線的位置，求點到軸的距離.【詳解】拋物線開口向右，準線方程為，點到焦點的距離為6，則點到準線的距離為6，點在y軸右邊，所以點到y(tǒng)軸的距離為4．故選：A．32．是拋物線的焦點，以為端點的射線與拋物線相交于，與拋物線的準線相交于，若，則A． B．32 C． D．【答案】D【詳解】由題意，設的橫坐標為，則由拋物線的定義，可得．則．所以．所以．故本題答案選．33．已知雙曲線的右焦點是拋物線C2:y2=2px(p>0)的焦點，且它們的公共弦過點，則雙曲線的離心率為（

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意結(jié)合雙曲線以及拋物線的對稱性可推出它們的公共弦垂直于x軸，由此分別利用拋物線和雙曲線方程求得公共弦長，可得的關系式，即可求得答案.【詳解】拋物線C2:y由題意知雙曲線的右焦點是拋物線C2:y可得，設它們的公共弦為,由題意知過點，根據(jù)雙曲線以及拋物線的對稱性可知軸，將代入C2:y2=2px(p>0)中，得將代入中，可得，則，所以，即，（舍去），故選：B34．過拋物線C：的焦點F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A，B兩點，過線段AB的中點N且垂直于l的直線與C的準線交于點M，若，則l的斜率為（

）A．2 B． C．1 D．【答案】D【分析】設拋物線的準線為m，分別過點A，N，B作垂足分別為，計算得到，得到，得到直線MN的傾斜角是150°，從而得到直線l的傾斜角是60°，即可求得直線l的斜率.【詳解】設拋物線的準線為m，分別過點A，N，B作垂足分別為，因為直線l過拋物線的焦點，所以，又N是線段AB的中點，|MN|＝|AB|，所以，所以，則直線MN的傾斜角是150°.又MN⊥l，所以直線l的傾斜角是60°，斜率是.故選：D35．已知拋物線的焦點為，準線為，為上一點，，垂足為，與軸交點為，若，且的面積為，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)拋物線定義，結(jié)合圖形特征，用p表示三角形面積列式可求拋物線方程.【詳解】由拋物線定義知，所以為等邊三角形，為的中點，所以，，的面積，所以的方程為.故選：A.36．已知點是拋物線的焦點，過點作兩條互相垂直的直線分別與拋物線交于點和，且，則四邊形面積的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【分析】首先根據(jù)焦半徑公式表示條件，再利用直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理表示條件，可求得，再利用弦長公式表示四邊形的面積，利用基本不等式求最值.【詳解】設，，，，，，，，所以，即，①設直線:，聯(lián)立拋物線方程，得，得，，②，將②代入①得，所以，因為直線與垂足，則，則四邊形面積，當時，等號成立，所以四邊形面積的最小值是8.故選：B37．過拋物線的焦點作直線交拋物線于，兩點（點在第一象限）．若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根據(jù)已知條件作出圖形，利用拋物線的定義及相似三角形的性質(zhì)即可求解.【詳解】設拋物線的準線為，過點作于點,過點作于點,過點作于點,交軸于點，如圖所示，由，得，解得，所以，.設，因為，所以,又,故，解得，所以.故選：A.38．已知拋物線C：，圓C′：，若C與C′交于MN兩點，圓C′與x軸的負半軸交于點P．現(xiàn)有如下說法：①若△PMN為直角三角形，則圓C′的面積為；②；③直線PM與拋物線C相切．則上述說法正確的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】對①，根據(jù)拋物線的對稱性可得直線過焦點且與軸垂直，進而求得面積；對②，根據(jù)圓C′與x軸的負半軸交于點P判斷即可；對③，設，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)判別式判斷即可.【詳解】①拋物線C的焦點為，由對稱性可知，，于是直線過焦點且與軸垂直，故，圓的面積為，故①正確；②因圓C′與x軸的負半軸交于點P，故，故②正確；③設，由拋物線定義可知，，所以，直線的方程為，與拋物線聯(lián)立可得，又，化簡可得，故，所以直線與拋物線相切，故③正確.故選：D39．已知雙曲線的離心率為2，拋物線的焦點為，過過直線交拋物線于兩點，若與雙曲線的一條漸近線平行，則（

）A．16 B． C．8 D．【答案】D【分析】現(xiàn)根據(jù)雙曲線的離心率，求出漸近線的斜率，繼而根據(jù)點斜式求得直線AB的方程，聯(lián)立直線和拋物線方程，結(jié)合韋達定理和焦點弦公式，即可求解.【詳解】解：由題意得，故雙曲線的漸近線方程為，又與雙曲線的一條漸近線平行，不妨設直線的斜率為，又，故的直線方程為：，聯(lián)立直線方程和拋物線方程得：，所以，所以.故選：D.40．已知點在拋物線的準線上，過的焦點且斜率為的直線與交于兩點.若，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】D【分析】根據(jù)條件求出拋物線方程，由已知可設直線的方程為，，聯(lián)立直線與拋物線方程組可得根與系數(shù)的關系式，求得的表達式，由，得，將根與系數(shù)的關系式代入化簡，即可求得答案.【詳解】由點在拋物線的準線上，可得，故，焦點為，則設直線的方程為，聯(lián)立，可得，，設，則，則，又，故,，由，得，整理可得，即，即，故，故選∶D．考點05：拋物線的中點弦問題設為拋物線的弦，，，弦AB的中點為．（1）弦長公式：（為直線的斜率，且）．（2），（3）直線的方程為．41．過拋物線焦點的直線交拋物線于兩點，已知，線段的垂直平分線交軸于點，則（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】設直線的方程為，利用設而不求法求弦長AB的表達式，再求線段的垂直平分線，由條件列方程求可得結(jié)論.【詳解】拋物線的焦點的坐標為，由題意可知：直線的斜率不為，但可以不存在，且直線與拋物線必相交，可設直線的方程為，Ax1,聯(lián)立方程，消去x可得，則，可得，即，設的中點為Px0,y0，則可知線段的垂直平分線方程為，因為在線段的垂直平分線上，則，可得，聯(lián)立方程，解得，故選：B.42．已知拋物線C：的焦點為F，動直線l與拋物線C交于異于原點O的A，B兩點，以線段OA，OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，若點（），則當取最大值時，（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由拋物線的方程可得焦點坐標以及準線方程，然后分別過A、B、M向準線作垂線，取最大值即直線AB過焦點F1,0時，再結(jié)合點差法代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題可知焦點F1,0，準線，設線段AB的中點為，即為OP中點，則，．分別過A、B、M向準線作垂線，垂足分別為，，，如圖所示．則，當直線AB過焦點F1,0時取等號，此時．設、，直線AB的斜率為k，由，兩式相減，得，所以，即，得，所以，又，所以．故選：B．43．已知拋物線，過點的直線與相交于A，B兩點，且為弦AB的中點，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．?2【答案】D【分析】直線與相交于A，B兩點，且點為弦AB的中點，利用點差法求解.【詳解】解：設，因為直線與相交于A，B兩點，所以，由題意得，故選：D44．已知直線交拋物線于兩點，且的中點為，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，設，結(jié)合“點差法”，即可直線的斜率，得到答案.【詳解】設，代入拋物線，可得，兩式相減得，所以直線的斜率為，又因為的中點為，可得，所以，即直線的斜率為.故選：C.45．已知直線恒過拋物線C：的焦點F，且與C交于點A，B，過線段AB的中點D作直線的垂線，垂足為E，記直線EA，EB，EF的斜率分別為，，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將直線與方程聯(lián)立后得到與橫坐標有關韋達定理后結(jié)合題意計算或者設出直線與拋物線相交兩點坐標，借助三點共線計算得到為定值，即只需計算的范圍即可，結(jié)合題意由中點公式計算即可得.【詳解】解法一：因為直線恒過C的焦點F，所以，則，拋物線C：，把代入C的方程，得，設Ax1,y則，，所以，所以，，則，，所以，由，得；解法二：因為直線恒過C的焦點F，所以，則，拋物線C：，設，，由A，B，F(xiàn)三點共線得，得，又，所以，由直線AB的斜率為t得，得，則，所以，由，得.故選:B.46．若拋物線上兩點，關于直線對稱，且，則中點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件求得，進而求得中點坐標.【詳解】因為拋物線上兩點，關于直線對稱，故和直線垂直，所以，故，又，所以，故中點坐標是，即故選：B47．已知拋物線C：，過點的直線l與拋物線C交于A，B兩點，若，則直線l的斜率是（

）A． B．4 C． D．【答案】A【分析】利用點差法求解即可.【詳解】設，則作差得.因為，所以P是線段AB的中點，所以，則直線l的斜率.故選：A48．已知拋物線的焦點為，過點的直線交于、兩點，線段的中點為，則直線的斜率的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析可知直線與軸不重合，設直線的方程為，設點、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達定理求出點的坐標，利用基本不等式可求得直線斜率的最大值.【詳解】易知拋物線的焦點為，設點、，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個公共點，不合乎題意，設直線的方程為，聯(lián)立可得，，由韋達定理可得，則，故點，，若直線的斜率取最大值，則，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，故直線斜率的最大值為.故選：A.49．如圖，已知拋物線E：的焦點為F，過F且斜率為1的直線交E于A，B兩點，線段AB的中點為M，其垂直平分線交x軸于點C，軸于點N.若四邊形的面積等于8，則E的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)求出的坐標，然后得的方程，令，得的坐標，利用直角梯形的面積求出，可得拋物線方程.【詳解】易知，直線AB的方程為，四邊形OCMN為直角梯形，且.設，，，則，所以，所以，，∴.所以MC直線方程為，∴令，∴，∴.所以四邊形OCMN的面積為，∴.故拋物線E的方程為.故選：B.50．若斜率為（）的直線l與拋物線和圓M：分別交于A，B和C，D．且，則當面積最大時k的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由條件可得的中點與的中點重合，設此點為，則，求出當面積最大時的長，結(jié)合此時列出不等式，解出，得出答案.【詳解】因為，則的中點與的中點重合，設此點為，則當，即，時，取最大值，令，，，,由,得，由，得，.故選：C．考點06：直線與拋物線的綜合問題1、直線與拋物線的位置關系有三種情況：相交（有兩個公共點或一個公共點）；相切（有一個公共點）；相離（沒有公共點）．2、以拋物線與直線的位置關系為例：（1）直線的斜率不存在，設直線方程為，若，直線與拋物線有兩個交點；若，直線與拋物線有一個交點，且交點既是原點又是切點；若，直線與拋物線沒有交點．（2）直線的斜率存在．設直線，拋物線，直線與拋物線的交點的個數(shù)等于方程組，的解的個數(shù)，即二次方程（或）解的個數(shù)．①若，則當時，直線與拋物線相交，有兩個公共點；當時，直線與拋物線相切，有個公共點；當時，直線與拋物線相離，無公共點．②若，則直線與拋物線相交，有一個公共點．51．拋物線的圖象經(jīng)過點，焦點為，過點且傾斜角為的直線與拋物線交于點，，如圖．

(1)求拋物線的標準方程；(2)當時，求弦AB的長；(3)已知點，直線，分別與拋物線交于點，．證明：直線過定點．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）由曲線圖象經(jīng)過點，可得，則得拋物線的標準方程；（2）寫出的方程,和拋物線方程聯(lián)立，消元后，由韋達定理可得，則；（3）設直線的方程為，，，，，和拋物線方程聯(lián)立，消元后，由韋達定理可得，．直線的方程為，和拋物線方程聯(lián)立，消元后，由韋達定理可得，同理可得，由，可得，則直線的方程為，由對稱性知，定點在軸上，令，可得，則的直線過定點．【詳解】（1）曲線圖象經(jīng)過點，所以，所以，所以拋物線的標準方程為．（2）由（1）知，當時，,所以的方程為，聯(lián)立，得，則，由，所以弦．（3）由（1）知，直線的斜率不為0，設直線的方程為，，，，，聯(lián)立得，，因此，．設直線的方程為，聯(lián)立得，則，因此，，得，同理可得，所以．因此直線的方程為，由對稱性知，定點在軸上，令得，，所以，直線過定點．52．設，為曲線上兩點，與的橫坐標之和為4.(1)若與的縱坐標之和為4，求直線的方程.(2)證明：線段的垂直平分線過定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）曲線，由題可得直線的斜率不為0,設直線方程為：，，，與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系，即可得出直線的方程.（2）設線段的中點為，利用中點坐標公式可得坐標，用表示.,利用點斜式即可得出直線線段的垂直平分線的方程，進而證明結(jié)論.【詳解】（1）∵曲線，由題可得直線的斜率不為0，設直線方程為：，，，聯(lián)立，化為：，，，，解得，，解得，直線的方程為：，即.（2）設線段的中點為，，，則線段的垂直平分線的方程為：，化為：，可得直線經(jīng)過定點.53．已知拋物線C：（）的焦點為F，過點且斜率為1的直線經(jīng)過點F．(1)求拋物線C的方程；(2)若A，B是拋物線C上兩個動點，在x軸上是否存在定點M（異于坐標原點O），使得當直線AB經(jīng)過點M時，滿足？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在；【分析】（1）根據(jù)點斜式求解直線方程，即可求解焦點坐標，進而可得，（2）聯(lián)立直線與拋物線方程得韋達定理，結(jié)合向量垂直的坐標運算，即可求解.【詳解】（1）由題意過點且斜率為1的直線方程為，即，令，則，∴點F的坐標為1,0，∴，∴．拋物線C的方程為．（2）由（1）得拋物線C：，假設存在定點，設直線AB的方程為（），Ax1,y1由，得，∴，，，∵，∴，∴，∴或（舍去），當時，點M的坐標為，滿足，，∴存在定點．54．已知拋物線的焦點為F，過F且斜率為2的直線與E交于A，B兩點，.(1)求E的方程；(2)直線，過l上一點P作E的兩條切線，切點分別為M，N.求證：直線過定點，并求出該定點坐標.【答案】(1)(2)證明見詳解；定點坐標為【分析】（1）根據(jù)已知條件，設直線的方程為，設Ax1,y1（2）設直線的方程為，，，聯(lián)立拋物線方程，得到韋達定理，利用導數(shù)的幾何意義，設出切線與的方程，兩者聯(lián)立，可求出，即可證得直線過定點，并得出該定點坐標.【詳解】（1）由已知，，過F且斜率為2的直線與E交于A，B兩點，設的方程為，Ax1,聯(lián)立，得，則，則，所以，解得，故拋物線E的方程為：.（2）設直線的方程為，，，聯(lián)立，得，，即，所以，，令，當時，可化為，則，則在處的切線的方程為：，即，同理可得切線的方程為：，聯(lián)立與的方程，解得，所以，則，滿足，則直線的方程為，所以直線過定點，該定點坐標為.55．已知動圓過點0,1，且與直線相切于點，設動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過點作曲線的兩條切線分別與曲線相切于點，與軸分別交于兩點.記，，的面積分別為、、．（i）證明：四邊形為平行四邊形；（ii）證明：成等比數(shù)列.【答案】(1)(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析【分析】（1）設出圓心，利用條件建立方程，再化簡即可得出結(jié)果；（2）（ⅰ）設出兩條切線方程，從而求出的坐標，再利用向量的加法法則即可得出證明；（ⅱ）利用（?。┲袟l件，找出邊角間的關系，再利用面積公式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設圓心，由題意得：，化簡整理得：，所以曲線的方程為：．（2）（?。┰O，，因為，所以，∴直線的方程為：，即，令，得到，同理可得直線的方程為：，令，得到，∴，，聯(lián)立，消解得，所以，

又，∴，所以四邊形為平行四邊形；

（ⅱ）由（?。┲本€的方程為，又，所以，即，同理可知直線的方程為，又因為在直線，上，設，則有，所以直線的方程為：，故直線過點，∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴，，，，∴，