2024-2025學(xué)年廣東省梅州市興寧市高二上冊(cè)10月聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年廣東省梅州市興寧市高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題一、單選題1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.與向量共線的單位向量可以為（）A. B. C. D.3.已知直線l過點(diǎn)和，則直線l在y軸上的截距為（）A－1 B.0 C.2 D.44.下列說法中正確的是（）A.空間中共線的向量必在同一條直線上B.不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等C.數(shù)乘運(yùn)算中，既決定大小又決定方向D.在四邊形ABCD中，一定有5.點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，則l的方程是（）A. B. C. D.6.下列命題中正確是（）A.點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是B.若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則C.若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為D.已知O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，P四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若，則7.經(jīng)過兩條直線的交點(diǎn)，且直線的一個(gè)方向向量的直線方程為（）A. B.C. D.8.加強(qiáng)體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分．某學(xué)生做引體向上運(yùn)動(dòng)，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時(shí)，若兩只胳膊的夾角為，每只胳膊的拉力大小均為，則該學(xué)生的體重（單位：）約為（）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為）A.63 B.69 C.75 D.81二、多選題9.下面說法中錯(cuò)誤的是（

）.A.經(jīng)過定點(diǎn)的直線都可以用方程表示B.經(jīng)過定點(diǎn)的直線都可以用方程表示C.經(jīng)過定點(diǎn)直線都可以用方程表示D.經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，的直線都可以用方程表示10.如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中正確的是（）A.CC1⊥BDB.C.夾角是60°D.直線與直線的距離是11.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且，則下列結(jié)論中正確的有（）A.當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，總成立B.當(dāng)E向運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角逐漸變小C.二面角的最小值為D.三棱錐的體積為定值三、填空題12.已知，，若點(diǎn)Px,y在線段上，則的取值范圍是______.13.已知直線的方程為，求坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離的最大值________.14.已知直三棱柱，，，E為側(cè)棱的中點(diǎn)，過E作平面與平面垂直，當(dāng)平面與該直三棱柱所成截面為三角形時(shí)，頂點(diǎn)與該截面構(gòu)成的三棱錐體積的最小值為_______.四、解答題15.已知，，．（1）寫出直線一個(gè)方向向量；（2）設(shè)平面經(jīng)過點(diǎn)，且是平面的法向量，是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，試寫出，，滿足的關(guān)系式．16.已知直線：，：，：，其中直線，交點(diǎn)為.（1）求點(diǎn)a與b的值；（2）求過點(diǎn)且與直線平行的直線方程；（3）求過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程.17.已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．（1）求證平面；（2）求平面與平面的夾角余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離．18.如圖1，在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，，．沿將翻折到的位置，連接，，，得到如圖2所示的五棱錐．（1）在翻折過程中是否總有平面平面？證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)四棱錐體積最大時(shí)，求直線和平面所成角的正弦值；（3）在（2）的條件下，在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．19.如圖直線過點(diǎn)(3，4)，與軸、軸的正半軸分別交于、兩點(diǎn)，的面積為24.點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，且交于點(diǎn).（1）求直線斜率的大?。唬?）若的面積與四邊形的面積滿足：時(shí)，請(qǐng)你確定點(diǎn)在上的位置，并求出線段的長(zhǎng)；（3）在軸上是否存在點(diǎn)，使為等腰直角三角形，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.2024-2025學(xué)年廣東省梅州市興寧市高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測(cè)試題一、單選題1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系即可得傾斜角．【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)樵撝本€的斜率為，所以，所以，故選：A2.與向量共線的單位向量可以為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】計(jì)算出，從而得到與向量共線的單位向量.【詳解】因?yàn)?，所以與向量共線的單位向量可以是或.故選：D3.已知直線l過點(diǎn)和，則直線l在y軸上的截距為（）A.－1 B.0 C.2 D.4【正確答案】C【分析】?jī)牲c(diǎn)式求斜率，再由點(diǎn)斜式寫出直線方程，進(jìn)而求截距.【詳解】直線l的斜率為，∴直線l的方程為，即，故直線l在y軸上的截距為2.故選：C4.下列說法中正確的是（）A.空間中共線的向量必在同一條直線上B.不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等C.數(shù)乘運(yùn)算中，既決定大小又決定方向D.在四邊形ABCD中，一定有【正確答案】C【分析】對(duì)于A，由共線向量的定義分析判斷，對(duì)于B，舉例判斷，對(duì)于C，根據(jù)數(shù)乘向量的意義分析判斷，對(duì)于D，根據(jù)向量和加法法則判斷.【詳解】對(duì)于A，空間中共線的向量不一定在同一條直線，有可能兩向量所在的直線平行，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，兩個(gè)向量不相等，有可能方向不同，模相等，如的方向不同，但模相等，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，向量數(shù)乘運(yùn)算中，既決定大小又決定方向，所以C正確，對(duì)于D，在平行四邊形ABCD中，才有，所以D錯(cuò)誤.故選：C5.點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，則l的方程是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】求出兩個(gè)定點(diǎn)中點(diǎn)坐標(biāo)及這兩個(gè)定點(diǎn)確定的直線斜率作答.【詳解】過點(diǎn)與點(diǎn)直線的斜率為，則直線l的斜率為，點(diǎn)與點(diǎn)的中點(diǎn)為，所以直線l的方程為，即.故選：B6.下列命題中正確的是（）A.點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是B.若直線l的方向向量為，平面的法向量為，則C.若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為D.已知O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，P四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若，則【正確答案】C【分析】由空間點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的特點(diǎn)可判斷A；由向量的數(shù)量積的性質(zhì)可判斷B；由線面角的定義可判斷C；由共面向量定理可判斷D.【詳解】對(duì)于A，點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，若直線l的方向向量為，平面的法向量為，，有，則或，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線l與平面所成的角為，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D，已知O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，P四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若，則，解得，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.7.經(jīng)過兩條直線的交點(diǎn)，且直線的一個(gè)方向向量的直線方程為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】先求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用直線的方向向量求出斜率，利用點(diǎn)斜式求出直線方程.【詳解】聯(lián)立直線與，，解得：，所以直線：，：的交點(diǎn)為，又直線的一個(gè)方向向量，所以直線的斜率為，故該直線方程為：，即故選：D8.加強(qiáng)體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分．某學(xué)生做引體向上運(yùn)動(dòng)，處于如圖所示的平衡狀態(tài)時(shí)，若兩只胳膊的夾角為，每只胳膊的拉力大小均為，則該學(xué)生的體重（單位：）約為（）（參考數(shù)據(jù)：取重力加速度大小為）A.63 B.69 C.75 D.81【正確答案】B【分析】根據(jù)平行四邊形法則得到該學(xué)生的體重,利用余弦定理即可求出得解.詳解】如圖，設(shè)該學(xué)生的體重為,則.由余弦定理得.所以.故選：B本題主要考查向量的平行四邊形法則和余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.二、多選題9.下面說法中錯(cuò)誤的是（

）.A.經(jīng)過定點(diǎn)的直線都可以用方程表示B.經(jīng)過定點(diǎn)的直線都可以用方程表示C.經(jīng)過定點(diǎn)的直線都可以用方程表示D.經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，的直線都可以用方程表示【正確答案】ABC【分析】根據(jù)題意，結(jié)合直線方程的形式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，因?yàn)橹本€的點(diǎn)斜式方程，只能表示斜率存在的直線，所以經(jīng)過定點(diǎn)的直線不一定可以用方程表示，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，因?yàn)橹本€不能表示與軸垂直的直線，所以經(jīng)過定點(diǎn)的直線不一定可以用方程表示，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，因?yàn)榉匠讨荒鼙硎拘甭蚀嬖诘闹本€，所以經(jīng)過定點(diǎn)的直線不一定可以用方程表示，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，因?yàn)榉匠?，即為直線的一般式方程，可以表示坐標(biāo)系能所有的直線，所以經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)的直線，都可以用方程表示，所以D正確.故選：ABC.10.如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6，且它們彼此的夾角都是60°，下列說法中正確的是（）A.CC1⊥BDB.C.夾角是60°D.直線與直線距離是【正確答案】ABD【分析】設(shè)，依題得運(yùn)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可判斷A,B兩項(xiàng)；利用向量夾角的公式計(jì)算排除C項(xiàng)；利用空間向量關(guān)于點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算即可驗(yàn)證D項(xiàng).【詳解】如圖，設(shè)，則對(duì)于A，因，則，故A正確；對(duì)于B，因，，則，故B正確；對(duì)于C，，則，且設(shè)夾角為，則，因，則，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D,在平行六面體中，易得,則得,故,故點(diǎn)到直線的距離即直線與直線的距離.因，且，則，故D正確.故選：ABD.11.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且，則下列結(jié)論中正確的有（）A.當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)時(shí)，總成立B.當(dāng)E向運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角逐漸變小C.二面角的最小值為D.三棱錐的體積為定值【正確答案】ACD【分析】A選項(xiàng)，作出輔助線，得到，，從而得到平面，因?yàn)槠矫?，所以總成立；B選項(xiàng)，當(dāng)E向運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面與平面的夾角不變；C選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，得到二面角的法向量，求出二面角的余弦，從而得到余弦值的最大值，得到二面角的最小值；D選項(xiàng)，利用體積公式求出三棱錐的體積為定值.【詳解】對(duì)于A，連接，，，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，又⊥平面，平面，所以，又，平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所以，同理可證.因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以總成立，故A正確.對(duì)于B，平面EFB即平面，平面EFA即平面，所以當(dāng)E向運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角的大小不變，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，因?yàn)镋，F(xiàn)在上，且，故可設(shè)，，，則，由題知平面ABC的一個(gè)法向量為，設(shè)平面ABE一個(gè)法向量為，則，解得，取，則，故，設(shè)二面角的平面角為，則為銳角，所以，又，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，取得最小值，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋c(diǎn)A到平面EFB的距離即到平面的距離，為，所以，為定值，故D正確.故選：ACD三、填空題12.已知，，若點(diǎn)Px,y在線段上，則的取值范圍是______.【正確答案】【分析】根據(jù)的形式，可轉(zhuǎn)化為線段AB上點(diǎn)與連線的斜率，結(jié)合圖形即可求解.【詳解】的幾何意義是點(diǎn)Px,y與點(diǎn)連線的斜率，又點(diǎn)Px,y在線段上，由圖知，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，所以，故13.已知直線的方程為，求坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離的最大值________.【正確答案】【分析】整理直線的方程得令，解方程組即可求得定點(diǎn)的坐標(biāo)，原點(diǎn)到直線的距離，，計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】直線的方程為，即令，解得：所以直線恒過定點(diǎn)，所以原點(diǎn)到直線的距離，即到直線的距離的最大值為.故答案為.本題主要考查了直線過定點(diǎn)問題，考查定點(diǎn)到動(dòng)直線距離最值問題，考查轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.14.已知直三棱柱，，，E為側(cè)棱的中點(diǎn)，過E作平面與平面垂直，當(dāng)平面與該直三棱柱所成截面為三角形時(shí)，頂點(diǎn)與該截面構(gòu)成的三棱錐體積的最小值為_______.【正確答案】【分析】利用空間向量法來計(jì)算動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，從而去解決平面問題.【詳解】分別以所在直線為軸，軸，軸則，設(shè)平面的法向量，則，得，設(shè)平面，與平面交于點(diǎn)，則，點(diǎn)，由，得，即，當(dāng)平面經(jīng)過直線并繞著直線旋轉(zhuǎn)時(shí)，平面與平面的交線繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)交線與線段，都相交時(shí)，與正方體所成截面三角形，令平面與平面的交線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，設(shè)，，則，，由三點(diǎn)共線，得，，所以，因此，所以故答案為.四、解答題15.已知，，．（1）寫出直線的一個(gè)方向向量；（2）設(shè)平面經(jīng)過點(diǎn)，且是平面的法向量，是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，試寫出，，滿足的關(guān)系式．【正確答案】（1）（2）．【分析】（1）求出即可作為直線的一個(gè)方向向量；（2）由，可得為平面的一個(gè)法向量，所以，由此能求出，，滿足的關(guān)系式．【小問1詳解】，，，即為直線的一個(gè)方向向量．（答案不唯一）【小問2詳解】由題意得，平面，，，則，，．化簡(jiǎn)得．16.已知直線：，：，：，其中直線，的交點(diǎn)為.（1）求點(diǎn)a與b的值；（2）求過點(diǎn)且與直線平行的直線方程；（3）求過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據(jù)直線，的交點(diǎn)為，列出方程組，即可求得的值.（2）根據(jù)過點(diǎn)且與直線平行，求得所求直線的斜率，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.（3）根據(jù)過點(diǎn)且與直線垂直，求得所求直線的斜率為，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.【小問1詳解】解：因?yàn)橹本€，的交點(diǎn)為，可得，解得.【小問2詳解】解：將直線的方程可化為，可得，因?yàn)檫^點(diǎn)且與直線平行，可得所求直線的斜率為，又由點(diǎn)，可得直線的方程為，即.【小問3詳解】解：將直線的方程可化為，所以，因?yàn)辄c(diǎn)且與直線垂直，可得所求直線的斜率為，又由點(diǎn)，可得直線的方程為，即.17.已知四棱柱中，底面為梯形，，平面，，其中．是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)．（1）求證平面；（2）求平面與平面的夾角余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離．【正確答案】（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，，借助中位線的性質(zhì)與平行四邊形性質(zhì)定理可得，結(jié)合線面平行判定定理即可得證；（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算兩平面的空間向量，再利用空間向量夾角公式計(jì)算即可得解；（3）借助空間中點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可得解.【小問1詳解】取中點(diǎn)，連接，，由是的中點(diǎn)，故，且，由是的中點(diǎn)，故，且，則有、，故四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，故平面；【小問2詳解】以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有A0,0,0、、、、C1,1,0、，則有、、，設(shè)平面與平面的法向量分別為、，則有，，分別取，則有、、，，即、，則，故平面與平面的夾角余弦值為；【小問3詳解】由，平面的法向量為，則有，即點(diǎn)到平面的距離為.18.如圖1，在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，，．沿將翻折到的位置，連接，，，得到如圖2所示的五棱錐．（1）在翻折過程中是否總有平面平面？證明你的結(jié)論；（2）當(dāng)四棱錐體積最大時(shí)，求直線和平面所成角的正弦值；（3）在（2）的條件下，在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，試確定點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．【正確答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，點(diǎn)在線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處.【分析】（1）根據(jù)菱形和點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)得到，，然后利用線面垂直的判定定理得到平面，再結(jié)合得到平面，最后利用面面垂直的判定定理即可得到平面平面；（2）根據(jù)幾何的知識(shí)得到當(dāng)平面平面時(shí)，四棱錐的體積最大，然后根據(jù)線面角的定義得到為直線和平面所成角，最后求正弦值即可；（3）設(shè)，利用空間向量的方法得到平面與平面所成角的余弦值，然后列方程，解方程得到即可.【小問1詳解】∵四邊形為菱形，∴，∵點(diǎn)，分別是邊，的中點(diǎn)，∴，，，即，∵，平面，平面，∴平面，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面.【小問2詳解】由題意知，當(dāng)平面平面時(shí)，四棱錐的體積最大，∵平面平面，，平面平面，平面.∴平面，為直線和平面所成角，∵菱形的邊長(zhǎng)為4，，∴，，∴，.【