【新課標(biāo)高中同步輔導(dǎo)】2016高一人教A版數(shù)學(xué)必修1學(xué)案 第一章集合與函數(shù)概念

新課標(biāo)數(shù)學(xué)必修1第一章集合與

函數(shù)概念

?第一章

VxJ/集合與函數(shù)概念

1.1集合

1.1.1集合的含義與表示

第1課時(shí)集合的含義

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］1.通過實(shí)例了解集合

的含義.（難點(diǎn)）2.掌握集合中元素的三個(gè)

特性?（重點(diǎn)）3.體會(huì)元素與集合的“屬

于"關(guān)系，記住常用數(shù)集的表示符號(hào)并

會(huì)應(yīng)用.（重點(diǎn)、易混點(diǎn)）

揚(yáng)陽17自主學(xué)習(xí)?基礎(chǔ)知識(shí)?接，—礎(chǔ)

一、元素與集合的相關(guān)概念

1.元素：一般地，我們把研究對(duì)象

統(tǒng)稱為元素.通常用小寫拉丁字母紅幺

C,…表示?

2.集合：把一些元素組成的總體叫

做集合（簡稱為集）.通常用大寫拉丁字母

力，B,C,…表示集合.

3.集合中元素的三個(gè)特性:確定性、

互異性、無序性.

4.集合的相等：構(gòu)成兩個(gè)集合的元

素是一樣的,我們就稱這兩個(gè)集合是相

等的.

二、元素與集合的關(guān)系

1.屬于：如果4是集合力的元素,

就說a屬于集合集記作a^A.

2.不屬于：如果〃不是集合力中的

元素，就說a不屬于集合4記作組&

三、常用數(shù)集及符號(hào)表示

非負(fù)

整數(shù)

正整數(shù)整數(shù)有理實(shí)數(shù)

數(shù)集集（或

集集數(shù)集集

自然

數(shù)集）

N或N

符號(hào)NZQR

土

1.判斷（正確的打，錯(cuò)誤的

打“義”)

(1)本班的“帥哥”組成集合.()

(2)漂亮的花組成集合.()

(3)聯(lián)合國常任理事國組成集

合.()

(4)在一個(gè)集合中可以有兩個(gè)相同的

元素.()

【解析】(1)不正確，因?yàn)椤皫浉纭?/p>

沒有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，即元素不確定，不能組

成集合.

(2)不正確，因?yàn)槭裁礃拥幕ㄊ瞧?/p>

的花不確定，不能組成集合.

(3)正確.因?yàn)槁?lián)合國常任理事國是

確定的，所以能組成集合.

(4)不正確.因?yàn)榧现械脑貪M足

互異性，所以一個(gè)集合中沒有兩個(gè)相同

的元素.

【答案】(1)X(2)X(3)V

(4)X

2.若aRR,但aiQy則a可以是

()

3r~

A.3.14B.-5CqD.A/7

【解析】由題意知。是實(shí)數(shù)，但

不是有理數(shù)，故〃為無理數(shù).

【答案】D

3.方程f—l=O的解與方程、+1

=0的解組成的集合中共有個(gè)

元素.

【解析】方程/一1=0的解是1,

-1;x+1=0的解是

-1,故這兩個(gè)方程的解組成的集合

中的元素是1,-1,共有2個(gè)元素.

【答案】2

4.若且集合力與集合5相

等，則16（填仁”或“住”）.

【解析】集合力與集合5相等，

則/、B兩集合的元素完全相同，又

1￡力,故

【答案】e

疑難問題卡片

預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)把你認(rèn)為難以解決

的問題記錄在下面的表格中

問題1

問題2

問題3

問題4

E3畫園合作探究?重難疑點(diǎn)

e集合的概念

＞例（1）下列給出的對(duì)象中，能構(gòu)成

集合的是（）

A.著名數(shù)學(xué)家B.很大的

數(shù)

C.聰明的人D.小于3

的實(shí)數(shù)

（2）考查下列每組對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)

集合.

①不超過20的非負(fù)數(shù)；

②方程X2-9=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的

解；

③某校2015年在校的所有高個(gè)子

同學(xué)；

④小的近似值的全體.

(3)一元二次方程——2*+1=0的實(shí)

數(shù)解構(gòu)成的集合為a則力的元素個(gè)數(shù)

為.

【解析】(1)由于只有選項(xiàng)D有明

確的標(biāo)準(zhǔn)，能組成一個(gè)集合，故選D.

(2)①對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)能判斷出是不

是“不超過20的非負(fù)數(shù)”，所以能構(gòu)成

集合；

②也能構(gòu)成集合;

③“高個(gè)子”無明確的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于

某個(gè)人算不算高個(gè)子無法客觀地判斷，

因此不能構(gòu)成一個(gè)集合；

④“小的近似值”不明確精確到什

么程度，因此不能判斷一個(gè)數(shù)如“2”是不

是它的近似值，所以不能構(gòu)成集合.

(3)一元二次方程f-2*+1=0有兩

個(gè)相等的實(shí)數(shù)解1,由元素的互異性知,

集合力含有一個(gè)元素.

【答案】(1)D(2)①②能構(gòu)成集

合③④不能構(gòu)成集合(3)1

?規(guī)律方法?

1.判斷給定的對(duì)象能不能構(gòu)成集

合，就看所給的對(duì)象是不是有確定性.

2.互異性：集合中的元素必須是互

異的，就是說，對(duì)于一個(gè)給定的集合，

它的任何兩個(gè)元素都是不同的.

元素與集合的關(guān)

魂型2|________________

系

＞例下列關(guān)系中正確的個(gè)數(shù)為

()

①吸￡Q；②(HN；③冗陣R；@1-

41ez.

A.1B.2C.3

D.4

【思路探究】先明確符號(hào)Q、N、

R及Z的含義，再判斷數(shù)也，0,兀,

-41與相應(yīng)數(shù)集的關(guān)系.

【解析】①..?也是無理數(shù)，..?尤

《Q,故①錯(cuò)誤；

②是非負(fù)整數(shù)，.?.0￡N故②錯(cuò)

誤；

③丁兀是實(shí)數(shù)，???兀ER,故③錯(cuò)誤；

④???|-41=4是整數(shù)，/.|-4iez,

故④正確.

【答案】A

?規(guī)律方法?

1.在求解時(shí)常因混淆數(shù)集Q、N、

R及Z的含義導(dǎo)致誤解.

2.判斷一個(gè)元素是不是某個(gè)集合的

元素，關(guān)鍵是判斷這個(gè)元素是否具有這

個(gè)集合的元素的共同特征.

-變?曲線

用符號(hào)￡或在填空：

(1)若A表示由所有質(zhì)數(shù)組成的集

合，貝！J1A,

2A,3A；

(2)^4N*,|Z,S

________R.

【解析】(1)由2,3為質(zhì)數(shù)，1不

是質(zhì)數(shù)得，2”,3".

⑵也是正整數(shù)，,不是整數(shù)，S是

實(shí)數(shù).

【答案】(1)$￡￡⑵金陣

E

集合中元素特性的

?簡單應(yīng)用

＞例已知集合/含有兩個(gè)元素Q—3

和2°—1,若一試求實(shí)數(shù)〃的值.

【思路探究】

令-3=〃-3或-3=2〃T-

解方程求af檢驗(yàn)得^的值

【解】??,-3，-3=a-3

或-3=2〃-1,

若-3=a-3,

則4=0,

此時(shí)集合力中含有兩個(gè)元素-3、-

L符合題意；

若一3=2。-1,貝1a=T,

此時(shí)集合力中含有兩個(gè)元素-4,-

3,符合題意；

綜上所述，4=0或4=-1.

I規(guī)律方法I

1.由于集合A含有兩個(gè)元素，-

3￡力,本題以-3是否等于〃-3為標(biāo)準(zhǔn),

進(jìn)行分類，從而做到“不重不漏”.

2.解決含有字母的問題，常用到分

類討論的思想，在進(jìn)行分類討論時(shí)，務(wù)

必明確分類標(biāo)準(zhǔn).

?且油探資

若將本例中的條件“一3￡7”換成

求相應(yīng)問題.

【解】?：:?4=a一3或

=2a-1,

解得a=1,此時(shí)集合力中有兩個(gè)元

素-2,1,

符合題意.

故所求a的值為1.

1.判斷一組對(duì)象的全體能否構(gòu)成集

合的依據(jù)是元素的確定性，若考查的對(duì)

象是確定的，就能組成集合，否則不能

組成集合.

2.集合中的元素具有三個(gè)特性：確

定性、互異性、無序性，求解與集合有

關(guān)的字母參數(shù)值（范圍）時(shí),需借助集合中

元素的互異性來檢驗(yàn)所求參數(shù)是否符合

要求.

3.解答含有字母的元素與集合之間

關(guān)系的問題時(shí)，應(yīng)分類討論時(shí)，必須明

確分類標(biāo)準(zhǔn)，才能做到不重不漏.

身，用易誤警示?規(guī)范指導(dǎo)?扇轉(zhuǎn)學(xué)習(xí)為

忽視集合中元素的互異性致誤

卜典例已知集合力中含有兩個(gè)元

素為〃和若則實(shí)數(shù)4的值為

【易錯(cuò)分析】⑴缺乏分類討論的

意識(shí)，看到1￡力，就想當(dāng)然地認(rèn)為4=1,

而忽視分類討論；

(2)對(duì)元素的互異性缺乏理解，忽視

對(duì)4=1和4=-1的檢驗(yàn)致誤.

【防范措施】(1)解答含有字母的

元素與集合之間關(guān)系的問題時(shí)，要有分

類討論的意識(shí)，如本例中應(yīng)對(duì)何值為1

進(jìn)行討論.

(2)求解與集合有關(guān)的字母參數(shù)時(shí)，

需利用集合元素的互異性來檢驗(yàn)所求參

數(shù)是否符合要求，如本例中需對(duì)求出的

a值進(jìn)行檢驗(yàn).

【解析】根據(jù)題意知集合力中含

有兩個(gè)元素為a和a,

且

所以4=1或，=1,即4=1或

當(dāng)4=1時(shí)，7=1,

不符合集合元素的互異性，

故aWL

當(dāng)Q=-1時(shí)，集合A的元素是1

和-1,

符合集合元素的互異性.

故4=-1.

綜上所述，a的值為-1.

【答案】-1

——［類題嘗

試］

已知集合力是由。-2,2，+5〃,

12三個(gè)元素組成的，且一3@a則

【解析】由一3￡力，可得一3=。

~2或-3=2a2+5a,所以a=-1或a

=——3

2,

貝4當(dāng)〃=-1時(shí)，a-2=-3>2a2+

5a=-3,不符合集合中元素的互異性，

故〃=-1應(yīng)舍去.

37

當(dāng)a=一萬時(shí)，a-2=-y,2a2+5a

3

=一3,所以a=-2*

【答案】一；3

課時(shí)作業(yè)（一）集合的含義

［學(xué)業(yè)水平層次］

一、選擇題

1.（2014?遵義高一檢測）以下各組對(duì)

象不能組成集合的是（）

A.中國古代四大發(fā)明

B.地球上的小河流

C.方程f—1=0的實(shí)數(shù)解

D.周長為10cm的三角形

【解析】因?yàn)闆]有明確的標(biāo)準(zhǔn)確

定什么樣的河流稱為小河流，故地球上

的小河流不能組成集合.

【答案】B

2.設(shè)集合力只含有一個(gè)元素〃，則

有（）

A.0￡4B.a^AC.a^A

D.a=A

【解析】???集合4中只含有一個(gè)

元素小故〃屬于集合力,--aGA.

【答案】C

3

3.由實(shí)數(shù)x,—x,Ixl,

所組成的集合，最多含（）

A.2個(gè)元素B.3

個(gè)元素

C.4個(gè)元素D.5個(gè)元素

【解析】由于lxl=±x,A/X2=Ixl,

-Jx3=-％,并且x,-x,bd之中總有

兩個(gè)相等，所以最多含2個(gè)元素.

【答案】A

4.集合力中含有三個(gè)元素2,4,6,

若〃￡力，且6—?！炅Γ敲?。為（）

A.2B.2或4C.4

D.0

【解析】若4=2,則6-2=4^A;

若。=4,貝|]6-4=2￡力

若。=6,貝46-6=0電4,故選B

【答案】B

二、填空題

5.以方程x—5x+6=0和方程x2

-%—2=0的解為元素的集合中共有

_______個(gè)元素.

【解析】方程f-5x+6=0的解

是2,3;方程/-％-2=0的解是-1,

2.由集合元素的互異性知，以這兩個(gè)方

程的解為元素的集合中共有3個(gè)元素.

【答案】3

6.（2014?石家莊高一檢測）集合尸中

含有兩個(gè)元素分別為1和4,集合。中

含有兩個(gè)元素1和〃2,若「與。相等，

貝!!a=

【解析】???P與。相等，?,?/=4,

.*.?=±2,

經(jīng)檢驗(yàn)知a=±2滿足題意，故。=

±2,

【答案】±2

7.（2014?天津高一檢測）集合力中的

元素y滿足了￡]>1且夕=—f+i,若，

則t的值為.

【解析】因?yàn)槎?-X2+1^1,且

y￡N,所以『的值為0,1,即集合力中

的元素為0,1.

又，￡4所以，=0或1.

【答案】0或1

三、解答題

8.集合力是由形如m+Ri(mGZ,

〃￡Z)的數(shù)構(gòu)成的，判斷二^是不是集

合A中的元素.

【解】由分母有理化，得「有=

2-\3

2+小.由題意可知m=2,n=1,均有

1

mGZ,〃￡Z,「?2+小￡力，即￡

A.

9.已知集合力含有兩個(gè)元素1,2,

集合5表示方程f+收+辦=0的解的集

合，且集合A與集合B相等，求％6

的值.

【解】???集合7與集合6相等，

且U,2

.162WB,??1,2是方程x2

+ax+b=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)才艮，

-a,\a=

?<1+2=?V-3,

…1X2=6,…b=2.

\V.

［能力提升層次］

1.若一個(gè)集合中的三個(gè)元素用b,

。是△75C的三邊長，則此三角形一定

不是（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等腰三角形

【解析】AABC的三邊長兩兩不

等，故選D.

【答案】D

2.已知集合力是由0,m,m2—3m

+2三個(gè)元素組成的集合，且2￡力，則

實(shí)數(shù)加為()

A.2B.3

C.0或3D.0,2,3均可

【解析】由可知：若膽=2,

貝4zw2-3m+2=0,這與加2-3M+2W0

相矛盾；若加2-3加+2=2,貝I股=0或

柩=3,當(dāng)膽=0時(shí)，與/wWO相矛盾，

當(dāng)加=3時(shí)，此時(shí)集合力的元素為0,3,

2,符合題意.

【答案】B

3.已知集合A中含有兩個(gè)元素1

和〃2,則。的取值范圍是.

【解析】由集合中元素的互異性,

可知42KL

所以aW±L即a￡R且

【答案】a￡R且。力士1

4.已知數(shù)集/滿足條件：若

1

則;---￡/(aWl),如果〃=2,試求出7

l-a

中的所有元素.

1

【解】???2￡4由題意可知，丁二

1-2

=-1EA

11

由-1￡力可知，;/—k=5￡

11

由56%可次口，T=2^A.

1——

12

故集合7中共有3個(gè)元素，它們分

別是-1,2.

第2課時(shí)集合的表示

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］1.初步掌握集合的兩

種表示方法一一列舉法、描述法，感受

集合語言的意義和作用.（重點(diǎn)）2.會(huì)用集

合的兩種表示方法表示一些簡單集

合,（重點(diǎn)、難點(diǎn)）

S3修口自主學(xué)習(xí)?基礎(chǔ)知識(shí)|接受信息掌握基礎(chǔ)

一、列舉法

把集合的元素一一列舉出來,并用

花括號(hào)括起來表示集合的方法叫做

列舉法.

二、描述法

1.定義：用集合所含元素的共同特

征表示集合的方法稱為描述法.

2.具體方法：在花括號(hào)內(nèi)先寫上表

示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值(或

變化)范圍,再畫一條豎線，在豎線后寫

出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.

1.判斷(正確的打，錯(cuò)誤的

打“X”)

(1)由L1,2,3組成的集合可用列

舉法表示為｛L1,2,3).()

(2)集合｛(1,2)｝中的元素是1和

2.()

(3)集合7=｛xlx—1=0｝與集合B=

{1}相等.()

【解析】(1)由集合元素的互異性

知⑴錯(cuò).

(2)集合{(1,2)}中的元素為有序?qū)崝?shù)

對(duì)(1,2),故(2)錯(cuò).

(3)??[={x\x-1=0}={1}=氏故(3)

正確.

【答案】⑴X⑵X(3)V

2.用列舉法表示方程x2-l=0的

解集為.

【解析】方程/-1=0的解為-

1,1,所求集合為{-1,1}.

【答案】{—L1}

3.集合{x￡NlxW6}中的元素為

【解析】V{xeNlx^6}={0,1,

2,3,4,5,6)

???該集合中的元素為0,1,2,3,

4,5,6.

【答案】0,1,2,3,4,5,6

4.用描述法表示大于0且小于9的

實(shí)數(shù)*的集合為

【解析】大于0且小于9的實(shí)數(shù)

x的集合為{xERIO<x<9}.

【答案】{xFRIO<x<9}

疑難問題卡片

預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)把你認(rèn)為難以解決

的問題記錄在下面的表格中

問題1

問題2

問題3

問題4

2合作探究?重難疑點(diǎn)吸收內(nèi)化

用列舉法表示集

黑喇.__..4合

＞例用列舉法表示下列集合：

(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集

合；

(2)方程f=2*的所有實(shí)數(shù)解組成的

集合；

(3)直線y=2x+l與y軸的交點(diǎn)所組

成的集合；

(4)由所有正整數(shù)構(gòu)成的集合.

【解】(1)因?yàn)椴淮笥?0是指小于

或等于10,非負(fù)是大于或等于0的意思,

所以不大于10的非負(fù)偶數(shù)集是{0,2,

4,6,8,10).

⑵方程f=2x的解是x=0或x=2,

所以方程的解組成的集合為{0,2}.

(3)將x=0代入y=2x+l,得y=L

即交點(diǎn)是(0,1),故交點(diǎn)組成的集合是

{(0,1)).

(4)正整數(shù)有1,2,3,…，所求集

合為{1,2,3,…}.

?規(guī)律方法?

1.用列舉法表示集合，要分清是數(shù)

集還是點(diǎn)集.

2.使用列舉法表示集合時(shí)應(yīng)注意以

下幾點(diǎn)：

(1)在元素個(gè)數(shù)較少或有(無)限但有

規(guī)律時(shí)用列舉法表示集合，如集合：{L

2,3},{1,2,3,???,100},{1,2,3,???}

等.

⑵“{產(chǎn)表示“所有”的含義，不能

省略，元素之間用隔開，而不能用

“、”；元素?zé)o順序，滿足無序性.

用描述法表示集

奧型隱

4

＞例用描述法表示下列集合:

⑴正偶數(shù)集；

⑵被3除余2的正整數(shù)集合;

(3)平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)

組成的集合.

【思路探究】用描述法表示集合,

解決此類問題要清楚集合中代表元素是

什么，元素滿足什么條件.

【解】(1)偶數(shù)可用式子*=2%n

￡Z表示，但此題要求為正偶數(shù)，故限

定〃￡N*,所以正偶數(shù)集可表示為3*=

nGN*}.

⑵設(shè)被3除余2的數(shù)為x,貝x=3n

+2,nEZ,但元素為正整數(shù)，故〃《N,

所以被3除余2的正整數(shù)集合可表示為

{x\x=3n+2,n€N}.

(3)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)(x,y)的特點(diǎn)是橫、

縱坐標(biāo)中至少有一個(gè)為0,即盯=0,故

平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的集合

可表示為{(■y)\xy=0}.

?規(guī)律方法?

1.用描述法表示集合，首先應(yīng)弄清

楚集合的屬性，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他

的類型.一般地，數(shù)集用一個(gè)字母代表

其元素，而點(diǎn)集則用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)來

代表其元素.

2.若描述部分出現(xiàn)元素記號(hào)以外的

字母時(shí)，要對(duì)新字母說明其含義或指出

其取值范圍，如本例(1),(2).

a變五訓(xùn)韁

說明下列各集合表示的含義.

\1

(l)A=\yy=r\；

(2)j?={(x,y)\y=x-3}；

(3)C={(0,1)}；

(4)Z)={(x,y)lx+y=L且x—y=一

1).

【解】(1)/表示y的取值集合，

由反比例函數(shù)的圖象，

知力={j￡RI/WO}.

(2)5表示的元素是點(diǎn)(x,y),5表示

直線y=x-3.

(3)C表示一個(gè)單元素集，是一個(gè)實(shí)

數(shù)對(duì)，是以一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為元素的集合.

(4)。表示一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)集，即方程組

x+V=1,

,的解，解方程組得其解為(0,

[x-y=-1

1),與是一個(gè)單元素集.

集合表示方法的簡

繆砌__________________

單應(yīng)用

卜例(1)(2014?衡水高一檢測)已知

集合M={a92,

3+a],集合N={3,2,a}9若M

=N,則4=()

A.1B.3C.0

D.0或1

(2)已知集合/={jdaf—3%—4=0,

x^R),若A中至多有一個(gè)元素，求實(shí)

數(shù)。的取值范圍.

【思路探究】⑴利用M=N,兩

個(gè)集合中的元素是一樣的，列方程組求

解.

(2)分4=0,4*0兩種情況求解.

【解析】(1)因?yàn)榧?與集合N

相等.

a=3,a=a,

所以或

I3+。=/2L3+〃=-3,

V.V

I4=3,A

對(duì)于L*2無解；

3+4=4,

,fa=a2,

對(duì)于“4

、3+a=3,

解得a=0,

綜上可知a=0.

【答案】C

4

(2)當(dāng)a=0時(shí)，7=1一才；

當(dāng)aW0時(shí)，關(guān)于X的方程ax2-3x

-4=0應(yīng)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根或無實(shí)數(shù)

根,

9

所以4=9+16〃<0,即

lo

9

故所求的a的取值范圍是"W-傘

或4=0.

I規(guī)律方法I

1.若已知集合是用描述法給出的，

讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的

關(guān)鍵.

2.若已知集合是用列舉法給出的，

整體把握元素的共同特征是解題的關(guān)

鍵.

題(2)中將條件“至多有一個(gè)元素”

改為“有兩個(gè)元素”其他不變，則4的

取值是什么？

【解】因?yàn)榱χ杏袃蓚€(gè)元素，所

以關(guān)于x的方程ax2-3x-4=0有兩個(gè)

不等的實(shí)數(shù)根，

\A=9+16a>0,

所以

公0,

X.

9

即

Q>且

16

c

c

c

c

c

c

c

u

e

^

M

^

W

1.在用列舉法表示集合時(shí)應(yīng)注意：

（1）元素間用逗號(hào)“，”分開；（2）元

素不重復(fù)；（3）元素?zé)o順序；（4）列舉法可

表示有限集，也可以表示無限集.若元

素個(gè)數(shù)比較少用列舉法比較簡單；若集

合中的元素較多或無限，但出現(xiàn)一定的

規(guī)律性，在不發(fā)生誤解的情況下，也可

以用列舉法表示.

2.在用描述法表示集合時(shí)應(yīng)注意：

（1）弄清元素所具有的形式（即代表

元素是什么），是數(shù)、還是有序?qū)崝?shù)對(duì)

（點(diǎn)）、還是集合或其他形式？

（2）（元素具有怎樣的屬性）當(dāng)題目中

用了其他字母來描述元素所具有的屬性

時(shí)，要說明其含義或指出其取值范圍.

斑斑用解題模板?規(guī)范示例

2習(xí)有效評(píng)價(jià)

分類討論思想在集合表示法中的應(yīng)

用

卜典例（12分）集合A={x\kx^—8x

+16=0},若集合力只有一個(gè)元素，試

求實(shí)數(shù)A的值，并用列舉法表示集合4

［思路探究］|明確集合力的含義

f對(duì)A加以討論f求出。值f

寫出集

【滿分樣板】（1）當(dāng)4=0時(shí)，

原方程變?yōu)?8*+16=0,

x=2.2分

此時(shí)集合力={2}?4分

(2)當(dāng)k^O時(shí)，要使一元二次方程

kx2-8x+16=0有兩個(gè)相等實(shí)根.6分

只需4=64-64友=0,

即兒=1.8分

此時(shí)方程的解為

Xi=x2=4,

集合力={4},

滿足題意.10分

綜上所述，實(shí)數(shù)4的值為0或L當(dāng)

兒=0時(shí)，力={2};當(dāng)4=1時(shí)，4={4}.12

分

思維啟迪

1.解答與描述法有關(guān)的問題時(shí)，明

確集合中代表元素及其共同特征是解題

的切入點(diǎn).

2.本題因kx-8x+16=0是否為

一元二次方程而分4=0和而展開

討論，要做到不重不漏.

——［類題嘗

試］-----------------------------

（2013?山東高考）設(shè)集合/={0,1,

2）,則集合B={x~y\x^A9.￡力}中元

素的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.3C.5

D.9

【解析】因?yàn)榱?{0,1,2）,又

集合5中元素為x-y且x￡7,

所以”的可能取值為0,1,2;y的

可能取值為0,1,2.

當(dāng)x=0時(shí)，y=0或1或2,ah匕時(shí)對(duì)

應(yīng)的*-了的值為0,

-1,-2.

當(dāng)x=l時(shí)，y=0或1或2,立匕時(shí)對(duì)

應(yīng)的％-了的值為1,0,-1.

當(dāng)梟=2時(shí)，y=0或1或2,此^時(shí)對(duì)

應(yīng)的x-y的值為2,1,0.

綜上可知，集合6={-2,-1,0,

1,2},

所以集合5中的元素的個(gè)數(shù)為5.

【答案】C

課時(shí)作業(yè)（二）集合的表示

［學(xué)業(yè)水平層次］

一、選擇題

1.（2014?石家莊高一檢測）用列舉法

表示集合{xb?—2*+1=0}為（）

A.{1,1}B.{1}

C.{*=1}D.{X2-2X+

1=0}

［解析］方程f-2x+l=0有兩

個(gè)相等的實(shí)數(shù)解L根據(jù)集合元素的互

異性知B正確.

【答案】B

2.已知集合力={:dx（x—1）=0},那

么下列結(jié)論正確的是（）

A.0￡力B.HAC.-l^A

D.0&4

［解析】A={xlx（x-1）=0}=

{0,I，

??oe/.

【答案】A

3.（2014?河北衡水中學(xué)期末）下列集

合中，不同于另外三個(gè)集合的是（）

A.{xlx=l}B.{%儲(chǔ)=1}

C.{1}D.8心一1）2=0}

【解析】{xlx2=1}={-1,1},另

外三個(gè)集合都是{1},故選B.

【答案】B

4.（2013?大綱全國卷）設(shè)集合力={1,

2,3},5={4,5},M={x\=a+b,

A9b^B},則"中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

【解析】1,2,3與4,5分別相

加可得5,6,6,7,7,8,根據(jù)集合中

元素的互異性可得集合V中有4個(gè)元

素.

【答案】B

二、填空題

5.已知4={-1,一2,0,1},B

={jdx=lyl,y^A}9貝（J6=.

【解析】71-11=1,1-21=2,

且集合中的元素具有互異性，所以B=

{0,1,2}.

【答案】{0,1,2}

6.方程組22o的解構(gòu)成的集

[x-y=9

合用列舉法表示是.

=X+V=1,

【解析】由22Q得

x-y=9

x=5,

_4???集合為{(5,-4)}.

y=一%

【答案】{(5,-4)}

7.設(shè)集合4={xlf—3*+〃=0},若

4^A,則集合A用列舉法表示為

【解析】,.,4￡），16-12+a

=0,??a=-4,

--A={xlx2-3X-4=0}={-1,4}.

【答案】{—1，4}

三、解答題

8.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

2x—3y=14,

(1)方程組%,；c的解集；

\3x+2y=8

(2)所有的正方形；

(3)拋物線y=x2上的所有點(diǎn)組成的

集合.

2x-3y=14,

【解】(1)解方程組

3x+2y=8,

x=4,八>

得…2,故解集為｛(%-訓(xùn)；

(2)集合用描述法表示為｛xlx是正方

形｝,簡寫為｛正方形｝;

(3)集合用描述法表示為｛(%,y)\y=

x2｝.

9.(2014?福州高一檢測)設(shè)集合5=

6

(1)試判斷元素1和2與集合B的關(guān)

系.

(2)用列舉法表示集合反

【解】(1)當(dāng)梟=1時(shí),$=2￡N;

/十JL

當(dāng)x=2時(shí)，圣=|&N,所以2

￡8.

令“=代入檢驗(yàn),

(2)0,1,42+x￡N

可得上={0,1,4).

［能力提升層次］

1.已知/={1,2,3},B={294},

定義集合7、5間的運(yùn)算7*5={梟反￡/

且依國，則集合7*5等于（）

A.{1,2,3}B.{2,4}C.{1,

3}D.{2}

【解析】因?yàn)閷儆诩狭Φ脑?/p>

是1,2,3,但2屬于集合屋所以

={1，3}.

【答案】C

2.（2014?山東壽光一中期末）已知集

合{jd/wf+Zx—1=0}有且只有一個(gè)元

素，則股的值是（）

A.0B.1

C.0或1D.0或一1

【解析】由題意知，/w=0或

An???加=0或膽=一1，選D.

4=0,

【答案】D

3.已知集合A={x\2x+a>^],且

1C4,則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是.

【解析】V1C4,「.2+aW0,.*.?

W-2。

【答案】〃W—2

4.集合M={xlax2_2x+2=0,a

￡R}中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)〃的取

值范圍.

【解】(1)當(dāng)。=0時(shí)，方程轉(zhuǎn)化為

-2x+2=0,解得x=L此時(shí)拉={1},

滿足條件；

(2)當(dāng)a=^0時(shí)，方程為一元二次方

程，由題意得4=4-8〃W0,即

此時(shí)方程無根或有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.

綜合⑴⑵可知，集合心中至多有一

個(gè)元素時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為

,a或您=

1.1.2集合間的基本關(guān)系

［學(xué)習(xí)目標(biāo)］L理解集合之間的包

含與相等的含義.（重點(diǎn)）2.能識(shí)別給定集

合的子集、真子集，會(huì)判斷集合間的關(guān)

系.（難點(diǎn)、易混點(diǎn)）3.在具體情境中，了

解空集的含義.（難點(diǎn)）

斑斑“自主學(xué)習(xí)?基礎(chǔ)知識(shí)?接受—

一、子集與真子集

1.子集與真子集

符號(hào)表

概念定義圖形表示

示

如果集合力中任意

一個(gè)元素都是集合B力且乃（或

子集

中的元素，稱集合力B切

為集合刀的子集

如果集合4G反但

真子存在尤素xGB,且4星B（

集述1，則稱集合力是或8皂4）

集合B的真子集.

2.Venn圖

用平面上封團(tuán)曲線的內(nèi)部代表集

合，這種圖稱為Venn圖.

3.子集的性質(zhì)

(1)任何一個(gè)集合是它本身的子集,

即

⑵對(duì)于集合B,C,如果NGB,

且5GC,那么二、集合的相等

1.條件：A^B,且

2.^^zj\：A=J8.

3.Venn圖：O

三、空集

1.定義：不含任何元素的集合,叫

做空集.

2.符號(hào)表不為：g.

3.規(guī)定：空集是任何集合的子集.

1.判斷(正確的打“J”，錯(cuò)誤的

打“義”)

(1)｛0｝=。.()

(2)正整數(shù)集是自然數(shù)集的子

集.()

(3)空集是任何集合的真子

集.()

L解析】集合｛0｝是以o為元素的

集合，是非空集，故⑴錯(cuò).

(2)二?對(duì)任意x￡N+,都有x￡N,

???N+GN,故⑵正確.

(3)二?空集不是空集的真子集，「.(3)

錯(cuò).

【答案】(1)X(2)V(3)X

2.集合｛L2｝的子集有()

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)

D.1個(gè)

【解析】集合{L2}的子集有。，

{1},{2}、{1,2}共4個(gè).

【答案】A

3.集合{1}與集合1=0}的關(guān)

系是.

【解析1{xlx2-1=0}={-1,

1}，

???1￡{xlx2-1=0},

又???-1￡但酎且-1陣口},

.,.{1}{xlx2-1=0}.

【答案】{1}{xlx2-1=0}

4.若集合力={1,a}9B={3,b}9

KA=B,則〃+辦=.

【解析】???力=5,?..集合A,B

中的元素相同，故a=3,b=1,貝+力

=4.

【答案】4

疑難問題卡片

預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)把你認(rèn)為難以解決

的問題記錄在下面的表格中

國合作探究?重難疑點(diǎn)

IWI探究吸收內(nèi)化

子集、真子集問

題

卜例（1）集合尸={*k2—1=0},T=

{—L0,1},則尸與T的關(guān)系為（）

A.PTB.P

C.P=TD.PQT

(2)(2014?濟(jì)南高一檢測)已知集合A

={xl-l<x<2},5={jd0VxVl}則

()

A.A>BB.AB

C.BAD.A^B

(3)滿足3*2+1=0}AW{xlx2-1

=0}的集合7的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3

D.4

【解析】⑴由f-LO,得*=

±1,「.尸={-1,1},因此尸T,故選

A.

(2)={xl-1<x<2},J?={xIO<x

<1}，

???對(duì)任意工￡氏都有

又???()」4而0至蜃

??BA.

(3){xlx2+1=0}=0,{xlx2-1=0}=

{-1,1},故集合力是集合{-1,1}的非

空子集，所以力的個(gè)數(shù)為22-1=3,故

選C.

【答案】(1)A(2)C(3)C

?規(guī)律方法?

1.寫有限集合的所有子集，首先要

注意兩個(gè)特殊的子集，0和自身；其次按

含一個(gè)元素的子集，含兩個(gè)元素的子

集…依次寫出，以免重復(fù)或遺漏.

2.若集合力含〃個(gè)元素，那么它子

集個(gè)數(shù)為2〃；真子集個(gè)數(shù)為2〃-1,非空

真子集個(gè)數(shù)為2n-2.

.集合的相等

卜例已知集合拉={2,a,b}9N=

{2a,2,b2},且〃=N,求a、辦的值.

【思路探究】可據(jù)集合相等的定

義，結(jié)合集合中元素的互異性，分類討

論，列出方程組求解.

【解】由集合相等的定義和集合

中元素的互異性得:

a=2a,a=b?,

或

b=b\b=2a,

A24=0,u4=0，L、

解方程組得Ln或I或

、力=0,b=l,

1

4=4，

b=\,

再根據(jù)集合中元素的互異性,

1

—4=0,4,

得或，

Fb=l,1

b

2,

?規(guī)律方法?

1.解答此類題目的基本方法為：利

用集合中元素的特征性質(zhì)列出方程組求

解，求出解后注意檢驗(yàn)，看所得結(jié)果是

否符合元素的互異性.

2.根據(jù)集合相等的定義，要證明力

=B,應(yīng)分兩步，第一步證明/￡5,轉(zhuǎn)

化為證明對(duì)任意X￡/都有x￡5；第二

步證明轉(zhuǎn)化為證明對(duì)任意

都有因此，集合與集合之間的包

含關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素與集合之間的從屬關(guān)

系，這就是“元素分析法”.

u?訓(xùn)組

2

集合,1,a,^={0,a,a+b}9則

、>

/014+*）15的值為（）

A.0B.1C.-1

D.±1

【解析】?JLa，~={0,a2,a

+b},

h

又a#0,.*.-=0,-9-b=0.

?9?a2=1,-9-a=±1.

又QWL「.Q=T,

?2014力2015=(_i)2014+02015=

?a+

【答案】B

由集合間的關(guān)系

康畫期........_

求參數(shù)

，例⑴已知集合/={—1,3,m2}

且5={3,4},B^A,貝!)〃/=.

(2)已知集合力={%反〈一1,或%>4},

B={x\2a^x^a+3}9若則實(shí)數(shù)

a的取值范圍為.

【思路探究】(1)由B^A知集合

6的元素都是集合力的元素，從而求出

m的值.

(2)以集合4是否為空集為標(biāo)準(zhǔn)分類

求解.

【解析】(1)由于5G4,則有病

=4,

解得m=±2.

(2)當(dāng)6=0時(shí)，只需2打＞。+3,即

?＞3;

當(dāng)時(shí)，根據(jù)題意作出如圖所示

的數(shù)軸，

a+3^2a,Ja+322a,

可得或

叮Q+3V-L2。＞4,

I、

解得av-4,或2vaW3.

綜上可得，實(shí)數(shù)〃的取值范圍為

{a\a<-4,或a>2}.

【答案】(1)±2(2){ala<-4,

或a>2}.

?規(guī)律方法?

1.利用數(shù)軸處理不等式表示的集合

間的關(guān)系問題，可化抽象為直觀，要注

意端點(diǎn)值的取舍，“含”用實(shí)心點(diǎn)表示,

“不含”用空心點(diǎn)表示.

2.涉及到“NGB”或“/5且

的問題，一定要分7=0和7/。

兩種情況討論，不要忽視空集的情況.

把例3(2)中的集合A換成aA={x\

—I<rv2}"，集合B不變，若AJB,

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

【解析】-A={x\-l<x<2},B=

{jd2aWxWa+3}.

若4口圖，

-15、2a<-1,

或"22,

a+3>2,

?,?實(shí)數(shù)a的取值范圍為

a-iWaW

/

f11

【答案】La

、J

1.元素、集合間的關(guān)系用符號(hào)

，，或“陣，，表示，

集合、集合間的關(guān)系用“￡”、

或“，，等表示.

2.處理集合間的關(guān)系時(shí)要注意以下

三點(diǎn)：

(1MEB且隱含著A=B和A

5兩種關(guān)系.

(2)注意空集的特殊性，在解題時(shí)，

若未指明集合非空，則要考慮集合為空

集的可能性.

(3)要注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論

思想在集合關(guān)系問題中的應(yīng)用.

斑斑酎易誤警示?規(guī)范指導(dǎo)I翻轉(zhuǎn)學(xué)習(xí)有效評(píng)價(jià)

忽視空集求參數(shù)范圍致誤

卜典例已知集合^4={xlx2+4x=

0,x￡R},j3={xlx2+2(a+l)x+a2—1

=0,xER),若則實(shí)數(shù)a的取值

范圍是_______

【易錯(cuò)分析】解答本題易忽視以

下兩種情況：一是5=/,二是5=。.

【防范措施】在求解集合關(guān)系問

題時(shí)應(yīng)特別注意以下兩種情況：一是任

何一個(gè)集合是它本身的子集，二是空集

是任何集合的子集.

【解析】A={x\x2+4x=0,x€

R}={0,-4},

因?yàn)樗?=7或5A.

當(dāng)B=A時(shí)，6={-4,0},

即一4,0是方程Y+2(〃+l)x+a2

-1=0的兩才艮，代入得〃=1,止匕時(shí)滿足

條件，即a=1符合題意.

當(dāng)54時(shí)，分兩種情況：

若6=0,貝I4=4(a+I)2-4(a2-1)

<0,解得〃<-1.

若UW。，貝1方程x+2(〃+l)x+a

-1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

所以4=4(。+I)2-4(/-1)=0,解

得〃=-1,

此時(shí)5={0},符合題意.

綜上所述，所求實(shí)數(shù)4的取值范圍

是{alaW-1或a=1}.

【答案】—1或〃=1}

——［類題嘗

試］-------------------------------

已知集合P={xlx2=l},集合Q

=［x\ax=l}9若QG尸，那么a的取值是

________?

【解析】由題意得尸={-1,1},

又因?yàn)镼GP,

若2=0,則4=0,此時(shí)滿足

/、

1

若QW。，貝”2=肌*=［卜由題意

11

知，一=1或一=-1,解得〃=±1.綜上可

知，4的取值是0,i1.

【答案】0,±1

課時(shí)作業(yè)（三）集合間的基本關(guān)系

［學(xué)業(yè)水平層次］

一、選擇題

1.已知集合/={0,1},則下列式

子錯(cuò)誤的是（）

A.OWNB.{1}

C.0^AD.{0,1}^A

【解析】???{1}口7,???{1}67錯(cuò)

誤，其余均正確.

【答案】B

2.集合M={%￡NI%=5—

N}的子集個(gè)數(shù)是（）

A.9B.8C.7

D.6

【解析】由題意知集合V={b3,

5}，

故其子集的個(gè)數(shù)是23=8.

【答案】B

3.（2014?河北衡水中學(xué)期末）已知集

合力={2,0,1},集合=={xlbdV〃,且

xEZ},則滿足ZGB的實(shí)數(shù)〃可以取的

一個(gè)值是（）

A.0B.1C.2D.3

【解析】集合5={xlhd<%且

x￡Z},={x\-a<x<a,x€Z},又

7={2,0,1},故滿足ZGB的實(shí)數(shù)a

可以取的一個(gè)值是3,選D.

【答案】D

4.已知集合/={jdf—3%+2=0,

xeR},B={x\Q<x<5,xEN},則滿足條

件力q的集合C的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【解析】由題意知：力={1,2},

B={1,2,3,4}.又/GCGB,貝q集合

C可能為{1,2},{1,2,3},{1,2,4},

{1,2,3,4）.

【答案】D

二、填空題

5.集合。和{0}的關(guān)系表示正確的有

.（把正確的序號(hào)都填上）

①{0}=0②{0}00③{0}口0

④0{0}

【解析】。沒有任何元素，而{0}

中有一個(gè)元素，顯然0W{O},又0是任何

非空集合的真子集，故有。{0},所以

④正確，①②③不正確.

【答案】④

6.設(shè)集合"={(*,y)lx+yV0,xy

>0}和尸={(x,j;)lx<0,yVO},那么AT

與尸的關(guān)系為.

【解析】因?yàn)閷O>0,所以x,y

同號(hào)，又x+y<0,所以x<0,y<0,

即集合"表示第三象限內(nèi)的點(diǎn)，而集合

P表示第三象限內(nèi)的點(diǎn)，故"=尸.

【答案】M=P

7.已知0{xlx2—x+a=0},則實(shí)

數(shù)。的取值范圍是.

【解析】e/0{xlx2-x+a=0},

,1

?，?/=(-1)-4a20,「.〃式了

【答案】[〃〃司1]

三、解答題

8.已知集合力={(x,y)\x+y=2,x,

y￡N},試寫出A的所有子集.

【解】因?yàn)?={(x,y)\x+y=2,

x,y￡N}?所以Z={(0,2),(1,1),(2,

0)).

所以4的子集有:0,{(0,2)},{(1,

1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,

2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),

(1,1),(2,0)).

9.設(shè)集合7={1,a,b},B={a,

2

a,ab}9且4=5,求實(shí)數(shù)〃、力的值.

【解】?.?力=6且..1￡氏

若4=1,則a2=1,這與元素互異性矛

盾，」.aWl,若7=1,貝Ua=-1或〃

=1（舍），--A={1,-1,b},b=ab

=一b,川7力=0,若ab=1,貝I/=力，

得=1,即〃=1（舍去），故4=-1,b

=0.

［能力提升層次］

L（2014?湖北孝感期中）集合力=

｛（X,=梟}和B

心一丁=1

（x,yK+4y=5,,則下列結(jié)論中正

確的是（）

A.l^AB.BQAC.（1,

1）￡BD.0^A

【解析】B=

I\2x-y=1]L

O|1+4y=5卜｛（】'1）｝'故選

B.

【答案】B

2.已知集合/=N2],B=

：x\ax-2=0｝,若5G4則a的值不可能

是（）

A.0B.1C.2

D.3

【解析】由題意知，4=0時(shí)，5

2

=0,滿足題意；時(shí)，由-￡/=〃=

1,2,所以4的值不可能是3.

【答案】D

3.已知：A={1,2,3},B={1,

2},定義某種運(yùn)算：A^B=

卜卜=處+'2，Xi^A,必￡居，則中

最大的元素是，集合的所

有子集的個(gè)數(shù)為.

【解析】由題意知7*5={2,3,

4,5},

.-A^B中最大的元素是5,

集合4*5有4個(gè)元素，.,.所有子集

個(gè)數(shù)為24=16.

【答案】516

4.設(shè)集合力={巾一l〈xW6},B=

{%血一1WXW2/W+1},已知BGA.

(1)求實(shí)數(shù)膽的取值范圍；

(2)當(dāng)x￡N時(shí)，求集合力的子集的

個(gè)數(shù).

【解】(1)①當(dāng)m-\>2m+1,即

m<-2時(shí)，B=。符合題意；

②當(dāng)加一1W2/W+1,即加2-2時(shí)，

B豐0.

由借助數(shù)軸如圖所示，

-1m-\2m+l6x

f/w-12-1,5

得)「V久解