2021年高中數(shù)學(xué)人教B版選擇性必修第三冊分課時全冊教學(xué)案

【新教材】2021年高中數(shù)學(xué)人教B版選擇性必修第三冊分

課時全冊教學(xué)案

5.1數(shù)列基礎(chǔ)

5.1.1數(shù)列的概念

最新課程標準

1.理解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項

公式）.

2.掌握數(shù)列的通項公式及應(yīng)用.（難點）

3.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).

里川勿勿勿川出勿勿勿勿川川IW川川川I川I卅勿勿勿川國囪囪因?|白閨學(xué)I習(xí)I川川川川川川出川川川川川川川川川川川川川川“川川徐

［教材要點I

知識點一數(shù)列的概念及一般形式

L定義：按照一定次序排列起來的一列數(shù)

項：數(shù)列中的稱為這個數(shù)列

的項；排在的數(shù)稱為這個數(shù)

列的第1項（通常也叫做首項）

即，。2，〃3，…，斯，…，簡記為

數(shù)列的項與項數(shù)一樣嗎?

［提示］不一樣.

知識點二數(shù)列的分類

類別含義

按項有窮數(shù)列項數(shù)—的數(shù)列

的

無窮數(shù)列項數(shù)_______的數(shù)列

個數(shù)

從第2項起，每一項都_______它

遞增數(shù)列

的前一項的數(shù)列

按項

從第2項起，每一項都_______它

的遞減數(shù)列

的前一項的數(shù)列

變化

常數(shù)列各項都__的數(shù)列

趨

從第2項起，有些項________它的

勢

擺動數(shù)列前一項，有些項小于它的前一項的

數(shù)列

知識點三數(shù)列的通項公式

如果數(shù)列｛。〃｝的第n項時與之間的關(guān)系可以用一

個函數(shù)式來表示，那么這個叫做這個數(shù)列的

通項公式.

狀元隨筆|數(shù)列一定有通項公式嗎？

［提示］不一定.

知識點四數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系

從函數(shù)的觀點看，數(shù)列可以看作是特殊的函數(shù)，關(guān)系如

下表：

定義域正整數(shù)集N+(或它的有限子集｛1,2,3,…，〃｝)

解析式數(shù)列的通項公式

值域自變量時對應(yīng)的一列函數(shù)值

(1)通項公式(解析法)；⑵_______法；

表示方法

⑶—一法

|狀元隨筆數(shù)列所對應(yīng)的圖像是連續(xù)的嗎?

［提示］不連續(xù).

［基礎(chǔ)自測］

21

1.已知數(shù)列｛恁｝的通項公式為恁=區(qū)/，那么充是它的

()

A.第4項B.第5項

C.第6項D.第7項

2.下列四個數(shù)中，哪個是數(shù)列5（〃+1）｝中的一項（）

A.380B.392

C.321D.232

3.已知數(shù)列｛斯｝的通項公式為恁」十（”，則該數(shù)列

的前4項依次為（）

A.1,0,1,0B.0,1,0」

C，2，0,y0D.2,0,2,0

4.下列說法正確的是（填序號）.

①｛0,123,4,5｝是有窮數(shù)列；

②從小到大的自然數(shù)構(gòu)成一個無窮遞增數(shù)列；

③數(shù)列1,2,3,4,…，2〃是無窮數(shù)列.

小川川川川切川川川川川川川川川川川川川川川川川川MllllhE］圖遇圖?國園崛］川川川川川川*川川川川川川川川川川川川川川川川川川lh

題型一數(shù)列的概念及分類

例1已知下列數(shù)列：

①2011,2012,2013,2014,2015,2016；

②1，,；，1

‘尸’…；

23(―l)f

③1,—y

2n-l

@1,0,—1,…，sin-y,…；

⑤2,4,8,16,32,…；

@-1,-1,-1,-1.

其中，有窮數(shù)列是,無窮數(shù)列是，遞增

數(shù)列是，遞減數(shù)列是，常數(shù)列是,

擺動數(shù)列是.（填序號）

狀元隨筆|緊扣有窮數(shù)列，無窮數(shù)列，遞增數(shù)列，遞減數(shù)

列，常數(shù)列及擺動數(shù)列的定義求解.

方法歸的

1.與集合中元素的性質(zhì)相比較，數(shù)列中的項的性質(zhì)具有以

下特點：

(1)確定性：一個數(shù)是或不是某一數(shù)列中的項是確定的，集

合中的元素也具有確定性；

(2)可重復(fù)性：數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)，而集合中的元素不能

重復(fù)出現(xiàn)(即互異性)；

(3)有序性：一個數(shù)列不僅與構(gòu)成數(shù)列的“數(shù)”有關(guān)，而且

與這些數(shù)的排列順序有關(guān)，而集合中的元素沒有順序(即無序性);

(4)數(shù)列中的每一項都是數(shù)，而集合中的元素還可以代表除

數(shù)字外的其他事物.

2.判斷數(shù)列是哪一種類型的數(shù)列時要緊扣概念及數(shù)列的特

點.對于遞增、遞減、擺動還是常數(shù)列要從項的變化趨勢來分

析；而有窮還是無窮數(shù)列則看項的個數(shù)有限還是無限.

跟蹤訓(xùn)練1給出下列數(shù)列：

①2011?2018年某市普通高中生人數(shù)(單位：萬人)構(gòu)成數(shù)

列82,93,105,119,129,130,132,135.

②無窮多個小構(gòu)成數(shù)列小，小，小，小,….

③一2的1次累，2次累，3次累，4次累，…構(gòu)成數(shù)列一

2,4,-8,16,-32,….

其中，有窮數(shù)列是,無窮數(shù)列是，遞增

數(shù)列是，常數(shù)列是，擺動數(shù)列是.

題型二由數(shù)列的前幾項求通項公式

例2寫出下列數(shù)列的一個通項公式：

1925

(1)2?2,2，8,-y,…；

(2)9,99,999,9999,…：

22—13?—24?一352-4

⑶1，3'5，7，…；

⑷—1...

B1X2'2X3'3X4'4X5',

狀元隨筆I先觀察各項的特點，注意前后項間的關(guān)系，分

子與分母的關(guān)系，項與序號的美系，每一項符號的變化規(guī)律，

然后歸納出通項公式.

方弦歸相

1.根據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項公式時，需仔細觀察分

析，抓住以下幾方面的特征：

(1)分式中分子、分母的特征；

(2)相鄰項的變化特征；

(3)拆項后的特征；

(4)各項符號特征等，并對此進行歸納、聯(lián)想.

2.觀察、分析問題的特點是最重要的，觀察要有目的，觀

察出項與序號之間的關(guān)系、規(guī)律，利用我們熟知的一些基本數(shù)

列(如自然數(shù)列、奇偶數(shù)列等)轉(zhuǎn)換而使問題得到解決，對于正負

符號變化,可用(一1)〃或(一I)"】來調(diào)整.

跟蹤訓(xùn)練2寫出下列數(shù)列的一個通項公式：

(1)0,3,8,15,24,?；

(2)1,—3,5,—7,9,…；

(3)1爹,2y3彳,與…；

(4)1,11,111,1111,….

題型三數(shù)列的單調(diào)性及應(yīng)用

狀元隨筆

1.數(shù)列1多3本7；1.53■1，…的通項公式是什么?該數(shù)列

的第7項是什么？忌255是否為該數(shù)列中的一項？為什么？

［提示］由數(shù)列各項的特點可歸納出其通項公式為%=

號1,當n=7時，27=票=黑，若急為該數(shù)列中的一項,

ZZIZoZ3O

則^解得n=8,所以瑞是該數(shù)列中的第8項.

2.已知數(shù)列｛a。｝的通項公式為a0=—M+Zii+l,該數(shù)列的

圖像有何特點？試利用圖像說明該數(shù)列的單調(diào)性及所有的正數(shù)

項.

［提示］由數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系可知，數(shù)列｛an｝的圖像是分布

在二次函數(shù)y=-x2+2x+l圖像上的離散的點，如圖所示，從

圖像上可以看出該數(shù)列是一個遞減數(shù)列，且前兩項為正數(shù)項，

從第3項往后各項為負數(shù)項.

例3已知函數(shù)加)=x—J.數(shù)列｛?！ǎ凉M足兒/〃)=一2〃，且

(1)求數(shù)列｛恁｝的通項公式；

(2)判斷數(shù)列｛0〃｝的增減性.

狀元隨筆I先根據(jù)已知條件解方程求即，再利用作差法或

作商法判斷數(shù)列｛an｝的增減性.

方法總的

1.由通項公式寫出數(shù)列的指定項，主要是對〃進行取值，

然后代入通項公式，相當于函數(shù)中，已知函數(shù)解析式和自變量

的值求函數(shù)值.

2.判斷一個數(shù)是否為該數(shù)列中的項，其方法是可由通項公

式等于這個數(shù)求方程的根，根據(jù)方程有無正整數(shù)根便可確定這

個數(shù)是否為數(shù)列中的項.

3.判斷數(shù)列單調(diào)性的兩種方法

(1)作差(或商)法;

(2)目標函數(shù)法：寫出數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)，利月基本初等函數(shù)

的單調(diào)性探求其單調(diào)性，再將函數(shù)的單調(diào)性對應(yīng)到數(shù)列中去，

由于數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)圖像是離散型的點，故其單調(diào)性不同于函

數(shù)的單調(diào)性，本例(2)在求解時常因誤用二次函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)致

求錯實數(shù)左的取值范圍.

在用函數(shù)的有關(guān)知識解決數(shù)列問題時，要注意它的定義域

是N+(或它的有限子集｛1,2,3,…，〃｝)這一約束條件.

跟蹤訓(xùn)練3已知數(shù)列的通項公式為Q〃=〃2+2〃-5.

(1)寫出數(shù)列的前三項；

⑵判斷數(shù)列｛為｝的單調(diào)性.

題型四數(shù)列的最大(小)項的求法

例4已知數(shù)列｛叫的通項公式恁=(〃+1)冊(〃￡N+),試

問數(shù)列｛斯｝有沒有最大項？若有，求最大項和最大項的項數(shù)；

若沒有，說明理由.

方法忸佃

求數(shù)列的最大(小)項的兩種方法

一是利用判斷函數(shù)增減性的方法，先判斷數(shù)列的增減情況,

再求數(shù)列的最大項或最小項；如本題利用差值比較法來探討數(shù)

列的單調(diào)性，以此求解最大項.

Clk1

二是設(shè)四是最大項，則有、對任意的MN+且

.?！┡c恁+1

左與2都成立，解不等式組即可.

跟蹤訓(xùn)練4已知數(shù)列｛為｝的通項公式為魅=〃2—5〃+4.

(1)數(shù)列中有多少項是負數(shù)？

(2)〃為何值時，為有最小值？并求出最小值.

敖材攻聯(lián)

1.本節(jié)課的重點是數(shù)列的概念、通項公式以及數(shù)列通項公

式的求法.難點是根據(jù)數(shù)列的若干項寫出數(shù)列的一個通項公式.

2.要掌握由數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式的方法

以及由數(shù)列的通項公式求項或判斷一個數(shù)是否為數(shù)列中的某一

項的方法.

易錯占要注聿以下兩個易錯占：

1.卓霏所有的數(shù)列都能寫出痔I勺通項公式，例如，兀的不

同近似值，依據(jù)精確的程度可形成一個數(shù)列

3,3.1,3.14,3.141,它沒有通項公式.

2.如果一個數(shù)列有通項公式，則它的通項公式可以有多種

形式.

溫馨提示：請完成課時分層作業(yè)（一）

第五章數(shù)列

5.1數(shù)列基礎(chǔ)

5.1.1數(shù)列的概念

新知初探,自主學(xué)習(xí)

知識點一

每一個數(shù)第一位{an}

知識點二

有限無限大于小于相等大于

知識點三

n斯=/5）公式

知識點四

從小邕大依次取正整數(shù)值列表圖像

［基礎(chǔ)自測］

11?

1.解析：設(shè)會是數(shù)列中的第〃項，則古=品，解得〃=

4或〃=—5.V—5陣N+,??.〃=-5應(yīng)舍去，故火=4.

答案：A

2.解析：因為19X20=380,

所以380是數(shù)列55+1)｝中的第19項.應(yīng)選A.

答案：A

3.解析：當〃分別等于1,2,3,4時，心=1,。2=0,的=3

。4=0.

答案：A

4.解析：因為｛0,1,2,3,4,5｝是集合，而不是數(shù)列，所以①

錯誤；②正確;數(shù)列1,2,3,4,…，2〃共有2〃項，是有窮數(shù)列,

所以③錯誤.

答案：②

課堂探究素養(yǎng)提升

例1解析：①為有窮數(shù)列且為遞增數(shù)列；②為無窮、遞

減數(shù)列；③為無窮、擺動數(shù)列；④是擺動數(shù)列，是無窮數(shù)列，

也是周期為4的周期數(shù)列；⑤為遞增數(shù)列，也是無窮數(shù)列；⑥

為有窮數(shù)列，也是常數(shù)列.

答案：①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④

跟蹤訓(xùn)練1解析：①為有窮數(shù)列；②③是無窮數(shù)列，同

時①也是遞增數(shù)列；②為常數(shù)列；③為擺動數(shù)列.

答案：①②③①②③

例2解析：(1)數(shù)列的項，有的是分數(shù)，有的是整數(shù)，可

49_1625

將各項都統(tǒng)一成分數(shù)再觀察：…，所以，它

T29T9工,

YI

的一個通項公式為a〃=5(〃WN+).

(2)各項加1后，變?yōu)?0,100,1000,10000,…此數(shù)列的通項

公式為10\可得原數(shù)列的通項公式為％=10”-l(〃￡N+).

(3)數(shù)列中每一項由三部分組成，分母是從1開始的奇數(shù)列,

可用2/1-1表示；分子的前一部分是從2開始的自然數(shù)的平方,

可用(〃+1)2表示，分子的后一部分是減去一個自然數(shù)，可用n

表示，綜上，原數(shù)列的通項公式為a"：')I](〃￡N+).

(4)這個數(shù)列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積

的倒數(shù)，且奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，所以它的一個通項公式

是斯=(-D"；^PIj(〃eN+).

跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)觀察數(shù)列中的數(shù)，可以看到0=1—

1,3=4—1,8=9—1,15=16—1,24=25—1,…，所以它的一個通

2

項公式是aH=n—l(z?EN+).

(2)數(shù)列各項的絕對值為1,3,5,7,9,…，是連續(xù)的正奇數(shù)，

并且數(shù)列的奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，所以它的一個通項公式

為例=(-1)用(2九一l)(〃￡N+).

(3)此數(shù)列的整數(shù)部分為1,2,3,4,…恰好是序號叫分數(shù)部

分與序號〃的關(guān)系為毫，故所求的數(shù)列的一個通項公式為“

n—+2n

+市=_^7—+).

(4)原數(shù)列的各項可變?yōu)閊X9,1x99,1x999,1x9

999,…,易知數(shù)列9,99,999,9999,…的一個通項公式為%=

10〃一1.所以原數(shù)列的一個通項公式為〃“=*0〃一l)(〃￡N+).

例3解析：⑴?7x)=x—：,八知)=-2〃，

an————2n,即-1=0,

2

解得an=—n±\]n-1,

*/an>0,;?%=N才+1—n.

(2)法一(作差力___________

<?*a〃+i_q〃=d(〃+1)2+]_(〃+l)—(yln2+l—n)

=d(〃+1)2+1-1—+1—1

[^/(/;+1)2+1-^H2+1][^/(H+1)2+1+y]n2+l]_

.(〃+1，+1+.—+11

_______(〃+1)+〃_____

.(〃+1+》〃2+1晨

又[(〃+1y+1+1,q/+1>”,

._____(〃+1)+〃_____

.(〃+；)2+1+y/幾2+11?

/.an+\—an<0,即?！?1<恁.，數(shù)列｛4〃｝是遞減數(shù)列.

法二（作商法）

.為+1Ns+iy+i—(〃+1)

______1+〃__________

N(n+1)?+1+(〃+1)1

???%+15???數(shù)列｛劣｝是遞減數(shù)列.

跟蹤訓(xùn)練3解析：(1)數(shù)列的前三項:ai=『+2Xl—5=

-2；

6?2=22+2X2—5=3；

的=32+2X3—5=10.

2

(2)Van=n+2n~59

an11-afl=(〃+1)2+2(〃+1)-5—(/+2,-5)

—w2+2n+1+2〃+2—5—〃2一2〃+5

=2〃+3.

V^EN+,/.2n+3>0,/.an+[>an.

工數(shù)列｛。〃｝是遞增數(shù)列.

(10)(101

例4解析：法一q?=(〃+2,五〃+1一(〃+l)H

(10\,9—〃

=lTTj,~iF9

當n<9時,即+1—%>0,即an+\>an；

=

當〃=9時，斯+1—斯=0,即an+\an；

當n>9時，an+i—ari<09即afl+\<an9

所以數(shù)列中有最大項，最大項為第9、10項,

1O10

即々9=410=斤產(chǎn)，

法二：設(shè)以是數(shù)列｛?！ǎ淖畲箜?

口/叫，J”D瞪卜瑞，

則>即1外力

"i""［（左+1）慌），（女+2）瑞卜

10Z+10211鼠

整理得

114+11210左+20,

得9WA<10,

所以左=9或10,

10

即數(shù)列｛?！ǎ械淖畲箜棡榈?So=凈1O.

跟蹤訓(xùn)練4解析：⑴由〃2—5〃+4<0,

解得l<n<4.

?.?〃￡N+,?,?幾=2,3.；,數(shù)列中有兩項是負數(shù).

、

(2)法一：???〃〃=??—5"+4=[("—目52—不9可知對稱軸方程

為w=|=2.5.

又,.,〃￡N+,故〃=2或3時，％?有最小值，且a2=a3,其

最小值為22-5X2+4=-2.

法二：設(shè)第〃項最小，由1

n—5〃+4W(〃+1)2—5(〃+1)+4,

[n-5〃+4W(〃-1)-5(〃-1)+4.

解這個不等式組，得2W3,

?**Z2=2,3,，。2=。3且最小,

1.42=43=2?—5X2+4=-2.

5.1.2數(shù)列中的遞推

最新課程標準

1.理解遞推公式的含義.(重點)

2.掌握遞推公式的應(yīng)用.(難點)

3.理解數(shù)列中的的與S”的關(guān)系.

小川川川川川/川川川川川川勿勿川出勿勿川川川川“必川”,因囪圓因?|〃住|學(xué)|習(xí)|伽伽伽岫伽伽伽川伽伽加伽伽川h

[教材要點]

知識點一數(shù)列遞推公式

⑴兩個條件：

①已知數(shù)列的;

②從第二項（或某一項）開始的任一項即與它的前一項an-

i（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示.

⑵結(jié)論：具備以上兩個條件的公式叫做這個數(shù)列的

公式.

狀元隨筆

由數(shù)列的遞推公式能否求出數(shù)列的項？

［提示］能，但是要逐項求.

知識點二數(shù)列遞準公式與通項公式的關(guān)系

遞推公式通項公式

表示恁與它的前一

表示恁與________

區(qū)別項_______（或前幾

之間的關(guān)系

項）之間的關(guān)系

（1）都是表示_______的一種方法；

聯(lián)系⑵由遞推公式求出前幾項可歸納猜想出通

項公式

知識點三?！ㄅc￡的關(guān)系

若數(shù)列｛為｝的前〃項和為

人",n2.

特別地，若處滿足a〃=S〃-Sr（〃22）,則不需要分段.

［基礎(chǔ)自測I

1.已知數(shù)列｛知｝的第1項是1,第2項是2,以后各項由

〃〃=〃〃7+以_2（〃N3）給出，則該數(shù)列的第5項等于（）

A.6B.7

C.8D.9

2.已知非零數(shù)列小｝的遞推公式為0=1,即=號匕〃-

1(42),則。4=

3.已知數(shù)列｛〃〃｝中，ax=-z,恁=則a5=

4.已知數(shù)列｛an｝的前n項和Sn=n+1,則an=

“川勿川川川W川川川卅勿川川川勿勿出川川川川"川"出川MtE]口陶圖?畫酶園I川川川I川川M川/

題型一由遞推關(guān)系寫數(shù)列的項

例1(1)已知數(shù)列｛〃〃｝滿足關(guān)系a〃斯+1=1—a“+i(〃￡N+)旦

。2018=2,則。2019=()

A,-3B3

C..JD4

(2)已知數(shù)列｛a〃｝滿足s=l,即+2—恁=6,則aH的值為

()

A.31B.32

C.61D.62

方法歸的

由遞推公式寫出數(shù)列的項的方法

1.根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項，首先要弄清楚公式中

各部分的關(guān)系，依次代入計算即可.

2.若知道的是末項，通常將所給公式整理成用后面的項表

示前面的項的形式，如a〃=2a〃+]+1.

3.若知道的是首項，通常將所給公式整理成用前面的項表

?7---1

示后面的項的形式，如a〃+i=1S—.

跟蹤訓(xùn)練1已知數(shù)列｛斯｝的第1項0=1,以后的各項由

公式斯+1=言%給出，試寫出這個數(shù)列的前5項.

題型二由斯與，的關(guān)系求通項公式

例2已知數(shù)列｛劣｝的前n項和S〃=2f—3n,貝I」a,=

方法歸的

已知S〃求為的三個步驟

1.利用a\=S\求出外.

2.當時，利用恁=，一工-1(〃22)求出?！ǖ谋磉_式.

3.看處是否符合〃22時許的表達式，如果符合，則可以

把數(shù)列的通項公式合寫；否則應(yīng)寫成分段的形式，即為=

S,n=\

Sn—Sn-i9心2.

跟蹤訓(xùn)練2已知數(shù)列｛6｝的前〃項和S〃=3"+l,則%=

題型三數(shù)列的遞推公式與通項公式的關(guān)系

狀元隨筆|1.某劇場有30排座位，從第一排起，往后各

排的座位數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列｛an｝,滿足ai=20,an+i=an+2,你能

歸納出贅列｛%｝的通項公式嗎？

［提不］由a】=20,an+i=an+2得a2=a1+2=22,

a3=a2+2=24,a4=a3+2=26,25=如+2=28,???，

由以上各項歸納可知an=20+(n-l)-2=2n+18.

即an=2n+18(n￡N+,幾W30).

2.在數(shù)列｛四｝中，0=3,誓=2,照此遞推關(guān)系，你能

寫出｛恁｝任何相鄰兩項滿足的關(guān)系嗎？若將這些關(guān)系式兩邊分

別相乘，你能得到什么結(jié)論？

［提示］按照等=2可得腎=2,腎=2,腎=2,…，4=

2(心2),將這些式子兩邊分別相乘可得?號號??…巫=

a1〃2a3an-\

2,2..2.

則詈=2〃T,所以斯=3?2“T(〃￡N+).

a1

3.在數(shù)列｛a〃｝中，若見=3,an+［—an=2,照此遞推關(guān)系

試寫出前〃項中，任何相鄰兩項的關(guān)系，將這些式子兩邊分別

相加，你能得到什么結(jié)論？

［提示］由a〃+］—a〃=2得的—。1=2,ay—ai=2,

如一的=2,…，a,—an-\=2(n^2,nGN+),將這些式子兩

邊分別相加得：生一⑶+的一“2+04—\~an—an-\=2(n—}),

即an—a\=2(n—1),

所以有an=2(n—l)+〃i=2〃+l(〃￡N+).

例3設(shè)數(shù)列｛?！ǎ鞘醉棡?的正項數(shù)列，且恁+1=毫

a〃(“￡N+),求數(shù)列的通項公式.

狀元隨筆|由遞推公式，分別令n=1,2,3,得a2,a3,a4,

由前4項觀察規(guī)律，可歸納出它的通項公式；或利用an+1=

島a”反復(fù)迭代；或?qū)1rH即變形為^后進行累乘;

或?qū)⑵?產(chǎn)士即變形式如警吐1=1,構(gòu)造數(shù)列｛n%｝為常數(shù)歹(].

n?1ndn

方收陽佃

由數(shù)列的遞推公式求通項公式時，若遞推關(guān)系為?！?]=知

+4〃)或4“+i=g(〃>a〃，則可以分別通過累加或累乘法求得通項

公式，即：

1.累加法：當?！??！耙粅+7(〃)時，常用an=(an—an-])+(an-

1一Q/L2)+…+(42一求通項公式.

2.累乘法：當馬-=g(〃)時，常用為=衛(wèi)?久二絲0求

通項公式.

跟蹤訓(xùn)練3已知數(shù)列｛&｝中,勾=2,0rH=a〃+3(〃￡N+),

寫出這個數(shù)列的前5項，猜想知并加以證明.

散材友思

1.本節(jié)課的重點是數(shù)列遞推公式的應(yīng)用，難點是數(shù)列函數(shù)

性質(zhì)的應(yīng)用及由遞推公式求數(shù)列的通項公式.

2.要掌握判斷數(shù)列單調(diào)性的方法，掌握求數(shù)列最大（?。╉?/p>

的方法.

3.要會用數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的項或通項.

4.要注意通項公式和遞推公式的區(qū)別

通項公式直接反映an和n之間的關(guān)系，即?！ㄊ恰ǖ暮瘮?shù)，

知道任意一個具體的〃值，就可以求出該項的值為；而遞推公

式則是間接反映數(shù)列的式子，它是數(shù)列任意兩個（或多個）相鄰項

之間的推導(dǎo)關(guān)系，不能由〃直接得出

溫馨提示：請完成課時分層作業(yè)（二）

5.1.2數(shù)列中的遞推

新知初探?自主學(xué)習(xí)

知識點一

⑴魯嬴或前幾項）（2）遞推

知識點二

an-\n數(shù)列

知識點三

SiS,—Sn-i

[基礎(chǔ)自測I

1.解析：因為2（〃因3）且。1=1,。2=2,所以

的=。2+。1=2+1=3,

=的+a[=3+2=5,

=。4+的=5+3=8.

答案：C

2.解析：依次對遞推公式中的〃賦值，當〃=2時，Z=2;

34

當〃=3時，卬=乃2=3；當〃=4時，04=手心=4.

答案：4

3.解析：因為?=—5，=

所以.2=1—；=1+2=3,

■

1231

的=1-1=?，。4=1-2~-2,。5=1+2=3.

答案：3

4.解析：當n=1時，a\=S\=2.

當時，

=2

anSn—S〃-i=1+1—-1)+1]—2H—1,

好」2,〃=1,

“2/1—1,〃￡N*.

2,/?—1,

答案：

02n—192,〃￡N*.

課堂探究素養(yǎng)提升

例1解析：⑴由a/n+l=l—?！?1，

得恁+|=￡77'

又<*<^2018=2,

/?^2019=2?故選B.

(2),.?數(shù)列｛為｝滿足01=1,%+2—%=6,

*,?(^3=6H-1=7,/=6+7=13,即=6+13=19,的=6+

19=25,?1=6+25=31.

答案：(1)B(2)A

跟蹤訓(xùn)練1解析：??%=1,%+產(chǎn)圣,

斯十2

?2〃i2

?,做一不工一丞

2x|

2念_______31

念+2—J?y

2XT

2。3乙2

2^42X51

的一聲=壬?

故該數(shù)列的前5項為1,儲21,2康｛1

例2解析：0=5：=2—3=—1,

=22

當“22時，anSn—Sn-\=(2n—3/1)—[2(〃-I)—3(〃-1)]

=4/7—5,

由于S也適合此等式，：.an=4n—5.

答案：4,?—5

跟蹤訓(xùn)練2解析：當〃=1時,ai=5i=3+l=4；

當時，

an—Sn—S〃-i=(3〃+1)—(3"f+1)=2,3"T.

當〃=1時，2X31=2#/

4,〃=1,

所以?！?。，

2-3T心2.

4,〃=1,

答案：

2,3〃T,心2.

例3解析：因為研產(chǎn)1勾

法一：（歸納猜想法）藥=1,。2=5*1=,，tz3=^x1=1,a4

猜想%=*

法二：（迭代法）因為

n—1n―1n—2n—1n—21

所以“〃=一二卬一】=—T.乃"L2—?=一丁--n—71...利2

,,=1

從而an=~-

yi

法三：（累乘法）因為—+1=行產(chǎn),

所以駕1

a〃n~\~1'

則anan-\azn—\〃-21

9

1時-2axnn—\2

所以Q〃=：

法四：（轉(zhuǎn)化法）因玻寧帚，

(〃+l)a〃+i

所以

nan

1

故數(shù)列｛〃蠲｝是常數(shù)列，na=ay=l,所以即=

nn

跟蹤訓(xùn)練3解析：ci\=2,。2=。1+3=5,

的=。2+3=8,々4=43+3=11,

。5=。4+3=14,

猜想：an=3n—\,

證明如下：由Q〃+I=Q〃+3得

。2=。1+3,的=〃2+3,

。4=。3+3,

???

Cl/iQn—]I3.

將上面的（幾一1）個式子相加，得

。〃一=1）,

所以a”=2+3（〃-1）=3〃-1.

5.2等差數(shù)列

等差數(shù)列

5.2.1

第1課時等差數(shù)列的定義

最新課程標準

1.理解等差數(shù)列的概念.（難點）

2.掌握等差數(shù)列的通項公式及運用,（重點、難點）

3.掌握等差數(shù)列的判定方法.（重點）

勿勿勿勿勿附出勿勿勿勿川川川W川川川川川川川川責(zé)川川后囪囪因?俯閨學(xué)I習(xí)I川川川川川川NM川川川川川川川川川川川川川川川川川川h

［教材要點］

知識點一等差數(shù)列的概念

如果一個數(shù)列｛〃〃｝從第項起，每一項與它的前一

項之差都等于常數(shù)d,那么這個數(shù)列｛處｝就叫做等差數(shù)

列，這個常數(shù)d叫做等差數(shù)列的.

狀元隨筆I等差數(shù)列的定義用符號怎么表示？

［提示］Cln+1—Cln~d（F2f1為常數(shù)）.

知識點二等差數(shù)列的通項公式

若等差數(shù)列的首項為0，公差為"，則其通項〃〃=

狀元隨筆|等差數(shù)列的通項公式是什么函數(shù)模型？

［提示］dWO時，一次函數(shù)；d=0時，常值函數(shù).

知識點三等差數(shù)列的單調(diào)性

等差數(shù)列｛6｝中，若公差六0,則數(shù)列｛斯｝為數(shù)歹（J;

若公差80,則數(shù)列｛“〃｝為數(shù)列.

［基礎(chǔ)自測I

1.下列數(shù)列中不是等差數(shù)列的為（）

A.6,6,6,6,6B.—2,—1,0,1,2

C.5,8,11,14D.0,1,3,6,10

2.數(shù)列缶〃｝的通項公式劣=2〃+5,則此數(shù)列（）

A.是公差為2的等差數(shù)列B.是公差為5的等差數(shù)列

C.是首項為5的等差數(shù)列D.是公差為〃的等差數(shù)列

3.已知等差數(shù)列｛6｝中，首項0=4,公差d=-2,則通

項公式an=.

4.若2,a,b,c,9成等差數(shù)列，則c—。=.

W*勿川川川W川川川卅卅川川川勿川出川川川川"川"N川E］口陶圖?畫酶園川川川川川川*川川川川H川川川川川卅川川川川川川川川）

題型一等差數(shù)列的概念

2

例1已知數(shù)列｛〃〃｝的通項公式an=pn+qn（p,q￡R,且

p，夕為常數(shù)）.

（1）當p和9滿足什么條件時，數(shù)列｛〃〃｝是等差數(shù)列？

（2）設(shè)c片為+i一即求證：對任意實數(shù)p和q,數(shù)列｛&｝是等

差數(shù)列.

狀元隨筆|已知等差數(shù)列｛%｝的首項為aP公差為d,在

數(shù)列｛bn｝中，bn=3an+4,試判斷｛bn｝是不是等差數(shù)列？

［提示］可以利用由和d寫出bn的通項公式，也可以直接

利用定義判斷W+1一也是不是常數(shù).

—

根據(jù)題意，知bn+i—3an+i+4,則bn+ibn=3an+i+4—（3an

+4）=3（a/1—aj=3d（常數(shù)）.

由等差數(shù)列的定義知，數(shù)列｛卜｝是等差數(shù)列.

方法歸的

等差數(shù)列的判定方法有以下三種：

1.定義法：恁+]—詼="(常數(shù))(〃￡N+)臺｛冊｝為等差數(shù)列；

2.等差中項法：2蠲+]=a〃+魅+2(麓WN+)0｛恁｝為等差數(shù)列;

通項公式法：是常數(shù)，〃￡N+)臺｛斯｝為

3.afl=an+b(a,b

等差數(shù)列.

但如果要證明一個數(shù)列是等差數(shù)列，則必須用定義法或等

差中項法.

跟蹤訓(xùn)練1數(shù)列｛%｝的通項公式為=4—3〃，則此數(shù)列

()

A.是公差為4的等差數(shù)列

B.是公差為3的等差數(shù)列

C.是公差為一3的等差數(shù)列

D.是首項為4的等差數(shù)列

題型二等差數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用

狀元隨筆|在等差數(shù)列｛an｝中，能用a.,d兩個基本量表

示an,那么能否用｛aj中任意一項am和d表示an?

[提示]由an=at+(n~l)d,①

am=aj+(m—l)d,②

兩式相減可得:an-am=(n—m)d,

則M=%+(n-m)d.

例2(1)在等差數(shù)列｛斯｝中，已知小=7,/0=25,求通項

公式

an\

57

(2)已知數(shù)列｛〃“｝為等差數(shù)列，的=?劭=一不求。】5的值.

I狀元隨筆I設(shè)出基本量aud,利用方程組的思想求解，當

然也可以利用等差數(shù)列的一般形式an=am+(n—m)d求解.

方法帕相

1.應(yīng)用等差數(shù)列的通項公式求3和d,運用了方程的思

4I+(〃Ll)d=a

想.一般地，可由a=a斯=6,得J求出

m9[a\+(n-1)a=b,

和d,從而確定通項公式.

2.若已知等差數(shù)列中的任意兩項即，為，求通項公式或其

它項時，則運用即=?！?(加一較為簡捷.

跟蹤訓(xùn)練2—401是不是等差數(shù)列一5,—9,—13,…的

項？如果是，是第幾項？

題型三等差數(shù)列及其應(yīng)用

例3某市要在通往新開發(fā)的旅游觀光風(fēng)景區(qū)的直行大道

上安裝路燈，安裝第1盞后，往后每隔50米安裝1盞，試問安

裝第5盞路燈時距離第1盞路燈有多少米？你能用第1盞燈為

起點和兩燈間隔距離表示第n盞燈的距離嗎？

跟蹤訓(xùn)練3第一屆現(xiàn)代奧運會于1896年在希臘雅典舉行,

此后每4年舉行一次，奧運會如因故不能舉行，屆數(shù)照算，你

能算出2016年8月在巴西里約熱內(nèi)盧舉行的奧運會是第幾屆嗎?

若已知屆數(shù)，你能確定相應(yīng)的年份嗎？

敖材以恩

1.本節(jié)課的重點是等差數(shù)列的定義、等差中項以及等差數(shù)

列的通項公式，難點是等差數(shù)列的證明.

2.掌握判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列的常用方法：

(l"n+i-a〃=d(d為常數(shù),〃UN+)=｛斯｝是等差數(shù)列；

(2)24+i=?！?。〃+2(〃金N+)臺｛〃〃｝是等差數(shù)列;

(3)an=kn+b(k9b為常數(shù),.WN+)臺｛恁｝是等差數(shù)列.

但若要說明一個數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需舉出一個反例

即可.

3.會靈活運用等差數(shù)列的通項公式解決問題.由等差數(shù)列

的通項公式4“=〃]+(〃-l)d可以看出，只要知道首項a\和公差

d,就可以求出通項公式.反過來，在Qi、d、n＞?！ㄋ膫€量中，

只要知道其中任意三個量，就可以求出另外一個量.

溫馨提示：請完成課時分層作業(yè)(三)

5.2等差數(shù)列

5.2.1等差數(shù)列

第1課時等差數(shù)列的定義

新知初探?自主學(xué)習(xí)

知識點一

2同一個公差

知識點二

。1+(〃—l)d

知識點三

遞增遞減

［基礎(chǔ)自測］

1.解析：A中給出的是常數(shù)列，是等差數(shù)列，公差為0;

B中給出的數(shù)列是等差數(shù)列，公差為1；

C中給出的數(shù)列是等差數(shù)列，公差為3；

D中給出的數(shù)列第2項減去第1項等于1,第3項減去第2

項等于2,故此數(shù)列不是等差數(shù)列.

答案：D

2.解析：?:恁+i—cin—2(/?+1)+5—(2〃+5)=2,

???｛?！ǎ枪顬?的等差數(shù)列.

答案：A

3.解析：d=-2,

=

/?an4~r(n—1)X(—2)=6—2n.

答案：6~2n

9—27

4.解析：由題意得該等差數(shù)列的公差

J—14

7

所以c—a=2d=j.

7

套口索??-2

課堂探究素養(yǎng)提升

22

例1解析：(1)解：an+\—an=[p(n+1)+^(/?+1)]—(pn+

qn)=2pn+p+q,要使｛?！ǎ堑炔顢?shù)列，則2P〃+p+q應(yīng)是一個

與〃無關(guān)的常數(shù)，所以只有2P=0,即〃=0.

故當p=0,g￡R時,數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列.

=

(2)證明：?；金=。〃+1—an2pn-\-p-\-q,

=

?**cn+\=an+2~^n+\2^(/?+l)+p+q.

而c〃+i—c〃=2/為一個常數(shù)，

???｛6｝是等差數(shù)列.

跟蹤訓(xùn)練1解析：?二恁+i—?！?4-3(〃+1)—(4—3〃)=一

3.

???｛恁｝是公差為一3的等差數(shù)列.

答案：C

例2解析：⑴法一：???M=7,aio=25,

3+3fI?=-2

則x

0+94=25,d=3.

an=-2+(71-1)X3=3〃-5,

???通項公式斯=3〃-5(〃￡N+).

法二：?：。4=7,々10=25,

=

??々io-。4=6。=18,??d39

/??！?。4+(〃-4)d=3n—5(〃￡N+).

5

a3-一…5

甲?2d4，

(2)法一：由7

-7

。7-

中s+6d=一不

解得a\=彳，d=―不

??4]5=。1+(15—1)d

11(3、31

—T|=

7+14X14.

法二：由.7=的+(7—3)d,

即一275+4%

3

解得d=一本

5(3^131

???。15=的+(15_3)/=4+12義1一成=一彳.

跟蹤訓(xùn)練2解析：由.=-5,d=—9—(―5)=—4,

得這個數(shù)列的通項公式為

〃“=—5—4(〃-1)=-4〃-1.

由題意知，-401=-4〃-1,

得〃=100,即一401是這個數(shù)列的第100項.

例3解析：設(shè)第1盞路燈到第1盞路燈的距離記為處，

第2盞路燈到第1盞路燈的距離記為。2，

第〃盞路燈到第1盞路燈的距離記為a〃,

則s,。2,…，即，…構(gòu)成一個以。1=0為首項，以d=50

為公差的一個等差數(shù)列.

所以有3=0,。2=。1+a=0+50=50,

a3=a2+d=al+2d=0+2X50=1009

44=43+1=41+3d=0+3X50=150,

。5=。4+d=U\+4d=0+4X50=200,

〃〃=〃]+(〃-1)1=50〃-50,

所以，第5盞路燈距離第1盞路燈200米，

第n盞路燈距離第1盞路燈(50〃-50)米.

跟蹤訓(xùn)練3解析：設(shè)第一屆的年份為第二屆的年份

為。2,…，第n屆的年份為an,則生，…，…構(gòu)成一

個以勾=1896為首項，以d=4為公差的等差數(shù)列，其通項公

式為Q〃=S+(〃-1)"=1896+4(〃-1)=4〃+1892,即a?=4n+

1892,由?！?2016,知4〃+1892=2016,所以〃=31.

故2016年舉行的奧運會為第31屆.

已知舉辦的屆數(shù)也能求出相應(yīng)的年份，因為在等差數(shù)列的

通項公式an=a\+(n—[)d中，知道其中任何三個量，均可求得

第四個量.

第2課時等差數(shù)列的性質(zhì)

最新課程標準

L掌握等差數(shù)列中兩項及多項之間的關(guān)系.(重點、易錯點)

2.能靈活運用等差數(shù)列的性質(zhì)解決問題,(難點)

切勿川川川川/川川川勿川川勿勿川川勿勿勿川川川“出川”,后囪囪因?|白閨學(xué)I習(xí)I川川川川川川NM川川川川川川川川川川川川川川川川川川h

I教材要點I

知識點一等差數(shù)列的圖像

等差數(shù)列的通項公式斯=/+(〃—l)d,當d=0時，%是一

固定常數(shù)；當d=0時，即相應(yīng)的函數(shù)是一次函數(shù)；點(〃，斯)分

布在以為斜率的直線上，是這條直線上的一列孤立的

點.

知識點二等差中項

如果x,A,y是等差數(shù)列，那么稱4為x與歹的,

「x+y

且力=”」.

|狀元隨筆|任意兩數(shù)都有等差中項嗎？

[提示]是.

知識點三等差數(shù)列的性質(zhì)

(1){%}是等差數(shù)列,若正整數(shù)S,t,p,q滿足s+t=p+q,

則as+at=.

①特別地，當夕+g=2s(p,q,s￡N+州寸，2as=ap+aq.

②對有窮等差數(shù)列，與首末兩項“等距離”的兩項之和等

于首末兩項的,即aA+an=a2+an-\=-=ak+an-k+]

???

(2)從等差數(shù)列中，每隔一定的距離抽取一項，組成的數(shù)列

仍為數(shù)列.

（3）若缶〃｝是公差為d的等差數(shù)列，貝IJ

①｛c+恁｝（c為任一常數(shù)）是公差為的等差數(shù)列；

②｛或〃｝（。為任一常數(shù)）是公差為的等差數(shù)列；

@｛an+an+k｝（k為常數(shù)，々￡N+）是公差為的等差數(shù)

列.

（4）若｛冊｝,｛兒｝分別是公差為必的等差數(shù)列，則數(shù)列

｛pa〃+qbn｝（p,鄉(xiāng)是常數(shù)）是公差為的等差數(shù)列.

（5）｛恁｝的公差為"，則內(nèi)0臺｛為｝為數(shù)列；

｛an｝為數(shù)列；d=00缶〃｝為常數(shù)列.

|狀元隨筆|能用%.和d表示知嗎？如何表示？

［提示］能.〃〃=%+（〃一m）d.

［基礎(chǔ)自測］

1.在等差數(shù)列｛“｝中，己知〃4+恁=等，則—+〃10=

（）

A.12B.16

C.20D.24

2.在等差數(shù)列｛。〃｝中，〃2=5,6/6=33,則的+。5=（）

A.36B.37

C.38D.39

3.在等差數(shù)列｛斯｝中,已知。3+。4+。5+%+。7=450,則

=?

4.設(shè)數(shù)列缶〃｝,｛4J都是等差數(shù)列，且?=25,6=75,

。2+62=100，則叼十而等于（）

A.0B.37

C.100D.-37

勿勿勿叫卅勿W川川川卅勿勿勿用勿川勿川W川川川川"出川HtE3OE3EI-ESM川川川川川川*川川川川川川川川川川川川川川川川川川lh

題型一等差中項及其應(yīng)用

例1在一1與7之間順次插入三個數(shù)Q,6,C使這五個數(shù)

成等差數(shù)列，求此數(shù)列.

方法歸佃

三個數(shù)a,b,c成等差數(shù)列的條件是b=一廠（或2b=a+c）,

可用來進行等差數(shù)列的判定或有關(guān)等差中項的計算問題.如若

證｛。〃｝為等差數(shù)列，可證2%+1=%+冊+2（〃eN+）.

跟蹤訓(xùn)練1已知則a,b的等

差中項為（）

A.小B.^2

題型二等差數(shù)列通項公式的推廣

例2（1）已知等差數(shù)列｛劣｝中,的=9,勤=3,則公差2的

值為（）

A--2Bl

C.-1D.1

75

--且

3-^劭

（2）已知數(shù)列｛斯｝中,04二4是等差數(shù)列,

則。5=()

10c11

A.gB.而

〃12n13

CTTD12

方法模佃

1.