《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及其MATLAB實(shí)現(xiàn)（微課版）》 習(xí)題及答案 第8章

PAGEPAGE1習(xí)題8.11.假設(shè)檢驗(yàn)中，拒絕域和顯著性水平分別表示什么含義？【解】按照實(shí)際推斷原理解釋：在原假設(shè)為真時，構(gòu)造小概率事件，即拒絕原假設(shè)的區(qū)域，就是拒絕域.小概率事件的概率就是顯著性水平.顯著性水平也可以理解為范第一類錯誤的概率.2.某品牌節(jié)能燈以往的不合格率不高于4%.現(xiàn)從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取25只節(jié)能燈，以檢驗(yàn)這批產(chǎn)品的不合格率是否高于4%，在顯著性水平α下，需要提出的假設(shè)是（）.(A)H0：μ≥μ0=0.04，H1：μ<μ0=0.04;(B)H0：μ≤μ0=0.04，H1：μ>μ0=0.04;(C)H0：μ>μ0=0.04，H1：μ≤μ0=0.04;(D)H0：μ<μ0=0.04，H1：μ≥μ0=0.04.【解】B3.某品牌手機(jī)廣告中聲稱：該品牌手機(jī)平均待機(jī)時間為30小時.現(xiàn)在隨機(jī)抽查了35部該品牌手機(jī)，以檢驗(yàn)廣告是否可以被認(rèn)可.假設(shè)該手機(jī)待機(jī)時間X~N(μ,12)，試建立該檢驗(yàn)的原假設(shè)H0與備擇假設(shè)H1，并寫出檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.【解】檢驗(yàn)假設(shè)為H0：μ=μ0=30，H1：μ≠μ0=30.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為4.設(shè)α和β分別是犯第一類、第二類錯誤的概率，且H0與H1分別是原假設(shè)與備擇假設(shè).試求下列概率.（1）P{接受H0|H0不真}；（2）P{拒絕H0|H0為真}；（3）P{拒絕H0|H0不真}；（4）P{接受H0|H0為真}.【解】（1）P{接受H0|H0不真}=β；（2）P{拒絕H0|H0為真}=α；（3）P{拒絕H0|H0不真}=0；（4）P{接受H0|H0為真}=0.5.設(shè)總體X~N(μ，22)，是該總體的一個樣本值.在顯著性水平α下，檢驗(yàn)假設(shè)H0：μ=μ0=0，H1：μ≠μ0=0.若拒絕域?yàn)?試求該檢驗(yàn)的顯著性水平α是多少？犯第一類錯誤的概率是多少？【解】有題意，此檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?，即已知拒絕域?yàn)?，故即又故?0.01.習(xí)題8.21.已知某批礦砂中鎳含量(%)X~N(μ，σ2)，μ，σ2均未知.現(xiàn)從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取5件，測得其鎳含量為3.253.273.243.263.24問是否有理由認(rèn)為這批礦砂的鎳含量的均值為3.25(α=0.01)？【解】按題意，需要檢驗(yàn)H0：μ=μ0=3.25，H1：μ≠μ0=3.25.由于σ2未知，選取T=為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量.由表8-3知，原假設(shè)H0的拒絕域是.由題意，n=5，經(jīng)計(jì)算，s=0.01304.T的觀測值為t0=故應(yīng)接受H0，即認(rèn)為這批礦砂的鎳含量的均值為3.25.2.為調(diào)查黑龍江某地區(qū)水稻應(yīng)用測深施肥技術(shù)的效果，隨機(jī)抽查100塊田地，測得氮肥利用率的樣本均值=36%.假設(shè)我國常年氮肥利用率服從正態(tài)分布N(0.33,0.122).試比較黑龍江水稻測深施肥技術(shù)氮肥利用率與我國常年氮肥利用率有無顯著差異(α=0.05)？【解】該題屬于方差已知，對均值的假設(shè)檢驗(yàn).提出假設(shè)H0：μ=33%；H1：μ≠33%.已知n=100,=36%,α=0.05,查表得計(jì)算得故拒絕H0，即認(rèn)為測深施肥氮肥利用率較以往有顯著差異.3.某工廠生產(chǎn)一種零件，標(biāo)準(zhǔn)長度為32.5（單位:mm）.為檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)隨機(jī)從該工廠生產(chǎn)的零件中抽取6件，測得產(chǎn)品長度為：32.5629.6631.0331.8730.0031.64假定產(chǎn)品長度X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中σ2未知.問在α=0.01下這批產(chǎn)品是否合格.【解】該題屬于方差未知，對均值的假設(shè)檢驗(yàn).提出假設(shè)H0：μ=32.5；H1：μ≠32.5.已知n=6,α=0.01,查表得計(jì)算得=31.13,s2=1.26，故接受H0，即認(rèn)為這批產(chǎn)品合格.4.某車間采用甲、乙兩條不同的生產(chǎn)線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，設(shè)兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品次品率都服從正態(tài)分布，方差分別為σ12=0.46，σ22=0.37.現(xiàn)從甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取25件，測得產(chǎn)品的次品率均值為3.81%，從乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，測得產(chǎn)品的次品率均值為3.56%.試問在顯著性水平α=0.01下，甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率有無顯著差異？【解】該題屬于方差已知，對兩個正態(tài)總體均值差的假設(shè)檢驗(yàn).設(shè)X和Y分別表示甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品的次品率，由題意X~N(μ1,σ12），Y~N(μ2，σ22），且X、Y相互獨(dú)立.提出假設(shè)H0：μ1－μ2=0；H1：μ1－μ2≠0.已知n1=25，n2=30，=3.81，=3.56，σ12=0.46，σ22=0.37，α=0.01.查表知計(jì)算得z0=由于|z0|=1.426<2.58.于是接受原假設(shè)H0.即認(rèn)為甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率沒有顯著差異.5.某地區(qū)高考結(jié)束后隨機(jī)抽取15名女生、12名男生的物理試卷，記錄其成績?nèi)缦拢号?94847404455444246565739435153男生464051474336433848544834假定女生、男生物理成績都服從正態(tài)分布，且方差相同.問根據(jù)上述成績能否判定該地區(qū)女生和男生物理成績沒有顯著差異(α=0.05)？【解】該題屬于方差未知，對兩個正態(tài)總體均值差的假設(shè)檢驗(yàn).設(shè)X和Y分別表示該地區(qū)男生和女生的物理成績，由題意X~N(μ1,σ02），Y~N(μ2，σ02），且X、Y相互獨(dú)立.提出假設(shè)H0：μ1－μ2=0；H1：μ1－μ2≠0.已知n1=15，n2=12，α=0.05.查表知計(jì)算得=47.6，=44，s12=33.543，s22=37.455，sw2=.t的觀測值t0=因?yàn)閨t0|=1.566<2.06.于是接受原假設(shè)H0.即認(rèn)為該地區(qū)男生與女生的物理成績沒有顯著差異.習(xí)題8.31.某食品加工廠用自動包裝機(jī)包裝食鹽，假定包裝機(jī)包裝的食鹽質(zhì)量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2).為檢驗(yàn)生產(chǎn)情況，現(xiàn)隨機(jī)從某天生產(chǎn)的食鹽中抽取10袋，測得質(zhì)量（單位：g）如下：495492510506505489502503512497（1）若已知μ=500，試檢驗(yàn)食鹽質(zhì)量的方差是否是25(α=0.05)？（2）若μ未知，試檢驗(yàn)食鹽質(zhì)量的方差是否是25(α=0.05)？【解】(1)該題屬于均值已知，對方差的假設(shè)檢驗(yàn).提出假設(shè)H0：σ2=25；H1：σ2≠25.已知n=10，μ=500，α=0.05,查表得計(jì)算得故拒絕H0，即不能認(rèn)為這批食鹽質(zhì)量的方差為25.（2）該題屬于均值未知，對方差的假設(shè)檢驗(yàn).提出假設(shè)H0：σ2=25；H1：σ2≠25.已知n=10，α=0.0,5,計(jì)算得=501，s2=7.6372.查表得計(jì)算得故拒絕H0，即不能認(rèn)為這批食鹽質(zhì)量的方差為25.2.已知某種導(dǎo)線的電阻X~N(μ，σ2），其中μ未知，電阻的一個質(zhì)量指標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)差不能大于0.005歐.現(xiàn)從一批導(dǎo)線中隨機(jī)抽取9根，測得樣本標(biāo)準(zhǔn)差s=0.006.試問在顯著性水平α=0.05下，這批導(dǎo)線的波動是否合格？【解】該題屬于均值未知，對方差的假設(shè)檢驗(yàn).提出假設(shè)H0：σ2≤0.0052；H1：σ2>0.0052.已知n=9，α=0.05，s=0.006.查表得計(jì)算得故接受H0，即認(rèn)為這批導(dǎo)線的波動合格.3.從甲地到乙地有兩條不同的行車路線，行車時間都服從正態(tài)分布.由于工作需要，某司機(jī)在兩條路線上各行駛了10次，線路Ⅰ的標(biāo)準(zhǔn)差為20（分鐘），線路Ⅱ的標(biāo)準(zhǔn)差為15（分鐘）.試問在顯著性水平α=0.01下，兩條路線上行車時間的方差是否一樣？【解】該題屬于均值未知，對兩個正態(tài)總體方差比的假設(shè)檢驗(yàn).設(shè)X和Y分別表示該司機(jī)在線路Ⅰ和線路Ⅱ上的行車時間，由題意X~N(μ1,σ12），Y~N(μ2，σ22），且X、Y相互獨(dú)立.μ1，μ2，σ12，σ22均未知.由題意，需檢驗(yàn)H0：σ12=σ22，H1：σ12≠σ22.已知n1=10，n2=10，α=0.01，s1=20，s2=15.由表8-4知拒絕域?yàn)镕≤F1-α/2（n1-1，n2-1）=F0.995(9,9)=,或F≥Fα/2（n1-1，n2-1）=F0.005(9,9)=6.54.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F的觀測值為=∈(1.1529，6.54).故接受原假設(shè)H0，即認(rèn)為兩條路線上行車時間的方差一樣.4.已知甲、乙兩臺機(jī)床加工同一型號的軸承，軸承的內(nèi)徑分別服從正態(tài)分布N(μ1，σ12）和N(μ2，σ22）.現(xiàn)在從各自加工的軸承中隨機(jī)抽取7個和9個，測得其內(nèi)徑（單位：mm）為：甲：20.519.819.720.119.019.920.0乙：20.719.519.620.820.319.820.220.519.9試問在顯著性水平α=0.01下，兩臺機(jī)床生產(chǎn)的軸承的內(nèi)徑方差是否相同？【解】該題屬于均值未知，對兩個正態(tài)總體方差比的假設(shè)檢驗(yàn).由題意，需檢驗(yàn)H0：σ12=σ22，H1：σ12≠σ22.已知n1=7，n2=9，α=0.01.計(jì)算得.由表8-4知拒絕域?yàn)镕≤F1-α/2（n1-1，n2-1）=F0.995(6,8)=,或F≥Fα/2（n1-1，n2-1）=F0.005(6,8)=7.95.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F的觀測值為=∈(0.09，7.95).故接受原假設(shè)H0，即認(rèn)為兩臺機(jī)床生產(chǎn)的軸承的內(nèi)徑方差相同.習(xí)題8.41.某超市為了給下次進(jìn)貨提供決策，調(diào)查顧客對三種品牌純牛奶的喜愛程度.一個月內(nèi)隨機(jī)觀察了150位購買者，并記錄了他們的購買品牌，數(shù)據(jù)見下表：品牌ⅠⅡⅢ購買人數(shù)615336問根據(jù)上述數(shù)據(jù)能否判定顧客對三種品牌純牛奶的喜愛程度沒有顯著差異(α=0.05)？【解】由題意，提出假設(shè)H0：；H1：至少有一個.需要進(jìn)行的計(jì)算如下：品牌ⅠⅡⅢ實(shí)際頻數(shù)fi615336理論頻數(shù)5050501219196檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測值.查表.由于6.52>5.991，所以在顯著性水平為0.05下拒絕H0，即認(rèn)為顧客對三種品牌礦泉水的喜愛程度存在顯著差異.2.某實(shí)驗(yàn)室每隔一定時間觀察一次由某種鈾放射的到達(dá)計(jì)數(shù)器上的α粒子數(shù)X，試驗(yàn)記錄見下表：i01234567891011≥12fi15161726119921210AiA0A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11A12其中fi是觀察到有i個α粒子的次數(shù).問在顯著性水平α=0.05下，能否認(rèn)為粒子數(shù)X服從泊松分布？【解】按題意需要檢驗(yàn)假設(shè)H0：；粒子數(shù)X服從泊松分布，即P{X=i}=，i=0，1，2，….由于總體分布中的參數(shù)λ未知，所以需要先估計(jì)λ.由最大似然估計(jì)法得.將試驗(yàn)結(jié)果的全體分成13個兩兩互不相容的事件A0，A1，…，A12.在H0為真時，P{X=i}的估計(jì)值為，i=0，1，2，….例如計(jì)算結(jié)果如下表所示.并對其中理論頻數(shù)npi＜5的組適當(dāng)合并，使新的每一組均滿足npi≥5，合并后k=8，但由于在計(jì)算過程中估計(jì)了一個未知參數(shù)λ，故檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測值=6.281.因?yàn)?12.592＞=6.282，所以在顯著性水平為0.05下接受原假設(shè)H0，即認(rèn)為總體服從泊松分布.AifiA0160.0150.0781.57.8-1.80.41538A150.0636.3A2160.13213.22.80.59394A3170.18518.5-1.50.12162A4260.19419.46.62.24536A5110.16316.3-5.31.72331A690.11411.4-2.40.50526A790.0696.92.10.63913A8260.0360.0653.66.5-0.50.03846A910.0171.7A1020.0070.7A1110.0030.3A1200.0020.2Σ16.2823.我校某次概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程考試結(jié)束后，隨機(jī)抽取了150份試卷，成績統(tǒng)計(jì)如下：分?jǐn)?shù)區(qū)間人數(shù)分?jǐn)?shù)區(qū)間人數(shù)[30,50)11[70,80)39[50,60)18[80,90)33[60,70)34[90,100]15問在顯著性水平α=0.05下，能否認(rèn)為學(xué)生成績X服從正態(tài)分布?【解】按題意需要檢驗(yàn)假設(shè)H0：學(xué)生成績X~N(μ，σ2).由于總體正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ2都是未知的，故需要先求μ與σ2的最大似然估計(jì)值.由第七章知，μ與σ2的最大似然估計(jì)為，.設(shè)為第i組的組中值，有，.于是原假設(shè)H0可改寫成X~N(72，14.715).計(jì)算結(jié)果如下表所示.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測值=2.40.因?yàn)椋?2.40，所以在顯著性水平為0.05下接受原假設(shè)H0，即認(rèn)為學(xué)生成績X服從正態(tài)分布.分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)fi[30,50)110.0659.7941.2060.15[50,60)180.14020.992-2.9920.43[60,70)340.23935.782-1.7820.09[70,80)390.26139.108-0.1080.00[80,90)330.18327.4085.5921.14[90,100]150.08212.3132.6870.59Σ2.40習(xí)題8.51.某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其長度服從正態(tài)分布，均值設(shè)定為240cm.現(xiàn)從該廠某日生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取5件產(chǎn)品，測得其長度如下（單位：cm）239.7239.2240239239.6試用臨界值和p值兩種方法判斷該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品長度是否符合設(shè)定要求(α=0.05)？【解】該題屬于方差未知，對正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn).依題意，需要檢驗(yàn)H0：μ=240；H1：μ≠240.已知n=5,α=0.05,查表得計(jì)算得=239.5,s=0.4，故拒絕H0，即認(rèn)為該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品長度不符合設(shè)定要求.下面用p值再做一次檢驗(yàn).此處t0=2.795.p值為p=P{|t|≥2.795}=2P{t≥2.795}=0.0491.由于p值=0.0491<α=0.05，故拒絕H0，結(jié)論是相同的.2.通過測定牛奶的冰點(diǎn)可以檢測出牛奶中是否摻有水.天然牛奶的冰點(diǎn)溫度近似服從正態(tài)分布，均值μ0=-0.5450C，標(biāo)準(zhǔn)差σ=0.0080C.牛奶摻水可以使冰點(diǎn)溫度升高而接近于水的冰點(diǎn)溫度（00C）.某公司欲從一生產(chǎn)商處長期購買牛奶，為檢驗(yàn)生產(chǎn)商在牛奶中是否摻水，從一批牛奶中隨機(jī)抽取了5盒，測得牛奶的冰點(diǎn)溫度的均值為-0.5350C.試用p值方法判斷該生產(chǎn)商是否在牛奶中摻了水(α=0.05)？【解】按題意，需要檢驗(yàn)檢驗(yàn)H0：μ≤μ0，H1：μ>μ0.檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的觀測值為p值=P{Z≥2.7951}=1-Φ(2.7951)=0.0026.由于p值<α=0.05,故拒絕原假設(shè).即認(rèn)為該生產(chǎn)商在牛奶中摻了水.習(xí)題8.6如果一個矩形的寬度與長度之比為0.618，這樣的矩形稱為黃金矩形.下面列出某工藝品廠隨機(jī)取得20個矩形的寬度與長度的比值：0.6930.7490.6540.6700.6620.6720.6150.6060.6900.6280.6680.6110.6060.6090.6010.5530.5700.8440.5760.933假設(shè)這一工廠生產(chǎn)的矩形的寬度與長度的比值總體服從于正態(tài)分布，利用MATLAB軟件檢驗(yàn)該工廠生產(chǎn)的矩形是否為黃金矩形.(顯著性水平為0.05）【解】輸入程序X=[0.6930.7490.6540.6700.6620.6720.6150.6060.6900.6280.6680.6110.6060.6090.6010.5530.5700.8440.5760.933];[h,sig,ci]=ttest(X,0.618,0.05,0)輸出結(jié)果h=0sig=0.0539ci=[0.61720.7038],即可認(rèn)為該工廠生產(chǎn)的矩形為黃金矩形.用包裝機(jī)包裝某種食品，在正常情況下，每袋的質(zhì)量為1000g，標(biāo)準(zhǔn)差不能超過15g.假設(shè)每袋食品的重量服從于正態(tài)分布，某天檢驗(yàn)機(jī)器工作的情況，從包裝好的食品中隨機(jī)抽取10袋，測得其凈重為：1020103096899410149989769829501048利用MATLAB軟件檢驗(yàn)這天機(jī)器是否工作正常（顯著性水平為0.05）.【解】輸入程序X=[1020103096899410149989769829501048];[h1,p1,ci1]=ttest(X,1000,0.05,0)[h2,p2,ci2]=vartest(x,225,0.05,-1)輸出結(jié)果h1=0，p1=0.8389，ci1=[976.41.019.6],即可以認(rèn)為均值為1000g；h2=1，p2=9.4904e-07，ci2=[022.9335],即不可認(rèn)為不超過15g.故這天機(jī)器工作不正常.半導(dǎo)體生產(chǎn)中蝕刻是重要工序，其蝕刻率是重要特征并知其服從于正態(tài)分布.現(xiàn)有兩種不同的蝕刻方法，為了比較其蝕刻率的大小，特對每種方法在10個晶片上進(jìn)行蝕刻，記錄的蝕刻率如下：方法1:9.99.49.39.610.210.610.310.010.310.1；方法2:10.210.610.710.410.510.010.210.410.310.2利用MATLAB軟件完成：在方差相等假設(shè)下檢驗(yàn)兩種方法的蝕刻率是否相等（顯著性水平取0.05）；計(jì)算（1）的p值；求出平均蝕刻率差的95%的置信區(qū)間；檢驗(yàn)兩樣本的方差是否相等（顯著性